應(yīng)力與應(yīng)變分析課件

第七章應(yīng)力與應(yīng)變分析§7-5

平面應(yīng)變狀態(tài)分析§7-6

廣義胡克定律§7-7

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變比能小結(jié)第1頁(yè)/共59頁(yè)第七章應(yīng)力與應(yīng)變分析§7-5平面應(yīng)變狀態(tài)分析第111．一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)§7-1一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)受力構(gòu)件一點(diǎn)處各個(gè)不同截面上的應(yīng)力情況1)代表一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)；2．研究應(yīng)力狀態(tài)的目的找出該點(diǎn)的最大正應(yīng)力和切應(yīng)力數(shù)值及所在截面的方位，以便研究構(gòu)件破壞原因并進(jìn)行失效分析。二、研究應(yīng)力狀態(tài)的方法——單元體法1．單元體圍繞構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)截取的微小正六面體。具有以下特點(diǎn)：2)每個(gè)面上的應(yīng)力均布，應(yīng)力正負(fù)用箭頭方向表示；3)平行面上的應(yīng)力大小相同、方向相反；4)三個(gè)相互垂直面上的應(yīng)力已知。第2頁(yè)/共59頁(yè)1．一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)§7-1一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一、一點(diǎn)的應(yīng)力狀22．單元體上的應(yīng)力分量1)單元體上的應(yīng)力分量共有

九個(gè)，獨(dú)立分量有六個(gè)；2)應(yīng)力分量的角標(biāo)規(guī)定：xOzydzdxdyXYZOsysyszsztzytyztyztzytyxtyxtxytxysxsxtzxtxztzxtxz第一角標(biāo)表示應(yīng)力作用面，第二角標(biāo)表示應(yīng)力平行的軸；兩角標(biāo)相同時(shí)，只用一個(gè)角標(biāo)來(lái)表示。例如txy表示x面上平行于y軸的切應(yīng)力，sx表示x面上平行于x軸的正應(yīng)力；3)面的方位用其法線方向表示，例如x面表示法線平行于x軸的面；§7-1一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)第3頁(yè)/共59頁(yè)2．單元體上的應(yīng)力分量1)單元體上的應(yīng)力分量共有2)應(yīng)力分量34)切應(yīng)力互等定理：5)應(yīng)力矩陣：3．截取單元體的方法與原則1)在一點(diǎn)用與三個(gè)坐標(biāo)軸(笛卡爾坐標(biāo)和極坐標(biāo)，依問題和構(gòu)件形狀而定)垂直的平面截取，因其微小，看成微小正六面體；2)單元體各個(gè)面上的應(yīng)力已知或可求；3)幾種受力情況下截取單元體方法：§7-1一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)第4頁(yè)/共59頁(yè)4)切應(yīng)力互等定理：5)應(yīng)力矩陣：3．截取單元體的方法與原則4FMeMeFFMeMe橫截面、周向面、直徑面各一對(duì)，從上表面截取Ctss橫截面、周向面、直徑面各一對(duì)B一對(duì)橫截面，兩對(duì)縱截面As=F/Ast=Me

/WpABC§7-1一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)第5頁(yè)/共59頁(yè)FMeMeFFMeMe橫截面、周向面、直徑面各一對(duì)，從上表面5BCAFCABtBtCsCsCsAsA§7-1一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)第6頁(yè)/共59頁(yè)BCAFCABtBtCsCsCsAsA§7-1一點(diǎn)的應(yīng)力61．主應(yīng)力、主單元體、主平面的概念三、應(yīng)力狀態(tài)的分類(按主應(yīng)力)1)主平面：?jiǎn)卧w上切應(yīng)力為零的平面2)主單元體：各面均為主平面的單元體，主單元體上有三對(duì)主平面；旋轉(zhuǎn)y'x'z's2s3s1sxsztxytxztzxtzytyztyxsy3)主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力，用s1、s2、s3表示，且s1≥s2≥s3。xyz(找主平面、主單元體和主應(yīng)力)§7-1一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)第7頁(yè)/共59頁(yè)1．主應(yīng)力、主單元體、主平面的概念三、應(yīng)力狀態(tài)的分類(按主應(yīng)72．應(yīng)力狀態(tài)按主應(yīng)力分類1)單向應(yīng)力狀態(tài)：只有一個(gè)主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)；2)平面應(yīng)力狀態(tài)：有二個(gè)主應(yīng)力為零的應(yīng)力狀態(tài)，也稱為二向應(yīng)力狀態(tài)；3)三向應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力均不為零的應(yīng)力狀態(tài)，也稱為空間應(yīng)力狀態(tài)；4)單向應(yīng)力狀態(tài)又稱為簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)；平面和空間應(yīng)力狀態(tài)又稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。4)圍繞一點(diǎn)至少存在一個(gè)主單元體，應(yīng)力分析的主要目的就是尋找主單元體和主應(yīng)力。§7-1一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)第8頁(yè)/共59頁(yè)2．應(yīng)力狀態(tài)按主應(yīng)力分類1)單向應(yīng)力狀態(tài)：只有一個(gè)主應(yīng)力不為8§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析1．平面應(yīng)力狀態(tài)的表示方法(一般表現(xiàn)形式)一、平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法平面應(yīng)力狀態(tài)一般表現(xiàn)為：?jiǎn)卧w上有一對(duì)側(cè)面應(yīng)力為零，而其它四個(gè)側(cè)面上應(yīng)力都平行于應(yīng)力為零的側(cè)面。sxtxysysysxtyxsytyxtxysxsx第9頁(yè)/共59頁(yè)§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析1．平面應(yīng)力狀態(tài)的表示方法(一般92．任意a角斜截面以及與之相垂直斜截面上的應(yīng)力1)公式推導(dǎo)sxtxysysysxtyxABxydAsxtxytyxsyxxax'y'asx'tx'y'txysytyxsx'sxsxtxytyxsyyx'y'aaty'x'sy'§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第10頁(yè)/共59頁(yè)2．任意a角斜截面以及與之相垂直斜截面上的應(yīng)力1)公式推導(dǎo)s102)a角斜截面應(yīng)力公式由三角變換得3)a與a+90o斜截面應(yīng)力公式的矩陣表達(dá)式§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第11頁(yè)/共59頁(yè)2)a角斜截面應(yīng)力公式由三角變換得3)a與a+90o斜截11坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣x'y'axx'ayx'axy'ayy'xyOsxtxytyxsyxxx'y'asx'tx'y'單元體上所繪s、t，數(shù)值代表大小，箭頭方向代表正負(fù)。4)推導(dǎo)公式時(shí)，sx、sy、txy、a

角均假設(shè)為正，實(shí)際計(jì)算時(shí)應(yīng)代入各參量的正負(fù)。s：拉為正，壓為負(fù)；a

：以x軸正向?yàn)槠鹁€，逆時(shí)針轉(zhuǎn)至x'正向者為正，反之為負(fù)；t：使微元產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)者為正；反之為負(fù)?！?-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第12頁(yè)/共59頁(yè)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣x'y'axx'ayx'axy'ayy'xyOs123．主應(yīng)力及其方位1)由主平面定義：，得：可求出兩個(gè)相差90o的a0值，對(duì)應(yīng)兩個(gè)互相垂直主平面。2)即主平面上的正應(yīng)力取得所有方向正應(yīng)力的極值。3)主應(yīng)力大?。?)由s'、s"、0按代數(shù)值大小排序得出：§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第13頁(yè)/共59頁(yè)3．主應(yīng)力及其方位1)由主平面定義：，得：可求出兩個(gè)相差90135)判斷s'、s"作用方位(與兩個(gè)a0如何對(duì)應(yīng))txys's"a0*a)由：求得一個(gè)a0：b)txy箭頭指向第幾象限(一、四)，則s'(較大主應(yīng)力)

在第幾象限，即先判斷s’

大致方位，再判斷其與算得的a0相對(duì)應(yīng)，還是與

a0+90o相對(duì)應(yīng)。6)txys"s'a0*§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第14頁(yè)/共59頁(yè)5)判斷s'、s"作用方位(與兩個(gè)a0如何對(duì)應(yīng))txys'141)4．極值切應(yīng)力2)極值切應(yīng)力：可求出兩個(gè)相差90o的a1值，對(duì)應(yīng)兩個(gè)互相垂直的極值切應(yīng)力方位。3)極值切應(yīng)力方位與主應(yīng)力方位的關(guān)系：極值切應(yīng)力平面與主平面成45o§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第15頁(yè)/共59頁(yè)1)4．極值切應(yīng)力2)極值切應(yīng)力：可求出兩個(gè)相差90o的a115例7-1圖示單元體，試求：①a=30o斜截面上的應(yīng)力；②主應(yīng)力并畫出主單元體；③極值切應(yīng)力。403020單位：MPaasata402030解：1)a=30o斜截面上的應(yīng)力2)主應(yīng)力與主單元體3)極值切應(yīng)力4)討論并證明：同一單元體任意垂直平面上的正應(yīng)力之和為常數(shù)。14.9os"s's"s

'§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第16頁(yè)/共59頁(yè)例7-1圖示單元體，試求：①a=30o斜截面上4030216tABCD例7-2分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)。MeMeDCBA3)圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，任意點(diǎn)為純剪切應(yīng)力狀態(tài)，最大拉、壓應(yīng)力在與軸線成45o

斜截面上，它們數(shù)值相等，均等于橫截面上的切應(yīng)力；4)對(duì)于塑性材料(如低碳鋼)抗剪能力差，扭轉(zhuǎn)破壞時(shí)，通常是橫截面上的最大切應(yīng)力使圓軸沿橫截面剪斷；5)對(duì)于脆性材料(如鑄鐵、粉筆)抗拉性能差，扭轉(zhuǎn)破壞時(shí)，通常沿與軸線成45o的螺旋面拉斷。x45o-45os3s1s1s3解：1)圍繞圓軸外表面一點(diǎn)取單元體ABCD：2)求主應(yīng)力和主單元體§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第17頁(yè)/共59頁(yè)tABCD例7-2分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)。MeMeDC17q5．主應(yīng)力跡線§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析1)作法將一點(diǎn)的主拉(壓)應(yīng)力方向延長(zhǎng)與相鄰橫截面相交，再求出交點(diǎn)的主拉(壓)應(yīng)力方向，依次得到一條曲線——主拉(壓)應(yīng)力跡線。2)主應(yīng)力跡線的特征

同一類主應(yīng)力跡線不能相交；兩類主應(yīng)力跡線若相交，則必然正交；所有主應(yīng)力跡線與軸線相交的夾角均為45o；所有主應(yīng)力跡線與梁的上或下邊緣垂直相交；主應(yīng)力跡線只反映主應(yīng)力方向，不反映大小。第18頁(yè)/共59頁(yè)q5．主應(yīng)力跡線§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析1)作法將一點(diǎn)的181．理論依據(jù)二、平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法——應(yīng)力圓以s、t為坐標(biāo)軸，則任意a斜截面上的應(yīng)力sa、ta為§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第19頁(yè)/共59頁(yè)1．理論依據(jù)二、平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法——應(yīng)力圓以s、t為19Ost2．應(yīng)力圓的繪制sxsxtxytyxtxytyxsysyxyC2a0B1

s"A1s'2a(sa,ta)EG1t'G2t"D'(sy,tyx)BAD(sx,

txy)nasata1)選定坐標(biāo)及比例尺；2)取x面的兩個(gè)應(yīng)力值，定出D(sx,txy)點(diǎn)，取y面的兩個(gè)應(yīng)力值，定出D'(sy,tyx)點(diǎn)；3)連DD‘交s軸于C點(diǎn)，以C為圓心，DD’為直徑作圓。§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第20頁(yè)/共59頁(yè)Ost2．應(yīng)力圓的繪制sxsxtxytyxtxytyxsys203．應(yīng)力圓的應(yīng)用1)點(diǎn)面對(duì)應(yīng)關(guān)系：2)角度對(duì)應(yīng)關(guān)系：

應(yīng)力圓上一點(diǎn)坐標(biāo)代表單元體某個(gè)面上的應(yīng)力；

應(yīng)力圓上半徑轉(zhuǎn)過2a，單元體上的面轉(zhuǎn)過a；3)轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)關(guān)系：

應(yīng)力圓上半徑的轉(zhuǎn)向與單元體上面的旋向相同；OstC2a(sa,ta)ED'(sy,tyx)BAD(sx,

txy)xsxsxtxytyxtxytyxsysyynasata4)求外法線與x軸夾角為a斜截面上的應(yīng)力，只要以D為起點(diǎn)，按a轉(zhuǎn)動(dòng)方向同向轉(zhuǎn)過2a到E點(diǎn)，E點(diǎn)坐標(biāo)即為所求應(yīng)力值。§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第21頁(yè)/共59頁(yè)3．應(yīng)力圓的應(yīng)用1)點(diǎn)面對(duì)應(yīng)關(guān)系：2)角度對(duì)應(yīng)關(guān)系：215)應(yīng)力圓確定主平面、主應(yīng)力應(yīng)力圓上縱軸坐標(biāo)最大的G1點(diǎn)為t'，縱軸坐標(biāo)最小的G2點(diǎn)為t"，作用面確定方法同主應(yīng)力。由主平面上切應(yīng)力t=0，確定D轉(zhuǎn)過的角度；D轉(zhuǎn)至s軸正向A1點(diǎn)代表s'所在主平面，其轉(zhuǎn)過角度為2a0*，轉(zhuǎn)至s軸負(fù)向B1點(diǎn)代表s"所在主平面；OstC2a0*B1

s"A1s'G1t'G2t"D'(sy,tyx)BAD(sx,

txy)sxsxtxytyxtxytyxsysy6)確定極值切應(yīng)力及其作用面§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第22頁(yè)/共59頁(yè)5)應(yīng)力圓確定主平面、主應(yīng)力應(yīng)力圓上縱軸坐標(biāo)最大的G1點(diǎn)為t224)作應(yīng)力圓，并由幾何關(guān)系算出或由比例尺量出：60o解：一、圖解法1)由豎直面BE上的應(yīng)力得到應(yīng)力圓上的D點(diǎn)：sOt17.34080D120oD'lC2)由AB面上的正應(yīng)力作直線s：例7-3平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，試用應(yīng)力圓和解析法分別求出主應(yīng)力和斜截面AB上的切應(yīng)力t。(應(yīng)力單位：MPa)B5080A5080tt60oE則應(yīng)力圓上代表AB面應(yīng)力的點(diǎn)一定在該直線上3)作直線l，使其滿足：與s軸正向逆時(shí)針夾角120o，交直線s于D'，交s軸于C，|CD'|=|CD|50s§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第23頁(yè)/共59頁(yè)4)作應(yīng)力圓，并由幾何關(guān)系算出或由60o解：一、圖解法1)由23解：二、解析法1)建立坐標(biāo)系2)截取微塊ABC60oB5080A5080ttE由于AC面為主平面，其上切應(yīng)力為零，則根據(jù)切應(yīng)力互等定理BC面上切應(yīng)力也為零，只有主應(yīng)力sy。3)將AB看成斜截面，求解其上應(yīng)力xy8060o50tsyBAC§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第24頁(yè)/共59頁(yè)解：二、解析法1)建立坐標(biāo)系2)截取微塊ABC60oB50824例7-4圖示單元體，試求：①a=30o斜截面上的應(yīng)力；②主應(yīng)力并畫出主單元體；③極值切應(yīng)力。403020單位：MPaasata解：1)a=30o斜截面上的應(yīng)力2)主應(yīng)力并畫出主單元體sOtD(30,-20)D'(-40,20)C60o(29.8,20.3)35.3-45.329.8o40203014.9os"s's"s

'3)極值切應(yīng)力：40.3-40.3§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第25頁(yè)/共59頁(yè)例7-4圖示單元體，試求：①a=30o斜截面上4030225三、幾種應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓1．單向拉伸和壓縮應(yīng)力狀態(tài)1)單向拉伸ss2)單向壓縮ssOstCsDD'C'sEE'圓心C：(s/2,0)D(s/2,s/2)D'(s/2,-s/2)極值切應(yīng)力點(diǎn)：主應(yīng)力：圓心C'：(-s/2,0)E(-s/2,s/2)E'(-s/2,-s/2)極值切應(yīng)力點(diǎn)：主應(yīng)力：§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第26頁(yè)/共59頁(yè)三、幾種應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓1．單向拉伸和壓縮應(yīng)力狀態(tài)1)單向拉262．純剪切應(yīng)力狀態(tài)OstttttC圓心C：(0,0)D(0,t)D'(0,-t)極值切應(yīng)力點(diǎn)：主應(yīng)力：DD'§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第27頁(yè)/共59頁(yè)2．純剪切應(yīng)力狀態(tài)OstttttC圓心C：(0,0)D(0,27pppp3．兩向均勻壓(拉)應(yīng)力狀態(tài)Ostssss主應(yīng)力：Cs兩向均勻壓(拉)應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓為s軸上的一點(diǎn)。因此其任意方向均為主應(yīng)力方向，任意平面均為主平面ppp任意形狀平面，只要邊界各點(diǎn)承受大小相同垂直作用于邊界的力，則其內(nèi)部任意一點(diǎn)均為兩向均勻壓(拉)應(yīng)力狀態(tài)，同樣對(duì)于三維構(gòu)件(如圓球)，就為三向均勻壓(拉)應(yīng)力狀態(tài)。§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第28頁(yè)/共59頁(yè)pppp3．兩向均勻壓(拉)應(yīng)力狀態(tài)Ostssss主應(yīng)力：C28§7-3三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力1．三向面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力圓一、三向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力圓s3s2s1s2s3s1s2s1s3OtsC2s3C1C3s1s21)平行s3斜截面上應(yīng)力由s1、

s2作出應(yīng)力圓上的點(diǎn)確定；2)平行s1斜截面上應(yīng)力由s2、

s3作出應(yīng)力圓上的點(diǎn)確定；3)平行s2斜截面上應(yīng)力由s1、

s3作出應(yīng)力圓上的點(diǎn)確定；第29頁(yè)/共59頁(yè)§7-3三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力1．三向面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)29t23OtsC2s3C1C3s1s2t13t122．三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大切應(yīng)力4)由彈性力學(xué)知，任意斜截面上的應(yīng)力點(diǎn)落在陰影區(qū)內(nèi)。tmax所在平面與s1和s3兩個(gè)主平面夾角為45o。§7-3三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力第30頁(yè)/共59頁(yè)t23OtsC2s3C1C3s1s2t13t122．三向應(yīng)力301．三向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力轉(zhuǎn)換二、三向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力轉(zhuǎn)換及主應(yīng)力1)[sij]、[sij']分別是老、新坐標(biāo)系下的應(yīng)力矩陣；2)[l]為新老坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣：cos-1l11cos-1l12cos-1l13Ox1x2x3x3'x2'x1'lij為新坐標(biāo)i對(duì)老坐標(biāo)j的方向余弦3)任意斜截面上的應(yīng)力：l1j為斜截面外法線對(duì)老坐標(biāo)j的方向余弦§7-3三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力第31頁(yè)/共59頁(yè)1．三向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力轉(zhuǎn)換二、三向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力轉(zhuǎn)換及主應(yīng)力312．三向應(yīng)力狀態(tài)下的主應(yīng)力和主軸方向1)研究方法2)主應(yīng)力大小和方向求解線性代數(shù)中求實(shí)對(duì)稱矩陣特征值和特征向量。特征值即為所求主應(yīng)力，特征向量即為主應(yīng)力所在方位；a的三個(gè)實(shí)根，即為應(yīng)力矩陣sij的三個(gè)主應(yīng)力，求出a后可求出三個(gè)特征向量，即為各主應(yīng)力所對(duì)應(yīng)的方位?！?-3三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力第32頁(yè)/共59頁(yè)2．三向應(yīng)力狀態(tài)下的主應(yīng)力和主軸方向1)研究方法2)主應(yīng)力大32三、例題sy=140txy=150sx=300A視解法一：1)已知一個(gè)主應(yīng)力：sz=90MPa。2)將單元體沿z方向投影，得到平面應(yīng)力狀態(tài)：例7-5試確定圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力，并確定主平面和最大切應(yīng)力作用面位置。xzy90300150140單位：MPa根據(jù)txy方向，s1與x逆時(shí)針夾角為31o，s3與x軸夾角121o，均在xoy平面內(nèi)

最大切應(yīng)力所在平面法線與主平面夾角45o即與x軸夾角76o或-14o。xzys2y'31o31os1x's3A§7-3三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力第33頁(yè)/共59頁(yè)三、例題sy=140txy=150sx=300A視解法一：133解法二：1)應(yīng)力狀態(tài)的矩陣形式為：xzy90300150140單位：MPa2)求解主應(yīng)力：展開整理得：3)主應(yīng)力方向：s1=390MPa時(shí)有求解方程，并注意到得：同理，分別求出s2=90MPa、s3=50MPa時(shí)的n1、n2、n3，得到：4)最大切應(yīng)力及方向求解同解法一。轉(zhuǎn)換矩陣：§7-3三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力第34頁(yè)/共59頁(yè)解法二：1)應(yīng)力狀態(tài)的矩陣形式為：xzy903001501434BACO§7-4任意點(diǎn)的應(yīng)變及應(yīng)變分量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換1．平面應(yīng)變狀態(tài)：一、任意點(diǎn)的應(yīng)變z方向位移為零。應(yīng)變僅在x、y平面內(nèi)產(chǎn)生。假設(shè)直角增大為鈍角時(shí)的切應(yīng)變g為正uv0xydydxyxO'A'B'C'ba第35頁(yè)/共59頁(yè)BACO§7-4任意點(diǎn)的應(yīng)變及應(yīng)變分量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換1．平面352．推廣到三向應(yīng)變狀態(tài)定義切應(yīng)變分量：則任意點(diǎn)的應(yīng)變分量可寫成矩陣形式：二、應(yīng)變的坐標(biāo)變換[l]與前相同為空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣§7-4任意點(diǎn)的應(yīng)變及應(yīng)變分量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換第36頁(yè)/共59頁(yè)2．推廣到三向應(yīng)變狀態(tài)定義切應(yīng)變分量：則任意點(diǎn)的應(yīng)變分量可寫36§7-5平面應(yīng)變狀態(tài)分析1．研究問題：一、平面應(yīng)變分析

平面應(yīng)變狀態(tài)下，物體內(nèi)任一點(diǎn)O的應(yīng)變分量為ex、ey、gxy，其余應(yīng)變?nèi)珵榱?，求該點(diǎn)在xy平面內(nèi)任意方向的應(yīng)變ex'、ey'、gx'y'。2．任意方向應(yīng)變1)平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣：代入：2)展開得第37頁(yè)/共59頁(yè)§7-5平面應(yīng)變狀態(tài)分析1．研究問題：一、平面應(yīng)變分析373)分別用ea和ga表示上式中的ex'和gx'y'=-2ex'y'，并進(jìn)行三角函數(shù)化簡(jiǎn)，得到2．主應(yīng)變與主應(yīng)變方向1)主應(yīng)變方向：由于相似性，可完全借用平面應(yīng)力分析的結(jié)論。2)主應(yīng)變大?。骸?-5平面應(yīng)變狀態(tài)分析第38頁(yè)/共59頁(yè)3)分別用ea和ga表示上式中的ex'和gx'y'=-2ex38二、應(yīng)用舉例1．因切應(yīng)變gxy不宜測(cè)量，用應(yīng)變儀直接測(cè)量應(yīng)變時(shí)，一般先測(cè)出在三個(gè)a1、a2、a3方向上的線應(yīng)變ea1、

ea2、ea3，再求得ex、ey、gxy進(jìn)行計(jì)算。2．工程實(shí)測(cè)中a1、a2、a3取為便于計(jì)算的值。例如使三個(gè)應(yīng)變片的方向分別為a1=0o，a2＝45o，a3=90o，就得到了45o—3直角應(yīng)變花。§7-5平面應(yīng)變狀態(tài)分析第39頁(yè)/共59頁(yè)二、應(yīng)用舉例1．因切應(yīng)變gxy不宜測(cè)量，用應(yīng)變儀直接測(cè)量應(yīng)變39例7-6用45o—3直角應(yīng)變花測(cè)得一點(diǎn)處的三個(gè)線應(yīng)變?yōu)閑0=-300m，

e45=-200m，e90=200m，試求主應(yīng)變及其方向。y45o45oe0e90xOe45解：1)求ex、ey、gxy令a1=0o，a2＝45o，a3=90o：解得：2)求主應(yīng)變及其方向因ex<ey，故最大線應(yīng)變?cè)?05o30'方向上。§7-5平面應(yīng)變狀態(tài)分析第40頁(yè)/共59頁(yè)例7-6用45o—3直角應(yīng)變花測(cè)得一點(diǎn)處的三個(gè)線應(yīng)變?yōu)閑40§7-5平面應(yīng)變狀態(tài)分析3．應(yīng)變測(cè)量實(shí)例中科院等離子體所HT-7U支撐試驗(yàn)臺(tái)第41頁(yè)/共59頁(yè)§7-5平面應(yīng)變狀態(tài)分析3．應(yīng)變測(cè)量實(shí)例中科院等離子體所41§7-5平面應(yīng)變狀態(tài)分析HT-7U支撐的應(yīng)變測(cè)量第42頁(yè)/共59頁(yè)§7-5平面應(yīng)變狀態(tài)分析HT-7U支撐的應(yīng)變測(cè)量第42頁(yè)42§7-5平面應(yīng)變狀態(tài)分析HT-7U波紋管的應(yīng)變測(cè)量第43頁(yè)/共59頁(yè)§7-5平面應(yīng)變狀態(tài)分析HT-7U波紋管的應(yīng)變測(cè)量第4343§7-5平面應(yīng)變狀態(tài)分析應(yīng)變測(cè)量?jī)x器——7V13數(shù)據(jù)采集儀第44頁(yè)/共59頁(yè)§7-5平面應(yīng)變狀態(tài)分析應(yīng)變測(cè)量?jī)x器——7V13數(shù)據(jù)采集44§7-6廣義胡克定律一、廣義胡克定律1)主應(yīng)變：1．有關(guān)概念2)正應(yīng)力只引起線應(yīng)變，切應(yīng)力只引起切應(yīng)變；沿主應(yīng)力方向的應(yīng)變，分別用e1≥e2≥e3表示；2．廣義胡克定律2)推導(dǎo)方法：利用疊加原理和第一章里討論的拉壓和剪切胡克定律。1)廣義胡克定律：應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系，又稱本構(gòu)關(guān)系；第45頁(yè)/共59頁(yè)§7-6廣義胡克定律一、廣義胡克定律1)主應(yīng)變：1．有關(guān)45s1s2s3s1s1Is2s2IIs3IIIs1方向上的應(yīng)變：s2方向上的應(yīng)變：s3方向上的應(yīng)變：s1Is1s2IIs2IIIs33)主應(yīng)力與主應(yīng)變的關(guān)系：§7-6廣義胡克定律第46頁(yè)/共59頁(yè)s1s2s3s1s1Is2s2IIs3IIIs1方向上的應(yīng)變464)一般情況：5)用應(yīng)變表示應(yīng)力：§7-6廣義胡克定律第47頁(yè)/共59頁(yè)4)一般情況：5)用應(yīng)變表§7-6廣義胡克定律第47頁(yè)/476)平面應(yīng)力狀態(tài)下：sz、tyz

、txz

為零?！?-6廣義胡克定律第48頁(yè)/共59頁(yè)6)平面應(yīng)力狀態(tài)下：sz、tyz、txz為零?！?-48二、體積應(yīng)變與應(yīng)力分量之間的關(guān)系1)長(zhǎng)a、寬b、高c的單元體變形前體積：1．體積應(yīng)變2)在主應(yīng)力s1、s2、s3作用下，單元體體積變?yōu)椋?)體積改變率(體積應(yīng)變)abcs3a(1+e1)s1s2b(1+e2)c(1+e3)§7-6廣義胡克定律第49頁(yè)/共59頁(yè)二、體積應(yīng)變與應(yīng)力分量之間的關(guān)系1)長(zhǎng)a、寬b、高c的單元體494)體積應(yīng)變的應(yīng)力表達(dá)式：代入胡克定律——平均應(yīng)力——體積模量§7-6廣義胡克定律式中：——拉梅常數(shù)——Kronecker符號(hào)2．廣義胡克定律的體積應(yīng)變表達(dá)式第50頁(yè)/共59頁(yè)4)體積應(yīng)變的應(yīng)力表達(dá)式：代入胡克定律——平均應(yīng)力——體積模50三、例題例7-7在一體積較大的鋼塊上有一直徑為50.01mm

的凹座，凹座內(nèi)放置一直徑為50mm的鋼制圓柱如圖，圓柱受到F=300kN的軸向壓力。假設(shè)鋼塊不變形，試求圓柱的主應(yīng)力。取

E=200GPa，n=0.30。Fps3=F/Asq=psr=ppp解：1)圓柱橫截面上的應(yīng)力2)圓柱徑向應(yīng)變3)截取單元體如圖4)由廣義胡克定律5)圓柱內(nèi)任意點(diǎn)主應(yīng)力為：§7-6廣義胡克定律第51頁(yè)/共59頁(yè)三、例題例7-7在一體積較大的鋼塊上有一直徑為50.0151§7-7復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變比能一、總應(yīng)變比能1)應(yīng)變能(變形能)：1．有關(guān)概念伴隨彈性體的變形而儲(chǔ)存在彈性體的能量，用U表示；2)比能：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)儲(chǔ)存的應(yīng)變能，用u表示；3)克拉貝依隆原理：該原理只在線彈性條件下成立Fi：di：廣義力；與廣義力相對(duì)應(yīng)的廣義位移；第52頁(yè)/共59頁(yè)§7-7復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變比能一、總應(yīng)變比能1)應(yīng)變能521)取主應(yīng)力單元體，假定三個(gè)主應(yīng)力按某一比例由零同時(shí)增加到最終值，則該單元體所儲(chǔ)存的應(yīng)變能為2．總應(yīng)變比能s2s1s3dxdydze1e2e32)比能：3)代入廣義胡克定律§7-7復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變比能第53頁(yè)/共59頁(yè)1)取主應(yīng)力單元體，假定三個(gè)2．總應(yīng)變比能s2s1s353二、體積改變比能uv與形狀改變比能uf1)單元體的變形：1．有關(guān)概念體積改變和形狀改變s3s2s1體積應(yīng)變只與平均正應(yīng)力有關(guān)，則體積改變比能只與平均正應(yīng)力有關(guān)。體積改變smsmsms3-sms2-sms1-sm形狀改變§7-7復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變比能第54頁(yè)/共59頁(yè)二、體積改變比能uv與形狀改變比能uf1)單元體的變形：1．542)體積改變比能：與體積改變相對(duì)應(yīng)的比能，用uv表示；3)形狀改變比能：與形狀改變相對(duì)應(yīng)的比能，用uf表示；4)2．uv、uf公式1)體積改變比能：2)形狀改變比能：一般情況下：§7-7復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變比能第55頁(yè)/共59頁(yè)2)體積改變比能：與體積改變相對(duì)應(yīng)的比能，用uv表示；3)形55例7-8導(dǎo)出各向同性體線彈性材料彈性常數(shù)E、G、n之間的關(guān)系。tzyOg45ott解：取純剪切應(yīng)力狀態(tài)研究§7-7復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變比能第56頁(yè)/共59頁(yè)例7-8導(dǎo)出各向同性體線彈性材料彈性常數(shù)E、G、n之間56小結(jié)一、本章重點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的有關(guān)概念及其研究方法，截取原始單元體的方法，主單元體、主平面、主應(yīng)力，應(yīng)力狀態(tài)的分類；平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法和應(yīng)力圓法；簡(jiǎn)單三向應(yīng)力狀態(tài)的求解及一點(diǎn)的最大應(yīng)力；廣義胡克定律及其應(yīng)用。第57頁(yè)/共59頁(yè)小結(jié)一、本章重點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的有關(guān)概念及其研究方法，57小結(jié)二、思考題試證明圍繞一點(diǎn)的任意平面應(yīng)力狀態(tài)單元體相垂直面上的正應(yīng)力之和為常數(shù)；試論證平面應(yīng)力狀態(tài)中較大主應(yīng)力s'與txy指向的對(duì)應(yīng)關(guān)系；低碳鋼和鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞斷面有什么不同，為什么？試證明應(yīng)力圓與單元體的點(diǎn)面、角度、旋向?qū)?yīng)關(guān)系；第58頁(yè)/共59頁(yè)小結(jié)二、思考題試證明圍繞一點(diǎn)的任意平面應(yīng)力狀態(tài)單元體相58小結(jié)單向拉伸(壓縮)的應(yīng)力圓形狀？純剪切應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓形狀？二向、三向均勻拉(壓)應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓形狀？證明主應(yīng)力和主應(yīng)變方向的一致性；試用廣義胡克定律證明切變模量、彈性模量、泊松比之間的關(guān)系；泊松比n=0.5意味什么？試導(dǎo)出一般空間應(yīng)力狀態(tài)下體積改變比能uv的計(jì)算公式。第59頁(yè)/共59頁(yè)小結(jié)單向拉伸(壓縮)的應(yīng)力圓形狀？純剪切應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力59第七章應(yīng)力與應(yīng)變分析§7-5

平面應(yīng)變狀態(tài)分析§7-6

廣義胡克定律§7-7

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變比能小結(jié)第1頁(yè)/共59頁(yè)第七章應(yīng)力與應(yīng)變分析§7-5平面應(yīng)變狀態(tài)分析第1601．一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)§7-1一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)受力構(gòu)件一點(diǎn)處各個(gè)不同截面上的應(yīng)力情況1)代表一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)；2．研究應(yīng)力狀態(tài)的目的找出該點(diǎn)的最大正應(yīng)力和切應(yīng)力數(shù)值及所在截面的方位，以便研究構(gòu)件破壞原因并進(jìn)行失效分析。二、研究應(yīng)力狀態(tài)的方法——單元體法1．單元體圍繞構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)截取的微小正六面體。具有以下特點(diǎn)：2)每個(gè)面上的應(yīng)力均布，應(yīng)力正負(fù)用箭頭方向表示；3)平行面上的應(yīng)力大小相同、方向相反；4)三個(gè)相互垂直面上的應(yīng)力已知。第2頁(yè)/共59頁(yè)1．一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)§7-1一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一、一點(diǎn)的應(yīng)力狀612．單元體上的應(yīng)力分量1)單元體上的應(yīng)力分量共有

九個(gè)，獨(dú)立分量有六個(gè)；2)應(yīng)力分量的角標(biāo)規(guī)定：xOzydzdxdyXYZOsysyszsztzytyztyztzytyxtyxtxytxysxsxtzxtxztzxtxz第一角標(biāo)表示應(yīng)力作用面，第二角標(biāo)表示應(yīng)力平行的軸；兩角標(biāo)相同時(shí)，只用一個(gè)角標(biāo)來(lái)表示。例如txy表示x面上平行于y軸的切應(yīng)力，sx表示x面上平行于x軸的正應(yīng)力；3)面的方位用其法線方向表示，例如x面表示法線平行于x軸的面；§7-1一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)第3頁(yè)/共59頁(yè)2．單元體上的應(yīng)力分量1)單元體上的應(yīng)力分量共有2)應(yīng)力分量624)切應(yīng)力互等定理：5)應(yīng)力矩陣：3．截取單元體的方法與原則1)在一點(diǎn)用與三個(gè)坐標(biāo)軸(笛卡爾坐標(biāo)和極坐標(biāo)，依問題和構(gòu)件形狀而定)垂直的平面截取，因其微小，看成微小正六面體；2)單元體各個(gè)面上的應(yīng)力已知或可求；3)幾種受力情況下截取單元體方法：§7-1一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)第4頁(yè)/共59頁(yè)4)切應(yīng)力互等定理：5)應(yīng)力矩陣：3．截取單元體的方法與原則63FMeMeFFMeMe橫截面、周向面、直徑面各一對(duì)，從上表面截取Ctss橫截面、周向面、直徑面各一對(duì)B一對(duì)橫截面，兩對(duì)縱截面As=F/Ast=Me

/WpABC§7-1一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)第5頁(yè)/共59頁(yè)FMeMeFFMeMe橫截面、周向面、直徑面各一對(duì)，從上表面64BCAFCABtBtCsCsCsAsA§7-1一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)第6頁(yè)/共59頁(yè)BCAFCABtBtCsCsCsAsA§7-1一點(diǎn)的應(yīng)力651．主應(yīng)力、主單元體、主平面的概念三、應(yīng)力狀態(tài)的分類(按主應(yīng)力)1)主平面：?jiǎn)卧w上切應(yīng)力為零的平面2)主單元體：各面均為主平面的單元體，主單元體上有三對(duì)主平面；旋轉(zhuǎn)y'x'z's2s3s1sxsztxytxztzxtzytyztyxsy3)主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力，用s1、s2、s3表示，且s1≥s2≥s3。xyz(找主平面、主單元體和主應(yīng)力)§7-1一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)第7頁(yè)/共59頁(yè)1．主應(yīng)力、主單元體、主平面的概念三、應(yīng)力狀態(tài)的分類(按主應(yīng)662．應(yīng)力狀態(tài)按主應(yīng)力分類1)單向應(yīng)力狀態(tài)：只有一個(gè)主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)；2)平面應(yīng)力狀態(tài)：有二個(gè)主應(yīng)力為零的應(yīng)力狀態(tài)，也稱為二向應(yīng)力狀態(tài)；3)三向應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力均不為零的應(yīng)力狀態(tài)，也稱為空間應(yīng)力狀態(tài)；4)單向應(yīng)力狀態(tài)又稱為簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)；平面和空間應(yīng)力狀態(tài)又稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。4)圍繞一點(diǎn)至少存在一個(gè)主單元體，應(yīng)力分析的主要目的就是尋找主單元體和主應(yīng)力?！?-1一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)第8頁(yè)/共59頁(yè)2．應(yīng)力狀態(tài)按主應(yīng)力分類1)單向應(yīng)力狀態(tài)：只有一個(gè)主應(yīng)力不為67§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析1．平面應(yīng)力狀態(tài)的表示方法(一般表現(xiàn)形式)一、平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法平面應(yīng)力狀態(tài)一般表現(xiàn)為：?jiǎn)卧w上有一對(duì)側(cè)面應(yīng)力為零，而其它四個(gè)側(cè)面上應(yīng)力都平行于應(yīng)力為零的側(cè)面。sxtxysysysxtyxsytyxtxysxsx第9頁(yè)/共59頁(yè)§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析1．平面應(yīng)力狀態(tài)的表示方法(一般682．任意a角斜截面以及與之相垂直斜截面上的應(yīng)力1)公式推導(dǎo)sxtxysysysxtyxABxydAsxtxytyxsyxxax'y'asx'tx'y'txysytyxsx'sxsxtxytyxsyyx'y'aaty'x'sy'§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第10頁(yè)/共59頁(yè)2．任意a角斜截面以及與之相垂直斜截面上的應(yīng)力1)公式推導(dǎo)s692)a角斜截面應(yīng)力公式由三角變換得3)a與a+90o斜截面應(yīng)力公式的矩陣表達(dá)式§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第11頁(yè)/共59頁(yè)2)a角斜截面應(yīng)力公式由三角變換得3)a與a+90o斜截70坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣x'y'axx'ayx'axy'ayy'xyOsxtxytyxsyxxx'y'asx'tx'y'單元體上所繪s、t，數(shù)值代表大小，箭頭方向代表正負(fù)。4)推導(dǎo)公式時(shí)，sx、sy、txy、a

角均假設(shè)為正，實(shí)際計(jì)算時(shí)應(yīng)代入各參量的正負(fù)。s：拉為正，壓為負(fù)；a

：以x軸正向?yàn)槠鹁€，逆時(shí)針轉(zhuǎn)至x'正向者為正，反之為負(fù)；t：使微元產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)者為正；反之為負(fù)。§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第12頁(yè)/共59頁(yè)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣x'y'axx'ayx'axy'ayy'xyOs713．主應(yīng)力及其方位1)由主平面定義：，得：可求出兩個(gè)相差90o的a0值，對(duì)應(yīng)兩個(gè)互相垂直主平面。2)即主平面上的正應(yīng)力取得所有方向正應(yīng)力的極值。3)主應(yīng)力大?。?)由s'、s"、0按代數(shù)值大小排序得出：§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第13頁(yè)/共59頁(yè)3．主應(yīng)力及其方位1)由主平面定義：，得：可求出兩個(gè)相差90725)判斷s'、s"作用方位(與兩個(gè)a0如何對(duì)應(yīng))txys's"a0*a)由：求得一個(gè)a0：b)txy箭頭指向第幾象限(一、四)，則s'(較大主應(yīng)力)

在第幾象限，即先判斷s’

大致方位，再判斷其與算得的a0相對(duì)應(yīng)，還是與

a0+90o相對(duì)應(yīng)。6)txys"s'a0*§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第14頁(yè)/共59頁(yè)5)判斷s'、s"作用方位(與兩個(gè)a0如何對(duì)應(yīng))txys'731)4．極值切應(yīng)力2)極值切應(yīng)力：可求出兩個(gè)相差90o的a1值，對(duì)應(yīng)兩個(gè)互相垂直的極值切應(yīng)力方位。3)極值切應(yīng)力方位與主應(yīng)力方位的關(guān)系：極值切應(yīng)力平面與主平面成45o§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第15頁(yè)/共59頁(yè)1)4．極值切應(yīng)力2)極值切應(yīng)力：可求出兩個(gè)相差90o的a174例7-1圖示單元體，試求：①a=30o斜截面上的應(yīng)力；②主應(yīng)力并畫出主單元體；③極值切應(yīng)力。403020單位：MPaasata402030解：1)a=30o斜截面上的應(yīng)力2)主應(yīng)力與主單元體3)極值切應(yīng)力4)討論并證明：同一單元體任意垂直平面上的正應(yīng)力之和為常數(shù)。14.9os"s's"s

'§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第16頁(yè)/共59頁(yè)例7-1圖示單元體，試求：①a=30o斜截面上4030275tABCD例7-2分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)。MeMeDCBA3)圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，任意點(diǎn)為純剪切應(yīng)力狀態(tài)，最大拉、壓應(yīng)力在與軸線成45o

斜截面上，它們數(shù)值相等，均等于橫截面上的切應(yīng)力；4)對(duì)于塑性材料(如低碳鋼)抗剪能力差，扭轉(zhuǎn)破壞時(shí)，通常是橫截面上的最大切應(yīng)力使圓軸沿橫截面剪斷；5)對(duì)于脆性材料(如鑄鐵、粉筆)抗拉性能差，扭轉(zhuǎn)破壞時(shí)，通常沿與軸線成45o的螺旋面拉斷。x45o-45os3s1s1s3解：1)圍繞圓軸外表面一點(diǎn)取單元體ABCD：2)求主應(yīng)力和主單元體§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第17頁(yè)/共59頁(yè)tABCD例7-2分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)。MeMeDC76q5．主應(yīng)力跡線§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析1)作法將一點(diǎn)的主拉(壓)應(yīng)力方向延長(zhǎng)與相鄰橫截面相交，再求出交點(diǎn)的主拉(壓)應(yīng)力方向，依次得到一條曲線——主拉(壓)應(yīng)力跡線。2)主應(yīng)力跡線的特征

同一類主應(yīng)力跡線不能相交；兩類主應(yīng)力跡線若相交，則必然正交；所有主應(yīng)力跡線與軸線相交的夾角均為45o；所有主應(yīng)力跡線與梁的上或下邊緣垂直相交；主應(yīng)力跡線只反映主應(yīng)力方向，不反映大小。第18頁(yè)/共59頁(yè)q5．主應(yīng)力跡線§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析1)作法將一點(diǎn)的771．理論依據(jù)二、平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法——應(yīng)力圓以s、t為坐標(biāo)軸，則任意a斜截面上的應(yīng)力sa、ta為§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第19頁(yè)/共59頁(yè)1．理論依據(jù)二、平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法——應(yīng)力圓以s、t為78Ost2．應(yīng)力圓的繪制sxsxtxytyxtxytyxsysyxyC2a0B1

s"A1s'2a(sa,ta)EG1t'G2t"D'(sy,tyx)BAD(sx,

txy)nasata1)選定坐標(biāo)及比例尺；2)取x面的兩個(gè)應(yīng)力值，定出D(sx,txy)點(diǎn)，取y面的兩個(gè)應(yīng)力值，定出D'(sy,tyx)點(diǎn)；3)連DD‘交s軸于C點(diǎn)，以C為圓心，DD’為直徑作圓。§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第20頁(yè)/共59頁(yè)Ost2．應(yīng)力圓的繪制sxsxtxytyxtxytyxsys793．應(yīng)力圓的應(yīng)用1)點(diǎn)面對(duì)應(yīng)關(guān)系：2)角度對(duì)應(yīng)關(guān)系：

應(yīng)力圓上一點(diǎn)坐標(biāo)代表單元體某個(gè)面上的應(yīng)力；

應(yīng)力圓上半徑轉(zhuǎn)過2a，單元體上的面轉(zhuǎn)過a；3)轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)關(guān)系：

應(yīng)力圓上半徑的轉(zhuǎn)向與單元體上面的旋向相同；OstC2a(sa,ta)ED'(sy,tyx)BAD(sx,

txy)xsxsxtxytyxtxytyxsysyynasata4)求外法線與x軸夾角為a斜截面上的應(yīng)力，只要以D為起點(diǎn)，按a轉(zhuǎn)動(dòng)方向同向轉(zhuǎn)過2a到E點(diǎn)，E點(diǎn)坐標(biāo)即為所求應(yīng)力值。§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第21頁(yè)/共59頁(yè)3．應(yīng)力圓的應(yīng)用1)點(diǎn)面對(duì)應(yīng)關(guān)系：2)角度對(duì)應(yīng)關(guān)系：805)應(yīng)力圓確定主平面、主應(yīng)力應(yīng)力圓上縱軸坐標(biāo)最大的G1點(diǎn)為t'，縱軸坐標(biāo)最小的G2點(diǎn)為t"，作用面確定方法同主應(yīng)力。由主平面上切應(yīng)力t=0，確定D轉(zhuǎn)過的角度；D轉(zhuǎn)至s軸正向A1點(diǎn)代表s'所在主平面，其轉(zhuǎn)過角度為2a0*，轉(zhuǎn)至s軸負(fù)向B1點(diǎn)代表s"所在主平面；OstC2a0*B1

s"A1s'G1t'G2t"D'(sy,tyx)BAD(sx,

txy)sxsxtxytyxtxytyxsysy6)確定極值切應(yīng)力及其作用面§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第22頁(yè)/共59頁(yè)5)應(yīng)力圓確定主平面、主應(yīng)力應(yīng)力圓上縱軸坐標(biāo)最大的G1點(diǎn)為t814)作應(yīng)力圓，并由幾何關(guān)系算出或由比例尺量出：60o解：一、圖解法1)由豎直面BE上的應(yīng)力得到應(yīng)力圓上的D點(diǎn)：sOt17.34080D120oD'lC2)由AB面上的正應(yīng)力作直線s：例7-3平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，試用應(yīng)力圓和解析法分別求出主應(yīng)力和斜截面AB上的切應(yīng)力t。(應(yīng)力單位：MPa)B5080A5080tt60oE則應(yīng)力圓上代表AB面應(yīng)力的點(diǎn)一定在該直線上3)作直線l，使其滿足：與s軸正向逆時(shí)針夾角120o，交直線s于D'，交s軸于C，|CD'|=|CD|50s§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第23頁(yè)/共59頁(yè)4)作應(yīng)力圓，并由幾何關(guān)系算出或由60o解：一、圖解法1)由82解：二、解析法1)建立坐標(biāo)系2)截取微塊ABC60oB5080A5080ttE由于AC面為主平面，其上切應(yīng)力為零，則根據(jù)切應(yīng)力互等定理BC面上切應(yīng)力也為零，只有主應(yīng)力sy。3)將AB看成斜截面，求解其上應(yīng)力xy8060o50tsyBAC§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第24頁(yè)/共59頁(yè)解：二、解析法1)建立坐標(biāo)系2)截取微塊ABC60oB50883例7-4圖示單元體，試求：①a=30o斜截面上的應(yīng)力；②主應(yīng)力并畫出主單元體；③極值切應(yīng)力。403020單位：MPaasata解：1)a=30o斜截面上的應(yīng)力2)主應(yīng)力并畫出主單元體sOtD(30,-20)D'(-40,20)C60o(29.8,20.3)35.3-45.329.8o40203014.9os"s's"s

'3)極值切應(yīng)力：40.3-40.3§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第25頁(yè)/共59頁(yè)例7-4圖示單元體，試求：①a=30o斜截面上4030284三、幾種應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓1．單向拉伸和壓縮應(yīng)力狀態(tài)1)單向拉伸ss2)單向壓縮ssOstCsDD'C'sEE'圓心C：(s/2,0)D(s/2,s/2)D'(s/2,-s/2)極值切應(yīng)力點(diǎn)：主應(yīng)力：圓心C'：(-s/2,0)E(-s/2,s/2)E'(-s/2,-s/2)極值切應(yīng)力點(diǎn)：主應(yīng)力：§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第26頁(yè)/共59頁(yè)三、幾種應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓1．單向拉伸和壓縮應(yīng)力狀態(tài)1)單向拉852．純剪切應(yīng)力狀態(tài)OstttttC圓心C：(0,0)D(0,t)D'(0,-t)極值切應(yīng)力點(diǎn)：主應(yīng)力：DD'§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第27頁(yè)/共59頁(yè)2．純剪切應(yīng)力狀態(tài)OstttttC圓心C：(0,0)D(0,86pppp3．兩向均勻壓(拉)應(yīng)力狀態(tài)Ostssss主應(yīng)力：Cs兩向均勻壓(拉)應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓為s軸上的一點(diǎn)。因此其任意方向均為主應(yīng)力方向，任意平面均為主平面ppp任意形狀平面，只要邊界各點(diǎn)承受大小相同垂直作用于邊界的力，則其內(nèi)部任意一點(diǎn)均為兩向均勻壓(拉)應(yīng)力狀態(tài)，同樣對(duì)于三維構(gòu)件(如圓球)，就為三向均勻壓(拉)應(yīng)力狀態(tài)。§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析第28頁(yè)/共59頁(yè)pppp3．兩向均勻壓(拉)應(yīng)力狀態(tài)Ostssss主應(yīng)力：C87§7-3三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力1．三向面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力圓一、三向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力圓s3s2s1s2s3s1s2s1s3OtsC2s3C1C3s1s21)平行s3斜截面上應(yīng)力由s1、

s2作出應(yīng)力圓上的點(diǎn)確定；2)平行s1斜截面上應(yīng)力由s2、

s3作出應(yīng)力圓上的點(diǎn)確定；3)平行s2斜截面上應(yīng)力由s1、

s3作出應(yīng)力圓上的點(diǎn)確定；第29頁(yè)/共59頁(yè)§7-3三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力1．三向面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)88t23OtsC2s3C1C3s1s2t13t122．三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大切應(yīng)力4)由彈性力學(xué)知，任意斜截面上的應(yīng)力點(diǎn)落在陰影區(qū)內(nèi)。tmax所在平面與s1和s3兩個(gè)主平面夾角為45o?！?-3三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力第30頁(yè)/共59頁(yè)t23OtsC2s3C1C3s1s2t13t122．三向應(yīng)力891．三向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力轉(zhuǎn)換二、三向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力轉(zhuǎn)換及主應(yīng)力1)[sij]、[sij']分別是老、新坐標(biāo)系下的應(yīng)力矩陣；2)[l]為新老坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣：cos-1l11cos-1l12cos-1l13Ox1x2x3x3'x2'x1'lij為新坐標(biāo)i對(duì)老坐標(biāo)j的方向余弦3)任意斜截面上的應(yīng)力：l1j為斜截面外法線對(duì)老坐標(biāo)j的方向余弦§7-3三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力第31頁(yè)/共59頁(yè)1．三向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力轉(zhuǎn)換二、三向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力轉(zhuǎn)換及主應(yīng)力902．三向應(yīng)力狀態(tài)下的主應(yīng)力和主軸方向1)研究方法2)主應(yīng)力大小和方向求解線性代數(shù)中求實(shí)對(duì)稱矩陣特征值和特征向量。特征值即為所求主應(yīng)力，特征向量即為主應(yīng)力所在方位；a的三個(gè)實(shí)根，即為應(yīng)力矩陣sij的三個(gè)主應(yīng)力，求出a后可求出三個(gè)特征向量，即為各主應(yīng)力所對(duì)應(yīng)的方位。§7-3三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力第32頁(yè)/共59頁(yè)2．三向應(yīng)力狀態(tài)下的主應(yīng)力和主軸方向1)研究方法2)主應(yīng)力大91三、例題sy=140txy=150sx=300A視解法一：1)已知一個(gè)主應(yīng)力：sz=90MPa。2)將單元體沿z方向投影，得到平面應(yīng)力狀態(tài)：例7-5試確定圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力，并確定主平面和最大切應(yīng)力作用面位置。xzy90300150140單位：MPa根據(jù)txy方向，s1與x逆時(shí)針夾角為31o，s3與x軸夾角121o，均在xoy平面內(nèi)

最大切應(yīng)力所在平面法線與主平面夾角45o即與x軸夾角76o或-14o。xzys2y'31o31os1x's3A§7-3三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力第33頁(yè)/共59頁(yè)三、例題sy=140txy=150sx=300A視解法一：192解法二：1)應(yīng)力狀態(tài)的矩陣形式為：xzy90300150140單位：MPa2)求解主應(yīng)力：展開整理得：3)主應(yīng)力方向：s1=390MPa時(shí)有求解方程，并注意到得：同理，分別求出s2=90MPa、s3=50MPa時(shí)的n1、n2、n3，得到：4)最大切應(yīng)力及方向求解同解法一。轉(zhuǎn)換矩陣：§7-3三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力第34頁(yè)/共59頁(yè)解法二：1)應(yīng)力狀態(tài)的矩陣形式為：xzy903001501493BACO§7-4任意點(diǎn)的應(yīng)變及應(yīng)變分量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換1．平面應(yīng)變狀態(tài)：一、任意點(diǎn)的應(yīng)變z方向位移為零。應(yīng)變僅在x、y平面內(nèi)產(chǎn)生。假設(shè)直角增大為鈍角時(shí)的切應(yīng)變g為正uv0xydydxyxO'A'B'C'ba第35頁(yè)/共59頁(yè)BACO§7-4任意點(diǎn)的應(yīng)變及應(yīng)變分量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換1．平面942．推廣到三向應(yīng)變狀態(tài)定義切應(yīng)變分量：則任意點(diǎn)的應(yīng)變分量可寫成矩陣形式：二、應(yīng)變的坐標(biāo)變換[l]與前相同為空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣§7-4任意點(diǎn)的應(yīng)變及應(yīng)變分量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換第36頁(yè)/共59頁(yè)2．推廣到三向應(yīng)變狀態(tài)定義切應(yīng)變分量：則任意點(diǎn)的應(yīng)變分量可寫95§7-5平面應(yīng)變狀態(tài)分析1．研究問題：一、平面應(yīng)變分析

平面應(yīng)變狀態(tài)下，物體內(nèi)任一點(diǎn)O的應(yīng)變分量為ex、ey、gxy，其余應(yīng)變?nèi)珵榱?，求該點(diǎn)在xy平面內(nèi)任意方向的應(yīng)變ex'、ey'、gx'y'。2．任意方向應(yīng)變1)平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣：代入：2)展開得第37頁(yè)/共59頁(yè)§7-5平面應(yīng)變狀態(tài)分析1．研究問題：一、平面應(yīng)變分析963)分別用ea和ga表示上式中的ex'和gx'y'=-2ex'y'，并進(jìn)行三角函數(shù)化簡(jiǎn)，得到2．主應(yīng)變與主應(yīng)變方向1)主應(yīng)變方向：由于相似性，可完全借用平面應(yīng)力分析的結(jié)論。2)主應(yīng)變大?。骸?-5平面應(yīng)變狀態(tài)分析第38頁(yè)/共59頁(yè)3)分別用ea和ga表示上式中的ex'和gx'y'=-2ex97二、應(yīng)用舉例1．因切應(yīng)變gxy不宜測(cè)量，用應(yīng)變儀直接測(cè)量應(yīng)變時(shí)，一般先測(cè)出在三個(gè)a1、a2、a3方向上的線應(yīng)變ea1、

ea2、ea3，再求得ex、ey、gxy進(jìn)行計(jì)算。2．工程實(shí)測(cè)中a1、a2、a3取為便于計(jì)算的值。例如使三個(gè)應(yīng)變片的方向分別為a1=0o，a2＝45o，a3=90o，就得到了45o—3直角應(yīng)變花?！?-5平面應(yīng)變狀態(tài)分析第39頁(yè)/共59頁(yè)二、應(yīng)用舉例1．因切應(yīng)變gxy不宜測(cè)量，用應(yīng)變儀直接測(cè)量應(yīng)變98例7-6用45o—3直角應(yīng)變花測(cè)得一點(diǎn)處的三個(gè)線應(yīng)變?yōu)閑0=-300m，

e45=-200m，e90=200m，試求主應(yīng)變及其方向。y45o45oe0e90xOe45解：1)求ex、ey、gxy令a1=0o，a2＝45o，a3=90o：解得：2)求主應(yīng)變及其方向因ex<ey，故最大線應(yīng)變?cè)?05o30'方向上。§7-5平面應(yīng)變狀態(tài)分析第40頁(yè)/共59頁(yè)例7-6用45o—3直角應(yīng)變花測(cè)得一點(diǎn)處的三個(gè)線應(yīng)變?yōu)閑99§7-5平面應(yīng)變狀態(tài)分析3．應(yīng)變測(cè)量實(shí)例中科院等離子體所HT-7U支撐試驗(yàn)臺(tái)第41頁(yè)/共59頁(yè)§7-5平面應(yīng)變狀態(tài)分析3．應(yīng)變測(cè)量實(shí)例中科院等離子體所100§7-5平面應(yīng)變狀態(tài)分析HT-7U支撐的應(yīng)變測(cè)量第42頁(yè)/共59頁(yè)§7-5平面應(yīng)變狀態(tài)分析HT-7U支撐的應(yīng)變測(cè)量第42頁(yè)101§7-5平面應(yīng)變狀態(tài)分析HT-7U波紋管的應(yīng)變測(cè)量第43頁(yè)/共59頁(yè)§7-5平面應(yīng)變狀態(tài)分析HT-7U波紋管的應(yīng)變測(cè)量第43102§7-5平面應(yīng)變狀態(tài)分析應(yīng)變測(cè)量?jī)x器——7V13數(shù)據(jù)采集儀第44頁(yè)/共59頁(yè)§7-5平面應(yīng)變狀態(tài)分析應(yīng)變測(cè)量?jī)x器——7V13數(shù)據(jù)采集103§7-6廣義胡克定律一、廣義胡克定律1)主應(yīng)變：1．有關(guān)概念2)正應(yīng)力只引起線應(yīng)變，切應(yīng)力只引起切應(yīng)變；沿主應(yīng)力方向的應(yīng)變，分別用e1≥e2≥e3表示；2．廣義胡克定律2)推導(dǎo)方法：利用