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文檔簡介
2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖所示的“數(shù)字塔”有以下規(guī)律:每一層最左與最右的數(shù)字均為2,除此之外每個(gè)數(shù)字均為其兩肩的數(shù)字之積,則該“數(shù)字塔”前10層的所有數(shù)字之積最接近()A. B. C. D.2.已知橢圓的中心為原點(diǎn),為的左焦點(diǎn),為上一點(diǎn),滿足且,則橢圓的方程為()A. B. C. D.3.已知(),i為虛數(shù)單位,則()A. B.3 C.1 D.54.已知集合,,,則()A. B. C. D.5.的展開式中,含項(xiàng)的系數(shù)為()A. B. C. D.6.點(diǎn)在曲線上,過作軸垂線,設(shè)與曲線交于點(diǎn),,且點(diǎn)的縱坐標(biāo)始終為0,則稱點(diǎn)為曲線上的“水平黃金點(diǎn)”,則曲線上的“水平黃金點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.37.已知斜率為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn),若為線段中點(diǎn)且(為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線的離心率為()A. B.3 C. D.8.中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅督造的一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升,其三視圖如圖所示(單位:寸),若取3,當(dāng)該量器口密閉時(shí)其表面積為42.2(平方寸),則圖中x的值為()A.3 B.3.4 C.3.8 D.49.若函數(shù)在處取得極值2,則()A.-3 B.3 C.-2 D.210.設(shè)全集集合,則()A. B. C. D.11.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,設(shè),則數(shù)列的前項(xiàng)和取最大值時(shí)的值為()A.2020 B.20l9 C.2018 D.201712.在中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,D是AB的中點(diǎn),若,且,則面積的最大值是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則的共軛復(fù)數(shù)是_____,_____.14.展開式中的系數(shù)為_________.(用數(shù)字做答)15.若橢圓:的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為,則的長軸長為_______.16.在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)求直線和曲線的普通方程;(2)設(shè)為曲線上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)到直線距離的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面四邊形(圖①)中,與均為直角三角形且有公共斜邊,設(shè),∠,∠,將沿折起,構(gòu)成如圖②所示的三棱錐,且使=.(1)求證:平面⊥平面;(2)求二面角的余弦值.18.(12分)已知的三個(gè)內(nèi)角所對的邊分別為,向量,,且.(1)求角的大?。唬?)若,求的值19.(12分)2019年是五四運(yùn)動(dòng)100周年.五四運(yùn)動(dòng)以來的100年,是中國青年一代又一代接續(xù)奮斗、凱歌前行的100年,是中口青年用青春之我創(chuàng)造青春之中國、青春之民族的100年.為繼承和發(fā)揚(yáng)五四精神在青年節(jié)到來之際,學(xué)校組織“五四運(yùn)動(dòng)100周年”知識(shí)競賽,競賽的一個(gè)環(huán)節(jié)由10道題目組成,其中6道A類題、4道B類題,參賽者需從10道題目中隨機(jī)抽取3道作答,現(xiàn)有甲同學(xué)參加該環(huán)節(jié)的比賽.(1)求甲同學(xué)至少抽到2道B類題的概率;(2)若甲同學(xué)答對每道A類題的概率都是,答對每道B類題的概率都是,且各題答對與否相互獨(dú)立.現(xiàn)已知甲同學(xué)恰好抽中2道A類題和1道B類題,用X表示甲同學(xué)答對題目的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.20.(12分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù).(1)設(shè),求不等式的解集;(2)已知,且的最小值等于,求實(shí)數(shù)的值.21.(12分)如圖所示,在四面體中,,平面平面,,且.(1)證明:平面;(2)設(shè)為棱的中點(diǎn),當(dāng)四面體的體積取得最大值時(shí),求二面角的余弦值.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn),為定點(diǎn),點(diǎn)為的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,且,設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)過點(diǎn)的直線交曲線于,兩點(diǎn),為曲線上異于,的任意一點(diǎn),直線,分別交直線于,兩點(diǎn).問是否為定值?若是,求的值;若不是,請說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】
結(jié)合所給數(shù)字特征,我們可將每層數(shù)字表示成2的指數(shù)的形式,觀察可知,每層指數(shù)的和成等比數(shù)列分布,結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和公式和對數(shù)恒等式即可求解【詳解】如圖,將數(shù)字塔中的數(shù)寫成指數(shù)形式,可發(fā)現(xiàn)其指數(shù)恰好構(gòu)成“楊輝三角”,前10層的指數(shù)之和為,所以原數(shù)字塔中前10層所有數(shù)字之積為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查與“楊輝三角”有關(guān)的規(guī)律求解問題,邏輯推理,等比數(shù)列前項(xiàng)和公式應(yīng)用,屬于中檔題2.B【解析】由題意可得c=,設(shè)右焦點(diǎn)為F′,由|OP|=|OF|=|OF′|知,∠PFF′=∠FPO,∠OF′P=∠OPF′,所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′,由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知,∠FPO+∠OPF′=90°,即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中,由勾股定理,得|PF′|=,由橢圓定義,得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12,從而a=6,得a2=36,于是b2=a2﹣c2=36﹣=16,所以橢圓的方程為.故選B.點(diǎn)睛:橢圓的定義:到兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡,當(dāng)和大于兩定點(diǎn)間的距離時(shí),軌跡是橢圓,當(dāng)和等于兩定點(diǎn)間的距離時(shí),軌跡是線段(兩定點(diǎn)間的連線段),當(dāng)和小于兩定點(diǎn)間的距離時(shí),軌跡不存在.3.C【解析】
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡得答案.【詳解】由,得,解得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算,是基礎(chǔ)題.4.A【解析】
求得集合中函數(shù)的值域,由此求得,進(jìn)而求得.【詳解】由,得,所以,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)值域的求法,考查集合補(bǔ)集、交集的概念和運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.5.B【解析】
在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中,令的冪指數(shù)等于,求出的值,即可求得含項(xiàng)的系數(shù).【詳解】的展開式通項(xiàng)為,令,得,可得含項(xiàng)的系數(shù)為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.6.C【解析】
設(shè),則,則,即可得,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)判斷的零點(diǎn)的個(gè)數(shù),即為所求.【詳解】設(shè),則,所以,依題意可得,設(shè),則,當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞增,所以,且,有兩個(gè)不同的解,所以曲線上的“水平黃金點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為2.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)處理零點(diǎn)問題,考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用.7.B【解析】
設(shè),代入雙曲線方程相減可得到直線的斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,從而得到的等式,求出離心率.【詳解】,設(shè),則,兩式相減得,∴,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題方法是點(diǎn)差法,即出現(xiàn)雙曲線的弦中點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),可設(shè)弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程相減后得出弦所在直線斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系.8.D【解析】
根據(jù)三視圖即可求得幾何體表面積,即可解得未知數(shù).【詳解】由圖可知,該幾何體是由一個(gè)長寬高分別為和一個(gè)底面半徑為,高為的圓柱組合而成.該幾何體的表面積為,解得,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖還原幾何體,以及圓柱和長方體表面積的求解,屬綜合基礎(chǔ)題.9.A【解析】
對函數(shù)求導(dǎo),可得,即可求出,進(jìn)而可求出答案.【詳解】因?yàn)?所以,則,解得,則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.10.A【解析】
先求出,再與集合N求交集.【詳解】由已知,,又,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的基本運(yùn)算,涉及到補(bǔ)集、交集運(yùn)算,是一道容易題.11.B【解析】
根據(jù)題意計(jì)算,,,計(jì)算,,,得到答案.【詳解】是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,故,,,,故,當(dāng)時(shí),,,,,當(dāng)時(shí),,故前項(xiàng)和最大.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列和的最值問題,意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.12.A【解析】
根據(jù)正弦定理可得,求出,根據(jù)平方關(guān)系求出.由兩端平方,求的最大值,根據(jù)三角形面積公式,求出面積的最大值.【詳解】中,,由正弦定理可得,整理得,由余弦定理,得.D是AB的中點(diǎn),且,,即,即,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.的面積,所以面積的最大值為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查正、余弦定理、不等式、三角形面積公式和向量的數(shù)量積運(yùn)算,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
直接利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡,從而得到復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)和的模.【詳解】,則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為,且.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)的計(jì)算題.14.210【解析】
轉(zhuǎn)化,只有中含有,即得解.【詳解】只有中含有,其中的系數(shù)為故答案為:210【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)的求解,考查了學(xué)生概念理解,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.15.【解析】
由焦點(diǎn)坐標(biāo)得從而可求出,繼而得到橢圓的方程,即可求出長軸長.【詳解】解:因?yàn)橐粋€(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為,則,即,解得或由表示的是橢圓,則,所以,則橢圓方程為所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查了橢圓的幾何意義.本題的易錯(cuò)點(diǎn)是忽略,從而未對的兩個(gè)值進(jìn)行取舍.16.(1),;(2),.【解析】
(1)利用代入消參的方法即可將兩個(gè)參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程;(2)利用參數(shù)方程,結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式,將問題轉(zhuǎn)化為求解二次函數(shù)最值的問題,即可求得.【詳解】(1)直線的普通方程為.在曲線的參數(shù)方程中,,所以曲線的普通方程為.(2)設(shè)點(diǎn).點(diǎn)到直線的距離.當(dāng)時(shí),,所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為.此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程,以及利用參數(shù)方程求距離的最值問題,屬中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)證明見解析;(2)【解析】
(1)取AB的中點(diǎn)O,連接,證得,從而證得C′O⊥平面ABD,再結(jié)合面面垂直的判定定理,即可證得平面⊥平面;(2)以O(shè)為原點(diǎn),AB,OC所在的直線為y軸,z軸,建立的空間直角坐標(biāo)系,求得平面和平面的法向量,利用向量的夾角公式,即可求解.【詳解】(1)取AB的中點(diǎn)O,連接,,在Rt△和Rt△ADB中,AB=2,則=DO=1,又C′D=,所以,即⊥OD,又⊥AB,且AB∩OD=O,平面ABD,所以⊥平面ABD,又C′O?平面,所以平面⊥平面DAB(2)以O(shè)為原點(diǎn),AB,OC所在的直線為y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-1,0),B(0,1,0),C′(0,0,1),,所以,,,設(shè)平面的法向量為=(),則,即,代入坐標(biāo)得,令,得,,所以,設(shè)平面的法向量為=(),則,即,代入坐標(biāo)得,令,得,,所以,所以,所以二面角A-C′D-B的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的判定與證明,以及空間角的求解問題,意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力,解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理,通過嚴(yán)密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵,同時(shí)對于立體幾何中角的計(jì)算問題,往往可以利用空間向量法,通過求解平面的法向量,利用向量的夾角公式求解.18.(1)(2)【解析】
利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二倍角的余弦公式得到關(guān)于的方程,解方程即可求解;由知,在中利用余弦定理得到關(guān)于的方程,與方程聯(lián)立求出,進(jìn)而求出,利用兩角差的正弦公式求解即可.【詳解】由題意得,,由二倍角的余弦公式可得,,又因?yàn)椋?,解得或,∵,?在中,由余弦定理得,即①又因?yàn)?把代入①整理得,,解得,,所以為等邊三角形,,∴,即.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和余弦定理及二倍角的余弦公式解三角形;熟練掌握余弦的二倍角公式和余弦定理是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.19.(1);(2)分布列見解析,期望為.【解析】
(1)甲同學(xué)至少抽到2道B類題包含兩個(gè)事件:一個(gè)抽到2道B類題,一個(gè)是抽到3個(gè)B類題,計(jì)算出抽法數(shù)后可求得概率;(2)的所有可能值分別為,依次計(jì)算概率得分布列,再由期望公式計(jì)算期望.【詳解】(1)令“甲同學(xué)至少抽到2道B類題”為事件,則抽到2道類題有種取法,抽到3道類題有種取法,∴;(2)的所有可能值分別為,,,,,∴的分布列為:0123【點(diǎn)睛】本題考查古典概型,考查隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.解題關(guān)鍵是掌握相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式.20.(1)(2)【解析】
(1)把f(x)去絕對值寫成分段函數(shù)的形式,分類討論,分別求得解集,綜合可得結(jié)論.(2)把f(x)去絕對值寫成分段函數(shù),畫出f(x)的圖像,找出利用條件求得a的值.【詳解】(1)時(shí),.當(dāng)時(shí),即為,解得.當(dāng)時(shí),,解得.當(dāng)時(shí),,解得.綜上,的解集為.(2).,由的圖象知,,.【點(diǎn)睛】本題主要考查含絕對值不等式的解法及含絕對值的函數(shù)的最值問題,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題21.(1)見證明;(2)【解析】
(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面,從而得到,利用勾股定理得到,利用線面垂直的判定定理證得平面;(2)設(shè),利用椎體的體積公式求得,利用導(dǎo)數(shù)
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