材料力學(xué) 第15章 能量法課件

第十五章能量法15.1引言15.3莫爾定理15.2桿件彈性變形能第十五章能量法15.1引言15.3莫爾定理151一、概念3.功能關(guān)系：忽略緩慢加載過程中動能和其它形式的能量損失，桿件能量守恒，即桿內(nèi)所儲存的應(yīng)變能Vε在數(shù)量上與外力所作的功W相等。

Vε＝W2.應(yīng)變能:彈性體在外力作用下產(chǎn)生變形而儲存的能量，稱為應(yīng)變能或變形能，用Vε表式。1.能量法:利用功、能關(guān)系求解變形固體位移、變形和內(nèi)力等的方法。15.1引言一、概念3.功能關(guān)系：忽略緩慢加載過程中動能和其它形式的能2

作用在彈性桿件上的力，其加力點的位移，隨著桿件受力和變形的增加而增加，在這種情形下，力所作的功為變力功。

對于材料滿足胡克定律、又在小變形條件下工作的彈性桿件，作用在桿件上的力與位移成線性關(guān)系。

這時，力所作的變力功為

FΔOΔF0一、線彈性體上的外力作功F15.2桿件彈性變形能作用在彈性桿件上的力，其加力點的位移，隨著桿3

需要指出的是，上述功的表達式中，力和位移都是廣義的。F可以是一個力，也可以是一個力偶；F可以是一對力，也可以是一對力偶；當F是一個力時，對應(yīng)的位移Δ是線位移，當F是一個力偶時，對應(yīng)的位移Δ是角位移；當F是一對力時，對應(yīng)的位移Δ是相對線位移，當F是一對力偶時，對應(yīng)的位移Δ是相對角位移。

15.2桿件彈性變形能需要指出的是，上述功的表達式中，力和位移都是4二、桿件產(chǎn)生基本變形時的應(yīng)變能1、軸向拉伸或壓縮FllOllFF一般形式15.2桿件彈性變形能二、桿件產(chǎn)生基本變形時的應(yīng)變能1、軸向拉伸或壓縮FllO5（1）軸力分段為常量時

：單位體積內(nèi)的應(yīng)變能，又稱作比能。15.2桿件彈性變形能討論：（2）應(yīng)變能密度vε

（1）軸力分段為常量時：單位體積內(nèi)的應(yīng)變能，又稱作比能。162、圓截面桿的扭轉(zhuǎn)MelMeOMMe應(yīng)變能一般形式15.2桿件彈性變形能2、圓截面桿的扭轉(zhuǎn)MelMeOMMe應(yīng)變能一般形式1573、平面彎曲15.2桿件彈性變形能3、平面彎曲15.2桿件彈性變形能8應(yīng)變能：一般形式15.2桿件彈性變形能應(yīng)變能：一般形式15.2桿件彈性變形能915.2桿件彈性變形能4.應(yīng)變能的普遍表達式：

應(yīng)變能與加載次序無關(guān)；相互獨立的力（矢）引起的應(yīng)變能可以相互疊加。細長桿，剪力引起的應(yīng)變能可忽略不計。15.2桿件彈性變形能4.應(yīng)變能的普遍表達式：10三、關(guān)于應(yīng)變能計算的討論1.以上計算公式僅適用于線彈性材料在小變形下的應(yīng)變形能的計算。2.應(yīng)變能可以通過外力功計算，也可以通過桿件微段上的內(nèi)力功等于微段的應(yīng)變能，然后積分求得整個桿件上的應(yīng)變能。3.應(yīng)變能為內(nèi)力（或外力）的二次函數(shù)，故疊加原理在應(yīng)變能計算中一般不能使用。只有當桿件上任一載荷在其他載荷引起的位移上不做功時，應(yīng)變能才可疊加。例如：15.2桿件彈性變形能三、關(guān)于應(yīng)變能計算的討論1.以上計算公式僅適用于線彈性材114.應(yīng)變能是恒為正的標量，與坐標軸的選擇無關(guān)，在桿系結(jié)構(gòu)中，各桿可獨立選取坐標系。M(x)

—只產(chǎn)生彎曲轉(zhuǎn)角FN

(x)

—只產(chǎn)生軸向線位移T(x)—只產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)角不計FS

產(chǎn)生的應(yīng)變能15.2桿件彈性變形能4.應(yīng)變能是恒為正的標量，與坐標軸的選擇無關(guān)，在桿系結(jié)構(gòu)中1215.2桿件彈性變形能例15.1用能量法求C點的撓度。梁為等截面直梁。解：外力功等于應(yīng)變能在應(yīng)用對稱性，得：思考：可否用此法求C截面的轉(zhuǎn)角？CaaAFBw15.2桿件彈性變形能例15.1用能量法求C點的撓度13例15.2試計算圖示吊車架的應(yīng)變能，并應(yīng)用它求節(jié)點A的豎直位移。已知E=200GPa,F

=57.6kN。斜桿AB由兩根50505mm等邊角鋼組成，每根角鋼的橫截面面積，橫桿AC由兩根No.10槽鋼組成，每根槽鋼的橫截面面積。設(shè)各桿自重可以不計。F30°ACB2m15.2桿件彈性變形能例15.2試計算圖示吊車架的應(yīng)變能，并應(yīng)用它求節(jié)點AF3014解:FA由節(jié)點A的平衡條件求得AB桿的內(nèi)力：AC桿的內(nèi)力為：桿系的應(yīng)變能：設(shè)節(jié)點A的豎直位移為，則由得：15.2桿件彈性變形能AB桿的內(nèi)力為：解:FA由節(jié)點A的平衡條件求得AB桿的內(nèi)力：AC桿的內(nèi)力為：15例15.3圖示等截面懸臂梁，E,A,I

已知。在自由端受集中力F和集中力偶Me

作用。設(shè)材料是線彈性的，試計算梁的應(yīng)變能?？紤]兩種不同的加載次序，略去剪力的影響。解：(1)集中力F和集中力偶Me同時由零開始按比例逐漸增加至最終值。梁自由端的轉(zhuǎn)角為：(方向與Me一致)F

Mel自由端的垂直位移為：梁的應(yīng)變能15.2桿件彈性變形能例15.3圖示等截面懸臂梁，E,A,I已知。在自由端受16(2)先作用F,加載時做功為：再加力偶矩Me，外力所作的功為：梁的總應(yīng)變能：從這兩種不同的加載次序來看，梁的應(yīng)變能僅與載荷的始態(tài)和終態(tài)有關(guān)，而與加載次序無關(guān)。F

Mel15.2桿件彈性變形能(2)先作用F,加載時做功為：再加力偶矩Me，外力所作17(3)AB

梁的應(yīng)變能也可通過截面上的內(nèi)力來計算。代入應(yīng)變能的內(nèi)力表達式：彎矩方程：F

Mel15.2桿件彈性變形能(3)AB梁的應(yīng)變能也可通過截面上的內(nèi)力來計算。代入18從結(jié)果中可以看到：第一、三項分別為F和Me單獨作用時的應(yīng)變能，故F、Me同時作用在桿內(nèi)所引起的應(yīng)變能不等于各載荷單獨作用時所引起的應(yīng)變能之和。其原因是這兩個載荷都使梁產(chǎn)生了同一種彎曲變形，彼此都在對方引起的位移上做了功（結(jié)果中的第二項即代表F和Me共同作用時在相互影響下所做的功）。F

Mel15.2桿件彈性變形能從結(jié)果中可以看到：第一、三項分別為F和Me單獨作用時1915.3莫爾定理求任意點A的位移。一、定理的證明aA圖q(x)圖b

A=1圖c

A=1q(x)15.3莫爾定理求任意點A的位移。一、定理的證明aA圖2015.3莫爾定理

莫爾定理(單位力法)--梁上任一點A在外力作用下的撓度。M(x)--外載狀態(tài)下的彎矩方程。

--單位力狀態(tài)下的彎矩方程。二、定理的討論1.上式可以推廣到其它變形。拉壓變形，桁架，15.3莫爾定理莫爾定理(單位力法)--梁上2115.3莫爾定理組合變形扭轉(zhuǎn)變形

，2.Δ為廣義位移，所對應(yīng)的力為廣義力。3.計算結(jié)果為正，表示所求位移的方向與單位力的方向一致，反之則相反。三、使用莫爾定理的注意事項1.

所加廣義單位力與所求廣義位移之積，必須為功的量綱。15.3莫爾定理組合變形扭轉(zhuǎn)變形，2.Δ為廣義位2215.3莫爾定理3.莫爾積分必須遍及整個結(jié)構(gòu)。2.

與M(x)的坐標系必須一致，每段桿的坐標系可自由建立。例15.4

用能量法求C點的撓度和轉(zhuǎn)角。梁為等截面直梁。BAaaCqxBAaaCx解：①建立圖示單位力狀態(tài)②求內(nèi)力15.3莫爾定理3.莫爾積分必須遍及整個結(jié)構(gòu)。2.2315.3莫爾定理BAaaCqxBAaaCx③計算變形15.3莫爾定理BAaaCqxBAaaCx③計算變形2415.3莫爾定理④求轉(zhuǎn)角，建立圖示單位力狀態(tài)BAaaCqBAaaCx2x115.3莫爾定理④求轉(zhuǎn)角，建立圖示單位力狀態(tài)BAaa2515.3莫爾定理例15.4拐桿如圖，A處為一軸承，允許桿在軸承內(nèi)自由轉(zhuǎn)動，但不能上下移動，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B點的垂直位移。510

20300F=60NBx500Cx1A解：①建立圖示單位力狀態(tài)15.3莫爾定理例15.4拐桿如圖，A處為一軸承，2615.3莫爾定理510

20300F=60NBx500x1AC510

20300Bx500CA②計算內(nèi)力③計算變形15.3莫爾定理51020300F=60NBx500x2715.3莫爾定理15.3莫爾定理28再見再見29第十五章能量法15.1引言15.3莫爾定理15.2桿件彈性變形能第十五章能量法15.1引言15.3莫爾定理1530一、概念3.功能關(guān)系：忽略緩慢加載過程中動能和其它形式的能量損失，桿件能量守恒，即桿內(nèi)所儲存的應(yīng)變能Vε在數(shù)量上與外力所作的功W相等。

Vε＝W2.應(yīng)變能:彈性體在外力作用下產(chǎn)生變形而儲存的能量，稱為應(yīng)變能或變形能，用Vε表式。1.能量法:利用功、能關(guān)系求解變形固體位移、變形和內(nèi)力等的方法。15.1引言一、概念3.功能關(guān)系：忽略緩慢加載過程中動能和其它形式的能31

作用在彈性桿件上的力，其加力點的位移，隨著桿件受力和變形的增加而增加，在這種情形下，力所作的功為變力功。

對于材料滿足胡克定律、又在小變形條件下工作的彈性桿件，作用在桿件上的力與位移成線性關(guān)系。

這時，力所作的變力功為

FΔOΔF0一、線彈性體上的外力作功F15.2桿件彈性變形能作用在彈性桿件上的力，其加力點的位移，隨著桿32

需要指出的是，上述功的表達式中，力和位移都是廣義的。F可以是一個力，也可以是一個力偶；F可以是一對力，也可以是一對力偶；當F是一個力時，對應(yīng)的位移Δ是線位移，當F是一個力偶時，對應(yīng)的位移Δ是角位移；當F是一對力時，對應(yīng)的位移Δ是相對線位移，當F是一對力偶時，對應(yīng)的位移Δ是相對角位移。

15.2桿件彈性變形能需要指出的是，上述功的表達式中，力和位移都是33二、桿件產(chǎn)生基本變形時的應(yīng)變能1、軸向拉伸或壓縮FllOllFF一般形式15.2桿件彈性變形能二、桿件產(chǎn)生基本變形時的應(yīng)變能1、軸向拉伸或壓縮FllO34（1）軸力分段為常量時

：單位體積內(nèi)的應(yīng)變能，又稱作比能。15.2桿件彈性變形能討論：（2）應(yīng)變能密度vε

（1）軸力分段為常量時：單位體積內(nèi)的應(yīng)變能，又稱作比能。1352、圓截面桿的扭轉(zhuǎn)MelMeOMMe應(yīng)變能一般形式15.2桿件彈性變形能2、圓截面桿的扭轉(zhuǎn)MelMeOMMe應(yīng)變能一般形式15363、平面彎曲15.2桿件彈性變形能3、平面彎曲15.2桿件彈性變形能37應(yīng)變能：一般形式15.2桿件彈性變形能應(yīng)變能：一般形式15.2桿件彈性變形能3815.2桿件彈性變形能4.應(yīng)變能的普遍表達式：

應(yīng)變能與加載次序無關(guān)；相互獨立的力（矢）引起的應(yīng)變能可以相互疊加。細長桿，剪力引起的應(yīng)變能可忽略不計。15.2桿件彈性變形能4.應(yīng)變能的普遍表達式：39三、關(guān)于應(yīng)變能計算的討論1.以上計算公式僅適用于線彈性材料在小變形下的應(yīng)變形能的計算。2.應(yīng)變能可以通過外力功計算，也可以通過桿件微段上的內(nèi)力功等于微段的應(yīng)變能，然后積分求得整個桿件上的應(yīng)變能。3.應(yīng)變能為內(nèi)力（或外力）的二次函數(shù)，故疊加原理在應(yīng)變能計算中一般不能使用。只有當桿件上任一載荷在其他載荷引起的位移上不做功時，應(yīng)變能才可疊加。例如：15.2桿件彈性變形能三、關(guān)于應(yīng)變能計算的討論1.以上計算公式僅適用于線彈性材404.應(yīng)變能是恒為正的標量，與坐標軸的選擇無關(guān)，在桿系結(jié)構(gòu)中，各桿可獨立選取坐標系。M(x)

—只產(chǎn)生彎曲轉(zhuǎn)角FN

(x)

—只產(chǎn)生軸向線位移T(x)—只產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)角不計FS

產(chǎn)生的應(yīng)變能15.2桿件彈性變形能4.應(yīng)變能是恒為正的標量，與坐標軸的選擇無關(guān)，在桿系結(jié)構(gòu)中4115.2桿件彈性變形能例15.1用能量法求C點的撓度。梁為等截面直梁。解：外力功等于應(yīng)變能在應(yīng)用對稱性，得：思考：可否用此法求C截面的轉(zhuǎn)角？CaaAFBw15.2桿件彈性變形能例15.1用能量法求C點的撓度42例15.2試計算圖示吊車架的應(yīng)變能，并應(yīng)用它求節(jié)點A的豎直位移。已知E=200GPa,F

=57.6kN。斜桿AB由兩根50505mm等邊角鋼組成，每根角鋼的橫截面面積，橫桿AC由兩根No.10槽鋼組成，每根槽鋼的橫截面面積。設(shè)各桿自重可以不計。F30°ACB2m15.2桿件彈性變形能例15.2試計算圖示吊車架的應(yīng)變能，并應(yīng)用它求節(jié)點AF3043解:FA由節(jié)點A的平衡條件求得AB桿的內(nèi)力：AC桿的內(nèi)力為：桿系的應(yīng)變能：設(shè)節(jié)點A的豎直位移為，則由得：15.2桿件彈性變形能AB桿的內(nèi)力為：解:FA由節(jié)點A的平衡條件求得AB桿的內(nèi)力：AC桿的內(nèi)力為：44例15.3圖示等截面懸臂梁，E,A,I

已知。在自由端受集中力F和集中力偶Me

作用。設(shè)材料是線彈性的，試計算梁的應(yīng)變能?？紤]兩種不同的加載次序，略去剪力的影響。解：(1)集中力F和集中力偶Me同時由零開始按比例逐漸增加至最終值。梁自由端的轉(zhuǎn)角為：(方向與Me一致)F

Mel自由端的垂直位移為：梁的應(yīng)變能15.2桿件彈性變形能例15.3圖示等截面懸臂梁，E,A,I已知。在自由端受45(2)先作用F,加載時做功為：再加力偶矩Me，外力所作的功為：梁的總應(yīng)變能：從這兩種不同的加載次序來看，梁的應(yīng)變能僅與載荷的始態(tài)和終態(tài)有關(guān)，而與加載次序無關(guān)。F

Mel15.2桿件彈性變形能(2)先作用F,加載時做功為：再加力偶矩Me，外力所作46(3)AB

梁的應(yīng)變能也可通過截面上的內(nèi)力來計算。代入應(yīng)變能的內(nèi)力表達式：彎矩方程：F

Mel15.2桿件彈性變形能(3)AB梁的應(yīng)變能也可通過截面上的內(nèi)力來計算。代入47從結(jié)果中可以看到：第一、三項分別為F和Me單獨作用時的應(yīng)變能，故F、Me同時作用在桿內(nèi)所引起的應(yīng)變能不等于各載荷單獨作用時所引起的應(yīng)變能之和。其原因是這兩個載荷都使梁產(chǎn)生了同一種彎曲變形，彼此都在對方引起的位移上做了功（結(jié)果中的第二項即代表F和Me共同作用時在相互影響下所做的功）。F

Mel15.2桿件彈性變形能從結(jié)果中可以看到：第一、三項分別為F和Me單獨作用時4815.3莫爾定理求任意點A的位移。一、定理的證明aA圖q(x)圖b

A=1圖c

A=1q(x)15.3莫爾定理求任意點A的位移。一、定理的證明aA圖4915.3莫爾定理

莫爾定理(單位力法)--梁上任一點A在外力作用下的撓度。M(x)--外載狀態(tài)下的彎矩方程。

--單位力狀態(tài)下的彎矩方程。二、定理的討論1.上式可以推廣到其它變形。拉壓變形，桁架，15.3莫爾定理莫爾定理(單位力法)--梁上5015.3莫爾定理組合變形扭轉(zhuǎn)變形

，2.Δ為廣義位移，所對應(yīng)的力為廣義力。3.計算結(jié)果