高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第19課時導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用檢測選修1-1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第19課時導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)應(yīng)用（限時：10分鐘）1．以長為10的線段AB為直徑作半圓，則它的內(nèi)接矩形面積的最大值為（）A．10B．15C．25D．50剖析：設(shè)內(nèi)接矩形的長為x，則寬為錯誤!，∴S2＝x2·錯誤!＝y(tǒng)，∴y′＝50x－x3.令y′＝0得x2＝50，x＝0（舍去），∴S2＝625，即S＝25.答案：C2．某工廠要圍建一個面積為512平方米的矩形堆料場,一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁，若使砌壁所用的資料最省，堆料場的長和寬應(yīng)分別為（單位：米)（）A．32,16B．30，15C．40,20D．36,18剖析：要使資料最省,則要求新砌的墻壁的總長最短，設(shè)場所寬為x米，則長為錯誤!米，因此新墻總長L＝2x＋錯誤!(x＞0)，則L′＝2－錯誤!.令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此時長為錯誤!＝32（米)，可使L最?。鸢福篈3．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x（單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－錯誤!x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為（)A．13萬件B．11萬件C．9萬件D．7萬件剖析：y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去),當(dāng)0＜x＜9時，y′＞0；當(dāng)x＞9時，y′＜0.因此當(dāng)x＝9時，y獲取最大值．答案：C4．某箱子的容積與底面邊長x的關(guān)系為V（x）＝x2錯誤!(0＜x＜60)，則當(dāng)箱子的容積最大時，箱子的底面邊長為__________．2360x－x2剖析：V（x)＝，V′(x)＝－錯誤!x＋60x。2令V′（x)＝0，得x＝40。∵0＜x＜40時，V′（x）＞0；40＜x＜60時，V′（x)＜0,-1-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精x＝40時，V（x）最大．答案：405．用長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個小正方形，爾后把四邊翻轉(zhuǎn)90°，再焊接而成(如圖）．問該容器的高為多少時,容器的容積最大?最大容積是多少？剖析：設(shè)容器的高為x，容器的體積為V,則V＝(90－2x)（48－2x)x（0＜x＜24），即V＝4x3－276x2＋4320x?！遃′＝12x2－552x＋4320，由V′＝12x2－552x＋4320＝0，得x1＝10,x2＝36?！?＜x＜10時,V′＞0，10＜x＜36時，V′＜0,x＞36時,V′＞0，∴當(dāng)x＝10時，V有極大值V（10）＝1960。又∵0＜x＜24，∴V(10）又是最大值．∴當(dāng)x＝10時，V有最大值V(10）＝1960.故當(dāng)容器的高為10cm時,容器的容積最大,最大容積是1960cm3.（限時:30分鐘）1．某產(chǎn)品的銷售收入y1(萬元）是產(chǎn)量x(千臺)的函數(shù)，y1＝17x2；生產(chǎn)總成本y2（萬元)也是x的函數(shù)，y2＝2x3－x2（x＞0)，為使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)(）A．9千臺B．8千臺C．6千臺D．3千臺剖析：構(gòu)造利潤函數(shù)y＝1－2＝18x2－23(x＞0),求導(dǎo)得y′＝36x－62＝0，解得x＝6yyxx（x＝0舍去)．因此x＝6時,函數(shù)獲取極大值,也是最大值．答案：C2．有邊長分別為8與5的長方形，在各角剪去相同的小正方形，把四邊折起做成一個無蓋小盒，要使紙盒的容積最大，則剪去的小正方形的邊長應(yīng)為（）A．18B．10C．8D．1剖析：設(shè)正方形的邊長為x，則V＝（8－2x)(5－2x）x＝2（2x3－13x2＋20x）錯誤!,V′＝4(3x2－13x＋10）錯誤!，-2-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精令V′＝0，得x＝1，因此當(dāng)x＝1時，容積V取最大值為18.答案：D3．若一球的半徑為r,則內(nèi)接于球的圓柱的側(cè)面積最大為(）A．2πr2B．πr2C．4πr2D。錯誤!πr2剖析:如圖，設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為R，母線長為l,則R＝rcosθ,l＝2rsinθ，2∴S側(cè)＝2πrcosθ·2rsinθ＝4πrsinθcosθ.2222S′＝4πr(cosθ－sinθ）＝4πrcos2θ＝0，當(dāng)θ＝錯誤!，即R＝錯誤!r時，S側(cè)最大且(S側(cè))max＝2πr2。答案:A4．用邊長為48cm的正方形鐵皮做一個無蓋的鐵盒時，在鐵皮的四角各截去一個面積相等的小正方形，爾后把四邊折起，就能焊成鐵盒．所做的鐵盒的容積最大時，在四角截去的正方形的邊長為(）A．6B．8C．10D．12剖析：設(shè)截去的小正方形的邊長為xcm,鐵盒的容積為Vcm3，由題意，得V＝x(48－2x)2（0＜＜24），′＝12（24－)(8－)．令′＝0，則在(0,24）內(nèi)有x＝8，故當(dāng)x＝8時，xVxxV有最大值．答案：B5．某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元的價格購進(jìn)一批商品．若該商品零售價定為P元，銷售為Q，銷量Q（單位：件）與零售價P（單位：元）有以下關(guān)系：Q＝8300－170P－P2,則最大毛利潤為（毛利潤＝銷售收入－進(jìn)貨支出)（）A．30元B．60元C．28000元D．23000元剖析：設(shè)毛利潤為L（P)，由題意知,L(P）＝PQ－20Q＝Q（P－20)(8300－170P－P2)（P－20)＝－P3－150P2＋11700P－166000，-3-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精因此L′（P)＝－3P2－300P＋11700。令L′（P）＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去）．此時，L(30）＝23000。依照實(shí)責(zé)問題的意義知，L(30)是最大值,即零售價定為每件30元時,最大毛利潤為23000元．答案：D6．要做一個底面為長方形的帶蓋的箱子，其體積為72cm3，其底面兩鄰邊長之比為1∶2，則它的長為________cm,寬為________cm，高為________cm時,可使表面積最?。饰觯涸O(shè)底面兩鄰邊長分別為xcm，2xcm，則高h(yuǎn)＝錯誤!＝錯誤!.∴表面積S＝4x2＋2（x＋2x）·錯誤!＝4x2＋錯誤!（x＞0）．∴S′＝8x－錯誤!＝錯誤!(x3－27）．令S′＝0,解得S在(0,＋∞)內(nèi)的唯一可能的極值點(diǎn)為x＝3，∴x＝3時函數(shù)取極值，且就是它的最小值．答案:6347．做一個容積為256dm3的方底無蓋水箱，它的高為__________dm時最省料．剖析：設(shè)底面邊長為xdm，則高＝錯誤!,h其表面積為S＝x2＋4×錯誤!×x＝x2＋錯誤!,S′＝2x－錯誤!，令S′＝0，得x＝8,則高h(yuǎn)＝錯誤!＝4（dm）．答案：48．一個帳篷，它下部的形狀是高為1m的正六棱柱,上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐(以下列圖)．當(dāng)帳篷的極點(diǎn)O終究面中心O1的距離為__________時,帳篷的體積最大．剖析:設(shè)OO1為xm，底面正六邊形的面積為Sm2，帳篷的體積為Vm3。則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為錯誤!＝錯誤!（m），于是底面正六邊形的面積為22S＝6×錯誤!(錯誤!）＝錯誤!(8＋2x－x)．122V＝3×錯誤!(8＋2x－x)(x－1）＋錯誤!（8＋2x－x)＝錯誤!(8＋2x－x2）錯誤!＝錯誤!(16＋12x－x3)，-4-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精求導(dǎo)數(shù)，得V′＝錯誤!（12－3x2)．令V′＝0，解得x＝2或x＝－2（不合題意，舍去)．當(dāng)1＜x＜2時，V′＞0;當(dāng)2＜x＜4時,V′＜0。因此當(dāng)x＝2時，V最大．答案:2m9．一艘輪船在航行時的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比，已知速度為每小時10千米時的燃料費(fèi)是每小時6元，而其他與速度沒關(guān)的花銷是每小時96元，問此輪船以何種速度航行時，能使行駛每千米的花銷總和最小？剖析：設(shè)輪船速度為x(x＞0）千米/時的燃料花銷為Q元，則Q＝kx3，由6＝k×103，可得k＝錯誤!?！郠＝錯誤!x3?！嗫偦ㄤNy＝錯誤!·錯誤!＝錯誤!x2＋錯誤!.y′＝錯誤!－錯誤!。令y′＝0，得x＝20?！喈?dāng)x∈(0，20）時，y′＜0,此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（20，＋∞）時，y′＞0,此時函數(shù)單調(diào)遞加．∴當(dāng)x＝20時，y獲取最小值，∴此輪船以20千米/時的速度行駛每千米的花銷總和最?。?0．統(tǒng)計(jì)表示：某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y（升)關(guān)于行駛速度x(千米/時)的函數(shù)剖析式可以表示為y＝錯誤!x3－錯誤!x＋8（0＜x≤120)．已知甲、乙兩地相距千米．當(dāng)汽車以40千米/時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？（2）當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？剖析：(1）當(dāng)x＝40時，汽車從甲地到乙地行駛了錯誤!＝2.5小時，要耗油錯誤!×2。5＝17.5(升)．（2）當(dāng)速度為x千米/時時，汽車從甲地到乙地行駛了錯誤!小時，設(shè)耗油量為h(x）升，依題意得h（x）＝錯誤!×錯誤!＝錯誤!x2＋錯誤!－錯誤!(0＜x≤120），xh′（x)＝640－錯誤!＝錯誤!(0＜x≤120）．令′(）＝0，得x＝80.hx因?yàn)閤∈(0,80）時,h′(x）＜0，h（x）是減函數(shù)；x∈(80，120）時，h′(x）＞0，h（x)是增函數(shù)，因此當(dāng)x＝80時，(x)獲取極小值(80）＝11.25（升）．hh因?yàn)閔(x）在（0,120］上只有一個極小值,因此它是最小值．即汽車以80千米/時勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升．11．為了在夏季降平易冬季供暖時減少能源耗費(fèi)，房屋的屋頂和外墻需要建筑隔熱層．某-5-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精幢建筑物要建筑可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建筑成本為6萬元．該建筑物每年的能源耗資資用C(單位：萬元）與隔熱層厚度x(單位：cm）滿足關(guān)系：C（x)＝錯誤!（0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源耗資資用為8萬元．設(shè)f（x）為隔熱層建筑花銷與20年的能源耗資花銷之和．（1）求k的值及f(x）的表達(dá)式；（2)隔熱層修建多厚時，總花銷f(x）達(dá)到最小，并求最小值．剖析:(1）設(shè)隔熱層厚度為xcm，由題設(shè)，每年能源耗資資用為C（x）＝錯誤!，再由C（0）＝8,得k＝40,因此C(x）＝錯誤!.而建筑花銷為C1（x)＝6x.最后得隔熱層建筑花銷與20年的能源耗資資用之和為f（x）＝20C（x）＋C1(x）＝20×錯誤!＋6x＝錯誤!＋6x（0≤x≤10）．（2)f′(x）＝6－錯誤!。令f′(x)＝0，即錯誤!