高考必做的百例導數(shù)壓軸題

.PAGE.

導數(shù)專題目錄一、導數(shù)單調(diào)性、極值、最值的直接應用〔1二、交點與根的分布〔23三、不等式證明〔31〔一作差證明不等式〔二變形構(gòu)造函數(shù)證明不等式〔三替換構(gòu)造不等式證明不等式四、HYPERLINK三、不等式證明作差證明不等式〔2010XX,最值、作差構(gòu)造函數(shù)已知函數(shù)．

<1>求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

<2>若,求證：≤≤x．解：<1>函數(shù)f<x>的定義域為<－1,+∞>,,由得：,∴x＞0,∴f<x>的單調(diào)遞減區(qū)間為<0,+∞>.<2>證明：由<1>得x∈<－1,0>時,,當x∈<0,+∞>時,,且∴x＞－1時,f<x>≤f<0>,∴≤0,≤x令,則,∴－1＜x＜0時,,x＞0時,,且∴x＞－1時,g<x>≥g<0>,即≥0

∴≥,∴x＞－1時,≤≤x．〔2007XX20,轉(zhuǎn)換變量,作差構(gòu)造函數(shù),較容易已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù),,其中．設(shè)兩曲線,有公共點,且在該點處的切線相同．⑴用表示,并求的最大值；⑵求證：當時,．解：⑴設(shè)與在公共點處的切線相同．,,由題意,．即由得：,或〔舍去．即有．令,則．于是當,即時,；當,即時,．故在為增函數(shù),在為減函數(shù),于是在的最大值為．⑵設(shè),則．故在為減函數(shù),在為增函數(shù),于是函數(shù)在上的最小值是．故當時,有,即當時,．〔2009全國II理21,字母替換,構(gòu)造函數(shù)設(shè)函數(shù)有兩個極值點,且⑴求的取值范圍,并討論的單調(diào)性；⑵證明：解:⑴令,其對稱軸為。由題意知是方程的兩個均大于的不相等的實根,其充要條件為,得當時,在內(nèi)為增函數(shù)；當時,在內(nèi)為減函數(shù)；當時,在內(nèi)為增函數(shù)；⑵由⑴知,由得,設(shè),則當時,在單調(diào)遞增；當時,,在單調(diào)遞減。所以,故．變形構(gòu)造函數(shù)證明不等式〔變形構(gòu)造新函數(shù),一次已知函數(shù)．⑴試討論在定義域內(nèi)的單調(diào)性；⑵當＜－1時,證明：,．求實數(shù)的取值范圍．解：⑴函數(shù)的定義域為,．當時,增區(qū)間為,減區(qū)間為；當≤≤0時,增區(qū)間為；當時,增區(qū)間為,減區(qū)間為．⑵當＞0時,在區(qū)間<0,1>上單調(diào)遞增,不妨設(shè),則,∴等價于,即．構(gòu)造,則＞0．∴在上是增函數(shù),當時,,即,即．又當＞0時,在區(qū)間<0,1>上單調(diào)遞增,∴．∴,即．〔2011XX理21,變形構(gòu)造函數(shù),二次已知函數(shù).⑴討論函數(shù)的單調(diào)性；⑵設(shè),如果對任意,≥,求的取值范圍.解：⑴的定義域為〔0,+∞..當時,＞0,故在〔0,+∞單調(diào)增加；當時,＜0,故在〔0,+∞單調(diào)減少；當－1＜＜0時,令=0,解得.則當時,＞0；時,＜0.故在單調(diào)增加,在單調(diào)減少.⑵不妨假設(shè),而＜－1,由⑴知在〔0,+∞單調(diào)減少,從而,等價于,……①令,則①等價于在〔0,+∞單調(diào)減少,即.從而,設(shè)并設(shè),∴,∴≤故a的取值范圍為〔－∞,－2].〔2010XX文21,構(gòu)造變形,二次已知函數(shù).⑴討論函數(shù)的單調(diào)性；⑵設(shè),證明：對任意,.解：⑴f<x>的定義域為<0,+>,.當a≥0時,＞0,故f<x>在<0,+>單調(diào)增加；當a≤－1時,＜0,故f<x>在<0,+>單調(diào)減少；當－1＜a＜0時,令＝0,解得x=.當x∈<0,>時,＞0；x∈<,+>時,＜0,故f<x>在〔0,單調(diào)增加,在〔,+單調(diào)減少.⑵不妨假設(shè)x1≥x2.由于a≤－2,故f<x>在〔0,+單調(diào)減少.所以等價于≥4x1－4x2,即f<x2>+4x2≥f<x1>+4x1.令g<x>=f<x>+4x,則+4＝.設(shè),≤－1,對稱軸為,結(jié)合圖象知≤≤0,于是≤＝≤0.從而g<x>在〔0,+單調(diào)減少,故g<x1>≤g<x2>,即f<x1>+4x1≤f<x2>+4x2,故對任意x1,x2∈<0,+>,〔XX,變形構(gòu)造,二次已知函數(shù)f<x>=x2－ax+<a－1>,.〔1討論函數(shù)的單調(diào)性；〔2證明：若,則對任意x,x,xx,有.解：<1>的定義域為.①若即,則,故在單調(diào)增加。②若,而,故,則當時,;當及時,故在單調(diào)減少,在單調(diào)增加。③若,即,同理在單調(diào)減少,在單調(diào)增加.⑵考慮函數(shù)則〔另一種處理由于1<a<5,故,即g<x>在<4,+∞>單調(diào)增加,從而當時有,即,故,當時,有.〔另一種處理,結(jié)合二次函數(shù)圖象設(shè)≥≥＞0已知函數(shù)〔1確定函數(shù)的單調(diào)性；〔2若對任意,且,都有,求實數(shù)a的取值范圍。〔變形構(gòu)造已知二次函數(shù)和"偽二次函數(shù)"〔、、,<I>證明：只要,無論取何值,函數(shù)在定義域內(nèi)不可能總為增函數(shù)；<II>在二次函數(shù)圖象上任意取不同兩點,線段中點的橫坐標為,記直線的斜率為,<i>求證：；<ii>對于"偽二次函數(shù)",是否有①同樣的性質(zhì)?證明你的結(jié)論.解：〔I如果為增函數(shù),則<1>恒成立,當時恒成立,<2>由二次函數(shù)的性質(zhì),<2>不可能恒成立.則函數(shù)不可能總為增函數(shù).3分〔II〔i=. 由,則5分〔ii不妨設(shè),對于"偽二次函數(shù)":=,<3>7分由<ⅰ>中<1>,如果有<ⅰ>的性質(zhì),則,<4>比較<3><4>兩式得,即：,<4>10分不妨令,<5>設(shè),則,∴在上遞增,∴.∴<5>式不可能成立,〔4式不可能成立,.∴"偽二次函數(shù)"不具有<ⅰ>的性質(zhì).12分<變形構(gòu)造,第2問用到均值不等式>已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f<x>＝x2＋4ax＋1,g<x>＝6a2lnx＋2b＋1,其中a＞0.⑴設(shè)兩曲線y＝f<x>,y＝g<x>有公共點,且在該點處的切線相同,用a表示b,并求b的最大值；⑵設(shè)h<x>＝f<x>＋g<x>－8x,證明：若a≥－1,則h<x>在<0,＋∞>上單調(diào)遞增；⑶設(shè)F<x>＝f<x>＋g<x>,求證：對任意x1,x2∈<0,＋∞>,x1＜x2有＞8.解：⑴設(shè)f<x>與g<x>交于點P<x0,y0>,則有f<x0>＝g<x0>,即x＋4ax0＋1＝6a2lnx0＋2b＋1.①又由題意知f′<x0>＝g′<x0>,即2x0＋4a＝.②由②解得x0＝a或x0＝－3a<舍去>．將x0＝a代入①整理得b＝a2－3a2lna.令s<a>＝a2－3a2lna,則s′<a>＝2a<1－3lna>,a∈<0,>時,s<a>遞增,a∈<,＋∞>時,s<a>遞減,所以s<a>≤s<>＝,即b≤,b的最大值為.⑵h<x>＝f<x>＋g<x>－8x,h′<x>＝2x＋＋4a－8,因為a≥－1,所以h′<x>＝2x＋＋4a－8≥4a＋4a－8≥4<＋1><－1>－8≥0,即h<x>在<0,＋∞>內(nèi)單調(diào)遞增．⑶由⑵知x1＜x2時,h<x1>＜h<x2>,即F<x1>－8x1＜F<x2>－8x2.因為x1＜x2,所以＞8.已知函數(shù),a為正常數(shù)．⑴若,且a,求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；⑵在⑴中當時,函數(shù)的圖象上任意不同的兩點,,線段的中點為,記直線的斜率為,試證明：．⑶若,且對任意的,,都有,求a的取值范圍．解：⑴∵a,令得或,∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.⑵證明：當時∴,∴,又不妨設(shè),要比較與的大小,即比較與的大小,又∵,∴即比較與的大?。?則,∴在上位增函數(shù)．又,∴,∴,即⑶∵,∴由題意得在區(qū)間上是減函數(shù)．當,∴由在恒成立．設(shè),,則∴在上為增函數(shù),∴.當,∴由在恒成立設(shè),為增函數(shù),∴綜上：a的取值范圍為.已知函數(shù)〔．〔Ⅰ求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；〔Ⅱ記函數(shù)的圖象為曲線．設(shè)點,是曲線上的不同兩點．如果在曲線上存在點,使得：①；②曲線在點處的切線平行于直線,則稱函數(shù)存在"中值相依切線"．試問：函數(shù)是否存在"中值相依切線",請說明理由．解：〔Ⅰ易知函數(shù)的定義域是,．…………1分①當時,即時,令,解得或;令,解得．……………2分所以,函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減②當時,即時,顯然,函數(shù)在上單調(diào)遞增；……………3分③當時,即時,令,解得或;令,解得．……………4分所以,函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減綜上所述,⑴當時,函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；⑵當時,函數(shù)在上單調(diào)遞增；⑶當時,函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減．……………5分〔Ⅱ假設(shè)函數(shù)存在"中值相依切線"．設(shè),是曲線上的不同兩點,且,則……………7分曲線在點處的切線斜率,……………8分依題意得：．化簡可得：,即=．……………10分設(shè)〔,上式化為：,即．………12分令,．因為,顯然,所以在上遞增,顯然有恒成立．所以在內(nèi)不存在,使得成立．綜上所述,假設(shè)不成立．所以,函數(shù)不存在"中值相依切線"．……………14分已知函數(shù).〔1若對任意的恒成立,求實數(shù)的取值范圍；〔2當時,設(shè)函數(shù),若,求證解：〔1,,即在上恒成立設(shè),,時,單調(diào)減,單調(diào)增,所以時,有最大值.,所以.〔2當時,,,所以在上是增函數(shù),上是減函數(shù).因為,所以即,同理.所以又因為當且僅當""時,取等號.又,,所以,所以,所以：.已知．<1>求函數(shù)在上的最小值；<2>對一切,恒成立,求實數(shù)a的取值范圍；<3>證明:對一切,都有成立．解：<1>,當,,單調(diào)遞減,當,,單調(diào)遞增．①,t無解；②,即時,；③,即時,在上單調(diào)遞增,；所以．<2>,則,設(shè),則,,,單調(diào)遞減,,,單調(diào)遞增,所以.因為對一切,恒成立,所以；〔3問題等價于證明,由⑴可知的最小值是,當且僅當時取到,設(shè),則,易得,當且僅當時取到,從而對一切,都有成立．〔2011XX21,變形構(gòu)造,反比例設(shè)函數(shù)定義在上,,導函數(shù),．〔1求的單調(diào)區(qū)間和最小值；〔2討論與的大小關(guān)系；〔3是否存在,使得對任意成立？若存在,求出的取值范圍；若不存在,請說明理由．解：〔1∵,∴〔為常數(shù),又∵,所以,即,∴；,∴,令,即,解得,當時,,是減函數(shù),故是函數(shù)的減區(qū)間；當時,,是增函數(shù),故是函數(shù)的增區(qū)間；所以是的唯一極值點,且為極小值點,從而是最小值點,所以的最小值是．〔2,設(shè),則,當時,,即,當時,,,因此函數(shù)在內(nèi)遞減,當時,=0,∴；當時,=0,∴．〔3滿足條件的不存在．證明如下：證法一假設(shè)存在,使對任意成立,即對任意有①但對上述的,取時,有,這與①左邊的不等式矛盾,因此不存在,使對任意成立．證法二假設(shè)存在,使對任意成立,由〔1知,的最小值是,又,而時,的值域為,∴當時,的值域為,從而可以取一個值,使,即,∴,這與假設(shè)矛盾．∴不存在,使對任意成立．已知函數(shù),〔Ⅰ求的極值〔Ⅱ若在上恒成立,求的取值范圍〔Ⅲ已知,且,求證解：〔1∵,令得,,為增函數(shù),,,為減函數(shù)∴有極大值……4分〔2欲使＜在上恒成立,只需在上恒成立設(shè),,,為增函數(shù),,,為減函數(shù)∴時,是最大值只需,即………8分〔3∵由〔2可知在上單調(diào)增,,那,同理相加得,∴,得：.變式.[XX省XX實驗中學2013--2014學年度上學期期中考試高三理科數(shù)學試題]〔本小題滿分12分已知函數(shù)〔1試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值〔2若直線與曲線相交于不同兩點,若試證明.已知函數(shù)的圖象為曲線,函數(shù)的圖象為直線.<Ⅰ>當時,求的最大值;<Ⅱ>設(shè)直線與曲線的交點的橫坐標分別為,且,求證:.解：〔1單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,〔2不妨設(shè),要證只需證,即,令,只需證,令在單調(diào)遞增。,,在單調(diào)遞增。,所以已知函數(shù),其中常數(shù)⑴若處取得極值,求a的值；⑵求的單調(diào)遞增區(qū)間；⑶已知若,且滿足,試比較的大小,并加以證明。替換構(gòu)造不等式證明不等式〔第3問用第2問已知,直線與函數(shù)的圖像都相切,且與函數(shù)的圖像的切點的橫坐標為1?！睮求直線的方程及m的值；〔II若,求函數(shù)的最大值?！睮II當時,求證：解：〔I的斜率為1,且與函數(shù)的圖像的切點坐標為〔1,0,的方程為又與函數(shù)的圖象相切,有一解。由上述方程消去y,并整理得①依題意,方程②有兩個相等的實數(shù)根,解之,得m=4或m=-2,〔II由〔I可知,單調(diào),當時,單減。,取最大值,其最大值為2?！睮II證明,當時,已知函數(shù)、〔Ⅰ求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；〔Ⅱ若為正常數(shù),設(shè),求函數(shù)的最小值；〔Ⅲ若,,證明：、解:〔Ⅰ∵,解,得；解,得.∴的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.……3′〔Ⅱ∵,定義域是.∴……5′由,得,由,得∴函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增……7′故函數(shù)的最小值是：.……8′〔Ⅲ∵,,∴在〔Ⅱ中取,可得,即.……10′∴,∴.即.……12′〔替換構(gòu)造不等式已知函數(shù)在點的切線方程為.⑴求函數(shù)的解析式；⑵設(shè),求證：≥在上恒成立；〔反比例,變形構(gòu)造⑶已知,求證：.〔替換構(gòu)造解：⑴將代入切線方程得.∴,化簡得.,解得.∴.⑵由已知得在上恒成立化簡,即在上恒成立設(shè),.∵∴,即∴在上單調(diào)遞增,∴在上恒成立.⑶∵,∴,由⑵知有,整理得∴當時,.〔替換證明已知函數(shù)．〔1試判斷函數(shù)的單調(diào)性；〔2設(shè),求在上的最大值；〔3試證明：對任意,不等式都成立〔其中是自然對數(shù)的底數(shù)．解：〔1函數(shù)的定義域是．由已知．令,得．因為當時,；當時,．所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減．〔2由〔1可知當,即時,在上單調(diào)遞增,所以．當時,在上單調(diào)遞減,所以．當,即時,．綜上所述,〔3由〔1知當時．所以在時恒有,即,當且僅當時等號成立．因此對任意恒有．因為,,所以,即．因此對任意,不等式．〔2010XX,利用⑵結(jié)論構(gòu)造已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.〔反比例,作差構(gòu)造⑶.〔替換構(gòu)造解：本題主要考察函數(shù)、導數(shù)、不等式的證明等基礎(chǔ)知識,同事考察綜合運用數(shù)學知識進行推理論證的能力和分類討論的思想。⑴,則有,解得.⑵由⑴知,,令,則,①當,若,則,是減函數(shù),所以,故在上恒不成立。②時,若,故當時,。綜上所述,所求的取值范圍為⑶由⑵知：當時,有.令,有當時,令,有即,將上述個不等式依次相加得,整理得.已知的圖像在點處的切線與直線平行.〔1求a,b滿足的關(guān)系式；〔2若上恒成立,求a的取值范圍；〔3證明：〔n∈N*解：〔Ⅰ,根據(jù)題意,即.〔Ⅱ由〔Ⅰ知,,令,則,=①當時,,若,則,在減函數(shù),所以,即在上恒不成立．②時,,當時,,在增函數(shù),又,所以．綜上所述,所求的取值范圍是.〔Ⅲ由〔Ⅱ知當時,在上恒成立．取得令,得,即,所以上式中n=1,2,3,…,n,然后n個不等式相加得已知函數(shù)〔1求函數(shù)的極值點?！?若恒成立,試確定實數(shù)的取值范圍。〔3證明：.解：<1>的定義域為〔1,+∞,.當時,,則在〔1,+∞上是增函數(shù)。在〔1,+∞上無極值點.當時,令,則.所以當時,,∴在上是增函數(shù),當時,,∴在上是減函數(shù)?！鄷r,取得極大值。綜上可知,當時,無極值點；當時,有唯一極值點.<2>由<1>可知,當時,,不成立.故只需考慮.由<1>知,,若恒成立,只需即可,化簡得：,所以的取值范圍是[1,+∞.<3>由<2>知,∴.∴<替換構(gòu)造>已知函數(shù)⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；⑵若≤0恒成立,試確定實數(shù)的取值范圍；〔一次,作差構(gòu)造⑶證明：①當時,；②.解：⑴函數(shù)的定義域為中,.當≤0時,,則在上是增函數(shù).當時,在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).⑵由⑴知,當≤0時,在上是增函數(shù).而,≤0不成立.當時,由⑴知,要使≤0恒成立,則≤0,解得≥1.⑶①由⑵知當時,有在上恒成立,且在是減函數(shù).又,∴當時,,即.②令則即,從而.∴成立.〔2011XX理22,替換構(gòu)造已知函數(shù).⑴求的單調(diào)區(qū)間和極值；⑵求證：.解：⑴定義域為,.令,令故的單調(diào)遞增區(qū)間為,的單調(diào)遞減區(qū)間為的極大值為⑵證明：要證即證,即證即證令,由⑴可知在上遞減,故即,令,故累加得,故,得證法二：=,其余相同證法.〔替換構(gòu)造已知函數(shù).⑴求函數(shù)的最小值；⑵若≥0對任意的恒成立,求實數(shù)a的值；〔一次,作差構(gòu)造⑶在⑵的條件下,證明：.解：〔1由題意,由得.當時,；當時,.∴在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.即在處取得極小值,且為最小值,其最小值為〔2對任意的恒成立,即在上,.由〔1,設(shè),所以.由得.∴在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,∴在處取得極大值.因此的解為,∴.〔3由〔2知,因為,所以對任意實數(shù)均有,即.令,則.∴.∴. HYPERLINK四、不等式恒成立求字母范圍恒成立之最值的直接應用〔2011北京理18倒數(shù)第3大題,最值的直接應用已知函數(shù)。⑴求的單調(diào)區(qū)間；⑵若對于任意的,都有≤,求的取值范圍.解：⑴,令,當時,與的情況如下：+00+0所以,的單調(diào)遞增區(qū)間是和：單調(diào)遞減區(qū)間是,當時,與的情況如下：0+00所以,的單調(diào)遞減區(qū)間是和：單調(diào)遞減區(qū)間是。⑵當時,因為,所以不會有當時,由〔Ⅰ知在上的最大值是,所以等價于,解綜上：故當時,的取值范圍是[,0].〔2008天津理20倒數(shù)第3大題,最值的直接應用,第3問帶有小的處理技巧已知函數(shù),其中.⑴若曲線在點處切線方程為,求函數(shù)的解析式；⑵討論函數(shù)的單調(diào)性；⑶若對于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范圍.解：⑴,由導數(shù)的幾何意義得,于是．由切點在直線上可得,解得．所以函數(shù)的解析式為．⑵．當時,顯然<>,這時在,上內(nèi)是增函數(shù)．當時,令,解得．當變化時,,的變化情況如下表：＋0－－0＋↗極大值↘↘極小值↗∴在,內(nèi)是增函數(shù),在,內(nèi)是減函數(shù)．⑶由⑵知,在上的最大值為與的較大者,對于任意的,不等式在上恒成立,當且僅當,即,對任意的成立．從而得,所以滿足條件的的取值范圍是．〔轉(zhuǎn)換變量,作差已知函數(shù). ⑴若,求的單調(diào)區(qū)間；⑵已知是的兩個不同的極值點,且,若恒成立,求實數(shù)b的取值范圍。解：⑴,或1令,解得令,解得,的增區(qū)間為；減區(qū)間為,⑵,即由題意兩根為,,又且△,.設(shè),或2+00+極大值極小值又,,,.恒成立之分離常數(shù)〔分離常數(shù)已知函數(shù)<1>若在處的切線平行于直線,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；<2>若,且對時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.解:<1>定義域為,直線的斜率為,,,.所以由;由所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,減區(qū)間為.<2>,且對時,恒成立,即.設(shè).當時,,當時,,.所以當時,函數(shù)在上取到最大值,且所以,所以所以實數(shù)的取值范圍為.〔法二討論法,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).當≤時,≥,解得,∴≤.當時,,解得,∴.綜上.〔2011XX一模,恒成立,分離常數(shù),二階導數(shù)已知函數(shù),〔其中R,為自然對數(shù)的底數(shù).<1>當時,求曲線在處的切線方程；<2>當≥1時,若關(guān)于的不等式≥0恒成立,求實數(shù)的取值范圍.〔改x≥0時,≥0恒成立.≤1解：〔1當時,,,,切線方程為．〔2[方法一]≥1,12><212><2axxexfxa0xxex122設(shè)xxexgxxexgx12><22212>1<><'xxexxgx設(shè),則,在上為增函數(shù),≥,,在上為增函數(shù),≥,≤．[方法二], ,設(shè),,≥0,≥0,在上為增函數(shù),≥. 又≥0恒成立,≥0,≤,≥,,在上為增函數(shù),此時≥≥0恒成立,≤．〔改x≥0時,≥0恒成立.≤1解：先證明在上是增函數(shù),再由洛比達法則,∴,∴≤1.〔正常的討論進行不了,除非系數(shù)調(diào)到二次項上,分兩種情況討論可得≤1〔兩邊取對數(shù)的技巧設(shè)函數(shù)且〔1求的單調(diào)區(qū)間；〔2求的取值范圍；〔3已知對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍。解：〔1,當時,即.當時,即或.故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.〔2由時,即,由〔1可知在上遞增,在遞減,所以在區(qū)間〔－1,0上,當時,取得極大值,即最大值為.在區(qū)間上,.函數(shù)的取值范圍為.分〔3,兩邊取自然對數(shù)得〔分離常數(shù)已知函數(shù)．〔Ⅰ若函數(shù)在區(qū)間其中a>0,上存在極值,求實數(shù)a的取值范圍；〔Ⅱ如果當時,不等式恒成立,求實數(shù)k的取值范圍；解：〔Ⅰ因為,x>0,則,當時,；當時,．所以在〔0,1上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減,所以函數(shù)在處取得極大值．因為函數(shù)在區(qū)間〔其中上存在極值,所以解得．〔Ⅱ不等式即為記所以令,則,,在上單調(diào)遞增,,從而,故在上也單調(diào)遞增,所以,所以．〔2010XX,分離常數(shù),構(gòu)造函數(shù)已知函數(shù)對任意的恒有.⑴證明：當⑵若對滿足題設(shè)條件的任意b、c,不等式恒成立,求M的最小值。〔第3問不常見,有特點,由特殊到一般,先猜后證已知函數(shù)〔Ⅰ求函數(shù)f<x>的定義域〔Ⅱ確定函數(shù)f<x>在定義域上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論.〔Ⅲ若x>0時恒成立,求正整數(shù)k的最大值.解：〔1定義域〔2單調(diào)遞減。當,令,故在〔－1,0上是減函數(shù),即,故此時在〔－1,0和〔0,+上都是減函數(shù)〔3當x>0時,恒成立,令又k為正整數(shù),∴k的最大值不大于3下面證明當k=3時,恒成立當x>0時恒成立令,則,,當∴當取得最小值當x>0時,恒成立,因此正整數(shù)k的最大值為3<恒成立,分離常數(shù),涉及整數(shù)、較難的處理>已知函數(shù)〔Ⅰ試判斷函數(shù)上單調(diào)性并證明你的結(jié)論；〔Ⅱ若恒成立,求整數(shù)k的最大值；〔較難的處理〔Ⅲ求證：<1+1×2><1+2×3>…[1+n<n+1>]>e2n－3.解：〔I上遞減.〔II則上單調(diào)遞增,又存在唯一實根a,且滿足當∴故正整數(shù)k的最大值是3.〔Ⅲ由〔Ⅱ知∴令,則∴l(xiāng)n<1+1×2>+ln<1+2×3>+…+ln[1+n<n+1>]∴〔1+1×2〔1+2×3…[1+n〔n+1]>e2n－3<分離常數(shù),雙參,較難>已知函數(shù),.〔１若函數(shù)依次在處取到極值．①求的取值范圍；②若,求的值．〔２若存在實數(shù),使對任意的,不等式恒成立．求正整數(shù)的最大值．解：〔1①②.〔2不等式,即,即.轉(zhuǎn)化為存在實數(shù),使對任意,不等式恒成立,即不等式在上恒成立。即不等式在上恒成立。設(shè),則。設(shè),則,因為,有。故在區(qū)間上是減函數(shù)。又故存在,使得。當時,有,當時,有。從而在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減。又所以當時,恒有；當時,恒有；故使命題成立的正整數(shù)的最大值為5.〔2008XX理22,分離常數(shù),復合的超范圍已知函數(shù)⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;⑵若不等式對任意的都成立〔其中e是自然對數(shù)的底數(shù),求a的最大值.〔分離常數(shù)解:⑴函數(shù)的定義域是,設(shè)則令則當時,在〔－1,0上為增函數(shù),當x＞0時,在上為減函數(shù).所以h<x>在x=0處取得極大值,而h<0>=0,所以,函數(shù)g<x>在上為減函數(shù).于是當時,當x＞0時,所以,當時,在〔－1,0上為增函數(shù).當x＞0時,在上為減函數(shù).故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為〔－1,0,單調(diào)遞減區(qū)間為.⑵不等式等價于不等式由知,＞0,∴上式變形得設(shè),則則由⑴結(jié)論知,〔≤即所以于是G<x>在上為減函數(shù).故函數(shù)在上的最小值為所以a的最大值為〔變形,分離常數(shù)已知函數(shù)<a為實常數(shù)>.<1>若,求證：函數(shù)在<1,+∞>上是增函數(shù)；<2>求函數(shù)在[1,e]上的最小值及相應的值；<3>若存在,使得成立,求實數(shù)a的取值范圍.解：⑴當時,,當,,故函數(shù)在上是增函數(shù)．⑵,當,．若,在上非負〔僅當,x=1時,,故函數(shù)在上是增函數(shù),此時．若,當時,；當時,,此時是減函數(shù)；當時,,此時是增函數(shù)．故．若,在上非正〔僅當,x=e時,,故函數(shù)在上是減函數(shù),此時．⑶不等式,可化為．∵,∴且等號不能同時取,所以,即,因而〔令〔,又,當時,,,從而〔僅當x=1時取等號,所以在上為增函數(shù),故的最小值為,所以a的取值范圍是．〔分離常數(shù),轉(zhuǎn)換變量,有技巧設(shè)函數(shù).⑴若函數(shù)在處與直線相切：①求實數(shù)的值；②求函數(shù)在上的最大值；⑵當時,若不等式≥對所有的都成立,求實數(shù)的取值范圍.解：〔1①?！吆瘮?shù)在處與直線相切解得 .②當時,令得；令,得,上單調(diào)遞增,在[1,e]上單調(diào)遞減,.〔2當b=0時,若不等式對所有的都成立,則對所有的都成立,即對所有的都成立,令為一次函數(shù),.上單調(diào)遞增,,對所有的都成立...〔注：也可令所有的都成立,分類討論得對所有的都成立,,請根據(jù)過程酌情給分恒成立之討論字母范圍〔2007全國I,利用均值,不常見設(shè)函數(shù)．⑴證明：的導數(shù)；⑵若對所有都有,求的取值范圍．解：⑴的導數(shù)．由于,故．〔當且僅當時,等號成立．⑵令,則,①若,當時,,故在上為增函數(shù),所以,時,,即．②若,方程的正根為,此時,若,則,故在該區(qū)間為減函數(shù)．所以,時,,即,與題設(shè)相矛盾．綜上,滿足條件的的取值范圍是．設(shè)函數(shù)f<x>=ex+sinx,g<x>=ax,F<x>=f<x>－g<x>.<Ⅰ>若x=0是F<x>的極值點,求a的值；<Ⅱ>當a=1時,設(shè)P<x1,f<x1>>,Q<x2,g<x2>><x1>0,x2>0>,且PQ//x軸,求P、Q兩點間的最短距離；<Ⅲ>:若x≥0時,函數(shù)y=F<x>的圖象恒在y=F<－x>的圖象上方,求實數(shù)a的取值范圍．解：<Ⅰ>F<x>=ex+sinx－ax,.因為x=0是F<x>的極值點,所以.又當a=2時,若x<0,;若x>0,.∴x=0是F<x>的極小值點,∴a=2符合題意.<Ⅱ>∵a=1,且PQ//x軸,由f<x1>=g<x2>得:,所以.令當x>0時恒成立.∴x∈[0,+∞時,h<x>的最小值為h<0>=1.∴|PQ|min=1.<Ⅲ>令則.因為當x≥0時恒成立,所以函數(shù)S<x>在上單調(diào)遞增,∴S<x>≥S<0>=0當x∈[0,+∞時恒成立;因此函數(shù)在上單調(diào)遞增,當x∈[0,+∞時恒成立.當a≤2時,,在[0,+∞單調(diào)遞增,即.故a≤2時F<x>≥F<－x>恒成立.〔用到二階導數(shù),二次設(shè)函數(shù).⑴若,求的最小值；⑵若當時,求實數(shù)的取值范圍.解：〔1時,,.當時,；當時,.所以在上單調(diào)減小,在上單調(diào)增加故的最小值為〔2,當時,,所以在上遞增,而,所以,所以在上遞增,而,于是當時,.當時,由得當時,,所以在上遞減,而,于是當時,,所以在上遞減,而,所以當時,.綜上得的取值范圍為.<第3問設(shè)計很好,2問是單獨的,可以拿掉>已知函數(shù),斜率為的直線與相切于點.〔Ⅰ求的單調(diào)區(qū)間；〔Ⅱ當實數(shù)時,討論的極值點?！并笞C明：.解：〔Ⅰ由題意知：………………2分解得：；解得：所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減………………4分〔Ⅱ=得：.若即,+-+極大值極小值此時的極小值點為,極大值點………………7分若即,,則,在上單調(diào)遞增,無極值點.若即,,+-+極大值極小值此時的極大值點為,極小值點.綜上述：當時,的極小值點為,極大值點；當時,無極值點；當時,的極大值點為,極小值點.〔2011全國I文21,恒成立,一次,提出一部分再處理的技巧設(shè)函數(shù).⑴若a=,求的單調(diào)區(qū)間；⑵若當≥0時≥0,求a的取值范圍.解：⑴時,,.當時;當時,;當時,.故在,單調(diào)增加,在<－1,0>單調(diào)減少.⑵.令,則.①若,則當時,,為減函數(shù),而,從而當x≥0時≥0,即≥0,符合題意.②若,則當時,,為減函數(shù),而,從而當時＜0,即＜0,不合題意.綜合得的取值范圍為〔2011全國新理21,恒成立,反比例,提出公因式再處理的技巧,本題的創(chuàng)新之處是將一般的過定點〔0,0變?yōu)檫^定點〔1,0,如果第2問范圍變?yōu)閯t更間單已知函數(shù)在點處的切線方程為.⑴求、的值；⑵如果當,且時,,求的取值范圍。解：⑴,依意意且,即,,解得,.⑵由⑴知,所以.設(shè),則.〔注意h<x>恒過點<1,0>,由上面求導的表達式發(fā)現(xiàn)討論點0和1①當,由,〔變形難想,法二當時,.而,故當時,,可得；當x<1,+>時,<0,可得>0,從而當x>0,且x1時,－<+>>0,即>+.法二：的分子≤＜0,∴.②當0<k<1,由于當x<1,>時,<k－1><x2+1>+2x>0,故>0,而=0,故當x<1,>時,>0,可得<0,不合題意.③當k≥1,此時>0,則x<1,+>時,遞增,,∴<0,不合題意.綜上,k的取值范圍為<－,0]<恒成立,討論,較容易,但說明原理>已知函數(shù).〔1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；〔2若對上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.解：〔1.當時,,在上增,無極值；當時,,在上減,在上增,∴有極小值,無極大值.〔2當時,在上恒成立,則是單調(diào)遞增的,則只需恒成立,所以.當時,在上減,在上單調(diào)遞增,所以當時,這與恒成立矛盾,故不成立.綜上：.〔2010新課程理21,恒成立,討論,二次,用到結(jié)論設(shè)函數(shù).⑴若,求的單調(diào)區(qū)間；⑵若當時,求的取值范圍.解：命題意圖：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)、不等式恒成立問題以及參數(shù)取值范圍問題,考查分類討論、轉(zhuǎn)化與劃歸解題思想及其相應的運算能力.⑴時,,.當時,；當時,.故在單調(diào)減少,在單調(diào)增加.⑵①當≤時,,由⑴結(jié)論知≥,則,故,從而當,即時,,而,于是當時,,符合題意.②時,由可得.〔太難想,法二,故當時,,而,于是當時,.綜合得的取值范圍為.法二：設(shè),則,令,得.當,,在此區(qū)間上是增函數(shù),∴≤,∴在此區(qū)間上遞增,∴≤,不合題意.〔恒成立,2010全國卷2理數(shù),利用⑴結(jié)論,較難的變形討論設(shè)函數(shù)．⑴證明：當時,；⑵設(shè)當時,,求a的取值范圍．解：本題主要考查導數(shù)的應用和利用導數(shù)證明不等式,考查考生綜合運用知識的能力及分類討論的思想,考查考生的計算能力及分析問題、解決問題的能力.[點評]導數(shù)常作為高考的壓軸題,對考生的能力要求非常高,它不僅要求考生牢固掌握基礎(chǔ)知識、基本技能,還要求考生具有較強的分析能力和計算能力.估計以后對導數(shù)的考查力度不會減弱。作為壓軸題,主要是涉及利用導數(shù)求最值解決恒成立問題,利用導數(shù)證明不等式等,常伴隨對參數(shù)的討論,這也是難點之所在.已知函數(shù),且函數(shù)是上的增函數(shù)?！?求的取值范圍；〔2若對任意的,都有〔e是自然對數(shù)的底,求滿足條件的最大整數(shù)的值。解析：〔1設(shè),所以,得到．所以的取值范圍為………2分〔2令,因為是上的增函數(shù),且,所以是上的增函數(shù)?！?分由條件得到〔兩邊取自然對數(shù),猜測最大整數(shù),現(xiàn)在證明對任意恒成立。…………6分等價于,………………8分設(shè),當時,,當時,,所以對任意的都有,即對任意恒成立,所以整數(shù)的最大值為2．……………………14分〔2008XX卷21已知函數(shù)其中n∈N*,a為常數(shù).⑴當n=2時,求函數(shù)f<x>的極值；⑵當a=1時,證明：對任意的正整數(shù)n,當x≥2時,有f<x>≤x－1.解：⑴由已知得函數(shù)f<x>的定義域為{x|x＞1},當n=2時,所以①當a＞0時,由f<x>=0得＞1,＜1,此時=.當x∈〔1,x1時,＜0,f<x>單調(diào)遞減；當x∈〔x1+∞時,＞0,f<x>單調(diào)遞增.②當a≤0時,＜0恒成立,所以f<x>無極值.綜上所述,n=2時,當a＞0時,f<x>在處取得極小值,極小值為當a≤0時,f<x>無極值.⑵證法一：因為a=1,所以①當n為偶數(shù)時,令則=1+＞0〔x≥2.所以當x∈[2,+∞]時,g<x>單調(diào)遞增,又g<2>=0,因此≥g<2>=0恒成立,所以f<x>≤x－1成立.②當n為奇數(shù)時,要證≤x－1,由于＜0,所以只需證ln<x－1>≤x－1,令h<x>=x－1－ln<x－1>,則=1－≥0<x≥2>,所以,當x∈[2,+∞]時,單調(diào)遞增,又h<2>=1＞0,所以當x≥2時,恒有h<x>＞0,即ln<x－1>＜x－1命題成立.綜上所述,結(jié)論成立.證法二：當a=1時,當x≤2,時,對任意的正整數(shù)n,恒有≤1,故只需證明1+ln<x－1>≤x－1.令則當x≥2時,≥0,故h<x>在上單調(diào)遞增,因此,當x≥2時,h<x>≥h<2>=0,即1+ln<x－1>≤x－1成立.故當x≥2時,有≤x－1.即f〔x≤x－1.HYPERLINK五、函數(shù)與導數(shù)性質(zhì)的綜合運用〔綜合運用已知函數(shù)⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；⑵已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,證明當時,⑶如果,且,證明解：本小題主要考查導數(shù)的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識,考查運算能力及用函數(shù)思想分析解決問題的能力.⑴,令=0,得.當變化時,,的變化情況如下表<>1<>+0-極大值∴在<>內(nèi)是增函數(shù),在<>內(nèi)是減函數(shù)；極大值.⑵證明：由題意可知g<x>=f<2－x>,∴g<x>=<2－x>.令F<x>=f<x>－g<x>＝,則當時,2x－2>0,從而,從而在[1,+∞>是增函數(shù)。又F<1>=F<x>>F<1>=0,即f<x>>g<x>.⑶證明：①若②若∴根據(jù)①②得由⑵可知,>,則=,所以>,從而>.因為,所以,又由⑴可知函數(shù)在區(qū)間〔－∞,1內(nèi)是增函數(shù),所以>,即>2.〔2010天津理數(shù)21,綜合運用已知函數(shù)⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；⑵已知函數(shù)對任意滿足,證明：當時,⑶如果,且,證明：解：⑴∵=,∴=.<2分>令=0,解得.2＋0－↗極大值↘∴在內(nèi)是增函數(shù),在內(nèi)是減函數(shù).<3分>∴當時,取得極大值=.<4分>⑵證明：,則=.<6分>當時,＜0,＞3,從而＜0,∴＞0,在是增函數(shù).<7分><8分>⑶證明：∵在內(nèi)是增函數(shù),在內(nèi)是減函數(shù).∴當,且,、不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).不妨設(shè),由⑵可知,又,∴.∵,∴.∵,且在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù),∴,即<12分>已知函數(shù)<1>求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；<2>若函數(shù)對任意滿足,求證：當,<3>若,且,求證：解：⑴∵=,∴=.<2分>令=0,解得.2＋0－↗極大值↘∴在內(nèi)是增函數(shù),在內(nèi)是減函數(shù).<3分>∴當時,取得極大值=.<4分>⑵證明：,,∴=.<6分>當時,＜0,＞4,從而＜0,∴＞0,在是增函數(shù).<8分>⑶證明：∵在內(nèi)是增函數(shù),在內(nèi)是減函數(shù).∴當,且,、不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).不妨設(shè),由⑵可知,又,∴.∵,∴.∵,且在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù),∴,即已知函數(shù),〔Ⅰ若,求的單調(diào)區(qū)間；〔Ⅱ?qū)τ谌我獾?比較與的大小,并說明理由．解：〔Ⅰ,,1分=1\*GB3①當時,在上恒成立,的遞增區(qū)間為；2分=2\*GB3②當時,的遞增區(qū)間為；3分=3\*GB3③當時,的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為；4分〔Ⅱ令,,令,在上恒成立,當時,成立,在上恒成立,在上單調(diào)遞增,當時,恒成立,當時,恒成立,對于任意的時,,又,,,即．〔2011XX理21,利用2的對稱已知函數(shù)．⑴討論的單調(diào)性；⑵設(shè),證明：當時,；〔作差⑶若函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點,線段AB中點的橫坐標為,證明：.解：⑴①若單調(diào)增加.②若且當所以單調(diào)增加,在單調(diào)減少.⑵設(shè)函數(shù)則當.故當,⑶由⑴可得,當?shù)膱D像與x軸至多有一個交點,故,從而的最大值為不妨設(shè)由⑵得從而由⑴知,〔恒成立,思路不常見已知函數(shù),其中為實數(shù)．<1>當時,求曲線在點處的切線方程；<2>是否存在實數(shù),使得對任意,恒成立?若不存在,請說明理由,若存在,求出的值并加以證明．解：⑴時,,,,又,所以切線方程為.⑵①當時,,則令,,再令,當時,∴在上遞減,∴當時,,∴,所以在上遞增,,所以②時,,則由①知當時,在上遞增當時,,所以在上遞增,∴,∴；由①②得.已知函數(shù),在區(qū)間上有最大值4,最小值1,設(shè)．〔Ⅰ求的值；〔Ⅱ不等式在上恒成立,求實數(shù)的范圍；〔Ⅲ方程有三個不同的實數(shù)解,求實數(shù)的范圍．解:〔Ⅰ<1>當時,上為增函數(shù)故當上為減函數(shù)故即..〔Ⅱ方程化為,令,∵∴記∴∴〔Ⅲ方程化為,令,則方程化為〔∵方程有三個不同的實數(shù)解,∴由的圖像知,有兩個根、,且或,記則或∴已知函數(shù),設(shè)〔1是否存在唯一實數(shù),使得,若存在,求正整數(shù)m的值；若不存在,說明理由?！?當時,恒成立,求正整數(shù)n的最大值。解：〔1由得則因此在內(nèi)單調(diào)遞增?！?分因為,,即存在唯一的根,于是……………6分〔2由得,且恒成立,由第〔1題知存在唯一的實數(shù),使得,且當時,,；當時,,因此當時,取得最小值……………9分由,得即于是又由,得,從而,故正整數(shù)n的最大值為3?！?2分<第3問難想>已知函數(shù),其中ｅ是自然數(shù)的底數(shù),。當時,解不等式；若在［－１,１］上是單調(diào)增函數(shù),求的取值范圍；當時,求整數(shù)ｋ的所有值,使方程在［ｋ,ｋ＋１］上有解。⑴因為,所以不等式即為,又因為,所以不等式可化為,所以不等式的解集為．………4分⑵,①當時,,在上恒成立,當且僅當時取等號,故符合要求；………6分②當時,令,因為,所以有兩個不相等的實數(shù)根,,不妨設(shè),因此有極大值又有極小值．若,因為,所以在內(nèi)有極值點,故在上不單調(diào)．………8分若,可知,因為的圖象開口向下,要使在上單調(diào),因為,必須滿足即所以.綜上可知,的取值范圍是．………10分⑶當時,方程即為,由于,所以不是方程的解,所以原方程等價于,令,因為對于恒成立,所以在和內(nèi)是單調(diào)增函數(shù),……………13分又,,,,所以方程有且只有兩個實數(shù)根,且分別在區(qū)間和上,所以整數(shù)的所有值為．………16分〔2011高考,單調(diào)性應用,第2問難已知a、b是實數(shù),函數(shù)和是的導函數(shù),若在區(qū)間I上恒成立,則稱和在區(qū)間I上單調(diào)性一致.〔1設(shè),若函數(shù)和在區(qū)間上單調(diào)性一致,求實數(shù)b的取值范圍；〔2設(shè)且,若函數(shù)和在以a,b為端點的開區(qū)間上單調(diào)性一致,求|a－b|的最大值.解：⑴因為函數(shù)和在區(qū)間上單調(diào)性一致,所以,即即實數(shù)b的取值范圍是⑵由若,則由,,和在區(qū)間上不是單調(diào)性一致,所以.;又.所以要使,只有,取,當時,因此當時,因為,函數(shù)和在區(qū)間〔b,a上單調(diào)性一致,所以,即,設(shè),考慮點<b,a>的可行域,函數(shù)的斜率為1的切線的切點設(shè)為則；當時,因為,函數(shù)和在區(qū)間〔a,b上單調(diào)性一致,所以,即,當時,因為,函數(shù)和在區(qū)間〔a,b上單調(diào)性一致,所以,即而x=0時,不符合題意,當時,由題意：,綜上可知,?！?010XX文數(shù),另類區(qū)間已知函數(shù)其中a<0,且a≠-1.〔Ⅰ討論函數(shù)的單調(diào)性；〔Ⅱ設(shè)函數(shù)〔e是自然數(shù)的底數(shù)。是否存在a,使在[a,－a]上為減函數(shù)？若存在,求a的取值范圍；若不存在,請說明理由。79. 〔2008XX理22,第2問無從下手,思路太難想設(shè)函數(shù).⑴求的單調(diào)區(qū)間和極值;⑵是否存在實數(shù),使得關(guān)于的不等式的解集為?若存在,求的取值范圍;若不存在,試說明理由.說明：本小題主要考查函數(shù)的導數(shù),單調(diào)性,極值,不等式等基礎(chǔ)知識,考查綜合利用數(shù)學知識分析問題、解決問題的能力．滿分14分．解：⑴．故當時,,時,．所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減．由此知在的極大值為,沒有極小值．⑵①當時,由于,故關(guān)于的不等式的解集為．②當時,由知,其中為正整數(shù),且有．又時,．且．取整數(shù)滿足,,且,則,即當時,關(guān)于的不等式的解集不是．綜合①②知,存在,使得關(guān)于的不等式的解集為,且的取值范圍為．80. 〔第二問較難設(shè)函數(shù),,是的一個極大值點．⑴若,求的取值范圍；⑵當是給定的實常數(shù),設(shè)是的3個極值點,問是否存在實數(shù),可找到,使得的某種排列〔其中=依次成等差數(shù)列?若存在,求所有的及相應的；若不存在,說明理由．解：本題主要考查函數(shù)極值的概念、導數(shù)運算法則、導數(shù)應用及等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識,同時考查推理論證能力、分類討論等綜合解題能力和創(chuàng)新意識．〔Ⅰ時,,,令,,設(shè)是的兩個根,〔1當或時,則不是極值點,不合題意；〔2當且時,由于是的極大值點,故,即,<Ⅱ>解：,令,,于是,假設(shè)是的兩個實根,且由〔Ⅰ可知,必有,且是的三個極值點,則,假設(shè)存在及滿足題意,〔1當?shù)炔顣r,即時,則或,于是,即此時或〔2當時,則或①若,則,于是,即兩邊平方得,于是,此時,此時=②若,則,于是,即兩邊平方得,于是,此時此時綜上所述,存在b滿足題意,當b=－a－3時,,時,,時,.81. 已知函數(shù),,記〔Ⅰ求的單調(diào)區(qū)間；〔Ⅱ當時,若,比較：與的大??；〔Ⅲ若的極值為,問是否存在實數(shù),使方程有四個不同實數(shù)根？若存在,求出實數(shù)的取值范圍；若不存在,請說明理由。解：〔Ⅰ的定義域為〔0,+∞,又,當時,>0恒成立∴在〔0,+∞上單調(diào)遞增；令得當時,若,∴在〔0,上單調(diào)遞減；若,,∴在〔,+∞上單調(diào)遞增故時,增區(qū)間為；時,增區(qū)間為,減區(qū)間為〔0,?！?分〔Ⅱ令,則,所以在［1,+∞上單調(diào)遞增,∴,∴.〔Ⅲ由〔Ⅰ知僅當時,在＝處取得極值由可得＝２,方程為,令,得．．．由方程有四個不同的根,得方程有兩個不同的正根,令,當直線與曲線相切時,,得切點坐標〔３,∴切線方程為,其在y軸上截距為；當直線在軸上截距時,和在y軸右側(cè)有兩個不同交點,所以k的取值范圍為〔,0.〔注：也可用導數(shù)求解HYPERLINK六、導數(shù)應用題82. 某工廠生產(chǎn)某種兒童玩具,每件玩具的成本為30元,并且每件玩具的加工費為t元<其中t為常數(shù),且2≤t≤5>,設(shè)該工廠每件玩具的出廠價為x元<35≤x≤41>,根據(jù)市場調(diào)查,日銷售量與ex<e為自然對數(shù)的底數(shù)>成反比例,當每件玩具的出廠價為40元時,日銷售量為10件．<1>求該工廠的日利潤y<元>與每件玩具的出廠價x元的函數(shù)關(guān)系式；<2>當每件玩具的日售價為多少元時,該工廠的利潤y最大,并求y的最大值．解：<1>設(shè)日銷售量為,則＝10,∴k＝10e40.則日銷售量為,∴日利潤y＝<x－30－t>·.∴y＝,其中35≤x≤41.<2>y′＝,令y′＝0得x＝31＋t.①當2≤t≤4時,33≤31＋t≤35.∴當35≤x≤41時,y′≤0.∴當x＝35時,y取最大值,最大值為10<5－t>e5.②當4<t≤5時,35<t＋31≤36,函數(shù)y在[35,t＋31]上單調(diào)遞增,在[t＋31,41]上單調(diào)遞減．∴當x＝t＋31時,y取最大值10e9－t.∴當2≤t≤4時,x＝35時,日利潤最大值為10<5－t>e5元．當4<t≤5時,x＝31＋t時,日利潤最大值為10e9－t元．83. 如圖,ABCD是正方形空地,正方形的邊長為30m,電源在點P處,點P到邊AD、AB的距離分別為9m、3m,某廣告公司計劃在此空地上豎一塊長方形液晶廣告屏幕MNEF,MN：NE=16：9,線段MN必須過點P,滿足M、N分別在邊AD、AB上,設(shè),液晶廣告屏幕MNEF的面積為〔I求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出該函數(shù)的定義域；〔II當x取何值時,液晶廣告屏幕MNEF的面積S最?。拷猓骸睮如圖,建立直角坐標系,設(shè)由已知有,又MN過點D時,x最小值為10,..定義域為[10,30].〔II令,當關(guān)于x為減函數(shù)；當時,關(guān)于為增函數(shù).時,S取得最小值.答：當AN長為〔m時,液晶廣告屏幕MNEF的面積S最小HYPERLINK\l"_top"七、導數(shù)結(jié)合三角函數(shù)84. 已知函數(shù),函數(shù)是區(qū)間[-1,1]上的減函數(shù)．〔I求的最大值；〔II若上恒成立,求t的取值范圍；〔Ⅲ討論關(guān)于x的方程的根的個數(shù)．解：〔I,上單調(diào)遞減,在[－1,1]上恒成立,,故的最大值為……4分〔II由題意只需＜,∴＞0<其中≤－1>恒成立.令＞0<≤－1>,則,即,而恒成立,∴.〔Ⅲ由令當上為增函數(shù)；當時,為減函數(shù)；當而方程無解；當時,方程有一個根；當時,方程有兩個根． …………14分已知函數(shù)是奇函數(shù),函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱,當時,<為常數(shù)>.〔I求的解析式；〔II已知當時,取得極值,求證：對任意恒成立；〔III若是上的單調(diào)函數(shù),且當時,有,求證：.解:<Ⅰ>當時,必有,則而若點在的圖象上,則關(guān)于的對稱點必在的圖象上,即當時,由于是奇函數(shù),則任取有且又當時,由必有綜上,當時.……5分〔Ⅱ若時取到極值,則必有當時,即又由知,當時,,為減函數(shù),.……9分〔Ⅲ若在為減函數(shù),則對任意皆成立,這樣的實數(shù)不存在若為增函數(shù),則可令.由于在上為增函數(shù),可令,即當時,在上為增函數(shù)由,設(shè),則與所設(shè)矛盾若則與所設(shè)矛盾故必有85. 設(shè)函數(shù)〔,其中．〔Ⅰ當時,求曲線在點處的切線方程；〔Ⅱ當時,求函數(shù)的極大值和極小值；〔Ⅲ當,時,若不等式對任意的恒成立,求的值。解：當時,,得,且,．所以,曲線在點處的切線方程是,整理得．〔Ⅱ解：．令,解得或．由于,以下分兩種情況討論．〔1若,當變化時,的正負如下表：因此,函數(shù)在處取得極小值,且；函數(shù)在處取得極大值,且．〔2若,當變化時,的正負如下表