華師七下知識點實際問題與一元一次方程

數學實際問題與一元一次方程一．列一元一次方程解應用題的一般步驟（1）審題：認真審題，理解題意，弄清題目中的數量關系，找出其中的等量關系．（2）找出等量關系：找出能夠表示本題含義的相等關系．（3）設出未知數，列出方程：設出未知數后，表示出有關的含字母的式子，然后利用已找出的等量關系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知數的值．（5）檢驗，寫答案：檢驗所求出的未知數的值是否是方程的解，是否符合實際，檢驗后寫出答案．二.分類知能點與題目知能點1：市場經濟、打折銷售問題（1）商品利潤＝商品售價－商品成本價（2）商品利潤率＝×100%（3）商品銷售額＝商品銷售價×商品銷售量（4）商品的銷售利潤＝（銷售價－成本價）×銷售量（5）商品打幾折出售，就是按原標價的百分之幾十出售，如商品打8折出售，即按原標價的80%出售．例1.某商店開張，為了吸引顧客，所有商品一律按八折優(yōu)惠出售，已知某種皮鞋進價60元一雙，八折出售后商家獲利潤率為40%，問這種皮鞋標價是多少元？優(yōu)惠價是多少元？[分析]通過列表分析已知條件，找到等量關系式

進價折扣率標價優(yōu)惠價利潤率60元8折X元80%X40%等量關系：商品利潤率=商品利潤/商品進價解：設標價是X元，解之：x=105優(yōu)惠價為例2.一家商店將某種服裝按進價提高40%后標價，又以8折優(yōu)惠賣出，結果每件仍獲利15元，這種服裝每件的進價是多少？[分析]探究題目中隱含的條件是關鍵，可直接設出成本為X元進價折扣率標價優(yōu)惠價利潤X元8折（1+40%）X元80%（1+40%）X15元等量關系：（利潤=折扣后價格—進價）折扣后價格－進價=15解：設進價為X元，80%X（1+40%）—X=15，X=125答：進價是125元。1．一種商品進價為50元，為賺取20%的利潤，該商品的標價為________元．60（點撥：設標價為x元，則x-50=50×20%）2．某商品的標價為220元，九折賣出后盈利10%，則該商品的進價為______元．180（點撥：設商品的進價為x元，則220×90%-x=10%x）3．某種商品若按標價的8折出售可獲利20%，若按原標價出售，則可獲利（）．A．25%B．40%C．50%D．1C（點撥：設標價為x元，進價為a元，則80%x-a=20%a，得x=a∴按原標價出售可獲利×100%=50%）4．兩件商品都賣84元，其中一件虧本20%，另一件贏利40%，則兩件商品賣后（）．A．贏利16.8元B．虧本3元C．贏利3元D．不贏不虧C（點撥：設進價分別為a元，b元，則a-84=20%a，得a=10584-b=40%b，得b=60∴84×2-（a+b）=3，故贏利3元）5.一家商店將一種自行車按進價提高45%后標價，又以八折優(yōu)惠賣出，結果每輛仍獲利50元，這種自行車每輛的進價是多少元？若設這種自行車每輛的進價是x元，那么所列方程為（）A.45%×（1+80%）x-x=50B.80%×（1+45%）x-x=50C.x-80%×（1+45%）x=50D.80%×（1-45%）x-x=506.某商品的進貨價為每件x元，零售價為每件900元，為了適應市場競爭，商店按零售價的九折讓利40元銷售，仍可獲利10%，則x為（ ）A、700元 B、約733元 C、約736元 D、約856元7．某商品的進價為800元，出售時標價為1200元，后來由于該商品積壓，商店準備打折出售，但要保持利潤率不低于5%，則至多打幾折．解：設至多打x折，根據題意有×100%=5%解得x=0.7=70%答：至多打7折出售．8．一家商店將某種型號的彩電先按原售價提高40%，然后在廣告中寫上“大酬賓，八折優(yōu)惠”．經顧客投拆后，拆法部門按已得非法收入的10倍處以每臺2700元的罰款，求每臺彩電的原售價．解：設每臺彩電的原售價為x元，根據題意，有10[x（1+40%）×80%-x]=2700，x=2250答：每臺彩電的原售價為2250元．9、某商品進價是1000元，標價為1500元，商品要求以利潤率不低于5%的售價打折出售，售貨員最低可以打幾折出售此商品？知能點2：方案選擇問題10．某蔬菜公司的一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為1000元，經粗加工后銷售，每噸利潤可達4500元，經精加工后銷售，每噸利潤漲至7500元，當地一家公司收購這種蔬菜140噸，該公司的加工生產能力是：如果對蔬菜進行精加工，每天可加工16噸，如果進行精加工，每天可加工6噸，但兩種加工方式不能同時進行，受季度等條件限制，公司必須在15天將這批蔬菜全部銷售或加工完畢，為此公司研制了三種可行方案：方案一：將蔬菜全部進行粗加工．方案二：盡可能多地對蔬菜進行粗加工，沒來得及進行加工的蔬菜，在市場上直接銷售．方案三：將部分蔬菜進行精加工，其余蔬菜進行粗加工，并恰好15天完成．你認為哪種方案獲利最多？為什么？解：方案一：獲利140×4500=630000（元）方案二：獲利15×6×7500+（140-15×6）×1000=725000（元）方案三：設精加工x噸，則粗加工（140-x）噸．依題意得=15解得x=60獲利60×7500+（140-60）×4500=810000（元）因為第三種獲利最多，所以應選擇方案三．11．某市移動通訊公司開設了兩種通訊業(yè)務：“全球通”使用者先繳50元月基礎費，然后每通話1分鐘，再付電話費0.2元；“神州行”不繳月基礎費，每通話1分鐘需付話費0.4元（這里均指市內電話）．若一個月內通話x分鐘，兩種通話方式的費用分別為y1元和y2元．（1）寫出y1，y2與x之間的函數關系式（即等式）．（2）一個月內通話多少分鐘，兩種通話方式的費用相同？（3）若某人預計一個月內使用話費120元，則應選擇哪一種通話方式較合算？解：（1）y1=0.2x+50，y2=0.4x．（2）由y1=y2得0.2x+50=0.4x，解得x=250．即當一個月內通話250分鐘時，兩種通話方式的費用相同．（3）由0.2x+50=120，解得x=350由0.4x+50=120，得x=300因為350>300故第一種通話方式比較合算．12．某地區(qū)居民生活用電基本價格為每千瓦時0.40元，若每月用電量超過a千瓦時，則超過部分按基本電價的70%收費．（1）某戶八月份用電84千瓦時，共交電費30.72元，求a．（2）若該用戶九月份的平均電費為0.36元，則九月份共用電多少千瓦時？應交電費是多少元？解：（1）由題意，得0.4a+（84-a）×0.40×70%=30.72解得a=60（2）設九月份共用電x千瓦時，則0.40×60+（x-60）×0.40×70%=0.36x解得x=90所以0.36×90=32.40（元）答：九月份共用電90千瓦時，應交電費32.40元．13．某家電商場計劃用9萬元從生產廠家購進50臺電視機．已知該廠家生產3種不同型號的電視機，出廠價分別為A種每臺1500元，B種每臺2100元，C種每臺2500元．（1）若家電商場同時購進兩種不同型號的電視機共50臺，用去9萬元，請你研究一下商場的進貨方案．（2）若商場銷售一臺A種電視機可獲利150元，銷售一臺B種電視機可獲利200元，銷售一臺C種電視機可獲利250元，在同時購進兩種不同型號的電視機方案中，為了使銷售時獲利最多，你選擇哪種方案？解：按購A，B兩種，B，C兩種，A，C兩種電視機這三種方案分別計算，設購A種電視機x臺，則B種電視機y臺．（1）①當選購A，B兩種電視機時，B種電視機購（50-x）臺，可得方程1500x+2100（50-x）=90000即5x+7（50-x）=3002x=50x=2550-x=25②當選購A，C兩種電視機時，C種電視機購（50-x）臺，可得方程1500x+2500（50-x）=900003x+5（50-x）=1800x=3550-x=15③當購B，C兩種電視機時，C種電視機為（50-y）臺．可得方程2100y+2500（50-y）=9000021y+25（50-y）=900，4y=350，不合題意由此可選擇兩種方案：一是購A，B兩種電視機25臺；二是購A種電視機35臺，C種電視機15臺．（2）若選擇（1）中的方案①，可獲利150×25+250×15=8750（元）若選擇（1）中的方案②，可獲利150×35+250×15=9000（元）9000>8750故為了獲利最多，選擇第二種方案．14.小剛為書房買燈?，F有兩種燈可供選購，其中一種是9瓦的節(jié)能燈，售價為49元/盞，另一種是40瓦的白熾燈，售價為18元/盞。假設兩種燈的照明效果一樣，使用壽命都可以達到2800小時。已知小剛家所在地的電價是每千瓦時0.5元。(1).設照明時間是x小時，請用含x的代數式分別表示用一盞節(jié)能燈和用一盞白熾燈的費用。（費用=燈的售價+電費）(2).小剛想在這兩種燈中選購一盞。當照明時間是多少時，使用兩種燈的費用一樣多？試用特殊值判斷：照明時間在什么范圍內，選用白熾燈費用低？照明時間在什么范圍內，選用節(jié)能燈費用低？(3).小剛想在這種燈中選購兩盞。假定照明時間是3000小時，使用壽命都是2800小時。請你設計一種費用最低的選燈照明方案，并說明理由。答案：0.005x+490.02x+182000知能點3儲蓄、儲蓄利息問題(1）顧客存入銀行的錢叫做本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金和利息合稱本息和，存入銀行的時間叫做期數，利息與本金的比叫做利率。利息的20%付利息稅(2）利息=本金×利率×期數本息和=本金+利息利息稅=利息×稅率（20%）(3）例3.某同學把250元錢存入銀行，整存整取，存期為半年。半年后共得本息和252.7元，求銀行半年期的年利率是多少？（不計利息稅）[分析]等量關系：本息和=本金×（1+利率）解：設半年期的實際利率為X，依題意得方程250（1+X）=252.7，解得X=0.0108所以年利率為0.0108×2=0.0216答：銀行的年利率是21.6%一年2.25三年2.70六年2.88

例4.為了準備6年后小明上大學的學費20000元，他的父親現在就參加了教育儲蓄，下面有三種教育儲蓄方式：(1）直接存入一個6年期；(2）先存入一個三年期，3年后將本息和自動轉存一個三年期；(3）先存入一個一年期的，后將本息和自動轉存下一個一年期；你認為哪種教育儲蓄方式開始存入的本金比較少？[分析]這種比較幾種方案哪種合理的題目，我們可以分別計算出每種教育儲蓄的本金是多少，再進行比較。解：(1）設存入一個6年的本金是X元,依題意得方程X（1+6×2.88%）=20000，解得X=17053(2）設存入兩個三年期開始的本金為Y元，Y（1+2.7%×3）(1+2.7%×3）=20000，X=17115(3）設存入一年期本金為Z元，Z（1+2.25%）6=20000，Z=17894所以存入一個6年期的本金最少。15．利息稅的計算方法是：利息稅=利息×20%．某儲戶按一年定期存款一筆，年利率2.25%，一年后取出時，扣除了利息稅90元，據此分析，這筆存款的到期利息是____元，本金是_______元，銀行向儲戶支付的現金是________元．450200002036016．小剛的爸爸前年買了某公司的二年期債券4500元，今年到期，扣除利息稅后，共得本利和約4700元，問這種債券的年利率是多少（精確到0.01%）．解：設這種債券的年利率是x，根據題意有4500+4500×2×x×（1-20%）=4700，解得x=0.03答：這種債券的年利率為0.03．17．為了準備小明三年后上高中的學費，他的父母準備現在拿出3000元參加教育儲蓄，已知教育儲蓄一年期利率為1.98%，二年期利率為2.25%，三年期利率為2.52%，請你幫小明的父母計算一下如何儲蓄三年后得到的利息最多．解：利用公式分三種情況（一年期、二年期、三年期）進行計算，再進行比較即可獲得答案．一年期：設利息為x元，則x=3000×1.98%×1=59.4（元）二年期：設利息為x元，則x=3000×2.25%×2=135（元）三年期：設利息為x元，則x=3000×2.52%×3=226.8（元）∵59.4<∴三年期儲蓄利息最多．18．（北京海淀區(qū)）白云商場購進某種商品的進價是每件8元，銷售價是每件10元（銷售價與進價的差價2元就是賣出一件商品所獲得的利潤）．現為了擴大銷售量，把每件的銷售價降低x%出售，但要求賣出一件商品所獲得的利潤是降價前所獲得的利潤的90%，則x應等于（）．A．1B．1.8C．2D．10C[點撥：根據題意列方程，得（10-8）×90%=10（1-x%）-8，解得x=2，故選C]19.某人按定期2年向銀行儲蓄1500元，假設每年利率為3%（不計復利）到期支取時，扣除利息所得稅（稅率為20%）此人實得利息為（ ）A、1272元 B、36元 C、72元 D、1572元20.用若干元人民幣購買了一種年利率為10%的一年期債券，到期后他取出本金的一半用作購物，剩下的一半和所得的利息又全部買了這種一年期債券（利率不變），到期后得本息和1320元。問張叔叔當初購買這咱債券花了多少元？答案：22000元21.購買了25000元某公司1年期的債券，一年后扣除20%的利息稅之后得到本息和為26000元，這種債券的年利率是多少？答案：百分之五知能點4：工程問題工作量＝工作效率×工作時間工作效率＝工作量÷工作時間工作時間＝工作量÷工作效率完成某項任務的各工作量的和＝總工作量＝1例5.一件工作，甲獨作10天完成，乙獨作8天完成，兩人合作幾天完成？[分析]甲獨作10天完成，說明的他的工作效率是乙的工作效率是等量關系是：甲乙合作的效率×合作的時間=1解：設合作X天完成,依題意得方程答：兩人合作天完成

例6.一件工程，甲獨做需15天完成，乙獨做需12天完成，現先由甲、乙合作3天后，甲有其他任務，剩下工程由乙單獨完成，問乙還要幾天才能完成全部工程？[分析]設工程總量為單位1，等量關系為：甲完成工作量+乙完成工作量=工作總量。解：設乙還需x天完成全部工程，設工作總量為單位1，由題意得，答：乙還需天才能完成全部工程。

例7.一個蓄水池有甲、乙兩個進水管和一個丙排水管，單獨開甲管6小時可注滿水池；單獨開乙管8小時可注滿水池，單獨開丙管9小時可將滿池水排空，若先將甲、乙管同時開放2小時，然后打開丙管，問打開丙管后幾小時可注滿水池？[分析]等量關系為：甲注水量+乙注水量-丙排水量=1。解：設打開丙管后x小時可注滿水池，由題意得，答：打開丙管后小時可注滿水池。22.一批工業(yè)最新動態(tài)信息輸入管理儲存網絡，甲獨做需6小時，乙獨做需4小時，甲先做30分鐘，然后甲、乙一起做，則甲、乙一起做還需多少小時才能完成工作？解：設甲、乙一起做還需x小時才能完成工作．根據題意，得×+（+）x=1解這個方程，得x==2小時12分答：甲、乙一起做還需2小時12分才能完成工作．23.某車間有16名工人，每人每天可加工甲種零件5個或乙種零件4個．在這16名工人中，一部分人加工甲種零件，其余的加工乙種零件．已知每加工一個甲種零件可獲利16元，每加工一個乙種零件可獲利24元．若此車間一共獲利1440元，求這一天有幾個工人加工甲種零件．解：設這一天有x名工人加工甲種零件，則這天加工甲種零件有5x個，乙種零件有4（16-x）個．根據題意，得16×5x+24×4（16-x）=1440解得x=6答：這一天有6名工人加工甲種零件．24.一項工程甲單獨做需要10天，乙需要12天，丙單獨做需要15天，甲、丙先做3天后，甲因事離去，乙參與工作，問還需幾天完成？設還需 知能點5：若干應用問題等量關系的規(guī)律（1）和、差、倍、分問題此類題既可有示運算關系，又可表示相等關系，要結合題意特別注意題目中的關鍵詞語的含義，如相等、和差、幾倍、幾分之幾、多、少、快、慢等，它們能指導我們正確地列出代數式或方程式。增長量＝原有量×增長率現在量＝原有量＋增長量25.某糧庫裝糧食，第一個倉庫是第二個倉庫存糧的3倍，如果從第一個倉庫中取出20噸放入第二個倉庫中，第二個倉庫中的糧食是第一個中的問每個倉庫各有多少糧食？設第二個倉庫存糧 （2）等積變形問題常見幾何圖形的面積、體積、周長計算公式，依據形雖變，但體積不變．①圓柱體的體積公式V=底面積×高＝S·h＝r2h②長方體的體積V＝長×寬×高＝abc26.一個裝滿水的內部長、寬、高分別為300毫米，300毫米和80毫米的長方體鐵盒中的水，倒入一個內徑為200毫米的圓柱形水桶中，正好倒?jié)M，求圓柱形水桶的高（精確到0.1毫米，≈3.14）．解：設圓柱形水桶的高為x毫米，依題意，得·（）2x=300×300×80x≈229.3答：圓柱形水桶的高約為229.3毫米．27.長方體甲的長、寬、高分別為260mm，150mm，325mm，長方體乙的底面積為130×130mm2，又知甲的體積是乙的體積的2.5倍，求乙的高？設乙的高為 知能點6：行程問題基本量之間的關系：路程＝速度×時間時間＝路程÷速度速度＝路程÷時間（1）相遇問題（2）追及問題快行距＋慢行距＝原距快行距－慢行距＝原距（3）航行問題順水（風）速度＝靜水（風）速度＋水流（風）速度逆水（風）速度＝靜水（風）速度－水流（風）速度抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速（靜不速）不變的特點考慮相等關系．例6.甲、乙兩站相距480公里，一列慢車從甲站開出，每小時行90公里，一列快車從乙站開出，每小時行140（1）慢車先開出1小時，快車再開。兩車相向而行。問快車開出多少小時后兩車相遇？（2）兩車同時開出，相背而行多少小時后兩車相距600公里？（3）兩車同時開出，慢車在快車后面同向而行，多少小時后快車與慢車相距600公里？（4）兩車同時開出同向而行，快車在慢車的后面，多少小時后快車追上慢車？（5）慢車開出1小時后兩車同向而行，快車在慢車后面，快車開出后多少小時追上慢車？此題關鍵是要理解清楚相向、相背、同向等的含義，弄清行駛過程。故可結合圖形分析。（1）分析：相遇問題，畫圖表示為：等量關系是：慢車走的路程+快車走的路程=480公里解：設快車開出x小時后兩車相遇，由題意得，140x+90(x+1)=480解這個方程，230x=390答：快車開出小時兩車相遇分析：相背而行，畫圖表示為：等量關系是：兩車所走的路程和+480公里=600公里解：設x小時后兩車相距600公里由題意得，(140+90)x+480=600解這個方程，230x=120∴x=答：小時后兩車相距600公里。（3）分析：等量關系為：快車所走路程－慢車所走路程+480公里=600公里解：設x小時后兩車相距600公里，由題意得，(140－90)x+480=60050x=120∴答：2.4小時后兩車相距600公里。分析：追及問題，畫圖表示為：等量關系為：快車的路程=慢車走的路程+480公里。解：設x小時后快車追上慢車。由題意得，140x=90x+480解這個方程，50x=480∴x=9.6答：9.6小時后快車追上慢車。分析：追及問題，等量關系為：快車的路程=慢車走的路程+480公里解：設快車開出x小時后追上慢車。由題意得，140x=90(x+1)+48050x=570∴x=11.4答：快車開出11.4小時后追上慢車。

例7.甲乙兩人在同一道路上從相距5千米的A、B兩地同向而行，甲的速度為5千米/小時，乙的速度為3千米/小時，甲帶著一只狗，當甲追乙時，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反復，直至甲追上乙為止，已知狗的速度為15[分析]]追擊問題，不能直接求出狗的總路程，但間接的問題轉化成甲乙兩人的追擊問題。狗跑的總路程=它的速度×時間，而它用的總時間就是甲追上乙的時間解：設甲用X小時追上乙，根據題意列方程5X=3X+5解得X=2.5，狗的總路程：15×2.5=37.5答：狗的總路程是37.5千米例8.某船從A地順流而下到達B地，然后逆流返回，到達A、B兩地之間的C地，一共航行了7小時，已知此船在靜水中的速度為8千米/時，水流速度為2千米/時。A、C兩地之間的路程為10千米，求A、[分析]這屬于行船問題，這類問題中要弄清：（1）順水速度=船在靜水中的速度+水流速度；（2）逆水速度=船在靜水中的速度－水流速度。相等關系為：順流航行的時間+逆流航行的時間=7小時。解：設A、B兩碼頭之間的航程為x千米，則B、C間的航程為(x-10)千米，由題意得，答：A、B兩地之間的路程為32.5千米。28．有一火車以每分鐘600米的速度要過完第一、第二兩座鐵橋，過第二鐵橋比過第一鐵橋需多5秒，又知第二鐵橋的長度比第一鐵橋長度的2倍短50米，試求各鐵橋的長．解：設第一鐵橋的長為x米，那么第二鐵橋的長為（2x-50）米，過完第一鐵橋所需的時間為分．過完第二鐵橋所需的時間為分．依題意，可列出方程+=解方程x+50=2x-50得x=100∴2x-50=2×100-50=150答：第一鐵橋長100米，第二鐵橋長150米．29．已知甲、乙兩地相距120千米，乙的速度比甲每小時快1千米，甲先從A地出發(fā)2小時后，乙從B地出發(fā)，與甲相向而行經過10設甲的速度為千米/小時，依題意得， 30．一隊學生去軍事訓練，走