高等數(shù)學(xué)課件1-第8章-多元函數(shù)

返回多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的連續(xù)性0（1）鄰域設(shè)P0

(

x0

,

y0

)是xoy

平面上的一個(gè)點(diǎn)，

是某一正數(shù)，與點(diǎn)P0

(

x0

,

y0

)距離小于

的點(diǎn)P(

x,

y)的全體，稱為點(diǎn)P0

的

鄰域，記為U

(

P0

,

)

，U(P0

,

)

P

|

PP0

|

P200y

)

.(

x

x

)2

(

y

(

x,

y)

|

一、多元函數(shù)的概念（2）區(qū)域EP內(nèi)點(diǎn)：設(shè)

E

是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，P

是平面上的一個(gè)點(diǎn)．如果存在點(diǎn)P

的某一鄰域U

(

P

)

E

，則稱

P

為

E

的內(nèi)點(diǎn).

E

的內(nèi)點(diǎn)屬于

E

.開集：如果點(diǎn)集E

的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)則稱E

為開集.1例如，E

{(

x,

y)1

x2

y2

4}即為開集．EPE

的邊界點(diǎn)的全體稱為E

的邊界邊界點(diǎn)：如果點(diǎn)P

的任一個(gè)鄰域內(nèi)既有屬于E

的點(diǎn)也有不屬于E

的點(diǎn)（點(diǎn)P

本身可以屬于E

，也可以不屬于E

），則稱P

為E

的邊界點(diǎn)．連通：設(shè)D

是開集．如果對(duì)于D

內(nèi)任何兩點(diǎn)，都可用折線連結(jié)起來且該折線上的點(diǎn)都屬于D

，則稱開集D

是連通的．連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域．例如，{(x,y)|

1

x2

y2

4}.xyo開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.例如，{(x,y)|

1

x2

y2

4}.xyo{(x,

y)

|

x

y

0}開區(qū)域．xo對(duì)于點(diǎn)集

E

如果存在正數(shù)

K，使一切點(diǎn)

P

E

與某一定點(diǎn)

A

間的距離

AP

不超過

K即

AP

K對(duì)一切

P

E成立，則稱

E為有界點(diǎn)集，否則稱為

點(diǎn)集．

例如，y{(

x,

y)

|

1

x2

y2

4}有界閉區(qū)域；（3）聚點(diǎn)設(shè)E

是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，P

是平面上的一個(gè)點(diǎn)，如果點(diǎn)P

的任何一個(gè)鄰域內(nèi)總有無限多個(gè)點(diǎn)屬于點(diǎn)集E，則稱P

為E

的聚點(diǎn).說明：內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；{(

x,

y)

|

0

x2

y2

1}(0,0)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)．例點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于E．例如,

{(

x,

y)

|

0

x2

y2

1}(0,0)是聚點(diǎn)但不屬于集合．例如,

{(

x,

y)

|

x2

y2

1}邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合．（4）n說明：n的記號(hào)為Rn

;n中兩點(diǎn)間距離公式設(shè)兩點(diǎn)為P(x1

,x2

,,xn

),Q(

y1

,

y2

,,

yn

),|

PQ

|

(

y

x

)2

(

y

x

)2

(

y

x

)2

.1

1

2

2

n

n特殊地當(dāng)n

1,2,3

時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離．n

中鄰域、區(qū)域等概念n,

P

R0

0

U(P

,

)

P

|

PP

|內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義．鄰域：設(shè)D

是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對(duì)于每個(gè)點(diǎn)

P

(x,y)

D

，變量z

按照一定的法則總有確定的值和它對(duì)應(yīng)，則稱z

是變量x,y

的二元函數(shù)，記為

z

f

(x,y)（或記為z

f

(P

)）.類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．當(dāng)n

2時(shí)，n元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量因變量等概念.（5）二元函數(shù)的定義例1求f

(x,y)的定義域．x

y2

y2

)arcsin(

3

x2解

x

y2

0

3

x2

y2

1

x

y22

x2

y2

4

所求定義域?yàn)?/p>

D

{(x,y)|

2

x2

y2

4,

x

y2

}.（6）二元函數(shù)z

f

(

x,

y)的圖形設(shè)函數(shù)z

f

(

x,

y)的定義域?yàn)镈

，對(duì)于任意取定的P(

x,

y)

D

，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為z

f

(x,y)，這樣，以x

為橫坐標(biāo)、y

為縱坐標(biāo)、z

為豎坐標(biāo)在空間就確定一點(diǎn)M

(x,y,z)，當(dāng)(

x

,

y

)取遍D

上一切點(diǎn)時(shí)，得一個(gè)空間點(diǎn)集{(

x,

y,

z)

|

z

f

(

x,

y),

(

x,

y)

D}，這個(gè)點(diǎn)集稱為二元函數(shù)的圖形.（如下頁(yè)圖）二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.xyzo例如,

z

sin

xy例如,

x2圖形如右圖.

y2

z2

a2左圖球面.D

{(

x,

y)

x2

y2

a2

}.a2a2單值分支:

z

x2

y2z

x2

y2

.定義1

設(shè)函數(shù)z

f

(x,y)的定義域?yàn)?/p>

D,P0

(x0

,y0

)是其聚點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)

，總存在正數(shù)

，使得對(duì)于適合不等式0

0

0(

x

x

)2

(

y

y

)2

0

|

PP

|的一切點(diǎn)，都有|

f

(

x,

y)

A

|

成立，則稱

A

為函數(shù)z

f

(

x,

y)當(dāng)x

x0

，

y

y0

時(shí)的極限，記為lim

f

(

x,

y)

Ax

x0y

y0（或

f

(

x,

y)

A(

0)這里

|

PP0

|）.二、多元函數(shù)的極限說明：定義中P

P0

的方式是任意的；二元函數(shù)的極限也叫二重極限

lim

f

(

x,

y);x

x0y

y0二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似．例2

求證lim(x2

y2

)sin證

01x2

y2x0y0

01x2

y2(

x2

y2

)sin1x2

y2

x2

y2

sin

x2

y2

0,

,當(dāng)

0

(

x

0)2

(

y

0)2

時(shí)，

0

1x2

y2(

x2

y2

)sin原結(jié)論成立．例3

求極限lim.sin(

x2

y)x2

y2x0y0解x2

y2sin(

x2

y)limx0y02

,22sin(

x2

y)

x2

yx

y

x

y

limx0y0x

ysin(

x2

y)其中l(wèi)imx0y02usin

ulimu0

1,x2x2

y

y21

x

0,2x0

0.sin(

x2

y)

lim2x

y2x0y0u

x2

y22x

y

2

x

y

0不存在．證

取26例4

證明limx3

y

yy0x0

xy

kx3

,26limx3

y

yy0x0

xx3

kx3

limx0ykx32

,x6

k

2

x6

1

kk其值隨k的不同而變化，故極限不存在．觀察z

2

不存在.6x3

ylim

yy0x0

x62

圖形,x3

yx

y令P(x,y)沿y

kx

趨向于P0

(x0

,y0

)，若極限值與k

有關(guān)，則可斷言極限不存在；找兩種不同趨近方式，使lim

f

(

x,

y)

存在，x

x0y

y0但兩者不相等，此時(shí)也可斷言f

(x,y)在點(diǎn)P0

(x0

,y0

)處極限不存在．確定極限不存在的方法：定義

2

設(shè)n

元函數(shù)

f

(

P

)

的定義域?yàn)辄c(diǎn)集D,

P0

是其聚點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)總

存

在

正

數(shù)

，

使

得

對(duì)

于

適

合

不

等

式0

|

PP0

|

P

D的

一

切

點(diǎn) ，

都

有|

f

(P

)

A

|

成立，則稱A為n

元函數(shù)f

(P

)當(dāng)P

P0

時(shí)的極限，記為lim

f

(

P

)

A.P

P0利用點(diǎn)函數(shù)的形式有n元函數(shù)的極限定義3

設(shè)n

元函數(shù)

f

(

P

)

的定義域?yàn)辄c(diǎn)集D,

P0是其聚點(diǎn)且P0

D

，如果lim

f

(

P

)

f

(

P0

)P

P0則稱n元函數(shù)f

(P

)在點(diǎn)P0

處連續(xù).設(shè)P0

是函數(shù)f

(P

)的定義域的聚點(diǎn)，如果

f

(P

)在點(diǎn)P0

處不連續(xù)，則稱P0

是函數(shù)f

(P

)的間斷點(diǎn).三、多元函數(shù)的連續(xù)性例5函數(shù)0,

x3

y3(

x,

y)

(0,0), (

x,

y)

(0,0)f

(

x,

y)

2

2x

y在(0,0)處的連續(xù)性．解取x

cos

,y

f

(

x,

y)

f

(0,0)

(sin3

cos3

)

2f

(

x,

y)

f

(lim

f

(

x,

y)

f

(0,0),(

x

,

y

)(0,0)故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).2

0,

,當(dāng)

0

x2

y2

時(shí)例6

函數(shù)0,x2

y2

0,

x2

y2

0f

(

x,

y)

22x

yxy在(0,0)的連續(xù)性．解

取y

kxxyx2

y2limx0y02

2

2kx2

k

x

limykxx0

x21

kk其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)最大值和最小值定理在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．介值定理在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次．多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域．例７求

limx0y0xyxy

1

1

.xy

1

1)xy

1

1y0x0

xy(解原式

lim1xy

1

1

limx0y02

1

.P

P0一般地，求

lim

f

(

P

)

時(shí)，如果

f

(

P

)

是初等函P

P0數(shù)，且

P0

是

f

(

P

)

的定義域的內(nèi)點(diǎn)，則

f

(

P

)

在點(diǎn)

P0

處連續(xù)，于是

lim

f

(

P

)

f

(

P0

).多元函數(shù)的定義多元函數(shù)極限的概念（注意趨近方式的任意性）多元函數(shù)連續(xù)的概念有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)四、小結(jié)若點(diǎn)(x,y)沿著無數(shù)多條平面曲線趨向于點(diǎn)(x0

,y0

)時(shí)，函數(shù)f

(x,y)都趨向于A，能否斷定lim

f

(

x,

y)

A？(

x

,

y

)(

x0

,

y0

)思考題思考題解答例不能.x3

y2f

(

x,

y)

,(

x2

y4

)2(

x,

y)

(0,0)取y

kx,x3

k

2

x2(

x2

k

4

x4

)2f

(

x,

kx)

x0

0但是lim

f

(x,y)不存在.(

x

,

y

)(

0,0)2原因?yàn)槿羧

y

,2(

y4

y4

)y6

y22f

(

y

,

y)

.4

1練習(xí)題一、填空題:y1、若f

(x,y)

x

2

y

2

xy

tan

x

,則f

(tx,ty)=t

2

f

(.x,y)2、若f

(x,y)

y

2x

2,則

f

(2,3)

;xf

(1,

y

)

.(y

0),則f

(x)

y

2x

2y3、若

f

( )x.4、若f

(x

y,

y

2

,則f

(x,y)yxy)

x

2.函數(shù)z

ln(1

x

2

y

2

)4

x

y

2的定義域是

.12

132

xyf

(

x,y)x1

x

21

yx

2

(1

y){(

x,

y)

:

0

x

2

y

2

1,4x

y

2

0}6、函數(shù)z

x

y

的定義域是{(x,y):x

0,y.

0,y

x

2

}7、函數(shù)z

arcsin

y

的定義域是

.8、函數(shù)z

y

2

2

xx

2

xy

2二