初高銜接課講義-2021-2022學(xué)年新高一數(shù)學(xué)暑期預(yù)科新高一必備知識(shí)

新高一數(shù)學(xué)必備知識(shí)一、乘法公式1、完全平方公式和平方差公式ab2a22abb2 ababa2b22、和立方與差立方公式ab3a3a2bab2b3ab3a3a2bab2b33、立方和與立方差公式aba2abb2a3b3aba2abb2a3b3二、一元二次方程1、韋達(dá)定理一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：b cax2＋bx＋c＝0（a≠0）x1，x2x1＋x2＝a，x1·x2＝a．韋達(dá)1 2 1 2 1 定理x（x2－(x＋x)x＋x·x＝0．1 2 1 2 1 xx2x (xx) 2xx2211xx1121212x1x2xx122(xx)2(xx)24xx|xx| (xx)24xx1 2 1 2 12 1 2 1 2 12一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值是一個(gè)重要的量問題(x設(shè)x1和x2分別是一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的兩根，則x1

，x ，b b2b b24ac2ab b24ac2ab b24ac2 b24acb24acb b2b b24ac1

2a 2a 2a | ．||a|例1. 已知方程5x2＋kx-6=0的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及k的值．2.xx2x2＋5x-3=0的兩根．1 2(1)求|x

的值； (2)

1 1 的值； (3)求x3＋x3的值．1 2 x2 x2 1 21 2例3.已知、是方程x2＋2x-5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則2＋＋2的值．【鞏固練習(xí)】1 2 1 x 和x 為一元二次方程2x22x3m10的兩個(gè)實(shí)根，并x 和x 滿足1 2 1 xxx12 1，x 41 2則實(shí)數(shù)m的值范圍是 ．xx24xm0x1，x2|x1－x2|＝2m的值．已知、是方程x2x10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式2(22)的值為 ．2、利用韋達(dá)定理逆定理，構(gòu)造一元二次方程輔助解題等【例題精講】a2 b21.a,b是相異的兩實(shí)數(shù)，滿足a

4ab

4b

a的值2.5a

1999a88b2

50，

ab的值．【鞏固練習(xí)】b a如果a、b都是質(zhì)數(shù)，且a213am0b213bm0ab的值a,b分別滿足19a

99a10,b2

19且ab

ab4a1b 的值．00分布情況一正根一負(fù)根即一個(gè)根小于x0,x 0x0,x 00，一個(gè)大于0x00分布情況一正根一負(fù)根即一個(gè)根小于x0,x 0x0,x 00，一個(gè)大于0x0x121212大致圖象（a0）得出的結(jié)論00b0bf002af002a0f00大致圖象（a）3、根的分布定理（1）0分布一元二次方程ax2bxc0a0的根從幾何意義上來說就是二次函數(shù)fxax2bxcxax2bxc0的實(shí)根的情況，可從fxax2bxc.00得出的結(jié)論b0bf002af002a0f00綜合（不討0 b00 b02a2aaf00論a）af00af00【例題精講】例1.已知方程2x2m1xm0有兩個(gè)不等正實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．2.x2(m2)x5m0的根滿足下列條件，分別求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．方程兩實(shí)根均為正數(shù)）方程有一正根一負(fù)根．【鞏固練習(xí)】已知一元二次方程1x22mx10m的取值范圍．（2）k分布【知識(shí)梳理】分兩根都小于k即 兩根都大于k即 一個(gè)根小于k一個(gè)大于k即分布情 xk,x況 1 2

k x1

k,x2

k

kx121大致圖象 k（ k ka0） 0 0得 b出 k

bk

f

0的 2a論結(jié) fk0論

2afk0大致圖象（a0） 0 0得 b出 k

bk

f

0的 2a論結(jié) fk0論

2afk0綜合（不討論綜合（不討論a）00 bbafk02ak kafk0afk02a例1. 若關(guān)于x的方程x2xa0的一個(gè)大于1、另一根小于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．例2.若關(guān)于x的方程x2xa0的兩根均小于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．3.y2x22m4x3x1，1，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【鞏固練習(xí)】xx2(a21)xa2011小，則（）A 1a1 B |a|1 C 2a1 D a2a1實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，方程x2kxk20的兩根都大于1 ．23.（1）已知：,是方程x22m1x42m0的兩個(gè)根，且2，求m的取值范圍；x2ax20的兩根都小于1，求a的取值范圍．m、n分布xxmx12n分布情況mxx n12mxnx（圖象有mxnpx q1212兩種情況，只畫了一種）大致圖象（a0）fm0 0得出的結(jié)論fm0fn0fn0ff0fp 0或mb2anfmfn0fq0fpfq0大致圖象（a0）fm0 0fn0得出的結(jié)論fm0fn0ff0f或p 0mb2anfmfn0fq0fpfq0綜合（不討論a）f0——————fmfn0 fpfq0【例題精講】例1.已知關(guān)于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0，若方程有兩根，其中一根滿足1x1

0，另一根滿足1x2

2，求m的范圍；若方程兩根滿足0xx1 2

1m的范圍．例2. 關(guān)于x 的二次方程7x2p13xp2p20的兩根,滿足012，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．3.y5x22(m1)xm26x軸的兩個(gè)交點(diǎn)滿足1xx1 2

1，y軸的兩側(cè)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．例.若二次函數(shù)=x2mx1的圖象與兩端點(diǎn)為A03B30）的線段B有兩m的取值范圍．【鞏固練習(xí)】1x的方程3x25xa0的兩根分別滿足21

0，1x2

3，求a的取值范圍．x2kx2k10xx1 2

，當(dāng)2x1

1且1x2

2時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ．總結(jié)：一元二方程根的分布只需考慮三個(gè)方面（a和△的符號(hào)對(duì)稱軸相對(duì)于區(qū)間的位置【例題精講】例1.當(dāng)關(guān)于x的方程的根滿足下列條件時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍：x2ax+a7=022；ax2+3x+4=01；（3）方程x22(a+4)x+2a2+5a+3=0的兩個(gè)根都在-1x3內(nèi)；（4）7x2的一個(gè)根在0x1內(nèi)，另一個(gè)根在1x2內(nèi)．例2.已知函數(shù)f(x)x2(2a1)xa22與非負(fù)x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．【鞏固練習(xí)】已知方程mx4m3)x20有一個(gè)根小于其余三個(gè)根都大于，求m的取值范圍．三、不等式1、一元二次不等式例1.解下列不等式）x3x52x； 2）xx1x2；（3）2x32；3x2

33x1 x2；322（5）x2x111 2

＋2x－3≤0；

＋6＜0；32（8）4x2＋4x＋1≥0； （9）x2－6x＋9≤0； （10）－4＋x－x2＜0．22.設(shè)mRx的不等式mx22mx3m0．2、分式不等式及高次不等式簡(jiǎn)單分式不等式的解法：f(x)已知f(x)與g(x)是關(guān)于x的多項(xiàng)式，不等式

0，

f(x)

0，

f(x)

0，

f(x)

0稱g(x) g(x) g(x) g(x)（組）①f(x)

0，即f(x)0或f(x)0f(xg(x)0；g(x)

g(x)0 g(x)0 ②f(x)

0，即f(x)0或f(x)0f(xg(x)0；g(x)

g(x)0 g(x)0③f(x)g(x)④f(x)g(x)

0，即f(xg(x)0f(xg(x)0f(x)0；g(x)00，即f(xg(x)0f(xg(x)0f(x)0．g(x)0簡(jiǎn)單高次不等式的解法：不等式的最高次項(xiàng)的次數(shù)高于2推廣，進(jìn)而可以研究高次不等式．解高次不等式的方法有兩種：方法1：將高次不等式f(x)＞0(＜0)中的多項(xiàng)式f(x)分解成若干個(gè)不可約因式的乘積，根據(jù)符（組）式（組）解集的并集，且次數(shù)較大時(shí)，此種方法比較煩瑣．方法2：穿針引線法：①將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式，右端為0，左端為一次因式（因式中x的系數(shù)為正（奇過偶不過；④記數(shù)軸上方為正，下方為負(fù)，根據(jù)不等式的符號(hào)即可寫出解集．例題解析x20的解集x33x22

x3

的解集

2 2x 1 的解集2求不等式x2

5x6

3x20的解集3、恒成立與有解問題一元二次不等式的恒成立問題，即可以看成一個(gè)函數(shù)yfx的圖象與x軸的位置關(guān)系問題，若是不等式fx0恒成立，即函數(shù)圖象恒在x軸上方，且與x軸無交點(diǎn)，同理可以得到其他類似情形?！纠}精講】例1.已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．例2.已知fxx22a2x4.xRfx0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；xfx0成立，求實(shí)數(shù)a【鞏固練習(xí)】已知關(guān)于x的二次不等: ax2(a1)xa10的解集為R，求a的取值范.x2mx2m0x

x 3，求實(shí)數(shù)m的取值范圍

1 2 1 2f(x)x2pxqf(2)2xf(x)x，求實(shí)數(shù)p,q的值.四、二次函數(shù)的最值1、二次函數(shù)的最值——軸定區(qū)間定二次函數(shù)的最值問題，核心是對(duì)函數(shù)對(duì)稱軸與給定x一般分為：對(duì)稱軸在取值范圍的左邊，中間，右邊三種情況．分析：1.求函數(shù)的最小值；【例題精講】例2.當(dāng)1x2時(shí)，求函數(shù)yx2x1的最大值和最小值．例3.x0yx(2x的取值范圍．2、軸定區(qū)間動(dòng)、軸動(dòng)區(qū)間定例1.已知函數(shù)