《變化率和導(dǎo)數(shù)》課件

函數(shù)的平均變化率和瞬時變化率1函數(shù)的平均變化率和瞬時變化率122

如何用數(shù)學(xué)來反映山勢的平緩與陡峭程度？3如何用數(shù)學(xué)來反映山勢的平緩與陡峭程度？3HABCDEXkXk+1X0X1X2yO例：如圖，是一座山的剖面示意圖:A是登山者的出發(fā)點,H是山頂,登山路線用y=f(x)表示；問題：當(dāng)自變量x表示登山者的水平位置，函數(shù)值y表示登山者所在高度時，陡峭程度應(yīng)怎樣表示？登山問題x4HABCDEXkXk+1X0X1X2yO例：如圖，是一座山的HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx0x1y0y1A(x0,y0)B(x1,y1)選取平直山路AB放大研究:若自變量的改變量函數(shù)值的改變量直線AB的斜率:5HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx0x1y0yD1X3HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx0x1y0y1A(x0,y0)B(x1,y1)Oyxx2x3y2y3C(x2,y2)D1(x3,y3)直線AB的斜率:直線CD1的斜率:x6D1X3HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx0xy0x0x1OYxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2C(x2,y2)y3D(x3,y3)y4E(x4,y4)7y0x0x1OYxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2Cy0x0x1OYxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2C(x2,y2)y3D(x3,y3)y4E(x4,y4)8y0x0x1OYxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2C

顯然，“線段”所在直線的斜率的絕對值越大，山坡越陡。這就是說，豎直位移與水平位移之比的絕對值越大，山坡越陡；反之，山坡越平緩。

現(xiàn)在擺在我們面前的問題是：山路是彎曲的，怎樣用數(shù)量刻畫彎曲山路的陡峭程度呢？

一個很自然的想法是將彎曲的山路分成許多小段，每一小段的山坡可視為平直的?？梢越频乜坍嫛?/p>

9顯然，“線段”所在直線的斜率的絕對值越大，山坡

函數(shù)圖象上也有類似定義，由此我們引出函數(shù)平均變化率的概念。思考：比值表示的意義是什么？它表示每一個單位上的函數(shù)值的平均增量。10函數(shù)圖象上也有類似定義，由此我們引出函平均變化率曲線陡峭程度數(shù)形變量變化的快慢

建構(gòu)數(shù)學(xué)11平均變化率曲線陡峭程度數(shù)形變量變化的快慢建構(gòu)數(shù)學(xué)11函數(shù)的平均變化率已知函數(shù)在點及其附近有定義，令,則當(dāng)時,比值叫做函數(shù)在到之間的平均變化率12函數(shù)的平均變化率已知函數(shù)在點及思考:函數(shù)平均變化率的幾何意義？

OABxyY=f(x)x0X0+△xf(x0)f(X0+△x)△x直線AB的斜率函數(shù)平均變化率:函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比

觀察函數(shù)f(x)的圖象過曲線上的點割線的斜率。13思考:函數(shù)平均變化率的幾何意義？

OABxyY=f(x)x0思考：（1）△x、△y的符號是怎樣的？（2）該變量應(yīng)如何對應(yīng)？理解：2、對應(yīng)性：若1414么么么么方面Sds絕對是假的么么么么方面Sds絕對是假的例1.求函數(shù)在到之間的平均變化率解:當(dāng)函數(shù)在到之間變化的時候函數(shù)的平均變化率為分析:當(dāng)取定值,取不同數(shù)值時,

該函數(shù)的平均變化率也不一樣.16例1.求函數(shù)在到(2)求函數(shù)

在到之間的平均變化率解:當(dāng)函數(shù)在到之間變化的時候函數(shù)的平均變化率為17(2)求函數(shù)在到圖1圖2課堂練習(xí)：甲乙二人跑步路程與時間的關(guān)系以及百米賽跑路程和時間的關(guān)系分別如圖（1）（2）所示，（1）甲乙二人哪一個跑得快？（2）甲乙二人百米賽跑，快到終點時，誰跑得比較快？18圖1圖2課堂練習(xí)：18例3：已知函數(shù)，計算函數(shù)在下列區(qū)間上的平均變化率。解:當(dāng)函數(shù)在到之間變化的時候函數(shù)的平均變化率為變化區(qū)間自變量改變量平均變化率

（1，1.1）0.12.1（1，1.01）0.012.01(1,1.001)0.0012.001(1,1.0001)0.00012.0001………19例3：已知函數(shù)，計算函數(shù)

要精確地描述非勻速直線運(yùn)動，就要知道物體在每一時刻運(yùn)動的快慢程度．如果物體的運(yùn)動規(guī)律是s=s(t)，那么物體在時刻t的瞬時速度v，就是物體在t到t+Dt

這段時間內(nèi)，當(dāng)Dt0時平均速度的極限．即瞬時速度20要精確地描述非勻速直線運(yùn)動，就要知道物體在每一時刻函數(shù)的瞬時變化率設(shè)函數(shù)在附近有定義，當(dāng)自變量在附近改變時，函數(shù)值相應(yīng)的發(fā)生改變?nèi)绻?dāng)趨近于０時，平均變化率趨近于一個常數(shù)，則數(shù)稱為函數(shù)在點處的瞬時變化率。21函數(shù)的瞬時變化率設(shè)函數(shù)在導(dǎo)數(shù)的概念也可記作★

若這個極限不存在，則稱在點x0處不可導(dǎo)。

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x=x0的附近有定義，當(dāng)自變量x

在x0處取得增量△x(點x0+△x仍在該定義內(nèi)）時，相應(yīng)地函數(shù)y取得增量△y=f(x0+△x)-f(x0)，若△y與△x之比當(dāng)△x→0的極限存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點x0

處可導(dǎo)，并稱這個極限為函數(shù)y=f(x)在點x0

處的導(dǎo)數(shù)記為即22導(dǎo)數(shù)的概念也可記作★若這個極限不存在，則稱在點x0處不可說明：（1）函數(shù)在點處可導(dǎo)，是指時，有極限．如果不存在極限，就說函數(shù)在處不可導(dǎo)，或說無導(dǎo)數(shù)．點是自變量x在處的改變量，，而是函數(shù)值的改變量，可以是零．

（2）23說明：（1）函數(shù)在點處可導(dǎo)，是指時，有極限．如果不存在極限，注意：24注意：24由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的步驟:（1）求函數(shù)的增量:；（2）求平均變化率:；．（3）取極限，得導(dǎo)數(shù):25由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的步驟:（1）求函數(shù)的增量例:高臺跳水運(yùn)動中，秒時運(yùn)動員相對于水面的高度是（單位：），求運(yùn)動員在時的瞬時速度，并解釋此時的運(yùn)動狀態(tài);在呢?

26例:26割線PQ的的變化情況２．在的過程中，請在函數(shù)圖象中畫出來．你能描述一下嗎？27割線PQ的的變化情況２．在的過程中，請在函PQM求已知曲線的切線.28PQM求已知曲線的切線.28練習(xí)：29練習(xí)：29小結(jié)：1.函數(shù)的平均變化率2.求函數(shù)的平均變化率的步驟:(1)求函數(shù)的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);(2)計算平均變化率3.求函數(shù)的瞬時變化率的步驟:

一差二化三極限30小結(jié)：1.函數(shù)的平均變化率2.求函數(shù)的平均變化率的步驟:函數(shù)的平均變化率和瞬時變化率31函數(shù)的平均變化率和瞬時變化率1322

如何用數(shù)學(xué)來反映山勢的平緩與陡峭程度？33如何用數(shù)學(xué)來反映山勢的平緩與陡峭程度？3HABCDEXkXk+1X0X1X2yO例：如圖，是一座山的剖面示意圖:A是登山者的出發(fā)點,H是山頂,登山路線用y=f(x)表示；問題：當(dāng)自變量x表示登山者的水平位置，函數(shù)值y表示登山者所在高度時，陡峭程度應(yīng)怎樣表示？登山問題x34HABCDEXkXk+1X0X1X2yO例：如圖，是一座山的HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx0x1y0y1A(x0,y0)B(x1,y1)選取平直山路AB放大研究:若自變量的改變量函數(shù)值的改變量直線AB的斜率:35HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx0x1y0yD1X3HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx0x1y0y1A(x0,y0)B(x1,y1)Oyxx2x3y2y3C(x2,y2)D1(x3,y3)直線AB的斜率:直線CD1的斜率:x36D1X3HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx0xy0x0x1OYxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2C(x2,y2)y3D(x3,y3)y4E(x4,y4)37y0x0x1OYxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2Cy0x0x1OYxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2C(x2,y2)y3D(x3,y3)y4E(x4,y4)38y0x0x1OYxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2C

顯然，“線段”所在直線的斜率的絕對值越大，山坡越陡。這就是說，豎直位移與水平位移之比的絕對值越大，山坡越陡；反之，山坡越平緩。

現(xiàn)在擺在我們面前的問題是：山路是彎曲的，怎樣用數(shù)量刻畫彎曲山路的陡峭程度呢？

一個很自然的想法是將彎曲的山路分成許多小段，每一小段的山坡可視為平直的?？梢越频乜坍嫛?/p>

39顯然，“線段”所在直線的斜率的絕對值越大，山坡

函數(shù)圖象上也有類似定義，由此我們引出函數(shù)平均變化率的概念。思考：比值表示的意義是什么？它表示每一個單位上的函數(shù)值的平均增量。40函數(shù)圖象上也有類似定義，由此我們引出函平均變化率曲線陡峭程度數(shù)形變量變化的快慢

建構(gòu)數(shù)學(xué)41平均變化率曲線陡峭程度數(shù)形變量變化的快慢建構(gòu)數(shù)學(xué)11函數(shù)的平均變化率已知函數(shù)在點及其附近有定義，令,則當(dāng)時,比值叫做函數(shù)在到之間的平均變化率42函數(shù)的平均變化率已知函數(shù)在點及思考:函數(shù)平均變化率的幾何意義？

OABxyY=f(x)x0X0+△xf(x0)f(X0+△x)△x直線AB的斜率函數(shù)平均變化率:函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比

觀察函數(shù)f(x)的圖象過曲線上的點割線的斜率。43思考:函數(shù)平均變化率的幾何意義？

OABxyY=f(x)x0思考：（1）△x、△y的符號是怎樣的？（2）該變量應(yīng)如何對應(yīng)？理解：2、對應(yīng)性：若4414么么么么方面Sds絕對是假的么么么么方面Sds絕對是假的例1.求函數(shù)在到之間的平均變化率解:當(dāng)函數(shù)在到之間變化的時候函數(shù)的平均變化率為分析:當(dāng)取定值,取不同數(shù)值時,

該函數(shù)的平均變化率也不一樣.46例1.求函數(shù)在到(2)求函數(shù)

在到之間的平均變化率解:當(dāng)函數(shù)在到之間變化的時候函數(shù)的平均變化率為47(2)求函數(shù)在到圖1圖2課堂練習(xí)：甲乙二人跑步路程與時間的關(guān)系以及百米賽跑路程和時間的關(guān)系分別如圖（1）（2）所示，（1）甲乙二人哪一個跑得快？（2）甲乙二人百米賽跑，快到終點時，誰跑得比較快？48圖1圖2課堂練習(xí)：18例3：已知函數(shù)，計算函數(shù)在下列區(qū)間上的平均變化率。解:當(dāng)函數(shù)在到之間變化的時候函數(shù)的平均變化率為變化區(qū)間自變量改變量平均變化率

（1，1.1）0.12.1（1，1.01）0.012.01(1,1.001)0.0012.001(1,1.0001)0.00012.0001………49例3：已知函數(shù)，計算函數(shù)

要精確地描述非勻速直線運(yùn)動，就要知道物體在每一時刻運(yùn)動的快慢程度．如果物體的運(yùn)動規(guī)律是s=s(t)，那么物體在時刻t的瞬時速度v，就是物體在t到t+Dt

這段時間內(nèi)，當(dāng)Dt0時平均速度的極限．即瞬時速度50要精確地描述非勻速直線運(yùn)動，就要知道物體在每一時刻函數(shù)的瞬時變化率設(shè)函數(shù)在附近有定義，當(dāng)自變量在附近改變時，函數(shù)值相應(yīng)的發(fā)生改變?nèi)绻?dāng)趨近于０時，平均變化率趨近于一個常數(shù)，則數(shù)稱為函數(shù)在點處的瞬時變化率。51函數(shù)的瞬時變化率設(shè)函數(shù)在導(dǎo)數(shù)的概念也可記作★

若這個極限不存在，則稱在點x0處不可導(dǎo)。

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x=x0的附近有定義，當(dāng)自變量x

在x0處取得增量△x(點x0+△x仍在該定義內(nèi)）時，相應(yīng)地函數(shù)y取得增量△y=f(x0+△x)-f(x0)，若△y與△x之比當(dāng)△x→0的極限存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點x0

處可導(dǎo)，并稱這