高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測試必背知識點(diǎn)匯總

高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測試必背知識點(diǎn)必修一一、集合與函數(shù)概念并集：由集合A和集合B的元素合并在一起組成的集合，如果遇到重復(fù)的只取一次。記作：AUB交集：由集合A和集合B的公共元素所組成的集合，如果遇到重復(fù)的只取一次記作：AGB補(bǔ)集：就是作差。1、集合",a2,…,aj的子集個數(shù)共有2n個；真子集有2n-1個；非空子集有2n-1個；非空的真子有2n-2個.2、求y=f(x)的反函數(shù)：解出x=f-1(y),x,y互換，寫出y=f-1(x)的定義域；函數(shù)圖象關(guān)于y=x對稱。3、(1)函數(shù)定義域：①分母不為0；②開偶次方被開方數(shù)>0]③指數(shù)的真數(shù)屬于R、對數(shù)的真數(shù)〉0.4、函數(shù)的單調(diào)性：如果對于定義域I的某個區(qū)間D的任意兩個自變量xj%,當(dāng)^</時，都有f(x)<(〉)f(x>那么就說f(x)在區(qū)間D上是增(減)函數(shù)，，函數(shù)的單向性是在定義域的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)。5、奇函數(shù)：是f(-x)=-f(x),函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱(若x=0在其定義域，則f(0)=0)；偶函數(shù)：是f(-x)=f(x)，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱。6、指數(shù)冪的含義及其運(yùn)算性質(zhì)：(1)函數(shù)y=ax(a〉0且a豐1)叫做指數(shù)函數(shù)。(2)指數(shù)函數(shù)y=ax(a〉0,a豐1)當(dāng)0<a<1為減函數(shù)，當(dāng)a〉1為增函數(shù)；①ar-as-ar+s二②(ar)s=ars:③(ab)r=arbr(a〉0,b〉0,r,sgQ)。(3)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)y-ax0<a<1a>1圖象性質(zhì)定義域R值域(0,+8)定點(diǎn)過定點(diǎn)(0,1),即x=0時，y=1a>1,當(dāng)x>0時，y>1；當(dāng)x<0時，0<y<1。0<a<1,當(dāng)x>0時，0<y<1；當(dāng)x<0時，y>1。單調(diào)性在R上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)對稱性y-ax和y-a-x關(guān)于y軸對稱奇偶性非奇非偶函數(shù)7、對數(shù)函數(shù)的含義及其運(yùn)算性質(zhì)：(1)函數(shù)J=log](a>0,a豐1)叫對數(shù)函數(shù)。(2)對數(shù)函數(shù)j=loga](a>0,a豐1)當(dāng)0<a<1為減函數(shù)，當(dāng)a>1為增函數(shù)；①負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)；②1的對數(shù)等于0：loga1=0;③底真相同的對數(shù)等于1：loga-1,(3)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果a>0,aW1,M>0,N>0,那么：M,①logMN-logM+logN； ②log-logM-logN；a a a aNa a③logMn-nlogM(neR)。a a(4)換底公式：logb-"gJ(a>0且a豐1,c>0且c豐1,b>0)aloga⑸對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì):J-logaX0<a<1a>1圖象定義域(0,+8)值域R性質(zhì)(1)過定點(diǎn)(1,0),即x=1時，j=0(2)在R上是減函數(shù)(2)在R上是增函數(shù)(3)同正異負(fù)，即0<a<1,0<x<1或a>1,x>1時，logax>0；0<a<1,x>1或a>1,0<x<1時，logax<0。(4)非寄非偶函數(shù)。 “8、冪函數(shù)：函數(shù)J-]a叫做幕函數(shù)(只考慮a-1,2,3,-1,1的圖象)。9、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)：如果函數(shù)J-f(])在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）.f（b）<0，那么，函數(shù)y=f（X）在區(qū)間（a,b）有零點(diǎn)，即存在ce（a,b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根。必修二一、直線平面簡單的幾何體1、長方體的對角線長l2=a2+b2+c2；正方體的對角線長l=3aa42、球的體積公式：v=a兀R3；球的表面積公式：S=4兀R23、柱體、錐體、臺體的體積公式：V=Sh（S為底面積，h為柱體高）；V=—Sh（S為底面積，h為柱體高）柱體 錐體aV=7（S'+、：S'S+S）h（S,，S分別為上、下底面積，h為臺體高）臺體a4、點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及相關(guān)公理及定理：（1）四公理三推論：公理1：若一條直線上有兩個點(diǎn)在一個平面，則該直線上所有的點(diǎn)都在這個平面。公理2：經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面。公理3：如果兩個平面有一個公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過這個公共點(diǎn)的直線。推論一：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn),有且只有一個平面。推論二：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面。推論三：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面。公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.（2）空間線線，線面，面面的位置關(guān)系：空間兩條直線的位置關(guān)系：相交直線一一有且僅有一個公共點(diǎn)；平行直線一一在同一平面，沒有公共點(diǎn)；異面直線一一不同在任何一個平面，沒有公共點(diǎn)。相交直線和平行直線也稱為共面直線?？臻g直線和平面的位置關(guān)系：（1）直線在平面（無數(shù)個公共點(diǎn)）；（2）直線和平面相交（有且只有一個公共點(diǎn)）；（3）直線和平面平行（沒有公共點(diǎn)）它們的圖形分別可表示為如下，符號分別可表示為aua，ap|a=A，a//a?？臻g平面和平面的位置關(guān)系：(1)兩個平面平行一一沒有公共點(diǎn)；(2)兩個平面相交一一有一條公共直線。5、直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線與平面一條直線平行，那么該直線與這個平面平行。a2a符號表示：bua|na//a。 圖形表示:a//b6、兩個平面平行的判定定理：如果一個平面的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行。auP“一b寸 …一符號表示：aClb=P>nP//a。圖形表示：a//ab//a,7、.直線與平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線與一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面與已知平面相交，那么交線與這條直線平行。a//a符號表示：aup }na//b。圖形表示:aClP=b8、兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們交線的平行。符號希趙P，any=a,pny=bna//b9、直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。符號表示：aua,bua,a^}b=P,l±a,l±bnl±a10、.兩個平面垂直的判定定理：一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。符號表示：l，a,1uPnaip11、直線與平面垂直的性質(zhì)：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。符號表示：a'>na//b。blaTOC\o"1-5"\h\z12、平面與平面垂直的性質(zhì)：如果兩個平面互相垂直，那么在其中一個平面垂直于交線的直 P線垂直于另一個平面。符號表示： lua,anp=m,11mn11P. lA13、異面直線所成角：平移到一起求平移后的夾角。 -一直線與平面所成角：直線和它在平面的射影所成的角。(如右圖) d一H14、異面直線所成角的取值圍是(0°,90°］；直線與平面所成角的取值圍是b°,90°］；二面角的取值圍是b°,180。)；兩個向量所成角的取值圍是b°,180°］二、直線和圓的方程1、斜率：k=tana,ke(—g,+s)；直線上兩點(diǎn)P1(x1,y),P2(x2,y2)，則斜率為yy-yk二— 1x-x2 12、直線的五種方程：⑴點(diǎn)斜式y(tǒng)-yi=k(x-xj(直線l過點(diǎn)P1(5,yj,且斜率為k).(2)斜截式y(tǒng)-kx+b8為直線l在y軸上的截距)：y-yx-x一，、一，、(3)兩點(diǎn)式-__H= H((P(x,y)、P(x,y)；(x豐x)、(y豐y)).y-yx-x111 222 1 2 1 22 12 1xy(4)截距式一+；=1(a、b分別為直線的橫、縱截距，a、b豐0)ab(5)一般式Ax+By+C=0(其中A、B不同時為0).3、兩條直線的平行、重合和垂直：(1)若l:y=kx+b，l:y=kx+b①l||l今k-k且bwb;②l與l重合時ok-k且b-b；③l11okk--1.(2)若l:Ax+By+C-0,l:Ax+By+C-0,且A「A2、B「B2都不為零，ABC①l||loT-1豐T:②l11oAA+BB-0TOC\o"1-5"\h\z1 2ABC1 2 12 12\o"CurrentDocument"2 2 24、兩點(diǎn)P'x/工)、P2(x2,y2)的距離公式|P1P/=\!(x2-q)2+(y2-yJ5、兩點(diǎn)P(x,y)、P(x,y)的中點(diǎn)坐標(biāo)公式M(x1+x2,y1+y2)1 1 1 2 2 2 2 26、點(diǎn)P（x,y）到直線（直線方程必須化為一般式）Ax+By+C=0的距離公式d=1Ax0，+By。+CA2+B27、平行直線Ax+By+C=0、Ax+By+C=0的距離公式d=-。20』A2+B2半徑為r8、圓的方程：標(biāo)準(zhǔn)方程Q-a）2+（y-b%-r2,圓心Q,b）,半徑為rTOC\o"1-5"\h\z一般方程x2+y2+Dx+Ey+F-0,(配方：(%+D)2+(y+E)2-D2+E2-4F)2 2 4D2+E2-4F>0時，表示一個以(-D，-E)為圓心，半徑為1.DD2+E2-4F的圓;2 2 29、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)P(x,y)與圓(x-a)2+(y-b)2-r2的位置關(guān)系有三種：0_0 若d-v;(a-x)2+(b-y)2,貝|0 0d>ro點(diǎn)P在圓外；d-ro點(diǎn)P在圓上；d<ro點(diǎn)P在圓.10、直線與圓的位置關(guān)系：直線Ax+By+C-0與圓(x-a)2+(y-b)2-r2的位置關(guān)系有三種：d>ro相離oA<0；d=ro相切oA-0；

t— A^a+Bb+Cd<r=?目父=△>0.其中d=-- -.yA2+B211、弦長公式：若直線y=kx+b與二次曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線)相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)，則由「二次曲線方程y=kx+m -ax2+bx+c=0(aW0)則知直線與二次曲線相交所截得弦長為：1ABl=q(x2-X])2+(y2-y])24y1y21=<1+k2X-x=(1+k)(x+x)4y1y21='1+—|y-y|=J(1+k2匕、■；—「bb2-4ac=V1+k2 a13、空間直角坐標(biāo)系，兩點(diǎn)之間的距離公式：⑴xoy平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征A(x,y,0)：豎坐標(biāo)z=0xoz平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征B(x,0,z)：縱坐標(biāo)y=0yoz平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征C(0,y,z)：橫坐標(biāo)x=0x軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征D(x,0,0)：縱、豎坐標(biāo)y=z=0y軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征E(0,y,0)：橫、豎坐標(biāo)x=z=0z軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征E(0,0,z)：橫、縱坐標(biāo)x=y=0⑵|PPI=(x-x)2+(y-y)2+(z-z)212 21 21 21必修三算法初步與統(tǒng)計：以下是幾個基本的程序框流程和它們的功能圖形符號名稱功能終端框(起止框)表示一個算法的起始和結(jié)束/ 7輸入、輸出框表示一個算法輸入輸出的信息

—處理框（執(zhí)行框）賦值、計算（語句、結(jié)果的傳送）<判斷框判斷某一條件是否成立時，在出口處標(biāo)明“是”或“Y”，不成立時標(biāo)明“否”或“N”1流程線連接程序框（流程進(jìn)行的方向）O連接點(diǎn)連接程序框圖的兩部分——注釋框幫助注解流程圖循環(huán)框程序做重復(fù)運(yùn)算、算法的三種基本結(jié)構(gòu)：（1）順序結(jié)構(gòu)（2）條件結(jié)構(gòu)（3）循環(huán)結(jié)構(gòu)二、算法基本語句：1、輸入語句:輸入語句的格式：INPUT"提示容”；變量。2、輸出語句:輸出語句的一般格式：PRINT"提示容”；表達(dá)式。3、賦值語句:賦值語句的一般格式：變量;表達(dá)式。4、條件語句（1）“IF—THEN—ELSE”語句。5、循環(huán)語句:直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)“DO—LOOPUNTIL”語句和當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)“WHILE—WEND”。三.三種常用抽樣方法：1、簡單隨機(jī)抽樣；2.系統(tǒng)抽樣；3.分層抽樣。4.統(tǒng)計圖表：包括條形圖，折線圖，餅圖，莖葉圖。四、頻率分布直方圖：具體做法如下：（1）求極差（即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差）；（2）決定組距與組數(shù)；（3）將數(shù)據(jù)分組；（4）頻下列頻率分布表；（5）畫頻率分布直方組距圖。注：頻率分布直方圖中小正方形的面積二組距X頻率。2、頻率分布直方圖：|頻率=小矩形面積（注意：不是小矩形的高度）、， “ , 頻數(shù)I- ——;——計算公式： 頻率= 頻數(shù)=樣本容量頻率樣本容量 ,頻率頻率=小矩形面積=組距X"士組距I各組頻數(shù)之和二樣本容量， 各組頻率之和=13、莖葉圖：莖表示高位，葉表示低位。折線圖：連接頻率分布直方圖中小長方形上端中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖。4、刻畫一組數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量：平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)。在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；將一組數(shù)據(jù)按照從大到小（或從小到大）排列，處在中間位置上的一個數(shù)據(jù)（或中間兩位數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；5、刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計量：極差，極準(zhǔn)差，方差。（1）極差一定程度上表明數(shù)據(jù)的分散程度，對極端數(shù)據(jù)非常敏感。（2）方差，標(biāo)準(zhǔn)差越大，離散程度越大。方差，標(biāo)準(zhǔn)差越小，離散程度越小，聚集于平均數(shù)的程度越高。（3）計算公式：標(biāo)準(zhǔn)差：S= [(%—X)2+(X—X)2+…+(X—X)2]TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"n1 2 n七* 1z 一、. ， 一、 ^ ,z 一、r方差： S2=一[( X—X)2+ ( X—X) 2+ +(X —X)2]\o"CurrentDocument"n1 2 ??? n八 八直線回歸方程的斜率為b，截距為a，即回歸方程為y=bx+a(此直線必過點(diǎn)(X，y))。6、頻率分布直方圖：在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，方長方形的高與頻數(shù)成正比，各組頻數(shù)之和等于樣本容量，頻率之和等于1。五、隨機(jī)事件：在一定的條件下所出現(xiàn)的某種結(jié)果叫做事件。一般用大寫字母A,B,C…表示.隨機(jī)事件的概率：在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時，事件A發(fā)生的頻率總接近于某個常數(shù)，在它附近擺動，這時就把這個常數(shù)叫做事件A的概率，記作P（A）。由定義可知OWP（A）W1,顯然必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0。1、事件間的關(guān)系：（1）互斥事件：不能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件；（2）對立事件：不能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件；（3）包含：事件A發(fā)生時事件B一定發(fā)生，稱事件A包含于事件B（或事件B包含事件A）；（4）對立一定互斥，互斥不一定對立。

2、概率的加法公式：(1)當(dāng)A和B互斥時，事件A+B的概率滿足加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)(A、B互斥)(2)若事件A與B為對立事件，則AUB為必然事件，所以P(AUB);P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B).3、古典概型：(1)正確理解古典概型的兩大特點(diǎn)：1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等；(2)掌握古典概型的概率計算公式：P(A)二事件a包含的基本事件個數(shù)二m實(shí)驗(yàn)中基本事件的總數(shù) n4、幾何概型：(1)幾何概率模型：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型。(2)幾何概型的特點(diǎn)：1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個；2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.(3)幾何概型的概率公式：限A)=事件A構(gòu)成的區(qū)域的長度(面積或體積)二實(shí)驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的長度(面積或體積)/八/ 八n!5、排列：(1)、排列數(shù)公式： Am=n(n-1)…(n-m+1)= -(n,m￡N*,且n (n—m)!m<n).0!=1(2)、全排列：n個不同元素全部取出的一個排列；An=n!=n(n—1)(n—2) 3?2?1=n?(n—1)!；n6、組合：Amn(n—1>”n—m+1) n!(1)、組合數(shù)公式： Cm=n-= - =—― —(n,m￡N*,且nAm 1x2x?…xmm!?(n—m)!mm<n)；C0=1。n一、三角函數(shù)1、弧度制：一、三角函數(shù)1、弧度制：(1)、180。=口弧度,180、1弧度=()°六57。18'；弧長公式：l=1a|r兀a所對的弧長，r為半徑，正負(fù)號的確定：逆時針為正，順時針為負(fù))。2、三角函數(shù)：(1)、定義：y ?％ y -%sina= — cosa = — tana=— cota =一r r x y3、特殊角的三角函數(shù)值:

a的角度0。30。45。60。90。120。135°150°180°270°360°a的弧度0兀石兀4兀兀22rt3凱彳5九6兀凱T2sina012點(diǎn)2招21遮2亞2120-10cosa1<32在21201—2氏2君2-101tana0叵31-招-1-理300sina4、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式：sin2a+cos2a=1 tana= tanacota=1cosa5、誘導(dǎo)公式：(眾變橫不變，符號看象限)正弦上為正；余弦右為正；正切一三為正。sin(-a)=-sinacos(-a)=cosatan(-a)=-tanacot(-a)=-cotasin(90°+a)=cosasin(180°+a)=-sinacos(90°+a)=-sinacos(180°+a)=-cosatan(90°+a)=-cotatan(180°+a)=tanacot(90°+a=-tanacot(180°+a)=cotasin(90°-a)=cosasin(180°-a)=sinacos(90°-a)=sinacos(180°-a)=-cosatan(90°-a)=cotatan(180°-a)=-tanacot(90°-a)=tanacot(180°-a)=-cotasin(270°+a)=-cosasin(360°+a)=sinacos(270°+a)=sinacos(360°+a)=cosatan(270°+a)=-cotatan(360°+a)=tanacot(270°+a)=-tanacot(360°+a)=cotasin(270°-a)=-cosasin(360°-a)=-sinacos(270°-a)=-sinsacos(360°-a)=cosatan(270°-a)=cotatan(360°-a)=-tanacot(270°-a)=tanacot(360°-a)=-cota6、兩角和與差的正弦、余弦、正切：S：sin(a+P)=sinacosP+cosasinP(a+p)

S：sin(a—P)=sinacosP-cosasinP(a-P)C:cos(a+P)=cosacosP-sinasinP(a+P)C: cos(a—P)=cosacosP+sinasinP(a-P)T(a+P)T(a+P)tana+tanPtan(a+P)=1-tanatanPT(a-P)tan(a-P)=tana-tanP1+tanatanPtanatana+tanp=tan(a+p)(1—tanatanp)tana-tanp=tan(a-p)(1+tanatanp)7、輔助角公式：asinx+bcosx=<a2+b2—?===sinx+、aa27、輔助角公式：asinx+bcosx=<a2+b2—?===sinx+、aa2+b2=aa2+b2(sinx?cos①+cosx?sin①)=aa2+b2?sin(x+①)8、二倍角公式:(1)、S： sin2a=2sinacosa2aC：cos2a=2acos2a—sin2a=1—2sin2a=2cos2a—1T：tan2a=2a2tana1—tan2a（2）、降次公式：（多用于研究性質(zhì)）1sinacosa=—sin2a21—cos2asin2a= 21c1——cos2a+—1+cos2a 1 1cos2a= =—cos2a+—2 2 29、在y=sina,y=cosa,y=tana,y=cota四個三角函數(shù)中只有y=cosa是偶函數(shù)，其它三個是寄函數(shù)。（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)是非寄非偶函數(shù)）10、在三角函數(shù)中求最值（最大值、最小值）；求最小正周期；求單調(diào)性（單調(diào)第增區(qū)間、單調(diào)第減區(qū)間）；求對稱軸；求對稱中心點(diǎn)都要將原函數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)型；「y=Asin(3x+①)+b如：yAcos(3x+①)+bAtan?x+①)+b再求解。函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx11、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì):圖象7yikl7~~2r定義域RR，l .一兀，{x1x中kR+—,kgZ}值域[-1,1][-1,1]R奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)周期性2兀2兀兀單調(diào)性在[2k兀 ,2k兀+—](kgZ)2 2上是增函數(shù)在… ?！?3兀[2k兀+—,2k兀+—](kgZ)2 2上是減函數(shù)在［2k兀一兀,2k兀］(kgZ)上是增函數(shù)在［2k兀,2k兀+兀］(kgZ)上是減函數(shù)在(kR--,kR+—)(kgZ)上是增函數(shù)最值當(dāng)x=—+2k兀,kgZ時，2ymax=1當(dāng)x=-2+2k兀,kgZ時，y.=-1min當(dāng)x=2k九,kgZ時，ymax=1當(dāng)x=(2k+1)冗,kgZ時，y.=-1min無對稱性對稱中心(k兀,0)，kgZ, 兀，對稱軸：x=k兀+—(kgZ)2, 兀八對稱中心(k兀+—,0)，kgZ對稱軸：x=k8(kgZ)對稱中心(k—,0)，kgZ對稱軸：無12.函數(shù)y=Asin(Wx十①)的圖象:(1)用“圖象變換法”作圖由函數(shù)y=sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)=ASin(Qx+①)的圖象，有兩種主要途徑:“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”。法一：先平移后伸縮y=sinx-向左卬〉0)或向右卬<0)>y=sin(x+①)平移他|個單位一縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍.y=Asin(3x+9)橫坐標(biāo)不變

y=sinx-向左3>0)或向右3<0)>y=sin(x+①)平移他|個單位,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼墓け?./ 、 ④——>y=sink3x+中）縱坐標(biāo)不變法二：先伸縮后平移y=sinx或橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼蘑俦?gt;y=sin3x或向左（隼>0）或向右（隼<0）>y=sin（3x+①）縱坐標(biāo)不變 ￡一縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍>y=Asin（3x+①） 平移3個單位橫坐標(biāo)不變當(dāng)函數(shù)y=Asin（3x+⑺（A>0,3>0,xe[0，+8））表示一個振動量時，A就表示這個量振動時離開平衡位置的最大距離，通常把它叫做這個振動的振幅；往復(fù)振動一次2兀 一 「12兀所需要的時間T=——，它叫做振動的周期；單位時間往復(fù)振動的次數(shù)/==——，它叫3 T3做振動的頻率；3x+中叫做相位，平叫做初相（即當(dāng)x=0時的相位）。二、平面向量1、平面向量的概念：（1）在平面，具有大小和方向的量稱為平面向量.（2）向量可用一條有向線段來表示.有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向.（3）向量AB的大小稱為向量的模（或長度），記作AB.（4）模（或長度）為0的向量稱為零向量；模為1的向量稱為單位向量.（5）與向量a長度相等且方向相反的向量稱為a的相反向量，記作-a.（6）方向相同且模相等的向量稱為相等向量.2、實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律：設(shè)入、u為實(shí)數(shù)，那么—? —? —? —? —?（1）結(jié)合律：入（ua）=（入u）a；（2）第一分配律：（入+u）a=入a+ua；—— ——（3）第二分配律：入（a+b）=入a+入b.——3、向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：（i）a?b=b?a（交換律）；— — — — — —— ———―（2）（入a）?b=x（a ?b）=九a ?b =a ?（b 九）；（3）（a+b）?0= a ?0 +b ?0.4、平面向量基本定理：如果—1、—4、平面向量基本定理：如果—1、—2是同一平面的兩個不共線向量，那么對于這一平面的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)、、入2,使得a=匕—+入2—.不共線的向量e、e叫做表示這一平面所有向量的一組基底.1 25、坐標(biāo)運(yùn)算：(1)設(shè)>=(x,y),>=(x,y)，則>±>=(x數(shù)與向量的積：入a=入，,y）=6x,入y）1土x2,y1土y2),數(shù)量積：a.b 2+y1y2⑵、設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x/y1）,（x2,小則勵二Q2—%》2—yI）（終點(diǎn)減起點(diǎn)）6、平面兩點(diǎn)間的距離公式：(1)d從3=IAB1=AAI3-AB=(X2x2-x1)2+(y2-y)2f —F -F T1(2)向量a的模|a|：Ia|2=a?a=x2+y2；（3）、平面向量的數(shù)量積：乙蘇=3.（3）、平面向量的數(shù)量積：乙蘇=3.百cos9（4）、向量日=q,y23=（x2,y2,的夾角°，f r f，注意：3?3=0，0?3=3，a+(-a)=0貝I，cos9=x1x2+y1y2(3=(x,y),3=(x,y))x2++y12\：x7、重要結(jié)論：(1)、兩個向量平行：3//3=3=入3(入￡R),3//3oxy-xy=012 21(2)、兩個非零向量垂直a1boxJ2+y1y2=0（3）、P分有向線段PIq的：設(shè)P（x，y）,Pi(XJy)，P2lx2,丫2)，且PP=，PP2則定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式三、空間向量x+九x1+九2y十九yi+/2中點(diǎn)坐標(biāo)公式1、空間向量的概念：（空間向量與平面向量相似）（1）在空間中，具有大小和方向的量稱為空間向量.（2）向量可用一條有向線段來表示.有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向.（3）向量AB的大小稱為向量的模（或長度），記作|贏.（4）模（或長度）為0的向量稱為零向量；模為1的向量稱為單位向量.（5）與向量a長度相等且方向相反的向量稱為a的相反向量，記作-a.（6）方向相同且模相等的向量稱為相等向量.2、實(shí)數(shù)入與空間向量a的乘積九a是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算.當(dāng)九〉0時，九a與a方向相同；當(dāng)九＜0時，入a與a方向相反；當(dāng)九二0時，九a為零向量，記為0.九a的長度是a的長度的卜|倍.3、設(shè)入,目為實(shí)數(shù)，a,b是空間任意兩個向量，則數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律.分配律：九。+b）=九a+九b；結(jié)合律：九（M）=（卻）a.4、如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線向量或平行向量，并規(guī)定零向量與任何向量都共線.

5、向量共線的充要條件：對于空間任意兩個向量a，b(b豐0)，a//b的充要條件是存在6、5、向量共線的充要條件：對于空間任意兩個向量a，b(b豐0)，a//b的充要條件是存在6、7、實(shí)數(shù)九，使a二九b.平行于同一個平面的向量稱為共面向量.向量共面定理：空間一點(diǎn)P位于平面ABC的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x,y，使AP=XAB+yAC；或?qū)臻g任一定點(diǎn)。，有OP=OA+xAB+yAC；或若四點(diǎn)P,A,B,C共面，則0P=x0A+y0B+zOC(x+y+z-1).8、已知兩個非零向量a和b，在空間任取一點(diǎn)0,作0A-a,OB-b，則ZA0B稱為向量a,b的夾角，記作<a,b〉.兩個向量夾角的取值圍是：<a,b〉wb,兀］.兀9、對于兩個非零向量a和b，若<a,b)=-，則向量a，b互相垂直，記作a1b.10、已知兩個非零向量a和b，則|a|b|cos<a,b〉稱為a,b的數(shù)量積，記作a?b.即ab=|a|bcos〈a,b〉.零向量與任何向量的數(shù)量積為0.11、a?b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影bcos<a,b〉的乘積.12、若a,b為非零向量，e為單位向量，則有(1)e?a-a?e-|a|cos<a,e〉；(2)a±b=a-b-0；(3)a?b=<||b|Ca與麗向)-|a|b\a與b反向40a(4)cos<a,b〉-a-b-?1aM13、量數(shù)乘積的運(yùn)算律：(1)a-b-b-a；(2)(九a)?b二九(a+b)?c-a.c+b.c.14、空間向量基本定理：若三個向量a,b,c不共面，則對空間任一向量P，存在實(shí)數(shù)組{x,y,z},使得p-xa+yb+zc.15、三個向量a,b,c不共面，則所有空間向量組成的集合是tp-xa+yb+zc,x,y,zwR}.這個集合可看作是由向量a,b,c生成的，a,51｝稱為空間的一個基底，a,b,c稱為基向量.空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底.16、設(shè)彳，1，e為有公共起點(diǎn)o的三個兩兩垂直的單位向量（稱它們?yōu)閱挝徽换祝?以彳，彳，q的公共起點(diǎn)o為原點(diǎn)，分別以彳，1，q的方向?yàn)閄軸，y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系0盯z.則對于空間任意一個向量p，一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)0重合，得到向量0P=p.存在有序?qū)崝?shù)組｛x,y,z｝，使得p=x彳+ye^+ze3.把x,y,z稱作向量p在單位正交基底1,e2,匕下的坐標(biāo)，記作p=（x,y,z）.此時，向量p的坐標(biāo)是點(diǎn)P在空間直角坐標(biāo)系0xyz中的坐標(biāo)17、設(shè)a=(X1，yi，zi),b=(%2,y2,z2)，則(1)a+b=(X]+X2,17、設(shè)a=(X1，yi，zi),(2)a-b=(x-x,y(3"a=(九x,九〉],九2]).a-b=X]X2+y1y2+z1z2.(5)若a、b為非零向量，則a±boa.b=0oxj?+y1y2+z1z2=0.(6)若b豐0，則a//boa二肪ox二九x,y二九y,z二九z.(7)同二4aa=(X2+y2+z2.(8)cos〈a,b〉=Wb=, X1X2+21y2,+z1z2倒bIXx.2+y；+z；.\口2+y2+z2(9)A(x「y「q),B=(x,y,z)，則d=AB=J(x-x>+(y(9)A(x「y「q),2 2 2 AB 2 2 1 2 1 2 118、若空間不重合兩條直線a,b的方向向量分別為a,b，則a//boa//boa=Xb(入￡R)，異面垂直時a±boa±boa?b=0.19、若空間不重合的兩個平面a,P的法向量分別為a,b，則a//poa//boa=Xb,a±poa±boa-b=0.

20、直線l垂直a，取直線l的方向向量a，則向量a稱為平面a的法向量.21、法向量的定義：垂直于平面或者垂直于線的向量（方向不管）。22、若直線a的方向向量為a，平面a的法向量為n，且aZa，則a//aoa//aoa±noa?n=0，a±aoa±aoa//noa二九n.★法向量的計算方法一：已知aB=（XJyJz1）,AC=（X2,匕，z2），設(shè)面平ABC的一個法向量為n=（x,y,z），由n，面abc得所以：niabi,niacj；所以J方.Al0k_?AC：=0即「xx+yy+zzI=0Lxx+yy+zz=0取z取z（或x或y）等于方法二：若AB=方法二：若AB=(X1,,z2），則平面ABC的一個法向量為：—? -?n=ABXAC=yiZ1Z1X1X1(y2Z2Z2X2X2=(y1z2-y2z1，Z1X2-Z2X1，冬丫2飛2丫1）立體幾何中的向量方法距離問題一、求點(diǎn)到平面的距離1.（一般）傳統(tǒng)方法：利用定義先作出過這個點(diǎn)到平面的垂線段，再計算這個垂線段的長度；2.還可以用等積法求距離;3.向量法求點(diǎn)到平面的距離.d —八sin0= nd=1APIsin0在RtAPAO中，又sin0= .fIAP?nIIAPIInI，d=1Ap.n1(其中AP為斜向量，InIn為法向量)二、直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到線的距離:d=1AP.nI(其中AP為斜向量InI三、平面到平面的距離也是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到線的距離:n為法向量)d= = (其中Ap為斜向量，InI四、異面直線的距離如圖，異面直線也是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到線的距離:n為法向量)(其中AP為兩條異面直線上各取一點(diǎn)組成的向量，n是與a,b都垂直的向量)例1.如圖，在正方體ABCD—ABCD中，棱長為1,E為CD的中點(diǎn)，求下列問題:111(1)求B到面ABE的距離；解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz11，則??TE=(-1，2，0)，A1B="D，設(shè)n=(x,y,z)為面A]BE的法向量n?AE=0則Ln|n?AB=0L1取x=1,得y=2,z=2，.=n=(1,2,2)選點(diǎn)B到面ABE的斜向量為AB=(0,1,0)得點(diǎn)B到面ABE的距離為d=IAB/nI

InI(2)求DC到面ABE的距離;解:由(1)知平面4BE的法向量n=(1,2,2)1斜向量DA1=(1,0,0).?.點(diǎn)D到面ABE的距離為d=㈤1Al.n|=1(3)求面A1DB與面(3)求面A1DB與面01cq的距離;解:由圖知平面46。的法向量為n=AC=(-1,1,1)又斜向量DA1=(1,0,0)???點(diǎn)D到面ABD的距離為d=㈤1AJn1=-L1 1 nv3一一..一、、"即面A]BD與D1cBi的距離為看(4)求異面直線D1B與A1E的距離.解:如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz則D(0,0,1),B(1,1,0),A(1,0,1),E(0,"1)TOC\o"1-5"\h\z1 1 2—— “1 2??.AE=(-1,-,0),DB=(1,1,-1)1 2 1設(shè)n=(x,y,z)是與AE,DB都垂直的向量，則11n?AE=0fy=2x.1.n1,，取x=1，得一個法向量為n=(1,2,3)n-DB=0 〔z=3x1選A1E與BD1的兩點(diǎn)向量D1A「(L0,0)得A1E與BD1的距離為得A1E與BD1的距離為d=InI14練習(xí)1：1.如圖在直三棱柱ABC-ABC中，AC=BC=1,ZACB=90。，AA1=紅，求點(diǎn)B到面ABC的距離. I1] ?12.已知棱長為1的正方體ABCD—A/1clD1求平面DAC和平面ABC間的距離13.已知棱長為1的正方體ABCD—A/1clD1求直線DA］和AC間的距離。4.已知棱長為1的正方體ABCD—ABCD中，E、F分別是BC和CD的中點(diǎn)，求1111點(diǎn)A1到平面DBEF的距離。5.如圖在直三棱柱ABC一A1B￡中,AC二BC二CA二1B到面ABC的距離.6.在直三棱柱ABC-A1BC^中，/A=90。，O,O1,G分別為BC,BC1,AA1的中點(diǎn)，且 AB=AC=AA1=2.（1）求O到面ACB的距離；（包）1 1 1 2（2）求BC到面GBC的距離.（運(yùn)）11 3立體幾何中的向量方法一“空間角問題空間的角主要有：異面直線所成的角；直線和平面所成的角；二面角.（1）求異面直線所成的角設(shè)小b分別為異面直線a、b的方向向量，則兩異面直線所成的角aba-arccosI—~—IIaIIbI（2）求線面角設(shè)1是斜線l的方向向量，“是平面a的法向量，則斜線l與平面a所成的角a=arcsinIInI11IInI(3)求二面角法一、在a￡,/，在bB,/，其方向如圖，則二面角a——。的平面角―?-?_a?ba—arccos—~—\a\\b\法二、設(shè)沆屋是二面角a―/—P的兩個半平面的法向量，其方向一個1 2指向側(cè)，另一個指向外側(cè)，則二面角a—/—P的平面角。=@「出05/4\n\\n\1 2例1.如圖，在棱長為2的正方體A5CO中，E、F分別是棱iiiiAD.AB的中點(diǎn).1111(I)求異面直線。石與尸C所成的角；1(II)求5C和面EFBD所成的角；1(III)求B到面EFBD的距離1解：(I)記異面直線。石與“所成的角為a，1則a等于向量瓦與憶的夾角或其補(bǔ)角，1/.cosa=I2.仆I1(DP>+DE>)(FB>+BC>).TOC\o"1-5"\h\z=I i i ft i ] i_IIDJIIFC>I? i-2 2 2=I 1=一,/.a=arccos一\o"CurrentDocument"84 5 5(ID如圖建立空間坐標(biāo)系Q貝U反二(1,0,2)，DB=(2,2,0)設(shè)面EFBD的法向量為益=(x,y,1) 由|竺.n=0DB?n=0得n=(-2,2,1)又BC1=(-2,0,2)記BC和面EFBD所成的角為01貝Usin0=1cos〈BC,nt〉1=1 n|=衛(wèi)1IBCIInI21???BC和面EFBD所成的角為上