等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)并附例題與解析

..等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)并附例題及解析1、等比數(shù)列的定義：,稱為公比2、通項(xiàng)公式：,首項(xiàng)：；公比：推廣：3、等比中項(xiàng)：〔1如果成等比數(shù)列,那么叫做與的等差中項(xiàng),即：或注意：同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng),并且它們的等比中項(xiàng)有兩個(gè)〔〔2數(shù)列是等比數(shù)列4、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：〔1當(dāng)時(shí),〔2當(dāng)時(shí),〔為常數(shù)5、等比數(shù)列的判定方法：〔1用定義：對(duì)任意的,都有為等比數(shù)列〔2等比中項(xiàng)：為等比數(shù)列〔3通項(xiàng)公式：為等比數(shù)列6、等比數(shù)列的證明方法：依據(jù)定義：若或?yàn)榈缺葦?shù)列7、等比數(shù)列的性質(zhì)：〔2對(duì)任何,在等比數(shù)列中,有?！?若,則。特別的,當(dāng)時(shí),得注：〔4數(shù)列,為等比數(shù)列,則數(shù)列,,,,〔為非零常數(shù)均為等比數(shù)列?！?數(shù)列為等比數(shù)列,每隔項(xiàng)取出一項(xiàng)仍為等比數(shù)列〔6如果是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,則數(shù)列是等差數(shù)列〔7若為等比數(shù)列,則數(shù)列,,,成等比數(shù)列〔8若為等比數(shù)列,則數(shù)列,,成等比數(shù)列〔9①當(dāng)時(shí),②當(dāng)時(shí),③當(dāng)時(shí),該數(shù)列為常數(shù)列〔此時(shí)數(shù)列也為等差數(shù)列；④當(dāng)時(shí),該數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列.〔10在等比數(shù)列中,當(dāng)項(xiàng)數(shù)為時(shí),二例題解析[例1]已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,Sn＝pn<p∈R,n∈N*>,那么數(shù)列{an}．〔是等比數(shù)列B．當(dāng)p≠0時(shí)是等比數(shù)列C．當(dāng)p≠0,p≠1時(shí)是等比數(shù)列D．不是等比數(shù)列已知等比數(shù)列1,x1,x2,…,x2n,2,求x1·x2·x3·…·x2n．式；<2>已知a3·a4·a5＝8,求a2a3a4a5a6的值．[例4]求數(shù)列的通項(xiàng)公式：<1>{an}中,a1＝2,an+1＝3an＋2<2>{an}中,a1=2,a2＝5,且an+2－3an+1＋2an＝0三、考點(diǎn)分析考點(diǎn)一：等比數(shù)列定義的應(yīng)用1、數(shù)列滿足,,則_________．2、在數(shù)列中,若,,則該數(shù)列的通項(xiàng)______________．考點(diǎn)二：等比中項(xiàng)的應(yīng)用1、已知等差數(shù)列的公差為,若,,成等比數(shù)列,則〔A．B．C．D．2、若、、成等比數(shù)列,則函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為〔A． B．C． D．不確定3、已知數(shù)列為等比數(shù)列,,,求的通項(xiàng)公式．考點(diǎn)三：等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和的基本運(yùn)算1、若公比為的等比數(shù)列的首項(xiàng)為,末項(xiàng)為,則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是〔A．B．C．D．2、已知等比數(shù)列中,,,則該數(shù)列的通項(xiàng)_________________．3、若為等比數(shù)列,且,則公比________．4、設(shè),,,成等比數(shù)列,其公比為,則的值為〔 A． B．C．D．5、等比數(shù)列{an}中,公比q=且a2+a4+…+a100=30,則a1+a2+…+a100=______________.考點(diǎn)四：等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用1、在等比數(shù)列中,如果,,那么為〔A．B．C．D．2、如果,,,,成等比數(shù)列,那么〔A．, B．,C．,D．,3、在等比數(shù)列中,,,則等于〔A． B． C． D．4、在等比數(shù)列中,,,則等于〔A．B．C．D．5、在等比數(shù)列中,和是二次方程的兩個(gè)根,則的值為〔A． B． C． D．6、若是等比數(shù)列,且,若,那么的值等于考點(diǎn)五：公式的應(yīng)用1、若數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=a1+a2+…+an,滿足條件log2Sn=n,那么{an}是<>A.公比為2的等比數(shù)列B.公比為的等比數(shù)列C.公差為2的等差數(shù)列D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=2n-1,則前n項(xiàng)的平方和為<><2n-1>2B.<2n-1>2C.4n-1D.<4n-1>設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=3n+r,那么r的值為_(kāi)_____________.一、等差和等比數(shù)列比較：等差數(shù)列等比數(shù)列定義遞推公式；；通項(xiàng)公式〔中項(xiàng)〔〔前項(xiàng)和重要性質(zhì)二、等差數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：〔為常數(shù),通項(xiàng)：等差中項(xiàng)：成等差數(shù)列前項(xiàng)和：性質(zhì)：是等差數(shù)列〔1若,則〔2數(shù)列仍為等差數(shù)列,仍為等差數(shù)列,公差為；〔3若是等差數(shù)列,且前項(xiàng)和分別為,則〔4為等差數(shù)列〔為常數(shù),是關(guān)于的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù),可能有最大值或最小值〔5項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列,有,.<6>項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列,有,,.三、等比數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：〔為常數(shù),,通項(xiàng)：.等比中項(xiàng)：成等比數(shù)列,或.前項(xiàng)和：〔要注意q！性質(zhì)：是等比數(shù)列〔1若,則〔2仍為等比數(shù)列,公比為.四、數(shù)列求和的常用方法：解：①②②等比數(shù)列·例題解析[例1]已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,Sn＝pn<p∈R,n∈N*>,那么數(shù)列{an}．[]A．是等比數(shù)列B．當(dāng)p≠0時(shí)是等比數(shù)列C．當(dāng)p≠0,p≠1時(shí)是等比數(shù)列D．不是等比數(shù)列[例2]已知等比數(shù)列1,x1,x2,…,x2n,2,求x1·x2·x3·…·x2n．式；<2>已知a3·a4·a5＝8,求a2a3a4a5a6的值．[例4]已知a＞0,b＞0且a≠b,在a,b之間插入n個(gè)正數(shù)x1,x2,…,xn,使得a,x1,x2,…,xn,b成等比數(shù)列,求設(shè)a、b、c、d成等比數(shù)列,求證：<b－c>2＋<c－a>2＋<d－b>2＝<a－d>2．[例6]求數(shù)列的通項(xiàng)公式：<1>{an}中,a1＝2,an+1＝3an＋2<2>{an}中,a1=2,a2＝5,且an+2－3an+1＋2an＝0若a、b、c成等差數(shù)列,且a＋1、b、c與a、b、c＋2都成等比數(shù)列,求b的值．[例9]已知等差數(shù)列{an}的公差和等比數(shù)列{bn}的公比都是d,又知d≠1,且a4=b4,a10=b10：<1>求a1與d的值；<2>b16是不是{an}中的項(xiàng)？三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,若第二個(gè)數(shù)加4就成等差數(shù)列,再把這個(gè)等差數(shù)列的第3項(xiàng)加32又成等比數(shù)列,求這三個(gè)數(shù)．有四個(gè)數(shù),其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16,第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12,求這四個(gè)數(shù)．已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,其和為126；另外三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,把兩個(gè)數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)依次相加,分別得到85,76,84．求這兩個(gè)數(shù)列．已知在數(shù)列{an}中,a1、a2、a3成等差數(shù)列,a2、a3、a4成等比數(shù)列,a3、a4、a5的倒數(shù)成等差數(shù)列,證明：a1、a3、a5成等比數(shù)列．[例15]已知<b－c>logmx＋<c－a>logmy＋<a－b>logmz=0．<1>設(shè)a,b,c依次成等差數(shù)列,且公差不為零,求證：x,y,z成等比數(shù)列．<2>設(shè)正數(shù)x,y,z依次成等比數(shù)列,且公比不為1,求證：a,b,c成等差數(shù)列．等比數(shù)列·例題解析[例1]已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,Sn＝pn<p∈R,n∈N*>,那么數(shù)列{an}．[]A．是等比數(shù)列B．當(dāng)p≠0時(shí)是等比數(shù)列C．當(dāng)p≠0,p≠1時(shí)是等比數(shù)列D．不是等比數(shù)列分析由Sn＝pn<n∈N*>,有a1=S1＝p,并且當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn－Sn-1＝pn－pn-1＝<p－1>pn-1但滿足此條件的實(shí)數(shù)p是不存在的,故本題應(yīng)選D．說(shuō)明數(shù)列{an}成等比數(shù)列的必要條件是an≠0<n∈N*>,還要注[例2]已知等比數(shù)列1,x1,x2,…,x2n,2,求x1·x2·x3·…·x2n．解∵1,x1,x2,…,x2n,2成等比數(shù)列,公比q∴2＝1·q2n+1x1x2x3…x2n＝q·q2·q3…q2n=q1+2+3+…+2n式；<2>已知a3·a4·a5＝8,求a2a3a4a5a6的值．∴a4＝2[例4]已知a＞0,b＞0且a≠b,在a,b之間插入n個(gè)正數(shù)x1,x2,…,xn,使得a,x1,x2,…,xn,b成等比數(shù)列,求證明設(shè)這n＋2個(gè)數(shù)所成數(shù)列的公比為q,則b=aqn+1[例5]設(shè)a、b、c、d成等比數(shù)列,求證：<b－c>2＋<c－a>2＋<d－b>2＝<a－d>2．證法一∵a、b、c、d成等比數(shù)列∴b2＝ac,c2＝bd,ad＝bc∴左邊=b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2＋d2－2bd＋b2=2<b2－ac>＋2<c2－bd>＋<a2－2bc＋d2>＝a2－2ad＋d2＝<a－d>2＝右邊證畢．證法二∵a、b、c、d成等比數(shù)列,設(shè)其公比為q,則：b＝aq,c＝aq2,d=aq3∴左邊＝<aq－aq2>2＋<aq2－a>2＋<aq3－aq>2＝a2－2a2q3＋a2q6=<a－aq3>2＝<a－d>2=右邊證畢．說(shuō)明這是一個(gè)等比數(shù)列與代數(shù)式的恒等變形相綜合的題目．證法一是抓住了求證式中右邊沒(méi)有b、c的特點(diǎn),走的是利用等比的條件消去左邊式中的b、c的路子．證法二則是把a(bǔ)、b、c、d統(tǒng)一化成等比數(shù)列的基本元素a、q去解決的．證法二稍微麻煩些,但它所用的統(tǒng)一成基本元素的方法,卻較證法一的方法具有普遍性．[例6]求數(shù)列的通項(xiàng)公式：<1>{an}中,a1＝2,an+1＝3an＋2<2>{an}中,a1=2,a2＝5,且an+2－3an+1＋2an＝0思路：轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列．∴{an＋1}是等比數(shù)列∴an＋1=3·3n-1∴an=3n－1∴{an+1－an}是等比數(shù)列,即an+1－an=<a2－a1>·2n-1=3·2n-1再注意到a2－a1=3,a3－a2=3·21,a4－a3=3·22,…,an－an-1=3·2n-2,這些等式相加,即可以得到說(shuō)明解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)一個(gè)等比數(shù)列,即化生疏為已知．<1>中發(fā)現(xiàn){an＋1}是等比數(shù)列,<2>中發(fā)現(xiàn){an+1－an}是等比數(shù)列,這也是通常說(shuō)的化歸思想的一種體現(xiàn)．證∵a1、a2、a3、a4均為不為零的實(shí)數(shù)∴上述方程的判別式Δ≥0,即又∵a1、a2、a3為實(shí)數(shù)因而a1、a2、a3成等比數(shù)列∴a4即為等比數(shù)列a1、a2、a3的公比．[例8]若a、b、c成等差數(shù)列,且a＋1、b、c與a、b、c＋2都成等比數(shù)列,求b的值．解設(shè)a、b、c分別為b－d、b、b＋d,由已知b－d＋1、b、b＋d與b－d、b、b＋d＋2都成等比數(shù)列,有整理,得∴b＋d=2b－2d即b=3d代入①,得9d2=<3d－d＋1><3d＋d>9d2=<2d＋1>·4d解之,得d=4或d=0<舍>∴b=12[例9]已知等差數(shù)列{an}的公差和等比數(shù)列{bn}的公比都是d,又知d≠1,且a4=b4,a10=b10：<1>求a1與d的值；<2>b16是不是{an}中的項(xiàng)？思路：運(yùn)用通項(xiàng)公式列方程<2>∵b16=b1·d15=－32b1∴b16=－32b1=－32a1,如果b16是{an}中的第k項(xiàng),則－32a1=a1＋<k－1>d∴<k－1>d=－33a1=33d∴k=34即b16是{an}中的第34項(xiàng)．解設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則an=a1＋<n－1>d解這個(gè)方程組,得∴a1=－1,d=2或a1=3,d=－2∴當(dāng)a1=－1,d=2時(shí),an=a1＋<n－1>d=2n－3當(dāng)a1=3,d=2時(shí),an=a1＋<n－1>d=5－2n[例11]三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,若第二個(gè)數(shù)加4就成等差數(shù)列,再把這個(gè)等差數(shù)列的第3項(xiàng)加32又成等比數(shù)列,求這三個(gè)數(shù)．解法一按等比數(shù)列設(shè)三個(gè)數(shù),設(shè)原數(shù)列為a,aq,aq2由已知：a,aq＋4,aq2成等差數(shù)列即：2<aq＋4>=a＋aq2 ①a,aq＋4,aq2＋32成等比數(shù)列即：<aq＋4>2=a<aq2＋32>解法二按等差數(shù)列設(shè)三個(gè)數(shù),設(shè)原數(shù)列為b－d,b－4,b＋d由已知：三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列即：<b－4>2=<b－d><b＋d>b－d,b,b＋d＋32成等比數(shù)列即b2=<b－d><b＋d＋32>解法三任意設(shè)三個(gè)未知數(shù),設(shè)原數(shù)列為a1,a2,a3由已知：a1,a2,a3成等比數(shù)列a1,a2＋4,a3成等差數(shù)列得：2<a2＋4>=a1＋a3 ②a1,a2＋4,a3＋32成等比數(shù)列得：<a2＋4>2=a1<a3＋32> ③說(shuō)明將三個(gè)成等差數(shù)列的數(shù)設(shè)為a－d,a,a＋d；將三個(gè)成簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程的作用．[例12]有四個(gè)數(shù),其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16,第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12,求這四個(gè)數(shù)．分析本題有三種設(shè)未知數(shù)的方法方法一設(shè)前三個(gè)數(shù)為a－d,a,a＋d,則第四個(gè)數(shù)由已知條方法二設(shè)后三個(gè)數(shù)為b,bq,bq2,則第一個(gè)數(shù)由已知條件推得為2b－bq．方法三設(shè)第一個(gè)數(shù)與第二個(gè)數(shù)分別為x,y,則第三、第四個(gè)數(shù)依次為12－y,16－x．由這三種設(shè)法可利用余下的條件列方程組解出相關(guān)的未知數(shù),從而解出所求的四個(gè)數(shù),所求四個(gè)數(shù)為：0,4,8,16或15,9,3,1．解法二設(shè)后三個(gè)數(shù)為：b,bq,bq2,則第一個(gè)數(shù)為：2b－bq所求四個(gè)數(shù)為：0,4,8,16或15,9,3,1．解法三設(shè)四個(gè)數(shù)依次為x,y,12－y,16－x．這四個(gè)數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1．[例13]已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,其和為126；另外三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,把兩個(gè)數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)依次相加,分別得到85,76,84．求這兩個(gè)數(shù)列．解設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)數(shù)為b－d,b,b＋d,由已知,b－d＋b＋b＋d=126∴b=42這三個(gè)數(shù)可寫(xiě)成42－d,42,42＋d．再設(shè)另三個(gè)數(shù)為a,aq,aq2