彈性力學(xué)之平面問題的直角坐標(biāo)解答講義

彈性力學(xué)課堂教學(xué)軟件

1《彈性力學(xué)課堂教學(xué)軟件》既是教師的多媒體教案（電子教案），又是學(xué)生計算機CAI教學(xué)教材。繪制的工程圖片形象、生動、有效地幫助學(xué)生理解和記憶；圖文并茂，甩掉了粉筆加黑板的傳統(tǒng)教學(xué)模式，大大地增加了課堂教學(xué)的信息量，精簡了學(xué)時，提高了教學(xué)質(zhì)量。它既解放了教師寫教案、畫圖、板書等煩瑣的工作，又減輕了學(xué)生課堂記筆記的負(fù)擔(dān)；既是教師必備的彈性力學(xué)教學(xué)工具，又是學(xué)生的必備電子教材。該軟件覆蓋了彈性力學(xué)課程的全部內(nèi)容，并以廣泛使用徐芝綸編的《彈性力學(xué)》等教材為參考教材，全書共分為十二章：第一章緒論；第二章平面問題的基本理論；第三章平面問題的直角坐標(biāo)解答；第四章平面問題的極坐標(biāo)解答；第五章平面問題的復(fù)變函數(shù)解答；第六章熱應(yīng)力問題的基本解法；第七章有限差分法；第八章空間問題；第九章扭轉(zhuǎn)；第十章變分法；第十一章彈性波；第十二章板問題。任課教師可以根據(jù)自己的需要方便地增加、刪減或調(diào)整講課順序，可適用于各種學(xué)時《彈性力學(xué)》課程教學(xué)。內(nèi)容簡介該軟件適合586以上的各種微機，中文windows95、windows98、windows2000、office97、office2000及以上各種版本，可光盤運行，也可在硬盤運行。地址：北京市朝陽區(qū)芍藥居35號責(zé)任編輯：王秀杰煤炭工業(yè)音像出版社出版ISBN7-89996-201-3/O010234第一章緒論第三章平面問題的直角坐標(biāo)解答第四章平面問題的極坐標(biāo)解答第五章平面問題的復(fù)變函數(shù)解答第六章熱應(yīng)力問題的基本解法第二章平面問題的基本理論使用說明書5第八章空間問題第十章變分法第十一章彈性波第十二章板問題第九章扭轉(zhuǎn)第七章有限差分法模擬試題6第三章平面問題的直角坐標(biāo)解答7第三章平面問題的直角坐標(biāo)解答平面問題的直角坐標(biāo)解答§3-1多項式解答§3-2位移分量的求出§3-3簡支梁受均布載荷§3-4楔形體受重力和液體壓力§3-5級數(shù)式解答§3-6簡支梁受任意橫向載荷習(xí)題課18一、應(yīng)力函數(shù)取一次多項式§3-1多項式解答平面問題的直角坐標(biāo)解答應(yīng)力分量：應(yīng)力邊界條件：結(jié)論：（1）線性應(yīng)力函數(shù)對應(yīng)于無面力、無應(yīng)力的狀態(tài)。（2）把任何平面問題的應(yīng)力函數(shù)加上一個線性函數(shù)，并不影響應(yīng)力。二、應(yīng)力函數(shù)取二次多項式1.對應(yīng)于，應(yīng)力分量。29平面問題的直角坐標(biāo)解答結(jié)論：應(yīng)力函數(shù)能解決矩形板在方向受均布拉力（設(shè)）或均布壓力（設(shè)）的問題。如圖3-1（a）。2.對應(yīng)于，應(yīng)力分量。結(jié)論：應(yīng)力函數(shù)能解決矩形板受均布剪力問題。如圖3-1（b）。圖3-1（a）（b）（c）310平面問題的的直角坐標(biāo)標(biāo)解答3.應(yīng)力函數(shù)能解決矩形板在方向受均布拉力（設(shè)）或均布壓力（設(shè)）的問題。如圖3-1（c）。三、應(yīng)力函函數(shù)取三次次多項式對應(yīng)的應(yīng)力力分量：結(jié)論：應(yīng)力函數(shù)（（a）能解決矩形形梁受純彎彎曲的問題題。如圖3-2所示的矩形形梁。（a）圖圖3-2411平面問題的的直角坐標(biāo)標(biāo)解答具體解法如如下:如圖3-2,取單位寬度的梁來考察,并命每單位寬度上力偶的矩為。這里的因次是[力][長度]/[長度]，即[力]。在左端或右端，水平面力應(yīng)當(dāng)合成為力偶，而力偶的矩為，這就要求：前一式總能能滿足，而而后一式要要求：代入式（a），得：5將式（a）中的代入，上列二式成為：12平面問題的的直角坐標(biāo)標(biāo)解答因為梁截面的慣矩是，所以上式可改寫為：結(jié)果與材料料力學(xué)中完完全相同。。注意：對于長度遠(yuǎn)大于深度的梁，上面答案是有實用價值的；對于長度與深度同等大小的所謂深梁，這個解答是沒有什么實用意義的。613§3-2位移分量的的求出平面問題的的直角坐標(biāo)標(biāo)解答以矩形梁的的純彎曲問問題為例，，說明如何何由應(yīng)力分分量求出位位移分量。。一、平面應(yīng)應(yīng)力的情況況將應(yīng)力分量代入物理方程714平面問題的的直角坐標(biāo)標(biāo)解答得形變分量量：（a）再將式（a）代入幾何方方程：得：前二式積分得得：（b）（c）其中的和是任意函數(shù)。將式（c）代入（b）中的第三式815平面問題的的直角坐標(biāo)標(biāo)解答得：等式左邊只是的函數(shù)，而等式右邊只是的函數(shù)。因此，只可能兩邊都等于同一常數(shù)。于是有：積分以后得得：代入式（c），得位移分量量：其中的任意常數(shù)、、須由約束條件求得。（d）916平面問題的的直角坐標(biāo)標(biāo)解答（一）簡支梁梁如圖3-3（a），約束條件為：由式（d）得出：代入式（d），就得到簡支梁的位移分量：梁軸的撓度方程：圖3-3（a）（b）1017平面問題的的直角坐標(biāo)標(biāo)解答（二）懸臂臂梁如圖3-3（b），約束條件為：由式（d）得出：代入式（d），得出懸臂梁的位移分量：梁軸的撓度方程：二、平面應(yīng)應(yīng)變的情況況只要將平面應(yīng)力情況下的形變公式和位移公式中的換為，換為即可。1118§3-3簡支梁受均均布載荷平面問題的的直角坐標(biāo)標(biāo)解答設(shè)有矩形截面的簡支梁，深度為，長度為，受均布載荷，體力不計，由兩端的反力維持平衡。如圖3-4所示。取單位寬度的梁來考慮，可視為平面應(yīng)力問題。圖3-4用半逆解法法。假設(shè)只只是的的函數(shù)數(shù)：則：對積分分，得：解之，得：：其中，、是任意函數(shù)，即待定函數(shù)。（a）（b）1219平面問題的的直角坐標(biāo)標(biāo)解答現(xiàn)在考察，上述應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程。為此，對求四階導(dǎo)數(shù)：將以上結(jié)果果代入相容容方程，得得：相容條件要求此二次方程有無數(shù)的根(全梁內(nèi)的值都應(yīng)該滿足它),所以,它的系數(shù)和自由項都必須等于零。即：1320平面問題的的直角坐標(biāo)標(biāo)解答前面兩個方程要求：第三個方程要求：（c）（d）將式（c）和（d）代入式（b），得應(yīng)力函數(shù)：（e）相應(yīng)的應(yīng)力分量為：（f）（g）（h）1421平面問題的的直角坐標(biāo)標(biāo)解答這些應(yīng)力分量滿足平衡微分方程和相容方程。如果要使全部應(yīng)力邊界條件都滿足，除非常數(shù)、…等于特定值，這樣以上應(yīng)力分量才是正確的解答。因為面是梁和荷載的對稱面，所以應(yīng)力分布應(yīng)當(dāng)對稱于yz面。這樣，和應(yīng)當(dāng)是的偶函數(shù)，而應(yīng)當(dāng)是的奇函數(shù)。于是由式（f）和（h）可見：將上式代入應(yīng)力分量表達(dá)式，三個應(yīng)力分量變?yōu)椋荷鲜街泄灿辛鶄€待定常數(shù)，利用應(yīng)力邊界條件求出。（一）考察上下兩邊的邊界條件（i）1522平面問題的的直角坐標(biāo)標(biāo)解答整理，得：：由于這四個方程是獨立的，互不矛盾的，而且只包含四個未知數(shù)，所以聯(lián)立求解，得：將上面所得常數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式（i），得：（k）（l）（j）1623平面問題的的直角坐標(biāo)標(biāo)解答（二）考察左右兩邊的邊界條件由于對稱性，只需考慮其中的一邊?？紤]右邊：（m）（n）將式（j）代入式（m），得： 積分，得：將式（j）代入式（n），得： 積分，得：1724平面面問問題題的的直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)解解答答將式（l）代入，上式成為：另一方面，在梁的右邊剪應(yīng)力滿足：將和代入式（j），得：（p）將式（p）、（k）、（l）整理，得應(yīng)力分量：（q）1825平面面問問題題的的直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)解解答答式（q）可以改寫為：各應(yīng)應(yīng)力力分分量量沿沿鉛鉛直直方方向向的的變變化化大大致致如如圖圖3-5所示示。。在的表達(dá)式中，第一項是主要項，和材料力學(xué)中的解答相同，第二項是彈性力學(xué)提出的修正項。對于通常的淺梁，修正項很小，可以不計。對于較深的梁，則需注意修正項。的最大絕對值是，發(fā)生在梁頂。在材料力學(xué)中，一般不考慮這個應(yīng)力分量。和材料力學(xué)里完全一樣。19圖3-526§3-4楔形形體體受受重重力力和和液液體體壓壓力力平面面問問題題的的直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)解解答答設(shè)有楔形體,如圖3-6a所示，左面鉛直,右面與鉛直面成角，下端無限長，承受重力及液體壓力，楔形體的密度為，液體的密度為，試求應(yīng)力分量。問題：20圖圖圖圖3-6（a）（b）27平面面問問題題的的直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)解解答答取坐標(biāo)軸如圖所示。假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：（二）邊界條件左面（）應(yīng)力邊界條件：這些應(yīng)力分量滿足平衡微分方程和相容方程。（一）應(yīng)力分量在該問題中，體力分量，所以應(yīng)力分量的表達(dá)式為：（a）2128平面面問問題題的的直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)解解答答右面（），，應(yīng)力邊界條件：將式（a）代入，得：代入式（a），得：（b）將式（b）代入，得：（c）又：2229平面面問問題題的的直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)解解答答代入式（c），得：將這些系數(shù)代入式（b），得：各應(yīng)力分量沿水平方向的變化大致如圖3-6b所示。注意：1.沿著壩軸，壩身往往具有不同的截面，而且壩身也不是無限長的。因此，嚴(yán)格說來，這里不是一個平面問題。2.對于壩身底部來說，上面的解答是不精確的。3.在靠近壩頂處，以上解答也不適用。2330平面面問問題題的的直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)解解答答§3-5級數(shù)數(shù)式式解解答答用逆解法。假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：（a）其中是任意常數(shù)，它的因次是[長度]-1，而是的任意函數(shù)。將式（a）代入相容方程，得：（b）解之，得：其中、、、都是任意常數(shù)。得到應(yīng)力函數(shù)的一個解答：假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：同樣可以得出應(yīng)力函數(shù)的另一個解答：（c）2431平面面問問題題的的直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)解解答答仍然是該微分方程的解答。所以可以得到三角級數(shù)式的應(yīng)力函數(shù)：相應(yīng)的應(yīng)力分量：將式式（（c）與（（d）疊加加，，得得：：其中、、、也都是任意常數(shù)。（d））2532平面面問問題題的的直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)解解答答2633平面面問問題題的的直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)解解答答這些應(yīng)力分量滿足平衡微分方程和相容方程。如果能夠選擇其中的待定常數(shù)、、、、、、、、、或再疊加以滿足平衡微分方程和相容方程的其它應(yīng)力分量表達(dá)式，使其滿足某個問題的邊界條件，就得出該問題的解答。2734§3-6簡支支梁梁受受任任意意橫橫向向載載荷荷平面面問問題題的的直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)解解答答問題：

設(shè)簡支梁的跨度為，高度為，坐標(biāo)軸如圖3-7所示，上下兩邊的橫向載荷分別為及，左右兩端的反力分別為及。圖3-72835平面面問問題題的的直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)解解答答為了滿足邊界條件（c），?。?,…3,2,1(==mlmmpa上下兩邊正應(yīng)力的邊界條件：上下兩邊剪應(yīng)力的邊界條件：左右兩端正應(yīng)力的邊界條件：左右兩端剪應(yīng)力的邊界條件：（a）（b）（c）（d）2936平面面問問題題的的直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)解解答答應(yīng)力分分量簡簡化為為：（1）3037平面問問題的的直角角坐標(biāo)標(biāo)解答答代入邊邊界條條件（（b）和（a），得：由此可以得出求解系數(shù)、、、的方程。（e）（f）（g）（h）3138平面問問題的的直角角坐標(biāo)標(biāo)解答答由式（e）、（f），得：（i）（j）按照傅立葉級數(shù)展開法則，有：與式（g）對比，得：從而，得：（k）3239平面問問題的的直角角坐標(biāo)標(biāo)解答答同樣由式（h），得：（）求出式（k）及式（）右邊的積分以后，可由（i）、（j）、（k）、（）四式求得系數(shù)、、、，從而由公式（1）求得應(yīng)力分量。求出應(yīng)力分量后，可由式（d）求得反力及，并利用兩個反力與荷載的平衡作為校核之用。結(jié)論：1.用級數(shù)求解平面問題時，計算工作量很大。2.由于梁的兩端的應(yīng)力邊界條件不能精確滿足，因而應(yīng)力的解答只適用于距兩端較遠(yuǎn)之處；對于跨度與高度同等大小的梁，這種解答是沒有用處的。3340平面問問題的的直角角坐標(biāo)標(biāo)解答答§3-7《《平面問問題的的直角角坐標(biāo)標(biāo)解答答》習(xí)題課課[練習(xí)1]設(shè)有矩形截面的豎柱，其密度為，在一邊側(cè)面上受均布剪力，如圖1，試求應(yīng)力分量。解：1.采用半逆解法，設(shè)。導(dǎo)出使其滿足雙調(diào)和方程：34圖1o41平面問問題的的直角角坐標(biāo)標(biāo)解答答取任意值時，上式都應(yīng)成立，因而有：式中，中略去了常數(shù)項，中略去了的一次項及常數(shù)項，因為它們對應(yīng)力無影響。（1）2.含待定常數(shù)的應(yīng)力分量為：（2）3542平面問問題的的直角角坐標(biāo)標(biāo)解答答3.利用邊界條件確定常數(shù)，并求出應(yīng)力解答：能自然滿足：能自然滿足：（3）不能精確滿足，只能近似滿足：由式（3）、（4）解出常數(shù)和，進(jìn)而可求得應(yīng)力分量：（4）3643平面問問題的的直角角坐標(biāo)標(biāo)解答答（1）中中的的不不能能略去去，因因為對對剪剪應(yīng)力力有影影響。。（2）在上上端部部，首首先應(yīng)應(yīng)使應(yīng)應(yīng)力分分量精精確滿滿足邊邊界條條件，，如不不能，，則可可運用用圣維維南原原理放放松滿滿足。。本題題能能精精確滿滿足，，因此此，在在此處處是精精確解解，而而在在上上端部部是近近似解解。（3）若設(shè)設(shè)，，則導(dǎo)導(dǎo)出的的應(yīng)力力函數(shù)數(shù)和和應(yīng)應(yīng)力分分量為為：4.分析：（5）（6）（7）3744平面問問題的的直角角坐標(biāo)標(biāo)解答答常數(shù)確確定后后代入入式（（7），所所得結(jié)結(jié)果與與式（（5）相同同。[練習(xí)2]如圖2（a），三角形懸臂梁只受重力作用，梁的密度為，試用純?nèi)问綉?yīng)力函數(shù)求解該梁的應(yīng)力分量。圖2（a）（b）解：1.設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：不難驗證其滿足。所以應(yīng)力分量為：3845平面問問題的的直角角坐標(biāo)標(biāo)解答答2.用邊界條件確定常數(shù)，進(jìn)而求出應(yīng)力解答：上邊界：斜面：解得：3946平面問問題的的直角角坐標(biāo)標(biāo)解答答3.分析：本題的應(yīng)力函數(shù)可用量綱分析方法得到，此函數(shù)亦可用來求解上邊界受線形載荷作用的問題，見圖2（b）。40[練習(xí)3]如果為平面調(diào)和函數(shù)，它滿足 ，問 是否可作為應(yīng)力函數(shù)。解：將代代入相相容條條件，，得：：滿足雙雙調(diào)和和方程程，因因此，，可作作為應(yīng)應(yīng)力函函數(shù)。。將代代入入相容容條件件得47 也能作為應(yīng)力函數(shù)。把 代入相容條件，得：所以，也可作為應(yīng)力函數(shù)。[練習(xí)4]圖所示矩形截面簡支梁受三角形分布荷載作用，試取應(yīng)力函數(shù)為： ，求簡支梁的應(yīng)力分量（體力不計）。平面問問