同步精練 等差數(shù)列 Word版含答案

等差數(shù)列同步精練基礎(chǔ)鞏固1下列說(shuō)法中正確的是()A．一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列B．一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列C．一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的和都等于常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列D．一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列2已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝3－2n，則它的公差為()A．2B．3C．－23已知等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝4，公差d＝－2，則通項(xiàng)公式an等于()A．4－2nB．2n－4C．6－2nD．2n－64已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，則a20等于()A．－1B．1C．5在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1，則a2009等于()A．2007B．2008C．26已知{an}為等差數(shù)列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，則公差d等于A．－2B．－eq\f(1,2)\f(1,2)D．27已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝7n＋2，求證：數(shù)列{lgan}是等差數(shù)列．8夏季高山上的溫度從山腳起，每升高100米，降低0.7℃，已知山頂處的溫度是14.8℃，山腳處的溫度為綜合過(guò)關(guān)9已知關(guān)于x的方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為eq\f(1,4)的等差數(shù)列，則|m－n|等于()A．1\f(3,4)\f(1,2)\f(3,8)10有一正四棱臺(tái)形樓頂，其中一個(gè)側(cè)面中最上面一行鋪瓦30塊，總共需要鋪瓦15行，并且下一行比其上一行多鋪3塊瓦，求該側(cè)面最下面一行鋪瓦多少塊？11已知函數(shù)f(x)＝eq\f(3x,x＋3)，數(shù)列{xn}的通項(xiàng)由xn＝f(xn－1)(n≥2且n∈N＋)確定．(1)求證：{eq\f(1,xn)}是等差數(shù)列；(2)當(dāng)x1＝eq\f(1,2)時(shí)，求x100.12一個(gè)等差數(shù)列首項(xiàng)為eq\f(1,25)，公差d＞0，從第10項(xiàng)起每一項(xiàng)都比1大，求公差d的范圍．能力提升13某小朋友用手指按如圖所示的規(guī)則練習(xí)數(shù)數(shù)，數(shù)到2009時(shí)對(duì)應(yīng)的指頭是______．(填出指頭名稱：各指頭對(duì)應(yīng)依次為大拇指、食指、中指、無(wú)名指、小拇指)14設(shè){an}為a1＝4的遞增數(shù)列，且滿足aeq\o\al(2,n＋1)＋aeq\o\al(2,n)＋16＝8(an＋1＋an)＋2an＋1an，則an＝__________.參考答案1解析：僅有D是等差數(shù)列的定義．答案：D2解析：可得an＋1－an＝－2或a2－a1＝(3－4)－(3－2)＝－2.答案：C3解析：通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.答案：C4解析：設(shè)公差為d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1＋2d＋a1＋4d＝105，,a1＋d＋a1＋3d＋a1＋5d＝99，))解得a1＝39，d＝－2，∴a20＝a1＋(20－1)×d＝1.答案：B5解析：由于an＋1－an＝1，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則an＝a1＋(n－1)d＝n，∴a2009＝2009.答案：C6解析：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋6d－2a1＋3d＝－1，,a1＋2d＝0，))解得d＝－eq\f(1,2).答案：B7分析：轉(zhuǎn)化為證明lgan＋1－lgan是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)．證明：設(shè)bn＝lgan，則bn＋1－bn＝lgan＋1－lgan＝(n＋3)lg7－(n＋2)lg7＝lg7＝常數(shù)．所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，即數(shù)列{lgan}是等差數(shù)列．8解：∵每升高100米溫度降低0.7∴該處溫度的變化是一個(gè)等差數(shù)列問(wèn)題．山腳溫度為首項(xiàng)a1＝26，山頂溫度為末項(xiàng)an＝，∴26＋(n－1)×(－＝，解之可得n＝17，故此山相對(duì)于山腳處的高度為(17－1)×100＝1600(米)．9解析：設(shè)這四個(gè)根組成的等差數(shù)列為{an}，則a1＝eq\f(1,4)，設(shè)公差為d，方程x2－2x＋m＝0的兩根之和為2，方程x2－2x＋n＝0的兩根之和也為2，則a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＝4a1＋6d＝4，則1＋6d＝4，所以d＝eq\f(1,2).則這四個(gè)根是eq\f(1,4)，eq\f(3,4)，eq\f(5,4)，eq\f(7,4).又eq\f(1,4)＋eq\f(7,4)＝2，eq\f(3,4)＋eq\f(5,4)＝2，則m＝eq\f(1,4)×eq\f(7,4)＝eq\f(7,16)，n＝eq\f(3,4)×eq\f(5,4)＝eq\f(15,16)或n＝eq\f(1,4)×eq\f(7,4)＝eq\f(7,16)，m＝eq\f(3,4)×eq\f(5,4)＝eq\f(15,16)，則|m－n|＝|eq\f(7,16)－eq\f(15,16)|＝eq\f(1,2).答案：C10分析：轉(zhuǎn)化為求等差數(shù)列的第15項(xiàng)．解：設(shè)從上面開(kāi)始第n行鋪瓦an塊，則數(shù)列{an}是首項(xiàng)為30，公差為3的等差數(shù)列．則a15＝a1＋14d＝30＋14×3＝72(塊)，即該側(cè)面最下面一行鋪瓦72塊．11(1)證明：xn＝f(xn－1)＝eq\f(3xn－1,xn－1＋3)(n≥2且n∈N＋)，∴eq\f(1,xn)＝eq\f(xn－1＋3,3xn－1)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,xn－1)，eq\f(1,xn)－eq\f(1,xn－1)＝eq\f(1,3)(n≥2且n∈N＋)，∴{eq\f(1,xn)}是等差數(shù)列．(2)解：eq\f(1,xn)＝eq\f(1,x1)＋(n－1)×eq\f(1,3)＝2＋eq\f(n－1,3)＝eq\f(n＋5,3).∴eq\f(1,x100)＝eq\f(100＋5,3)＝35.∴x100＝eq\f(1,35).12分析：轉(zhuǎn)化為解不等式組．解：∵d＞0，設(shè)等差數(shù)列為{an}，則a1＜a2＜…＜a9＜a10＜a11…，依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1<a10<a11<…，,a1<a2<…<a9≤1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a10>1,a9≤1))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,25)＋10－1d>1，,\f(1,25)＋9－1d≤1，))解得eq\f(8,75)＜d≤eq\f(3,25).13解析：把這些數(shù)分成“層”，則第1層有5個(gè)數(shù)，其他層都是有4個(gè)數(shù)，奇數(shù)層小拇指對(duì)應(yīng)的數(shù)最大，偶數(shù)層大拇指對(duì)應(yīng)的數(shù)最大，則2009＝5＋2004＝5＋4×501，則2009在第502層，并且是該層最大的數(shù)，所以2009位于大拇指的位置上．答案：大拇指14解析：aeq\o\al(2,n＋1)＋aeq\o\al(2,n)＋16＝8(an＋1＋an)＋2an＋1an?(an＋1＋an)2－8(an＋1＋an)＋16＝4an＋1an?(an＋1＋an－4)2＝4an＋1an?an＋1＋an－4＝2eq\r(an＋1an)(由題意可知取正號(hào))?(eq\r(an＋1)－eq\r(an))2＝4?eq\r(an＋1)－eq\r(an)＝2，因此，{eq\r(an)}是公差為2的等差數(shù)列．則eq\r(an)＝eq\r(a1)＋(n－1)×2＝2n，從而可得an＝4n2.答案：4n2第二課時(shí)基礎(chǔ)鞏固1a＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq\f(1,\r(3)－\r(2))，則a、b的等差中項(xiàng)為()\r(3)\r(2)\f(\r(3),3)\f(\r(2),2)2等差數(shù)列{an}的公差為d，則數(shù)列{can}(c為常數(shù)，且c≠0)是()A．公差為d的等差數(shù)列B．公差為cd的等差數(shù)列C．不是等差數(shù)列D．以上都不對(duì)3在a和b(a≠b)兩個(gè)數(shù)之間插入n個(gè)數(shù)，使它們與a、b組成等差數(shù)列，則該數(shù)列的公差為_(kāi)_____．4等差數(shù)列{an}中，a5＝10，a20＝7，則a2＋a23＝______.5已知a，b，c成等差數(shù)列，請(qǐng)問(wèn)b＋c，c＋a，a＋b是否構(gòu)成等差數(shù)列，為什么？6在－1與7之間順次插入三個(gè)數(shù)a，b，c，使這5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求這5個(gè)數(shù)．7四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其四個(gè)數(shù)的平方和為94，第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的積比第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的積少18，求此四個(gè)數(shù)．綜合過(guò)關(guān)8已知eq\f(1,a)、eq\f(1,b)、eq\f(1,c)成等差數(shù)列，并且a＋c、a－c、a＋c－2b均為正數(shù)，試證：lg(a＋c)，lg(a－c)，lg(a＋c－2b)也成等差數(shù)列．9在數(shù)列{an}中，相鄰兩項(xiàng)an和an＋1是相應(yīng)的二次方程x2＋3nx＋bn＝0(n∈N＋)的兩根．若a1＝2，試求b100的值．能力提升10在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝83，a4＝98，則這個(gè)數(shù)列有多少項(xiàng)在300到500之間？參考答案1答案：A2解析：設(shè)bn＝can，則bn＋1－bn＝can＋1－can＝c(an＋1－an)＝cd.答案：B3解析：b＝a＋(n＋2－1)d，則d＝eq\f(b－a,n＋1).答案：eq\f(b－a,n＋1)4答案：175分析：要證明三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，可用等差中項(xiàng)的性質(zhì)去說(shuō)明．解：b＋c，c＋a，a＋b構(gòu)成等差數(shù)列．∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c.又∵(b＋c)＋(a＋b)＝(a＋c)＋2b＝2(a＋c)，∴b＋c，c＋a，a＋b成等差數(shù)列．6分析：此題可求出公差后，再逐項(xiàng)求解，也可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解．解法一：設(shè)這5個(gè)數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列為{an}，公差是d，由已知，有a1＝－1，a5＝7，則7＝－1＋(5－1)d.解得d＝2.∴所求數(shù)列為－1,1,3,5,7.解法二：∵－1，a，b，c,7成等差數(shù)列，∴b是－1與7的等差中項(xiàng)，a是－1與b的等差中項(xiàng)，c是b與7的等差中項(xiàng)，即b＝eq\f(－1＋7,2)＝3，a＝eq\f(－1＋b,2)＝1，c＝eq\f(b＋7,2)＝5.∴所求數(shù)列為－1,1,3,5,7.7解：設(shè)四個(gè)數(shù)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，據(jù)題意得(a－3d)2＋(a－d)2＋(a＋d)2＋(a＋3d)2＝94，即4a2＋20d2＝94.又(a－3d)(a＋3d)＝(a－d)(a＋d)－18，即8d2＝18，∴d＝±eq\f(3,2).代入①得a＝±eq\f(7,2)，∴所求四個(gè)數(shù)為8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2,1.8分析：轉(zhuǎn)化為證明2lg(a－c)＝lg(a＋c)＋lg(a＋c－2b)．證明：∵eq\f(1,a)、eq\f(1,b)、eq\f(1,c)成等差數(shù)列，∴eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c).∴eq\f(2,b)＝eq\f(a＋c,ac).∴2ac＝ab＋bc∴－2ac＝2ac－2b(a＋∴－2ac＋a2＋c2＝2ac－2b(a＋c)＋a2＋c∴(a－c)2＝(a＋c)(a＋c－2b)．又a－c，a＋c，a＋c－2b都是正數(shù)，∴2lg(a－c)＝lg(a＋c)＋lg(a＋c－2b)．∴l(xiāng)g(a＋c)，lg(a－c)，lg(a＋c－2b)成等差數(shù)列．9分析：依題意有：an＋an＋1＝－3n且an·an＋1＝bn，欲求b100，需求a100和a101的值，可由遞推或an＋an＋1＝－3n，找到an的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出a100和a101.解：依題意得：an＋an＋1＝－3n，①an·an＋1＝bn(n∈N＋)，②由②知：b100＝a100·a101.∵an＋an＋1＝－3n，①∴an＋1＋an＋2＝－3(n＋1)，③③－①得：an＋2－an＝－3.∴a1，a3，a5，…，a99，a101構(gòu)成公差為－3的等差數(shù)