2021-2022學(xué)年廣東省廣州市十六中高二年級下冊學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年廣東省廣州市十六中高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．曲線在點(diǎn)處切線為，則等于（

）A． B． C．4 D．2C根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可得出答案.【詳解】由題意可得而故選：C.本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及導(dǎo)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.2．函數(shù)f（x）＝的圖象大致形狀是（）A． B．C． D．B【分析】利用函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)A,C，然后利用特殊值判斷即可．【詳解】解：由題得函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱.所以函數(shù)是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A,C.當(dāng)時，，排除選項(xiàng)D，故選：B．3．的展開式中的系數(shù)為（

）A． B．5 C． D．25A【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以的系?shù)為．故選：A4．甲、乙、丙等6人排成一排，則甲和乙相鄰且他們都和丙不相鄰的排法共有（

）A．144種 B．72種 C．36種 D．246種A【詳解】甲乙相鄰，看作一個整體，內(nèi)部排列，他們兩人都和丙不相鄰，因此采用插空法，先排甲乙丙外的三人，三人之間或兩邊會出現(xiàn)四個空，將甲乙看作的一個人和丙選兩空排列，由此可知，不同的排法共有種,故選:A5．函數(shù)在上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．A【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，由于函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)遞增，故恒成立.【詳解】由題意可得，，，，.故選：A6．若函數(shù)在上有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,然后求出函數(shù)的極大值,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及區(qū)間得到關(guān)于a的不等式，解出即可.【詳解】由，令得，令可得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，有極大值，令解得或而函數(shù)在開區(qū)間上有最大值，故最大值即為極大值，所以且，解得.故選：D7．將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰?短道速滑和冰壺3個項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個項(xiàng)目，每個項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（

）種.A．30 B．60 C．90 D．150D【分析】將5人分為、兩種形式分組，應(yīng)用排列組合及不平均分組方法求分配方案數(shù).【詳解】由題設(shè)，將5人分為、兩種分組方式，1、分組：種；2、分組：種；所以共有150種分配方案.故選：D8．設(shè)，，，則，，的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．A【分析】根據(jù)a、b、c的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可比較出a、b、c的大小，得到正確答案.【詳解】因?yàn)?，，?gòu)造函數(shù)，則，，，，在上遞增，在上遞減.則有最大，即，.若有兩個解，則，所以所以即,令，則，故在上單增,所以，即在上，.若，則有，即.故，所以.當(dāng)時，有，故所以.綜上所述.故選：A利用函數(shù)單調(diào)性比較大小的類型：（1）比較冪指數(shù)、對數(shù)值的大?。唬?）比較抽象函數(shù)的函數(shù)值的大?。唬?）利用單調(diào)性解抽象（結(jié)構(gòu)復(fù)雜）函數(shù)型不等式.二、多選題9．以下求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．BC【分析】本題主要運(yùn)用求導(dǎo)公式：，，但要注意常數(shù)的理解及解析式的轉(zhuǎn)化處理．【詳解】，A不正確；，B正確；，C正確；(為常數(shù))，D不正確．故選：BC．10．由0，1，2，3，5，組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的偶數(shù)，則（

）A．若五位數(shù)的個位數(shù)是0，則可組成24個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的偶數(shù)B．若五位數(shù)的個位數(shù)是2，則可組成18個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的偶數(shù)C．若五位數(shù)的個位數(shù)是2，則可組成24個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的偶數(shù)D．總共可組成8個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的偶數(shù)AB【分析】由于0是特殊元素，故按0分類討論可得出答案.【詳解】對于A，若五位數(shù)的個位數(shù)是0，則前4位數(shù)在剩下的4個數(shù)任意排列，共個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的偶數(shù)，故A正確；對于B、C，若五位數(shù)的個位數(shù)是2，則0必須在十位、百位、千位中任選一位來排有3種選法，那么剩下的數(shù)就可以任意排列，共有個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的偶數(shù)，故B正確，C錯誤；對于D，由選項(xiàng)A、B可知選項(xiàng)D不正確.故選：AB11．甲箱中有3個白球和3個黑球，乙箱中有2個白球和4個黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，分別以表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機(jī)取出一球，以B表示從乙箱中取出的球是黑球的事件，則下列結(jié)論正確的是（

）A．兩兩互斥 B．C．事件B與事件相互獨(dú)立 D．ABD【分析】根據(jù)條件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知識，逐一分析選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】對于A，因?yàn)槊看稳∫磺?，所以是兩兩互斥的事件，故A項(xiàng)正確；對于B，因?yàn)?，，故B項(xiàng)正確；對于C，從甲箱中取出黑球，放入乙箱中，則乙箱中黑球變?yōu)?個，取出黑球概率發(fā)生變化，所以事件B與事件不相互獨(dú)立，故C項(xiàng)錯誤.對于D，又，所以，故D項(xiàng)正確.故選：ABD12．已知函數(shù)（a為常數(shù)），則下列結(jié)論正確的有（

）A．若有3個零點(diǎn)，則a的范圍為B．時，是的極值點(diǎn)C．時.有唯一零點(diǎn)且D．時，恒成立AC【分析】對于A,有3個零點(diǎn)轉(zhuǎn)化成直線與的交點(diǎn)個數(shù)，對的單調(diào)性進(jìn)行考察，進(jìn)而可得a的范圍.對于B，時，對求導(dǎo)，分析單調(diào)性，進(jìn)而確定極值點(diǎn)可判斷.對于C，時，對求導(dǎo)，分析單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可做出判斷.對于D，時，取一個特殊值即可推翻.【詳解】令，則，記則所以在單調(diào)遞增，且值域?yàn)?，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且在上的值域?yàn)槿粲?個零點(diǎn)，則，故A對.當(dāng)時，，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.當(dāng)時，最小值為0，故可知，所以在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，故B錯.當(dāng)時，，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.當(dāng)時，最小值為1，故可知，所以在上單調(diào)遞增，此時有唯一的零點(diǎn)，且，由零點(diǎn)存在性定理可知，故C對.當(dāng)時，，，故D錯.故選:AC三、填空題13．已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間是_________.【分析】先求定義域，求導(dǎo)后令求得不等式解集，結(jié)合定義域最終求得結(jié)果.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，，令得：，結(jié)合定義域，可知的單調(diào)遞增區(qū)間為故14．將3封不同的信隨機(jī)放入2個不同的信箱中，共有種不同的放法，則在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為______．70【分析】先求出，再由二項(xiàng)式定理展開求解【詳解】由題意得：在展開式中，，當(dāng)即時，該項(xiàng)為故7015．若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則實(shí)數(shù)b=__________..【詳解】設(shè)直線與曲線和曲線的切點(diǎn)分別為，.∵直線是曲線的切線，也是曲線的切線∴，即.∴切線方程為，即為或，即為∴，則∴故答案為.點(diǎn)睛：本題以導(dǎo)數(shù)的幾何意義為載體，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)兩函數(shù)在交點(diǎn)處的切線相同得到關(guān)于切點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，根據(jù)得到的相等關(guān)系將問題轉(zhuǎn)化為求參數(shù)即可．16．給圖中六個區(qū)域進(jìn)行染色，每個區(qū)域只染一種顏色且相鄰的區(qū)域不同色．若有4種不同的顏色可供選擇，則共有______種不同的染色方案．288【分析】分類考慮用三種不同顏色涂色和用四種不同顏色涂色，算出每種情況的不同涂色方案，即可得答案.【詳解】如圖示，六個區(qū)域分別設(shè)為A,B,C,D,E,F區(qū)域，若僅用三種不同的顏色涂色，那么A,C一定涂相同顏色，此時共有種不同的涂色方案；若選四種不同顏色涂色，那么當(dāng)A,C涂色相同時，那么A，B，C，D用了三種不同顏色，這時考慮給E涂色時，可能是涂剩下的那一種顏色，也可能涂和AC或B相同的顏色，此時有種不同涂色方案，當(dāng)A,C涂色不相同時，有種不同涂色方案，故共有的涂色方案共有種，故288四、解答題17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，再結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可求出結(jié)果；（2）由（1）可知，再利用錯位相減法，即可求出結(jié)果.【詳解】(1)解：因?yàn)?，?dāng)時，，解得當(dāng)時，，所以，即.所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.故.(2)解：由（1）知，則，所以①②，①-②得.所以數(shù)列的前項(xiàng)和18．如圖所示，在四棱維中，面，且.(1)求與所成的角；(2)求直線與面所成的角的余弦值；(3)求點(diǎn)B到平面的距離.(1)(2)(3)【分析】（1）利用向量的夾角的余弦值，求異面直線的夾角.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)法向量與直線的方向向量的夾角來確定線面角的正弦值，再根據(jù)同角關(guān)系求余弦值.（3）根據(jù)等體積的方式，求點(diǎn)到面的距離.【詳解】(1)因?yàn)槊?，所以兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，所以與所成的角為(2),設(shè)平面的法向量為，令，則，設(shè)直線與面所成的角的為，又，，直線與面所成的角的余弦值為(3),,故,所以，設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為，則由等體積法可得,即,從而可得，點(diǎn)B到平面的距離19．從6名男生和4名女生中隨機(jī)選出3名同學(xué)參加一項(xiàng)競技測試．(1)求選出的3名同學(xué)中至少有1名女生的概率；(2)設(shè)表示選出的3名同學(xué)中男生的人數(shù)，求的分布列．(1)(2)見解析【分析】(1)利用對立事件概率公式能求出選出的三位同學(xué)中至少有一名女同學(xué)的概率；(2)根據(jù)題意，的可能取值為，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列和數(shù)學(xué)期望．【詳解】(1)解：由題意可知，選出的3名同學(xué)全是男生的概率為，所以選出的3名同學(xué)中至少有1名女生的概率；(2)解：根據(jù)題意，的可能取值為，則，，，所以的分布列為：.20．甲?乙兩人進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對方投籃，第一次由甲投籃；已知每次投籃甲.乙命中的概率分別為，.(1)求第三次由乙投籃的概率；(2)在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為，求的分布列；(3)求的期望及標(biāo)準(zhǔn)差.(1)(2)答案見解析(3)，【分析】（1）第三次由乙投籃包括第一次甲命中第二次甲未命中和第一次甲未命中第二次乙命中，進(jìn)而結(jié)合概率的乘法公式即可求出結(jié)果；（2）求出ξ的可能取值以及對應(yīng)的概率，進(jìn)而列出分布列，根據(jù)期望與標(biāo)準(zhǔn)差的概念即可求出結(jié)果；（3）由期望公式、標(biāo)準(zhǔn)差公式可求解.【詳解】(1)因?yàn)榈谌斡梢彝痘@包括第一次甲命中第二次甲未命中和第一次甲未命中第二次乙命中，所以;(2)由題意，可取0，1，2.P(ξ＝0)＝；P(ξ＝1)＝；P(ξ＝2)＝.故ξ的分布列為：ξ012P(3)由（2）有E(ξ)＝，D(ξ)＝，所以.21．已知函數(shù)（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時恒成立，求整數(shù)的最大值.（1）；（2）.【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)處的切線斜率，進(jìn)而可求出切線方程；（2）根據(jù)題中條件，得到對恒成立，令，對其求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的方法判定其單調(diào)性，求出其最小值，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，，切線方程為，即；（2）當(dāng)時，恒成立，即對恒成立，令，則，令，則，，，是增函數(shù)，令，得，，，，為增函數(shù)，；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，時，取得最小值為，整數(shù)的最大值為思路點(diǎn)睛：由不等式恒成立（或能成立）求參數(shù)時，一般可對不等式變形，分離參數(shù)，根據(jù)分離參數(shù)后的結(jié)果，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的最值，進(jìn)而可求出結(jié)果；有時也可根據(jù)不等式，直接構(gòu)成函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法，利用分類討論求函數(shù)的最值，即可得出結(jié)果.22．已知函數(shù).(1)若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，求在區(qū)間上的最值；(3)若函數(shù)有1個零點(diǎn)，求a的取值范圍.（參考數(shù)據(jù)：）(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間(2)最小值,最大值為(3)【分析】（1）求導(dǎo)，且，求得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求得單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性，可求閉區(qū)間上的最值.（3）求得及其導(dǎo)數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理可求參數(shù)的范圍.【詳解】(1)由題意可得，，則，由，即，所以，所以，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以單