2022-2023學年云南省玉溪市高二年級上冊學期期中考試數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年云南省玉溪市高二上學期期中數(shù)學試題一、單選題1．設，，則（

）A． B． C． D．D【分析】分解因式化簡集合，利用集合的交集定義計算可得答案．【詳解】，則故選：D2．若經(jīng)過，兩點的直線的傾斜角是，則（

）A． B． C． D．B【分析】根據(jù)直線的斜率和傾斜角的關系，列出方程，計算可得答案.【詳解】設經(jīng)過，兩點的直線的斜率為，則，故故選：B3．若構成空間的一個基底，則下列向量共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，D【分析】根據(jù)共面向量基本定理判斷即可.【詳解】A選項：，無解，故A錯；B選項：，無解，故B錯；C選項：，無解，故C錯；D選項：，解得，，故D正確.故選：D.4．甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，已知個人能破譯的概率分別是，，求密碼被成功破譯的概率（

）A． B． C． D．B【分析】根據(jù)獨立事件概率乘法公式與對立事件分析即可得密碼被成功破譯的概率.【詳解】解：由題意知甲、乙兩人獨立破譯的概率分別是，則被成功破譯為事件，則.故選：B.5．已知，若，，，則（

）A． B．C． D．C【分析】先去掉絕對值，再根據(jù)函數(shù)單調性即可比較大小.【詳解】，，而在上單調遞增，所以，即.故選：C6．已知圓錐的表面積為3m2，且它的側面展開圖是一個半圓，則這個圓錐底面的面積為（

）A．1m2 B．m2 C．2m2 D．m2A【分析】根據(jù)圓錐表面積公式，以及圓的周長公式展開計算即可.【詳解】設圓錐的底面半徑為r，母線長為l；則圓錐的表面積為：因為圓錐側面展開圖是一個半圓，即由此解得故選:A7．已知圓，直線經(jīng)過點，則直線被圓截得的最短弦長為（

）A． B． C． D．C【分析】當圓被直線截得的弦最短時，圓心到弦的距離最大，此時圓心與定點的連線垂直于弦，求出弦心距，利用勾股定理即可得出答案.【詳解】由圓的方程知圓心，半徑為，當圓被直線截得的弦最短時，圓心與的連線垂直于弦，弦心距為：，所以最短弦長為.故選：C.8．如圖，平行六面體的底面是菱形，，且，則異面直線與所成角的余弦值為(

)A． B． C． D．D【分析】求出即可求出異面直線與所成角的余弦值．【詳解】由題可設，則易知三個向量之間兩兩的數(shù)量積均為，，∴異面直線與所成角的余弦值為0．故選：D．二、多選題9．某市為了考察一所高中全體學生參與第六屆全國中小學生“學憲法，講憲法”憲法小衛(wèi)士活動的完成情況，對本校2000名學生的得分情況進行了統(tǒng)計，按照[50，60）、[60，70）、…、[90，100]分成5組，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，下列說法正確的是（

）A．圖中的值為0.020B．由直方圖中的數(shù)據(jù)，可估計75%分位數(shù)是82C．由直方圖中的數(shù)據(jù)，可估計這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為77D．90分以上將獲得金牌小衛(wèi)士稱號，則該校有20人獲得該稱號AC【分析】A選項：據(jù)頻率分布直方圖中矩形面積之和為1，即可求出；B選項：根據(jù)百分位的計算求出75%分位數(shù)，即可判斷；C選項：根據(jù)平均數(shù)的計算方法求出平均數(shù)，即可判斷；D選項：根據(jù)頻數(shù)=總數(shù)×頻率，求出90分以上的同學數(shù)即可判斷.【詳解】，解得，故A正確；，，故估計75%分位數(shù)是，故B錯；，故C正確；，故D錯.故選：AC.10．已知為任意實數(shù)，當變化時，關于方程的說法正確的是(

)A．該方程表示的直線恒過點B．當且僅當時，該方程表示的直線垂直于軸C．若直線與平行，則或3D．若直線與直線垂直，則ABD【分析】根據(jù)經(jīng)過兩條直線交點的直線系方程的相關性質即可逐項判斷求解．【詳解】．對于選項A：由得，聯(lián)立兩個方程解得x=y=1，故該方程表示的直線恒過定點(1，1)，故A正確；對于選項B：若表示垂直于y軸的直線，則2+λ=0，且1-2λ≠0，即λ=-2，故B正確；對于選項C：若直線與平行，則，且，解得，當時，兩直線重合，故C錯誤；對于選項D：若直線與直線垂直，則直線的斜率為1，即，解得，故D正確．故選：ABD．11．已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的最大值為B．當時，的最小正周期為C．若是的一條對稱軸，則D．若在區(qū)間內有三個零點，則ACD【分析】首先將函數(shù)化簡成，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質可判斷ABC，D中，先求的范圍，再根據(jù)零點分布情況，列不等式即可求解.【詳解】,對于A，因為，所以函數(shù)的最大值為，A正確；對于B，當時，，周期，B錯誤；對于C，若是的一條對稱軸，則，解得，C正確；對于D，因為，所以，若在區(qū)間內有三個零點，則，解得，D正確.故選：ACD12．有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個棱數(shù)為24，棱長為的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得.若點為線段上的動點（包含端點），則下列說法正確的是（

）A．該半正多面體的體積為B．當點運動到點時，C．當點在線段上運動時（包含端點），始終與垂直D．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為BCD【分析】首先根據(jù)題意，將幾何體在正方體中截取出來，然后根據(jù)圖形，即可求解.【詳解】如圖所示：依據(jù)題意，棱長為可知，該幾何體是在邊長為的正方體中截取.該幾何體為大正方體截取八個一樣的正三棱錐得到的，則體積為，故A錯誤；當E點運動到B處時，，故B正確；在正方體中，始終垂直于平面BHDC，當E在BC上運動時，AH始終與DE垂直，故C正確；當E與B重合時，ED與平面AGHF平行，所以此時線面夾角為，當E與C重合時，此時線面夾角為，故直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為，D正確.故選：BCD三、填空題13．復數(shù)的共軛復數(shù)是____________.3-i##-i+3【分析】先化簡，然后就可以寫出它的共軛復數(shù).【詳解】因為，所以的共軛復數(shù)為：故答案為.14．若向量，滿足，，則的最大值為___________.13【分析】利用，化簡，利用三角函數(shù)的性質，即可計算得到所求的最大值.【詳解】設，則，當時，等號成立，，故1315．設空間兩個單位向量，與向量的夾角的余弦值都等于，則_____________.##【分析】根據(jù)為單位向量得到，與夾角的余弦值為得到，解得，同理得到，然后利用數(shù)量積求即可.【詳解】為單位向量，且與夾角的余弦值為，所以，，解得，同理可得，所以，又，所以.故答案為.16．已知實數(shù)滿足，則的最大值為____________.1【分析】分類討論正負，得到解析式，畫出圖象，然后利用的幾何意義求最值即可.【詳解】當，時，，整理得；當，時，，整理得①；當，時，，整理得；當，時，，整理得；所以的軌跡如下圖，，表示和所在直線的斜率，由圖可知，當和①相切時，斜率最大，設：，則，解得或（舍去），所以的最大值為1.故1.四、解答題17．已知直線(1)已知直線經(jīng)過點，且與垂直，求的方程;(2)在上任取一點，在上任取一點，連接，取靠三等分點，過點作的平行線，求與之間的距離.(1)(2)【分析】（1）根據(jù)直線，可設線的方程為，代入點，即可求得的方程；（2）由題意可得，利用平行線之間的距離公式可得直線與直線之間的距離，根據(jù)題意可得與之間的距離即，即可得與之間的距離.【詳解】（1）解：因為直線，則設直線的方程為：，代入點，則有，所以所以的方程為：；（2）解：，可得，又，直線與直線之間的距離，點是線段靠近點的三等分點，與之間的距離18．在長方體中，，為上的動點，(1)求證：平面;(2)求與平面所成角的正弦值.(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面平行可得面面平行，進而可得線面平行，（2）由線面垂直可得線面角的平面角，利用直角三角形的邊角關系即可求解.【詳解】（1）如圖，連接、，在長方體中，且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面，同理平面，又，平面，平面平面，又平面，平面（2）如圖，過點作垂足為，平面，平面，又,平面，平面，平面，為直線與平面所成角，在中，由等面積法可得，，又，19．在中，角的對邊分別為，已知(1)求角；(2)當求的周長.(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)已知條件，應用正弦邊角關系可得，再由余弦邊角關系得，進而可得，最后結合三角形內角性質求角；（2）由（1）及三角形面積公式得，故，應用余弦定理可得，進而求出，即可得周長.【詳解】（1）由已知，應用正弦邊角關系得：，，故，，，；（2）由（1）得：，，則，，由余弦定理得，，，，所以周長為.20．已知圓內有一點，為過點且傾斜角為的弦.(1)當時，求的長;(2)若為的中點，求所在直線的方程.(1)(2)【分析】(1)將圓的方程化為標準方程，求出圓心坐標和半徑，再求出直線的方程，利用點到直線的距離公式和垂徑定理即可求解；(2)因為為的中點，所以，進而求出直線的斜率即可求解.【詳解】（1）由題得圓的標準方程為，所以圓心的坐標為，半徑，當時，直線的斜率.所以直線的方程為，即.圓心到直線的距離.所以.（2）由（1）知圓心的坐標為，為中點時，，，直線的斜率不存在，直線的方程為.21．如圖，在直三棱柱中，，，，分別是棱，上的動點;(1)當時，求證：;(2)已知為中點時，線段上是否存在點，使得平面與平面夾角的余弦值為，若存在，請確定點的位置，若不存在，請說明理由.(1)證明見解析(2)線段上存在點，滿足使得平面與平面夾角的余弦值為【分析】（1）以為原點，分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算即可證明.（2）根據(jù)（1）中建系，設，然后求得平面的法向量，代入計算即可得到結果.【詳解】（1）如圖，以為原點，分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系.設，則（2）設，其中，則故，設平面的法向量為，則，令，得，平面為平面，所以平面的法向量可為，假設存在點滿足條件，設平面與平面的夾角為，則，即，，符合題意，所以線段上存在點，滿足使得平面與平面夾角的余弦值為.22．環(huán)保生活，低碳出行，電動汽車正成為人們購車的熱門選擇.新能源汽車采用非常規(guī)的車用燃料作為動力來源，目前比較常見的主要有兩種：混合動力汽車，純電動汽車.為了提高生產(chǎn)質量，有關部門在國道上對某型號純電動汽車進行測試，國道限速80km/h，經(jīng)多次測試得到該汽車每小時耗電量（單位：Wh）與速度（單位：km/h）的數(shù)據(jù)如下表所示：為了描述國道上該汽車每小時耗電量與速度的關系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：（且），，(1)當時，請選出你認為最符合表格中所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型（說明理由，并求所選函數(shù)模型的函數(shù)解析式;(2)根據(jù)（1）中所得函數(shù)解析式，求解如下問題：現(xiàn)有一輛同型號電動汽車從A地駛到B地，前一段是160km的國道（汽車勻速行駛），后一段是60km的高速路（汽車行駛速度不低于80km/h，勻速行駛），若高速路上該汽車每小時耗電量（單位：Wh）與速度（單位：km/h）的關系滿足，則如何行使才能使得總耗電量最少，最少為多少？(1)選擇，理由見解析(2)當該汽車在國道上行駛速度為40km/h，在高速路上的行駛速度為80km/h時，總耗電量最少，最少為26585Wh.·【分析】（1）對三個函數(shù)性質分別分析得出所要的函數(shù)（2）由（1）中所選的函數(shù)分別分析汽車在國道路段所