2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱德強學(xué)校高二（宏志班）上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（B卷）【含答案】

2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱德強學(xué)校高二（宏志班）上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（B卷）一、單選題1．已知雙曲線，則該雙曲線的虛軸長為（

）A．1 B．2 C． D．D【分析】直接由雙曲線的標準方程得到的值，從而得到虛軸長.【詳解】雙曲線的虛半軸長，所以該雙曲線的虛軸長為．故選:D．2．與橢圓有相同焦點，且滿足短半軸長為的橢圓方程是（

）A． B． C． D．A【分析】由題知，，進而求得可得答案.【詳解】解：因為橢圓的焦點坐標為，所以，所求橢圓的焦點坐標為，即，因為，所求橢圓的短半軸長為，所以，所以，，所以，所求橢圓的方程為.故選：A3．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設(shè)軍營所在位置為，若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）．A．5 B． C．45 D．B【分析】先求出點關(guān)于直線的對稱點，則線段的長度即為最短總路程，再利用兩點間的距離公式進行求解.【詳解】因為點關(guān)于直線的對稱點為，所以即為“將軍飲馬”的最短總路程，則“將軍飲馬”的最短總路程為．故選：B．4．若m，n是兩條不同直線，是兩個不同平面，則下列命題不正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則B【分析】利用直線、平面平行的性質(zhì)，直線、平面垂直的性質(zhì)、判定推理并判斷A，C，D，舉例說明判斷B作答.【詳解】對于A，因，則存在過直線n的平面，使得，于是有，而，有，所以，A正確；對于B，因，令，當，且時，滿足，若，必有，B不正確；對于C，因，則存在過直線m的平面，使得，于是有，又，則，所以，C正確；對于D，因，，所以，D正確.故選：B5．已知橢圓的左、右焦點分別是、，點在橢圓上.若、、是一個直角三角形的三個頂點，則點到軸的距離為（

）A． B． C． D．或C【分析】分析可知必為銳角，則或是直角頂點，將代入橢圓方程，即可得解.【詳解】在橢圓中，，，，將代入橢圓方程可得，可得，所以，當或是直角頂點時，點到軸的距離為；設(shè)，，則，由余弦定理可得，當且僅當時，等號成立，故必為銳角.綜上所述，點到軸的距離為.故選：C.6．在數(shù)列中，，若為等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．A【分析】利用等差中項求解即可．【詳解】解：由為等差數(shù)列得，解得.故選：A7．已知斜率為1的直線l過橢圓的右焦點，交橢圓于A，B兩點，則弦AB的長為（

）A． B． C． D．C【分析】根據(jù)題意求得直線l的方程，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達定理求得，再利用弦長公式即可得出答案.【詳解】由橢圓知，，所以，所以右焦點坐標為，則直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，消y得，，則，所以.即弦AB長為.故選：C.8．已知拋物線：的焦點為，為拋物線上一動點，當軸時，，則外接圓與拋物線的準線相切時（為坐標原點），該圓的面積為（

）A． B． C． D．B【分析】根據(jù)通徑可得拋物線的方程，再由三角形外接圓的圓心在斜邊中點及與準線相切可知圓的半徑，即可得解.【詳解】由題意得，即拋物線方程為，外接圓與拋物線的準線相切時，拋物線的準線方程為，因為外接圓的圓心在的垂直平分線上，所以外接圓的半徑為，所以該圓的面積為.故選：B二、多選題9．記為等差數(shù)列的前項和，則（

）A． B．C．，，成等差數(shù)列 D．，，成等差數(shù)列BCD【分析】利用等差數(shù)列求和公式分別判斷.【詳解】由已知得，A選項，，，，所以，A選項錯誤；B選項，，B選項正確；C選項，，，，，，則，C選項正確；D選項，，，，則，D選項正確；故選：BCD.10．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列結(jié)論正確的是（

）A．直線BD與A1D所成的角為45°B．異面直線BD與AD1所成的角為60°C．二面角A-B1C-C1的正弦值為D．二面角A-B1C-C1的正弦值為BD【分析】先利用幾何法找出題目中異面直線所成的角和二面角的平面角，再借助幾何知識求出角度及正弦值，驗證選項.【詳解】正方體中，為等邊三角形，直線BD與A1D所成的角為60°，選項A錯誤；，異面直線BD與AD1所成的角等于BD與BC1所成的角，為等邊三角形，∴異面直線BD與AD1所成的角為60°，選項B正確；BC1與CB1相交于點O，連接AO、AC1，如圖所示：正方體中，，O為B1C的中點，∴，，二面角A-B1C-C1的平面角為，不妨設(shè)正方體棱長為2，，，，由余弦定理，，∴，則二面角A-B1C-C1的正弦值為，選項C錯誤，選項D正確.故選：BD11．已知拋物線的焦點為，過且斜率為的直線交拋物線于、兩點，其中在第一象限，若，則（

）A． B．C．以為直徑的圓與軸相切 D．BCD【分析】寫出焦點的坐標，設(shè)出直線的方程，并與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)點在第一象限即可求出點，的橫坐標，進而可以求出的值，即可求出拋物線的方程，再對應(yīng)各個選項逐個驗證即可．【詳解】設(shè)，，則過的直線斜率為的方程為：，代入拋物線方程消去可得：，解得，因為點在第一象限，所以，，則，所以，錯誤，，正確，由可得拋物線的方程為：，且，，，所以，正確，的中點橫坐標為，以為直徑的圓的半徑為，所以圓心到軸的距離等于半徑，則以為直徑的圓與軸相切，正確，故選：．12．已知，則關(guān)于函數(shù)說法正確的是（

）A．函數(shù)在上為減函數(shù) B．函數(shù)的圖象的對稱軸為C．，使得 D．AD【分析】利用不同象限表示不同的圓錐曲線圖象可求解.【詳解】當時，原等式化為，當時，原等式化為，當時，原等式化為，當時，原等式化為，此方程無解，結(jié)合橢圓、雙曲線的圖象作出圖象如下：由圖象可知，函數(shù)在上為減函數(shù)，所以A正確；第一象限的圖象為橢圓的部分，不關(guān)于，所以B錯誤；函數(shù)圖象不出現(xiàn)在第三象限，所以不存在，使得，所以C錯誤；因為第四象限部分雙曲線的漸近線與第二象限的雙曲線部分的漸近線都為，所以結(jié)合函數(shù)圖象恒成立，所以D正確.故選:AD.三、填空題13．已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項和為，則___________.55【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可求得，化簡，即可求得答案.【詳解】由題意知數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，，則，即，所以，故5514．已知直線則與的距離___________.1.5【分析】根據(jù)平行線距離公式直接計算即可.【詳解】因為，則與的距離，故15．如圖，在平行六面體中，AB＝AD＝2，，，點E是AB中點，則異面直線與DE所成角余弦值是______．【分析】以為空間向量的一組基底，用基底表示向量，根據(jù)向量間的夾角公式計算即可求解.【詳解】由題意，AB＝AD＝2，，且,,，又,,,設(shè)異面直線與DE所成角為，則.故16．若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為，則雙曲線的離心率為_______.2【分析】根據(jù)條件，將弦長轉(zhuǎn)化為圓心到漸近線的距離，算出a與c的關(guān)系即可.【詳解】對于雙曲線，其漸近線方程為，對于圓，有，圓心為，半徑，漸近線被圓截得的弦長為2，所以圓心到漸近線的距離為，由點到直線距離公式得：；故2.四、解答題17．根據(jù)下列條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列的有關(guān)未知數(shù)：(1)已知，，，求；(2)已知，，求．(1)(2)【分析】（1）由等差數(shù)列的基本量進行計算；（2）由等差數(shù)列的前項和的基本量計算．【詳解】（1）因為，解得；（2）因為，，18．已知圓.(1)若直線l經(jīng)過點，且與圓C相切，求直線l的方程；(2)若圓與圓C相切，求實數(shù)m的值.(1)或(2)或【分析】（1）首先設(shè)出過定點直線，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求直線，不要忘記討論斜率不存在的情況；（2）分內(nèi)切和外切，結(jié)合公式，列式求值.【詳解】（1）若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為，與圓C相切，符合題意.若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，即，則，解得，所以直線l的方程為.綜上，直線l的方程為或.（2）圓的方程可化為.若圓與圓C外切，則，解得.若圓與圓C內(nèi)切，則，解得.綜上，或.19．已知拋物線上的點(點位于第四象限)到焦點的距離為.（1）求的值；（2）過點作直線交拋物線于兩點，且點是線段的中點，求直線的方程.（1），；（2）.【分析】（1）由拋物線的定義可得，把點代入拋物線方程即可得；（2）由中點坐標、斜率公式結(jié)合點差法運算即可得解.【詳解】（1）由拋物線的定義可知：，解得：，，，解得，點在第四象限，；（2）設(shè)，則，兩式作差得，直線的斜率，為的中點，，，直線的方程為，即（經(jīng)檢驗，所求直線符合條件）.20．已知圓x2＋y2＝4上一定點A(2，0)，B(1，1)為圓內(nèi)一點，P，Q為圓上的動點.(1)求線段AP中點的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點的軌跡方程.(1)(x－1)2＋y2＝1(2)x2＋y2－x－y－1＝0【分析】（1）設(shè)AP的中點為M(x，y)，由中點坐標公式表示出點坐標，代入已知圓方程可得結(jié)論；（2）設(shè)PQ的中點為N(x，y)，由，再由可得軌跡方程．【詳解】（1）設(shè)AP的中點為M(x，y)，由中點坐標公式可知點P坐標為(2x－2，2y).因為點P在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故線段AP中點的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.（2）設(shè)PQ的中點為N(x，y).在中，|PN|＝|BN|.設(shè)O為坐標原點，連接ON，如圖，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故線段PQ中點的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.21．如圖，在四棱錐中，平面，，且，為的中點.(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離.(1)證明見解析(2)【分析】第一問由線線平行證明線面平行，第二問建立空間直角坐標系利用向量的方法求得距離.【詳解】（1）取PC的中點O，連接ON，OB，∵為的中點，∴，，∵，∴∵，∴，∴四邊形ABON為平行四邊形，∴，∵平面PBC，平面PBC，平面（2）過點A作AGBC，交CD于點G，因為平面，平面，所以，所以兩兩垂直，以A為坐標原點，AG，AB，AP所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，設(shè)平面ANC的法向量為，則令，則，所以，點到平面的距離；22．已知橢圓的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為2.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點的直線交橢圓于兩點，交軸于點，設(shè)，試判斷是否為定值？請說明理由.(1)(2