由遞推公式求通項(xiàng)公式的方法

nn1n2n由遞推公式求通項(xiàng)公的方法nn1n2n一

n

fn)n

型列其

f(n)

不常函)此類數(shù)列解決的辦法是累加法，具體做法是將通項(xiàng)變形為

n

n)n

，而就有f(1),f(2),232

,n

fn將上述n個(gè)子累加，變成

(1)f(2)n1

f(

，進(jìn)而求解。例1.在數(shù)列

{}

中

2,a1n

nn解依題意有212

,an

n

2n逐項(xiàng)累加有

an

n

n3)(2

2

2

，從而an

2

。注：在運(yùn)用累加法時(shí)要?jiǎng)e注意項(xiàng),計(jì)時(shí)項(xiàng)數(shù)容易出.變練：知

{}足a,1

n

n

1n(

,求

{}

的通項(xiàng)公式。二

n

an

型列其

f(n)

不常函)此類數(shù)列解決的辦法是累積法，具體做法是將通項(xiàng)變形為

anf(nan

，而就有a2f(1),aa12

a,n(nan將上述個(gè)子累乘，變成

anfa1

(n

，進(jìn)而求解。例2.已知數(shù)列

{}中

12n,(2)32n

，求數(shù)列

{}

的通項(xiàng)公式。a1aa2解當(dāng)n2時(shí)，2,,,n這個(gè)式子累乘，得到a2n131111，從而a，n時(shí)1)(232431a。4n注：在運(yùn)用累乘法時(shí)還要特別注意項(xiàng),計(jì)算時(shí)項(xiàng)數(shù)容易出.

，所以變練：數(shù)列

{},a2,nn

2

nan

,求a.n

nnnnnnpnnnn提示依意分解因式可得nnnnnnpnnnn

[n

](an

)n

而

n

>0,所以

(nan

nan

，即

annan

。三

n

n

型列此類數(shù)列解決的辦法是將其構(gòu)造成一個(gè)新的等比數(shù)列利等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解造辦法有兩種，一是待定系數(shù)法構(gòu)造，a

n

()n

papm，展開整理n

，比較系數(shù)有

，所以

m

b，所以ap

是等比數(shù)列，公比為

，首項(xiàng)為

1

。二是用作差法直接構(gòu)造，

n

n

,nn

，兩式相減有

n

pa)n

，所以

n

n

是公比為p等比數(shù)列。例3.在數(shù)列{}中，a當(dāng)2時(shí)有，{}的通項(xiàng)公式。解1設(shè)a)，有amnnnna對比a，m，是得，nan所以數(shù)列{以a為項(xiàng)，以3為公的等比數(shù)列n則n解2由已知遞推，得aaa2,(n2)nnn上述兩式相減，得)，nnnn因此，數(shù)列{}以為項(xiàng)，以3公比的等比數(shù)列。n所以

n

n

，即

nn

，所以an變練：知數(shù)列

。

a1

an

N*n

求數(shù)列

.注：根據(jù)題設(shè)特征恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造輔助數(shù),用基本數(shù)列可簡捷地求出通項(xiàng)公.四

n

p為數(shù)n此類數(shù)列可變形為

aafnnpnnn

，則

可用累加法求出，由此求得.例知數(shù)列

a1

an

n

,求a.n解將知遞推式兩邊同除以

n

得

a3ann,設(shè)n,故有b2)2n22n

，n

nn

,從而

an

n

.若

f(n為n一次函數(shù),則加上關(guān)于n的次函數(shù)構(gòu)成一個(gè)比數(shù)列若n

f(n為的次函

nn2an1n數(shù)則nn2an1n

n

加上關(guān)于

的二次函數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù).時(shí)我們用待定系數(shù)法來求.例．知數(shù)列

a當(dāng)n時(shí),1n

12

a求n解:作

ann

,則

Ann

,

n

n

(n

代入已知遞推式中得

bn

11b22

.A令1A2

AB這時(shí)

n

且nn顯然,

n

,所以nn2

.注：通過引入一些待定系數(shù)來轉(zhuǎn)化命題結(jié),經(jīng)過變形和比把問題轉(zhuǎn)化成基本數(shù)列從而使問題得以解決變練1）已知

2,a1

n

2n

n

，求。n（）知數(shù)列{}的通項(xiàng)公式。

{}S表示其前n項(xiàng)，若滿足n

nn

2

，求數(shù)列提2）中利用

a

nn

，把已知條件轉(zhuǎn)化成遞推式。五

an

nn

型列

為零數(shù)這種類型的解法是將式子兩邊同時(shí)取倒數(shù),把列的倒數(shù)看成是一個(gè)新數(shù)列,便可利地轉(zhuǎn)化為n

n

型數(shù)列。例．知數(shù)列

2,a,a.an解兩邊取倒數(shù):

1111,以naa2aann1

，故有

a

2n

。變練：列

{}

中，

n

n