2020高中數(shù)學(xué) 第四章 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù) 4.2.1 對(duì)數(shù)運(yùn)算學(xué)案 第二冊(cè)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE13-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精4．2.1對(duì)數(shù)運(yùn)算考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)對(duì)數(shù)的概念了解對(duì)數(shù)、常用對(duì)數(shù)、自然對(duì)數(shù)的概念,會(huì)用對(duì)數(shù)的定義進(jìn)行對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)理解和掌握對(duì)數(shù)的性質(zhì),會(huì)求簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)值數(shù)學(xué)運(yùn)算問(wèn)題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P15－P18的內(nèi)容，思考以下問(wèn)題：1．對(duì)數(shù)的概念是什么？對(duì)數(shù)有哪些性質(zhì)？2．什么是常用對(duì)數(shù)、自然對(duì)數(shù)?3．對(duì)數(shù)恒等式是什么?4．如何進(jìn)行對(duì)數(shù)式和指數(shù)式的互化？1．對(duì)數(shù)的概念(1)在表達(dá)式ab＝N(a〉0且a≠1，N∈(0，＋∞）)中，當(dāng)a與N確定之后，只有唯一的b能滿足這個(gè)式子，此時(shí)，冪指數(shù)b稱為以a為底N的對(duì)數(shù)，記作b＝logaN,其中a稱為對(duì)數(shù)的底數(shù),N稱為對(duì)數(shù)的真數(shù)．(2)當(dāng)a>0且a≠1時(shí)，b＝logaN的充要條件是ab＝N，由此可知,只有N>0時(shí)，logaN才有意義,這通常簡(jiǎn)稱為負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù)．（3）loga1＝0;logaa＝1；alogaN＝N；logaab＝b．2．常用對(duì)數(shù)和自然對(duì)數(shù)(1)以10為底的對(duì)數(shù)稱為常用對(duì)數(shù)，為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，通常把底10略去不寫,并把“l(fā)og"寫成“l(fā)g”,即把log10N簡(jiǎn)寫為lgN.（2）以無(wú)理數(shù)e(e＝2。71828…)為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，自然對(duì)數(shù)logeN通常簡(jiǎn)寫為ln____N．■名師點(diǎn)撥logaN是一個(gè)數(shù)，是一種取對(duì)數(shù)的運(yùn)算,結(jié)果仍是一個(gè)數(shù)，不可分開(kāi)書寫．判斷正誤（正確的打“√",錯(cuò)誤的打“×”)（1)根據(jù)對(duì)數(shù)的定義,因?yàn)?－2)4＝16，所以log(－2）16＝4.（）（2）對(duì)數(shù)式log32與log23的意義一樣．（)(3)因?yàn)?a＝1,所以log11＝a.（）（4)log（－2)(－2)＝1.(）答案：(1)×（2）×(3）×(4）×若log8x＝－eq\f(2，3），則x的值為（）A.eq\f（1，4） B．4C．2 D。eq\f（1,2)解析:選A。因?yàn)閘og8x＝－eq\f（2，3)，所以x＝8－eq\s\up6（\f(2,3））＝2－2＝eq\f(1，4)，故選A.2log23＝________．解析:由對(duì)數(shù)恒等式得，2log23＝3.答案：3若log3（log2x）＝0則xeq\s\up6(\f（1,2))＝________．解析：因?yàn)閘og3(log2x）＝0，所以log2x＝30＝1,所以x＝2,即xeq\s\up6(\f(1，2）)＝eq\r（2).答案:eq\r(2）對(duì)數(shù)的概念在N＝log（5－b）（b－2）中,實(shí)數(shù)b的取值范圍是(）A．b〈2或b〉5 B．2〈b<5C．4〈b〈5 D．2<b〈5且b≠4【解析】因?yàn)閑q\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（b－2〉0，，5－b〉0，,5－b≠1，））所以2〈b<5且b≠4。【答案】Deq\a\vs4\al（)由于對(duì)數(shù)式中的底數(shù)a就是指數(shù)式中的底數(shù)a，所以a的取值范圍為a〉0,且a≠1;由于在指數(shù)式中ax＝N，而ax>0，所以N〉0.求f(x）＝logxeq\f（1－x，1＋x）的定義域．解：要使函數(shù)式f(x）有意義，需eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x>0，,x≠1，,\f（1－x，1＋x)>0，）)解得0〈x〈1。所以f(x）＝logxeq\f(1－x,1＋x）的定義域?yàn)椋?，1)．對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化(1)將下列指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式：①54＝625;②2－6＝eq\f（1，64)；③3a＝27；④eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,3)））eq\s\up12（m）＝5。73。（2)將下列對(duì)數(shù)式化成指數(shù)式并求x的值：①log64x＝－eq\f（2，3)；②logx8＝6；③lg100＝x.【解】(1)①log5625＝4；②log2eq\f（1,64）＝－6；③log327＝a；④logeq\s\do9(\f（1，3))5。73＝m.(2）①x＝64－eq\f（2,3)＝(43)－eq\s\up6（\f(2,3))＝4－2＝eq\f（1,16）.②因?yàn)閤6＝8，所以x＝(x6)eq\s\up6(\f(1,6)）＝8eq\s\up6（\f（1，6))＝（23）eq\s\up6（\f（1，6))＝2eq\s\up6(\f(1,2))＝eq\r(2）.③因?yàn)?0x＝100＝102，所以x＝2.eq\a\vs4\al()（1)指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式,關(guān)鍵是弄清指數(shù)式各部位的去向：（2)要求對(duì)數(shù)的值，設(shè)對(duì)數(shù)為某一未知數(shù),將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，再利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解．1．如果a＝b2（b〉0，b≠1)，則有（)A．log2a＝b B．log2b＝aC．logba＝2 D．logb2＝a解析：選C。logba＝2，故選C.2．計(jì)算：(1)log927；（2）logeq\r（4，3）81；(3)logeq\r（3,54）625.解:(1）設(shè)x＝log927,則9x＝27，32x＝33，所以x＝eq\f（3，2).(2)設(shè)x＝logeq\r（4,3)81，則(eq\r（4,3)）x＝81,3eq\s\up6（\f(x,4)）＝34，所以x＝16。（3)令x＝logeq\r（3,54）625，則(eq\r(3,54））x＝625，5eq\s\up6（\f(4，3)）x＝54，所以x＝3。對(duì)數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用求下列各式中x的值：（1）log2(log5x）＝0；（2）log3（lgx)＝1。【解】（1)因?yàn)閘og2（log5x)＝0。所以log5x＝20＝1，所以x＝51＝5.(2）因?yàn)閘og3(lgx)＝1，所以lgx＝31＝3,所以x＝103＝1000。eq\a\vs4\al（）logaN＝0?N＝1；logaN＝1?N＝a使用頻繁，應(yīng)在理解的基礎(chǔ)上牢記．若log2（log3x)＝log3（log4y)＝log4(log2z)＝0，則x＋y＋z的值為(）A．9 B．8C．7 D．6解析：選A.因?yàn)閘og2(log3x)＝0，所以log3x＝1.所以x＝3.同理y＝4，z＝2。所以x＋y＋z＝9.1．logbN＝a(b>0，b≠1,N〉0)對(duì)應(yīng)的指數(shù)式是（）A．a(chǎn)b＝N B．ba＝NC．a(chǎn)N＝b D．bN＝a答案：B2．若logax＝1,則()A．x＝1 B．a(chǎn)＝1C．x＝a D．x＝10答案：C3．已知logx16＝2，則x等于（）A．±4 B．4C．256 D．2答案：B4．設(shè)10lgx＝100，則x的值等于(）A．10 B．0。01C．100 D．1000答案：C[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)］1．將eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,3)))eq\s\up12（－2)＝9寫成對(duì)數(shù)式，正確的是（)A．log9eq\f（1，3)＝－2B．logeq\s\do9(\f(1,3）)9＝－2C．logeq\s\do9（\f(1，3）)(－2)＝9D．log9(－2）＝eq\f（1，3)解析:選B。根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，得logeq\s\do9(\f（1,3））9＝－2，故選B。2．方程2log3x＝eq\f(1,4）的解是（）A．x＝eq\f（1，9) B．x＝eq\f(\r(3），3)C．x＝eq\r（3） D．x＝9解析：選A.因?yàn)?log3x＝2－2,所以log3x＝－2，所以x＝3－2＝eq\f(1,9).3．使對(duì)數(shù)loga（－2a＋1）有意義的a的取值范圍為（）A．a(chǎn)＞eq\f（1,2)且a≠1 B．0＜a＜eq\f（1，2)C．a(chǎn)＞0且a≠1 D．a(chǎn)＜eq\f（1,2）解析：選B.由對(duì)數(shù)的概念可知使對(duì)數(shù)loga（－2a＋1)有意義的a需滿足eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（a＞0，,a≠1，,－2a＋1＞0，）)解得0＜a＜eq\f（1,2)。4．下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化不正確的一組是(）A．100＝1與lg1＝0B．8－eq\f（1,3）＝eq\f(1,2)與log8eq\f(1，2）＝－eq\f（1，3)C．log39＝2與9eq\s\up6(\f(1,2））＝3D．log77＝1與71＝7解析：選C.由指對(duì)互化的關(guān)系：ax＝N?x＝logaN可知A、B、D都正確;C中l(wèi)og39＝2?9＝32.5．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，則logx（yx)的值是（）A．1 B．0C．x D．y解析：選B。由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，得（x－2)2＋(y－1）2＝0，所以x＝2，y＝1，所以logx（yx)＝log2（12）＝0。6．lg10000＝________；lg0。001＝________．解析：由104＝10000知lg10000＝4,10－3＝0。001得lg0。001＝－3。答案：4－37．方程log2(1－2x)＝1的解x＝________．解析：因?yàn)閘og2(1－2x）＝1＝log22，所以1－2x＝2，所以x＝－eq\f（1，2)。經(jīng)檢驗(yàn)滿足1－2x〉0.答案:－eq\f（1，2）8．已知log7（log3（log2x))＝0，那么x－eq\s\up6（\f（1，2)）＝________．解析：由題意得：log3（log2x）＝1,即log2x＝3，轉(zhuǎn)化為指數(shù)式為x＝23＝8，所以x－eq\s\up6（\f（1,2））＝8－eq\s\up6（\f（1,2））＝eq\f（1，8\s\up6（\f(1，2)））＝eq\f(1,\r(8))＝eq\f(1，2\r(2））＝eq\f(\r（2)，4）.答案：eq\f（\r(2)，4)9．將下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式．(1)53＝125；（2)4－2＝eq\f（1，16)；(3)logeq\s\do9(\f（1，2))8＝－3；(4）log3eq\f（1，27)＝－3.解:(1）因?yàn)?3＝125,所以log5125＝3。（2)因?yàn)?－2＝eq\f(1，16)，所以log4eq\f（1，16）＝－2.(3）因?yàn)閘ogeq\s\do9（\f(1，2)）8＝－3,所以eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，2）））eq\s\up12(－3)＝8。（4)因?yàn)閘og3eq\f（1,27)＝－3，所以3－3＝eq\f(1,27）。10．若logeq\s\do9（\f(1,2））x＝m，logeq\s\do9（\f(1,4))y＝m＋2,求eq\f(x2,y)的值．解：因?yàn)閘ogeq\s\do9(\f（1，2））x＝m,所以eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，2)))eq\s\up12（m)＝x，x2＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，2)）)eq\s\up12(2m）。因?yàn)閘ogeq\s\do9（\f(1，4））y＝m＋2,所以eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,4))）eq\s\up12（m＋2）＝y(tǒng)，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，2)））eq\s\up12(2m＋4）.所以eq\f(x2,y）＝eq\f(\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,2）））\s\up12（2m)，\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,2）））\s\up12（2m＋4））＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)）)eq\s\up12(2m－(2m＋4））＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,2））)eq\s\up12（－4）＝16。[B能力提升]11．若logaeq\r(5,b）＝c,則下列關(guān)系式中正確的是（)A．b＝a5c B．b5＝acC．b＝5ac D．b＝c5a解析：選A。由logaeq\r（5，b)＝c，得ac＝eq\r（5,b），所以b＝(ac)5＝a5c。12．方程lg(x2－1）＝lg(2x＋2）的根為x＝()A．－3 B．3C．－1或3 D．1或－3解析：選B。由lg(x2－1）＝lg（2x＋2)，得x2－1＝2x＋2，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3。經(jīng)檢驗(yàn)x＝－1是增根，所以原方程的根為x＝3.13．滿足（lgx)2－lgx＝0的x的值為_(kāi)_______．解析：由lgx（lgx－1）＝0得lgx＝0或lgx＝1，即x＝1或x＝10。答案：1或1014．已知log2(log3（log4x))＝0，且log4(log2y)＝1。求eq\r(x)·yeq\s\up6（\f（3，4)）的值．解：因?yàn)閘og2（log3（log4x））＝0，所以log3（log4x)＝1,所以log4x＝3，所以x＝43＝64.由log4(log2y）＝1，知log2y＝4,所以y＝24＝16。因此eq