2022年北京市海淀區(qū)中學關村中學九年級數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考試題含解析

2022-2023學年九上數(shù)學期末模擬試卷注意事項：2B2B一、選擇題(每小題3分,共30分)如圖，△ABC內接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD為⊙O的直徑，AD=6，那么AB的值為（ ）A．3 B．33 C．2 3 D．2如圖，四邊形ABCD的頂點A，B，C在圓上，且邊CD與該圓交于點E，AC，BE交于點下列角中，弧AE所對的圓周角是( )A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC8、、、6、10、、、2，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（ ）A．5人 B．6人 C．4人 D．8人如圖，在邊長為1的小正方形網格中，點B,C都在這些小正方形的頂點上，則CBA的余弦值是（ ）3 2 213

313A．13 B．3 C．

13 D．13如圖，是由一些相同的小正方形圍成的立方體圖形的三視圖，則構成這種幾何體的小正方形的個數(shù)是（）A．4 B．6 C．9 D．12拋物線＝a2bx（≠）ab＜點（，（，）都在拋物線上，則有1＞y2；③b2＞（a+c）2；④2a﹣b＜1．正確的結論有（ ）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個7．某樹主干長出若干數(shù)目的枝干，每個枝干又長出同樣數(shù)目小分支，主干、枝干和小分支總數(shù)共57根，則主干長枝干的根數(shù)為（ ）A．7 B．8 C．9 D．10如圖，某小區(qū)有一塊長18米，寬米的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和平方米，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道．若設人行道的寬度米，則可以列出關的方程( )A．x2＋9x－8＝0C．x2－9x＋8＝0在△ABCtanA=1，sinB=△ABC是等腰三角形△ABC是等腰直角三角形

B．x2－9x－8＝0D．2x2－9x＋8＝022，你認為最確切的判斷是（）△ABC是直角三角形△ABC是等邊三角形如圖，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，且點D，E分別是AC，AB的中點，若作半徑為3的⊙C，則下列選項中的點在⊙C外的是（ ）A．點B B．點D C．點E D．點A二、填空題(每小題3分,共24分)二次函數(shù)＝x﹣bc的圖象上有兩點（，﹣，（﹣，﹣，則此拋物線的對稱軸是直線x＝ ．x軸的正半軸上依次截取

AA

A

AA

A

……

AA

、A……，分1 1 2

2 3 3 4 4

1 2 3 4 5xy2(x0)P

、P、P、P

，得直角三角形OP

、APA，x 1 2 3 4 5

1 1 12 2APA

，AP

，AP

……，并設其面積分別為S、S、S、S、S ……，則S

(n 1的整數(shù)）.23 3

34 4

45 5

1 2 3 4 5 10如圖所示，則這個小圓孔的寬口AB的長度為 14．如圖，點A，B，C⊙O上，∠A=40度，∠C=20度，則∠B= 度．ay＝kx，y＝

b＝的圖象如圖所示，下列判斷正確的 （填序號），b都是正數(shù)；②函數(shù)yx x＝與y＝的圖象會出現(xiàn)四個交點；③A，D兩點關于原點對稱；④若B是OA的中點，則a＝4b．如圖是一個正方形及其內切圓，正方形的邊長為4，隨機地往正方形內投一粒米，落在圓內的概率．已知點P是線段AB的黃金分割點，A＞P．若A＝．則A＝ （結果保留根號．二次函數(shù)y＝x2－2x＋2圖像的頂點坐標是 三、解答題(共66分)19（10分）AED∠，DE=，BC=1，CD=1，AD=，求A、BE的長.20（6分）一張長為30cm，寬20cm的矩形紙片，如圖11264cm2，求剪掉的正方形紙片的邊長．21（6分xoyyx4與xy軸分別交于點A和點．拋物線yax2bxcA,Bxx軸的另一交點為點C．求拋物線的函數(shù)表達式；E是拋物線上一動點，且點E在直線AB下方當△ABE的面積最大時，求點E面積的S；拋物線上是否還存在其它點M,使△ABM的面積等于中的最大值S,若存在，求出滿足條件的點M的坐標；若不存在，說明理由；FOB上一動點，直接寫出CF

3BF的最小值.222（8分）一個不透明的口袋中裝有4張卡片，卡片上分別標有數(shù)字，，﹣，芳從口袋中隨機抽取一張卡片，小明再從剩余的三張卡片中隨機抽取一張，請你用畫樹狀圖或列表的方法，求兩人抽到的數(shù)字符號相同的概率．23（8分5的扇形AOBAOB=90C是弧AB（不與點B重合O⊥B，OE⊥AC，垂足分別為D、E．BC=6OD的長；在△DOE中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度；如果不存在，請說明理由．24（8分如圖在ABC中ACB9CD 平分ACB交AB于點D將CDB繞點C順時針旋轉到的位置，點F在AC上．旋轉的度數(shù)為 ；DEDEBC的位置關系，并說明理由．25（10分）如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于點A,0,B4,0，交y軸于點C0,4,P是直線BC下方拋物線上一動點．;P，使PBCP的坐標若不存在，請說明理由．26（10分）ABC的三個頂點及，，H.D，E，F(xiàn)，G，H△ABC不全等但面積相等的三角形是（只需要填一個三角形；D，EF，G，H△ABC.參考答案3301、A【詳解】解：∵AB=BC，∴∠BAC=∠C．∵∠ABC=120°，∴∠C=∠BAC=10°．∵∠C和∠D是同圓中同弧所對的圓周角，∴∠D=∠C=10°．∵AD為直徑，∴∠ABD=90°．1∵AD=6，∴AB=2AD=1．故選A．2、C【分析】直接運用圓周角的定義進行判斷即可.【詳解】解：弧AE所對的圓周角是：∠ABE或∠ACE故選：C【點睛】3、B【解析】找出這組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)即為眾數(shù).【詳解】解：∵數(shù)據(jù)2、6、4、6、10、4、6、2，中數(shù)據(jù)6出現(xiàn)次數(shù)最多為3次，∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是6.B.【點睛】4、D【分析】由題意可知AD=2，BD=3，利用勾股定理求出AB的長，再根據(jù)余弦的定義即可求出答案．【詳解】解：如下圖，根據(jù)題意可知，AD=2，BD=3，AB∴CBA的余弦值是：故選：D．

AD2BD2 49 13，3 313 ．13 13【點睛】本題考查的知識點是利用網格求角的三角函數(shù)值，解此題的關鍵是利用勾股定理求出AB5、D【分析】根據(jù)三視圖，得出立體圖形，從而得出小正方形的個數(shù)．【詳解】根據(jù)三視圖，可得立體圖形如下，我們用俯視圖添加數(shù)字的形式表示，數(shù)字表示該圖形俯視圖下有幾個小正方形則共有：1+1+1+2+2+2+1+1+1=12故選：D【點睛】本題考查三視圖，解題關鍵是在腦海中構建出立體圖形，建議可以如本題，通過在俯視圖上標數(shù)字的形式表示立體圖形幫助分析．6、B【分析】利用拋物線開口方向得到a＞1，利用拋物線的對稱軸在y軸的左側得到b＞1，利用拋物線與yxc＜1，則可對①進行判斷；通過對稱軸的位置，比較點和點到對稱軸的距離的大小可對②進行判斷；由于a+2-2（a+c-（a+c+，而x=1a+b+＞1x=-1a-b+＜，則可對③進行判斷；b1

0和不等式的性質可對④進行判斷．【詳解】∵拋物線開口向上，∴a＞1，∵拋物線的對稱軸在y軸的左側，∴a、b同號，∴b＞1，∵拋物線與y軸的交點在x軸下方，∴c＜1，∴abc＜1，所以①正確；bx＝﹣2a，b而﹣1＜﹣2a＜1，∴點（﹣3，y1）到對稱軸的距離比點（1，y2）到對稱軸的距離大，∴y1＞y2，所以②正確；∵x＝1時，y＞1a+b+c＞1，x＝﹣1時，y＜1∴（a）﹣b＝（a﹣b（a+）＜，∴b2＞（a+c）2，所以③正確；b∵﹣1＜﹣2a＜1，∴﹣2a＜﹣b，∴2a﹣b＞1，所以④錯誤．故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系：二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。攁＞1a＜1時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當ab同號時，對稱軸在y軸左；當a與b異號時，對稱軸在y軸右．常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（，．拋物線與x軸交點個數(shù)由判別式確定：△=b2-4ac＞1x2個交點；△=b2-4ac=1x1個交點；△=b2-4ac＜1x7、A【分析】分別設出枝干和小分支的數(shù)目，列出方程，解方程即可得出答案.xx2根x2x157解得：x=7或x=-8(不合題意，舍去)故答案選擇A.【點睛】本題考查的是一元二次方程的應用，解題關鍵是根據(jù)題目意思列出方程.8、C【詳解】解：設人行道的寬度為x米，根據(jù)題意得，（1﹣3（﹣2）=6，C．9、B【分析】先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠A，∠B的值，再根據(jù)三角形內角和定理求出∠C即可判斷三角形的形狀。2【詳解】∵tanA=1，sinB= 2 ，∴∠A=45°，∠B=45°．∴AC=BC又∵三角形內角和為180°，∴∠C=90°．∴△ABC是等腰直角三角形．故選：B．【點睛】10、D【分析】分別求出AC、CE、BC、CD的長，根據(jù)點與圓的位置關系的判斷方法進行判斷即可．【詳解】如圖，連接CE，∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝5242=3，∵點D，E分別是AC，AB的中點，1 1 5∴CD＝2AC=2，CE＝2AB=2，∵⊙C3，BC=3CE3CD3AC3B在⊙CE在⊙CD在⊙CA在⊙C外，故選：D．【點睛】本題考查點與圓的位置關系，解題的關鍵是求點到圓心的距離．32411、-3【分析】觀察（，（﹣，）兩點坐標特征，縱坐標相等，可知A,BAB中點且平行于y軸的直線.【詳解】解：∵（，2，（﹣，﹣）兩點縱坐標相等，∴A,B兩點關于對稱軸對稱，根據(jù)中點坐標公式可得線段AB的中點坐標為(-3,-2)，∴拋物線的對稱軸是直線x=-3.【點睛】.112、10【解析】根據(jù)反比例函數(shù)y=

kx中k的幾何意義再結合圖象即可解答．【詳解】∵過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個定1值,S=2|k|.1∴S1

SOAP22

=1，=∵OA AA，=1 1 2=∴S 1=2 2

OAP2

1=2，同理可得,

112S=1S=12

13S=3

14S=4

110S = .10101故答案是：10.【點睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.13、8【分析】先根據(jù)鋼珠的直徑求出其半徑，再構造直角三角形，求出小圓孔的寬口AB的長度的一半，最后乘以2即為所求．【詳解】連接OA，過點O作OD⊥AB于點D，則AB=2AD，∵鋼珠的直徑是10mm，∴鋼珠的半徑是5mm．∵鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，∴OD=3mm．在Rt△AOD中，∵AD OA2OD2 524mm，∴AB=2AD=2×4=8mm【點睛】本題是典型的幾何聯(lián)系實際應用題，熟練運用垂徑定理是解題的關鍵．14、1【分析】如圖，連接OA，根據(jù)等腰三角形的性質得到∠OAC=∠C=20°，根據(jù)等腰三角形的性質解答即可．【詳解】如圖，連接OA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C=20°，∴∠OAB=∠OAC+∠BAC=20°+40°=1°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=1°，故答案為1．【點睛】本題考查了圓的性質的應用，熟練掌握圓的半徑相等、等腰三角形的性質是解題的關鍵．15、①③④【分析】根據(jù)反比例函數(shù)、一次函數(shù)的性質以及反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可判斷．y＝kx①正確；

ax，y＝

bx在一、三象限，則k＞0，a＞0，b＞0，故

ax

bx的圖像沒有交點，故②錯誤；BOAAM⊥xM，BN⊥xN，∴BN∥AM，∴△BON∽△AOM，S∴SBONAOM1b

OB(OA

1，4∴2 1，1a 42∴b＝4a，故④正確：故答案為①③④．【點睛】k的幾何意義，數(shù)形結合的思想是解題的關鍵16、4【分析】根據(jù)題意算出正方形的面積和內切圓面積，再利用幾何概率公式加以計算，即可得到所求概率．【詳解】解：∵正方形的邊長為4，

=16，內切圓的半徑r=2，正方形因此，內切圓的面積為S

=πr2=4π，S

p

內切圓= =S 16 4正方形故答案為：4【點睛】本題考查幾何概率、正多邊形和圓，解答本題的關鍵是明確題意，屬于中檔題17、5 5﹣5【分析】根據(jù)黃金分割比的定義計算即可．【詳解】根據(jù)黃金分割比，有5151

AB 105 2 2515515

5．5【點睛】5本題主要考查黃金分割比，掌握黃金分割比的定義是解題的關鍵．18、（1，1）yx22x2(x22x1)1(x1)21.∴頂點坐標為(1,1).故答案為：(1,1).點睛：考查二次函數(shù)的性質，熟練掌握配方法是解題的關鍵.6619、AE=6,BE=3.【解析】先根據(jù)已知條件求證△ABC∽△ADE，然后根據(jù)相似三角形對應邊成比例，代入數(shù)值即可求解．【詳解】∵∠AED=∠C，∠A為公共角∴△ABC∽△ADE∴DEAEADBC AC AB又∵DE=4，BC=12，CD=15，AD=3，∴AC=15+3=18∴4AE 312 18 AB∴AE=6，AB=9∴BE=9-6=3【點睛】20、4cmxc（32-）cm,1列方程求解.解：設剪掉的正方形紙片的邊長為xcm．由題意，得(32-2x)(22-2x)=1．整理，得x2-25x+84=2．解方程，得x1

4，x2

21（不符合題意，舍去）．答：剪掉的正方形的邊長為4cm．1321（1）y x32

x4（）E(-2,-）,；②存在，M1

(22 2,2 2);

(22 2,2 2)（）2 12【分析】（1）求出AB兩點坐標，利用待定系數(shù)法即可求解； 1 E的坐標為m2m2m4△ABE的面積最大時，點EAB最遠，此時E所在直 ABE0b，進而求出點E坐標；拋物線上直線AB上方還存在其它點M,使△ABM的面積等于中的最大值S，此時點M所在直線l'與直線AB平行,且與直線l到直線AB距離相等，求出直線l'解析式，與二次函數(shù)聯(lián)立方程組，即可求解；如圖，作OBG60,xFP⊥BGP，得到CF

BFCFPFC、、P323在同一直線上時，CF

BFCFPFCH⊥GB，求出CH即可．323（）在yx4中分別令=，=，可得點A(-4,0，B(0,-4， b 2a

1A,Bx，可得方程組c0c42a12解方程組可得b1c4y

1x2

x4 1 E的坐標為m2m2m4，當△ABE的面積最大時， 點E在拋物線上且距AB最遠，此時E所在直線與AB平行，且與拋物線只有一個交點.設點E所在直線為l：y=-x+b.yxb1聯(lián)立得方程1y1

x2x2

，消去y1得x22x4b0，據(jù)題意224 (4b)0；2 2解之得b6，直線l的解析式為y=-x-6,yx6 x2聯(lián)立方程 1 ，解得 ，y

x2x4 y42∴點E(-2,-，過E作y軸的平行線可求得△ABE面積的最大值為4.②拋物線上直線AB上方還存在其它點M,使△ABM的面積等于中的最大值S，此時點M所在直線l'與直線AB平行,且與直線l到直線AB距離相等，易得直線l'是直線l向上平移4個單位，∴解析式l'為y=-x-2,與二次函數(shù)聯(lián)立方程組可得yx2

22 2

22 2方程組 1

解之得1

;2y

x2x2

y2 1

y2

2 2∴存在兩個點，M1

(22 2,2 2);

(22 2,2 2)2如圖，作OBG60,xFP⊥BGP，則△BFP是直角三角形，∴PFBFsinPBFBFsin60 3BF,2∴CF 3BFCFPF,2∴當C、F、P在同一直線上時，CF作CH⊥GB于H，在Rt△OBG中，∵OBG60,

3BFCFPF有最小值，2∴OGB,OGOBtanOBG4 3,∵A(-4,0)，拋物線對稱軸為直線x1，∴點C坐標為（2,，∴GCOGOC4 32,∴在Rt△CGH中，CHCGsinCGH312 31,2∴CF 3BF的最小值為2 31．2【點睛】本題為二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)與一元二次方程關系，二次函數(shù)與面積問題，三角函數(shù)，求兩線段和最小值問題．理解好函數(shù)與方程（組）關系，垂線段最短是解題關鍵．1223.12【詳解】解：畫樹狀圖為：共有12種等可能的結果數(shù)，其中兩人抽到的數(shù)字符號相同的結果數(shù)為4，4 1123．考點：列表法與樹狀圖法．23（1）OD（2）存在，DE保持不變．DE= ．【解析】試題分析（）如圖，根據(jù)垂徑定理可得BD= B，然后只需運用勾股定理即可求出線段OD的長；（）連接A，如圖，用勾股定理可求出AB的長，根據(jù)垂徑定理可得D和E分別是線段BC和AC的中點，根據(jù)三角形中位線定理就可得到DE= AB，DE保持不變；（）如圖（，∵OD⊥BC，∴BD= BC= ×6=3，∵∠BDO=90°，OB=5，BD=3，∴OD= =1，即線段OD的長為1．（2）存在，DE保持不變．理由：連接A，如圖∵∠AOB=90°，OA=OB=5，∴AB= =5 ，∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴D和E分別是線段BC和AC的中點，∴DE= AB= ，∴DE保持不變．24（）9（）D∥B，見解析【分析】（1）根據(jù)旋轉的性質即可求得旋轉角的度數(shù)；（2）先利求得∠DCE=∠BCF=90°，CD=CE，可得△CDE為等腰直角三角形，即∠CDE=45°，再根據(jù)角平分線定義得到∠BCD=45°，則∠CDE=∠BCD，然后根據(jù)平行線的判定定理即可說明．（）△CDB繞點C△CEF的位置，點F在AC上，∴∠BCF=90°，即旋轉角為90°；故答案為90°．（2），理由如下：∵將△CDB繞點C順時針旋轉到△CEF的位置，點F在AC上，∴DCEBCF90，CDCE，△CDE為等腰直角三角形，∴，CD平分ACBABD，∴，∴CDEBCD，∴.【點睛】本題考查了旋轉的性質、等腰三角形的性質以及平行線的判定，掌握旋轉變換前后圖形的特點以及旋轉角的定義是解答本題的關鍵．25（）yx23x4（）存在點P，使PBC面積最大，點P的坐標為2,6．【分析】（1）由A、B、C