線性代數(shù)習(xí)題冊(答案)

.PAGE.線性代數(shù)習(xí)題冊答案第一章行列式練習(xí)一班級學(xué)號姓名1．按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序,求下列各排列的逆序數(shù)：〔1τ<3421>=5;〔2τ<135642>=6;〔3τ<13…<2n-1><2n>…42>=2+4+6+…+〔2n-2=n〔n-1.2．由數(shù)字1到9組成的排列1274i56j9為偶排列,則i=8、j=3.3．在四階行列式中,項的符號為負(fù).4．=－24.5．計算下列行列式：〔1=－1＋〔－8＋〔－8－〔－4－〔－4―〔－4=－5或〔2=－＋1＋1－〔－－〔－―〔－=－＋3+2=練習(xí)二班級學(xué)號姓名1．已知3階行列式=1,則行列式=－1.2．=2.3．已知D=,則=—1.用1,1,1,1替換第4行4．計算下列行列式：<1>=<2><3><4>5．計算下列n階行列式：<1>〔每行都加到第一行,并提公因式。<2><3>練習(xí)三班級學(xué)號姓名1．設(shè)線性方程組有惟一解,則滿足的條件是什么？2.求解線性方程組3.已知齊次線性方程組有非零解,求的值。4.求三次多項式,使得：。自測題1.n階行列式D=,則展開式中項的符號為.2.已知3階行列式=,則行列式=.3.方程的根為1,2,-2.4.已知齊次線性方程組僅有零解,則的值應(yīng)為.5.設(shè),則D的展開式中的系數(shù)為-1.6.計算下列行列式：〔1〔2第二章矩陣及其運算練習(xí)一班級學(xué)號姓名1.設(shè)求及。2.設(shè)A、B都是n階對稱矩陣,證明AB是對稱矩陣的充分必要條件是AB=BA。由題意,得：.3.矩陣A和B滿足什么條件時,恒成立？恒成立的條件是：AB=BA.4.設(shè)求AB,BA及。5.設(shè),求。練習(xí)二班級學(xué)號姓名1.求下列矩陣的逆矩陣：〔1〔22.設(shè)方陣滿足,證明及都可逆,并求及。3.已知,,求。4.設(shè)n階矩陣的伴隨矩陣為,證明：〔1若,則；〔2。5.設(shè)其中求。練習(xí)三班級學(xué)號姓名1.設(shè),求及。2.求下列逆矩陣：〔1〔2,其中n階矩陣及s階矩陣都可逆。自測題一．填空題：1．若那么=.2．、為三階矩陣,則=8.3．已知則=.4．若、、均為n階矩陣,且,則=3E.5．是三維列向量,,則=3.二．用初等變換法求的逆矩陣.三．設(shè)矩陣,求.四．證明：n階矩陣A對稱的充分必要條件是對稱。五．、為三階可逆矩陣,,若,求A.第三章矩陣的初等變換與線性方程組練習(xí)一班級學(xué)號姓名1．判斷題〔正確打√,錯誤打×：1某矩陣的行〔列階梯形矩陣是唯一的〔×2某矩陣的行〔列最簡形矩陣不是唯一的〔×3某矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣不是唯一的〔×4矩陣的初等變換都有逆變換,且逆變換與原變換同屬一類〔√5任何一個矩陣總能通過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形〔√2．已知線性方程組,寫出其增廣矩陣,并將增廣矩陣通過初等行變換化為階梯形、行最簡形。3．已知,將A化成標(biāo)準(zhǔn)形。并寫出P、Q,使A的標(biāo)準(zhǔn)形等于PAQ。4．已知,利用矩陣的初等變換,求。5．已知,,求。練習(xí)二班級學(xué)號姓名1.選擇題：1的行階梯形中只有前r〔r＜m且r＜n行為非零行,則為〔C〔A0；〔Bm；〔Cr；〔Dn.2非零矩陣〔m＜n中的所有的2階子式全為0,則A的標(biāo)準(zhǔn)形為〔D〔A；〔B；〔C；〔D3方陣的秩=n,則必定不滿足〔D〔A可逆；〔B與E等價；〔C；〔D存在使4為奇異矩陣,下列的錯誤的是〔C〔A；〔B；〔C；〔D不與單位陣E等價2.已知矩陣,求。=23.設(shè),問為何值時,可分別使〔1=1；〔2=2；〔3=3？4.已知n階方陣,使為不可逆矩陣,求證：不為零矩陣。練習(xí)三班級學(xué)號姓名1．選擇題：1當(dāng)〔D時,齊次線性方程組一定有非零解?！睞m≠n；〔Bm＝n；〔Cm＞n；〔Dm＜n.2設(shè)A為n〔≥2階方陣,且=n-1,是的兩個不同的解向量,為任意常數(shù),則的通解為〔C〔A；〔B；〔C；〔D.2．填空題:1設(shè)4階方陣,且,則方程組的一個解向量為。2設(shè)方程組有解,則其增廣矩陣的行列式=0。3若有解,則常數(shù)應(yīng)滿足條件。4已知方程組無解,則=-1。3．求齊次線性方程組的解。4．解矩陣方程：5．取何值時,非齊次線性方程組〔1有唯一解；〔2無解；〔3有無窮多解？并在有解時,求解。解：〔1當(dāng)時,有唯一解；〔2當(dāng)時,無解；〔3當(dāng)時,有無窮多解。,,〔其中是任意實數(shù)自測題1．選擇題：1設(shè)為n〔≥2階奇異方陣,中有一元素的代數(shù)余子式,則方程組的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)為〔B〔Ai；〔B1；〔Cj；〔Dn.2方程組的系數(shù)矩陣記為,若存在三階方陣,使得,則〔A〔A,；〔B,；〔C,；〔D,.3設(shè)與是n階方陣,齊次線性方程組,有相同的基礎(chǔ)解系,則以下方程組以為基礎(chǔ)解系的是〔D〔A；〔B；〔C；〔D.2．判斷題:1初等矩陣與初等變換是一一對應(yīng)的〔√2任一秩為r的矩陣A必與等價〔√3與為同解方程組〔√4方程組有無窮多個解的充分必要條件是有兩個不同的解〔√3．設(shè)n階方陣的列向量為〔i=1,2,3,…,n,n階方陣的列向量為,試問：當(dāng)時,是否有非零解？試證明你的結(jié)論。4．若齊次線性方程組的解均為齊次線性方程組的解,試證明。5．求方程組與的非零公共解。解：非零公共解為〔是任意實數(shù)6．設(shè)非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為r,是的一個基礎(chǔ)解系,是的一個解。證明：的任一解可表示為7．設(shè)為四維列向量,,已知的通解為,其中,為對應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系,為任意常數(shù),令,試求的通解。第四章向量組的線性相關(guān)性練習(xí)一班級學(xué)號姓名1．已知向量,試求向量.解：2．已知向量組證明組能由組線性表示,但組不能由組線性表示。解：,所以組能由組線性表示。,所以組不能由組線性表示。3．設(shè)可由線性表示,但不能由線性表示,證明：可由線性表示,而不能由線性表示。4．已知,問：〔1取何值時,不能由線性表示？〔2取何值時,可由線性表示？并寫出此表達(dá)式。解：〔1當(dāng)或時,,不能由線性表示?！?當(dāng)時,,可由線性表示,當(dāng)時,,,可由線性表示?！簿毩?xí)二班級學(xué)號姓名1．判斷向量組的線性相關(guān)性。2．討論向量組的線性相關(guān)性？即取何值時,向量組線性無關(guān)？又取何值時,向量組線性相關(guān)？3．已知向量組線性無關(guān),判斷的線性相關(guān)性。4．如果向量可以用向量組線性表示,試證表示方法是唯一的充要條件是線性無關(guān)。練習(xí)三班級學(xué)號姓名1．已知向量組,求該向量組的秩。2．求向量組的秩和最大無關(guān)組,并把其余向量用此最大無關(guān)組線性表示。3．利用初等行變換求矩陣的列向量組的一個最大無關(guān)組,并把其余列向量用最大無關(guān)組線性表示。4．設(shè)為階矩陣〔≥2,為的伴隨矩陣,證明：練習(xí)四班級學(xué)號姓名1．求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。2．求非齊次線性方程組的通解。3．已知是四元非齊次線性方程組的解,,且求該方程組的通解。4．設(shè)是齊次線性方程組的一個解,是對應(yīng)的齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系,證明：〔1線行無關(guān)；〔2線行無關(guān)。練習(xí)五班級學(xué)號姓名1．試判定集合是否構(gòu)成向量空間？2．求向量空間的基到基的過渡矩陣和向量的坐標(biāo)變換公式。自測題一、選擇題：1．設(shè)向量組〔1：與向量組〔2：等價,則〔A?！睞向量組〔1線性相關(guān)；〔B向量組〔2線性無關(guān)；〔C向量組〔1線性無關(guān)；〔D向量組〔2線性相關(guān)。2．設(shè)n維向量組線性無關(guān),則〔B。〔A向量組中增加一個向量后仍線性無關(guān)；〔B向量組中去掉一個向量后仍線性無關(guān)；〔C向量組中每個向量都去掉第一個分量后仍線性無關(guān)；〔D向量組中每個向量都任意增加一個分量后仍線性無關(guān)。3．設(shè)三階行列式,則〔A?！睞中至少有一行向量是其余行向量的線性組合；〔B中每一行向量都是其余行向量的線性組合；〔C中至少有兩行向量線性相關(guān)；〔D中每一行向量都線性相關(guān)。4．設(shè)是一組n維向量,且線性相關(guān),則〔D?！睞A的秩等于4；〔BA的秩等于n；〔CA的秩等于1；〔DA的秩小于等于3。5．設(shè)不能由非零向量線性表示,則〔D?！睞線性相關(guān)；〔B線性相關(guān)；〔C與某個線性相關(guān)；〔D與任一都線性無關(guān)。二、填空題：1．設(shè)n維向量線性相關(guān),則向量組的秩r=0,1,2。2．向量組線性相關(guān)的充分必要條件為秩<3。3．設(shè)線性無關(guān),而線性相關(guān),則向量組的極大無關(guān)組為。4．已知線性相關(guān),則k=4。5．已知向量組線性相關(guān),而向量組線性無關(guān),則向量組的秩為2。三、已知,證明與等價。四、設(shè)有向量組,又向量,試問當(dāng)滿足什么條件時,則：〔1可由線性表示,且表示式唯一；〔2不能由線性表示；〔3可由線性表示,但不唯一,并求一般表達(dá)式?！?〔2〔3五、已知及都是n維向量,且,證明向量組線性無關(guān)的充分必要