定積分計算習題解答

定積分習題解定積分練習題一、填空題d

x 1、 2dx= dx xd2、axd

f(x))dx .3t3、 3t 2

ln(t2

.x

,0

x4、

f(

，其

f(x)

2

x,1

x5、設(shè)

cosmxcosnxdxsinmxsin、當m

n時，I1=,I2 、當mn時，I1 ,I2 6、設(shè)cosmxsin、當m、當m9

n時，I3 n時，I3 7、

x(1

x

.8、

.323132xcost2dtx9、lim .x0 x二、求導數(shù)x1y

yx由方程yet0

0cos

0所確定，求 x2、設(shè)

t ulnt1

(t

2 , 2y2 t2y2

ln 3、 cosxcos(t2)dtdxsinx4、設(shè)gx)

，求g(1) 1x三、計算下列各定積分1、2(x2 x

2 03、0

3x

3xx2

dx 4、 四、求下列極限 t

x 1

(0x

dt

2

(1cos5

.x

e2t20

x0x

fx)為連續(xù)函數(shù)，證 f(t)(xt)dt0

f x六、求函fxx

3t

dt在區(qū)間

0,

上的最0

t2t

f(x)

1sin22

當0

x時，當x0或x時x求（x) f(t)dt在(

)內(nèi)的表達

fx)在a

上連續(xù)

f(x)0xxF(x)f(t)dt xx

,證明a1、Fx2

f(t2、方程Fx

0在

定積分計算練習題1解一、填空題d

x 1、 2dx= dx xd2、axd

f(x))dx

f(x)

fa3、

ln(t

1)dt

3

ln(x2

2

3t3tx

,0

x

f(x)dx

f(x)

2

x,1

x定積分計算練習題1解答一、填空題：

x

,0x24 f(x)dx 其2

f(x)

2

x,1

x2解f2解

1

(2

3 13 1

2x2

(43

2)(2 ) 5、設(shè)I1

cosmxcosnxdxI2sinmxsin、當m

n時，I1=,I2= 、當m

nI1

_,I2= 解（1）當m=nI

mxdx

1

cos2mx

1x

sin2mx 1I2

mxdx

2

2

（2）當m≠n時I1

cos(m

n)x

cos(m2

x I2

cos(mn)xcos(mn)x 26、設(shè)

、當m、當m

n時，I3= n時，I3= 解（1）當m=n cosmxsinmxdx

sin2mx

cos2mx

（2）當m≠n時I3

sin(m

n)x

n)x 97、9

x(1

x)dx

456x99解 x)dx x)dx2xx99解 2

1(8116)

1(4193

338、

2312313 313

arctan

1x2

3

xcost2dtx9、lim .x0解

x0xx

t

cosx211二、求導數(shù)：1y

yx)由方程yet0

0cos

0x定，求 x 因

ey

cosx所 dye

ey1

sinx即ey

1sin dy sinx1二、求導數(shù)x tx

uln

d22、設(shè)

y12t2y12

ln

1),

dx 因

dx

4t3lndy2t

t

4t5ln

t于是d2y

d(dy

2t

4t3

2t2ln二、求導數(shù)3、 cosxcos(t2)dtdxsin解 dxsinx解

x

cos因為

sin2

x)

x)x)

sin2x)cos2

cosxcos(t2)dtsinx(sin

cosx)

sin2(cos

x)

cos2二、求導數(shù)x4、設(shè)g(x) gx2， 1x

g(x)

2x 2x1(x2 1x6

x6)

2x6x5

2(15x6g(x)

x6

(1

x6)2 三、計算下列各定積分11x1、1x1

1x

2、1x1x

解1、

1(x

x2 3

1222222

1/ 1xx21xx2 三、計算下列各定積分：03、0

3x

3xx2

1

4 0

xdx03x

3x2

3、

x2

dx

x2

1

10404、

x

/24

4cos

/2 四、求下列極限：1 t

x 1

(0x

dt

2

(1cos5

.x

e2t2 t

x0x解1

( dt

2ex2et2

2e t x

xe2t20

e2

ex2

2ex22xex

lim12x2四、求下列極限 t

x 1

(0x

dt

2

5

.x

e2t201

x0x解2

x2x(1cost2

1x2(1cost2lim

lim

x1cosx5x2

x2五、設(shè)

fx) f(t)(xt)dt0

f x 令F(x)xx0x

f(t)(x

G(x)

0

f F(x)

fxxG(x)xx

f(u)du

f

F(x) F(x)

F可 F(x)

G(x)

xfx)x

3t

dt在區(qū)間

0,

上的最

t2t 令

(x)

3x

解

xx2x f(x)[0,1]

f(x)

f(0)

f(x)

333

3t

dt

2t1

dt 0t

t

20t

t 2

1)22x13 2x13

303333

f(x)

1sin22

當0

x時，，當x0或x時，xx0求（x) f(t)dt在(x0

)當x<0當0≤x≤π

f

x0dt

f

xsintdt

cost

1(1coscost2x0 cost2x0

x當x>π時， fx

sint

f(x)

1sin22

當0

x時，，當x0或x時，x求（x) f(t)dt在

,)0當x<0

x0dt當0≤x≤π

xsint

1(1cos當x>π

sintdt2

1(1cosx),

xx

x八、設(shè)

fx)在a

上連續(xù)

f(x)0xxF(x)f(t)dt xx

（1、Fx)2

f(t（2、方程Fx)

0在(

b) F(x)

f(x)

f(x)

（2）F(a)

f

a

b a ab

(t)

f(t)F(b) f(t)dt而且F(x)

方程Fx)

(

b內(nèi)有且僅有一個一、填空題1、sinx3

)dx 322、2

(1sin3

)d 3、

2x2

14、2

(arcsinx)2

dx 1x1x

sin25、5x

2x

1dx 二、計算下列定積分331、0

sincos3d2、1xx1x

4、 cosxcos31x1 1x1 5、

1cos2xdx 6

4cos4dx11x1x17、1

(x

x

)dx28、0maxx2

x3}dx29、02

x

（ 當

0時，三、設(shè)

f(x)

1

求f

1)dx11 當

0時，1efx)在ab

b證明

f(x)dx f(ab

x)dx五、證明：1xm(10

x)ndx

1xn(11

x)mdx六、證明

f(x)dx

0

f(x)

f(x)]dx 并求4 4

fx)在

0,

上連續(xù) 2證明0

f(cosx)dx

4

f(cosx)dx.練習1（定積分換元法一、填空題：1、sinx3

)dx3

2、

(1sin3

)d 3、

22x2dx 214、1x1x2

(arcsinx)2

dx

x

sin2 5、5x

2x

1dx 一、填空 sin(x3

)dx33ux 332 32 t

3t)(dt)33t)(dt)3sin0 一、填空題2.

(1sin3

)d (1sin3

(1cos2

u3u

1 2一、填空題2

2

x2dx2 x2

sint,dx

2x0t22

x t2222x2x2

22cos2 2(1cos2t)dt 一、填空題

1(arcsinx)21x1x22

dx1x2 uarcsinx,1x2x0u0,x1u 2121x1x22

x)2

dxu3u3360

11x1x22

x)2

6u2du

二、計算下列定積分 0

cos30

x0020

cos3

1x3dx 二、計算下列定積分

1x31x3解：設(shè)x

tant,

sec23x1t,x t3

sec2

cos

dt x1xx1x413sin13sint34

tsect

sin2 2241x13二、計算下列1x134解：t

1x

則x1t2,

x1t0,x

3t3 31x1

0 01t1 1221

dt2tln|t1|210 1

1 12ln二、計算下列定積分

cos2

cos2

xdx

2sin0

cos01 udu udu01 二、計算下列定積分

1cos2xdx解

1cos2xdx

2cos2

2 22cosxdxcosxdx2 2

cos022 x cos costdt

0 二、計算下列定積分

4cos42 4cos4d2

24cos40 22(1cos2)2d22

2cos

cos2(2))22

2cos

1cos4)

1二、計算下列定積分 1

(x

x

1x1x1x1x2

1x1x1x1xxsin

20 22sin2tcos20 1cos 2sin2(2t)dt2 2 82二、計算下列定積分 0max{x2

x31120max{x2

x3

0xdx

2x3dx414

14 2二、計算下列定積分2解：當λ≤0

0

x202

x

dx

2(x20

x)dx

83當0<λ<0時202

x

dx

0(x

x2)dx

2(x233

3

3

82

3

823 32當λ≥22202

x

dx

0(x

x2

232二、計算下列定積分 02

x8 3

2xx2

dx

8

2, 0

83

當

0時，f(x)

1

f(

11 當

0時，1e10因 10

f(x

1)dx

f(t)dt

11

010 0

t1 1

x

exdt1x1

e10110

01

0e1 1dt012

ln(1t)

ln

f(x

ln(e四、fx)在a,

f(x)dx

f(abx)dx.證：

x

b

xa

xbt f(x)dx fb

bt)(dt) f(ab

aa六、證明：aa

f(x)dx

f(x)

f(x)]dx 1sin并求4 4

F(x)

f(x)2

(x)

G(x)

f(x)2

(x)則F(x)

f(x)2

f(x)

F(x),G(x)

f(x)2

f(x)

G(x),f(x)F(x)G(x)aa六、證明aa

f(x)dx

f(x)

f(x)]dx 1sin并求4 4證：由奇函數(shù)和偶函數(shù)的積分性質(zhì)

f

a[F(x)

F(x)dxa a

f(x)dx

0

f(x)

f(a于 a

1sin 1sin 1sin(x)

2

2

2tanx 1sin

cos 七、設(shè)fx)在

01上連續(xù) 2證明0

f(cosx)dx

4

f(cosx)dx.證：

x

(cosx

f(

t)

f(

f(

2

f(

)dt

f(

2ts

f(cost f(|

s)2 2

f(sin

f(cos

f(cosx 誘導公 積分恒等 積分值與積分變量無練習題2（定積分分部積分法一、填空題1n為正奇數(shù)

20

2n正偶數(shù)20

xdx 31xex0e

4、1

xlnxdx 5、0xarctanxdx 二、計算下列定積分 1、

x)dx 2、e

ln

dx3、J(m)

x

xdxm4、0

xcos(n1)xdx.

f(x)

tan

x,求0

f(

f(x)dx.

fx)在

0

f(0)2

f()

1證明：0

f(x)

f(

xdx3.2（定積分分部積分法一、填空題1、設(shè)n為正奇數(shù)

20

(n (n1)!!2、設(shè)n正偶數(shù)，則20

xdx=

23、1xexdx

1e0e4、e

x

1(e2 15、0xarctan1

.1x242x2424

xex10

1exdx

e1ex0

1

ee

x

xdx

2e2xln2e2

x

e2

e211

e2 e221 x2210x

xdx

202

201x2 1

10820110

dx8

二、計算下列定積分： 1、解：1

sin(lne1e1

dx 2、e

ln

dxee

x)dx

x

x)

esin1

x

x)

ee

x)dx

ee(sin1cos1)1e2 2、

dx

exlnxe

dx

xlnx

dxe1 e1e

(e1)

(1e1)

2(1e1)二、計算下列定積分3、J(m

x

xdx（m解：3 J(m)xsinmxdx sinmxdx2

2 135(m

J(m)

24

,m為偶數(shù) 246(m1)

m1為奇數(shù) 135m二、計算下列定積分4、0

xcos(n1xdx（n為自然數(shù)解：4

nsin

xcosxcos(nx)nsinnx

xsinn1

xcos(n1)

n0sinnx n00三、已

f(x)

x,求0

f(

f(x)dx.解：

(x)

(x)dx

(

(x))

f(x)

(x)dx0f(x)

2

xsec24f(x)f(x)dx4f(x)f(x)dx

f (f(0))2) f (f(0))2) 四、

fx)在

0

連續(xù)

f(0)2

f

1證明：0

f(x)

f(

xdx3.證 因

(x)sin

(x)cosx

f(x)cos0f()0

f(0)

f(x)cos

(x)sin

xdx

f

f(x)cosxx

f(x)cos所 0

(x)

f

xdx

f(0)

f()廣義積分練習題2解02 12、用收斂三、證明（其中n為自然數(shù)(2n)

22n1(n)(n

1).2 x2

1 x2

解 因為

lim

1

收斂x2

x4

x21 x2

1解：因為

x21(x21)2

(x2x1)(x2x1)2 1 2x4x21 2x2x1 x2x1但是

發(fā)散312 x2312

x1

1(2x

1

x2

x1

2x1x2x1

x2