量子力學(xué)課件

上節(jié)課復(fù)本征方程、本本征方程、本征函數(shù)、本征厄密算動量算符的厄密動量本征方dx*?xdx(?x)yAoxzL

px

2nx;p

L

;

Lny,ny

,

p

（二）（二）（（1）角動量算符的形

p，相對點O的位置矢量為r的粒子繞O Lr

量子力學(xué)角動量算符為?量子力學(xué)角動量算符為

2xxzyi(yzyxzi(zxzyxi(xyLirxiyjrxy z

)zx )zx(y?z

(z?

?

(?

)2y2(yy

zy

(z

xz

(x

y

)2(I)(I)由于角動量平方算符中含有關(guān)于x，y，z偏導(dǎo)數(shù)的交叉項，所直角坐標(biāo)下角動量平方算符的本征方程不能分離變量解，為此我們采用球坐標(biāo)較為方便 處理角動量問題的思 直角坐標(biāo)系變換為球坐標(biāo)

球坐標(biāo)?Y(,)2Y(?Y(,)2Y(,?zY共同本征函分離變

Y(,

分別求

由波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件確定波函由歸一化條件確定系4 y

(II)球坐直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)之間的變換關(guān)球坐r=r(x,y,x=x(r,,對于任意函數(shù)f(r)，其中rxyz的函數(shù)，

xrxrsinyrsinsinrzrosz/x2y2ztany/

x2,x3

x,y,5分

x開

r

r

寫y r

為

z

r

x

rsin

cos

r

x

y

z

yzz

rsinrcos

sin

z/y/

將（1）式兩邊將（1）式兩邊分別對xyz求偏導(dǎo)數(shù)得：

sin

cos

r

sin

sin

r

cos6x

rsin

cos

r

sin

cos

r

sin

sin

r

cosyrsin

sin zr coszrr

x

y

z

分別xyz求rcos

偏導(dǎo)數(shù)得x tanx

r

rsin

同x同

1cosr1

cossin

rsin

可y

cosr

sin

1r

得z得

r

sin7x

rsin

cos

r

x

y

z

yrsin

sin

cosz/

zxr coszxr

tan

分別xyz

理x理

r

sinsin偏導(dǎo)數(shù)得

y z

1cosrsintan

cos2

x

tan

cos2

rsin

sin

cos2

1sinrsin8代入直角坐標(biāo)系的xrsincos；yrsinsin

rcos sincos 1coscos

1sin x

sin

sin

sin

1cos

sin

1cos y

sinz

cos

1sin xxi(yzLyi(zxxzzi(xyx

i[sin

i

9x

sin

cos

rsin

rcos

sin

cos

1cos

cos

1sin

sin

sin

sin

1cos

sin

1cos

sin?2?2?2x?2y2(?2z (z2 (2)2zi1(sin)12]

cos

1sin sin

sin2

（2）本征方(ILz?()id(ILz

il解()ce解I、角動量為可觀測量，要求本征值lz為實數(shù)II、波函數(shù)單值條件，要求當(dāng)2角回到原

ce

lz

i

(2即eilz即e

]

] 于是

m0,

m0,il

本征函

ce

ceim

2eimeind0

(nm)20得

|2

c21

d

im

1c ceceilz

2

最后得最后得 的本征函數(shù)和本征值lz

m1

m

eim m() e按?z厄密性要求

*?z

(?z)*其中

和是粒子的任意兩個態(tài)。*

zd

*(i

|0i*|0i

|2|20?0(L)*z*?

厄厄|00i*|00*(2

)(2)

*(0)(0)(2）*(0) *(2

(2)

(0)由i

lz

可知， lz 本征值，（）常數(shù)(II)L2

L2,)

2Y(

無量

球諧函數(shù)方

sin

(sin

)

sin2

2

2Y(或[sin

(sin

)

1sin2

2

Y(

2[ sin 2

(sin

)

?

2]

(sin ) sin sin2,)2Y(,?其中

對于

(sin

)

Y(,

通過分離變量，可以L2和Lz的共同本征令：Y(,

求解方

)

Y(,

代入上面方2

(sin

) ]()()

2()(2

?

)()() ()()

2()(sin

2

(

()(

)()

m2

(

1

(sin

)

m

令：

1sin

)

m2sin2

m2 (1

)

1

2

2

m2

12連帶Legendre方或參考曾謹(jǐn)言m

時12

2 Legendre方程，設(shè)Taylor級數(shù)kk

代入，得到遞推k kk1k2 k1k

從第l項截斷，變?yōu)槎囗?/p>

Legendre方程的解Legendre多項2l2

或l－1

2l2r

l2r

r

2lr!lr

2r連帶Legendre方程的解：連帶Legendre多項2pm 122

dl

1l;m

dlm?Y(,)2Y(,方程的解就是球函數(shù)Ylm(,)，其表達(dá)式 (,

(1)m

Pm(cos)eimlm

mm1eim

Lz的本征函ll

Y (,

歸一化系數(shù)，由歸一化條件確

Y*(,

(,)

dd N

lm(l(l|m|)!(2l1)4(l|m|)!由于量子數(shù)由于量子數(shù)?表征了角動量的大小，所以稱為角量子數(shù)；m稱為磁量子數(shù)。 Y

(,

(,)

dd lm

ll

或參考曾謹(jǐn)言【量子力學(xué)】上冊(III)(III)根據(jù)球函數(shù)定義Ylm

,

Nlm

m

)eimPlPl (,)(1)mY lm lmm可可知，對應(yīng)一l值，m取值0±1±2±3,(2l+1)個值。因此當(dāng)l確定后，尚有(2l+1)個磁量子狀態(tài)不確定。換言之，對應(yīng)一個l值有(2l+1)個量子狀態(tài)，這種現(xiàn)象稱為簡并，其簡(2l+1)度。xx i ,x,y,[?x

?y]

證 [?x?yy?zz?z?x?z[y?z,z?xx?z]

y,z?

x?z[?z,z?x][?z

x?z][

y,z?x][z?y

x?z[?z,z?x][z?y,x?zy[?z,z?x][y,z?x]?zz[?y

x?z

x?z??zz?x?z?yz[?z,?x]y[?z,z]?

?z]?

[z,

?

?y(i)?xx(i)?i[x?y?x [?y?z?x合記合記之i稱為Levi符號其意義如下：123其中，，或x,y,xx

?2

?

?2 x?2 x

?2

?

?2

zyxyxz?y?x?y?z?zzyxyxz可證?2y0 ?z?y?y可證?2y0 [?x?y[?x?y?y?x?x?y?y?x?x?y?20x[?zx

,?

]

?

?

?

?

?

?

?z 量子論的發(fā)展幾乎就是年輕人的天下1925年，海森堡做出矩陣力學(xué)的時候，他剛剛24歲愛因斯坦1905年提出光量子假說的時候，也才26歲玻爾1913年提出他的原子結(jié)構(gòu)的時候，28歲德布羅意1923年提出相波的時候，31歲在歷史上閃閃發(fā)光的量子論的主要人物成名時 泡利25歲，狄拉克23歲，烏侖貝克25歲，古德施密特23歲約爾當(dāng)23歲薛定諤36歲，波恩43歲。波恩在哥廷根的理論班，叫做“波 ” 古德斯密特（Goudsmit,SamuelAbraham)荷蘭- 卒于內(nèi)華達(dá)。古德斯密特的專 的自旋。和烏倫貝克一樣，他也在1927年來到 期