第3章-分析力學(xué)基礎(chǔ)-機械動力學(xué)課件

第三章

分析力學(xué)基礎(chǔ)第三章

分析力學(xué)基礎(chǔ)§3－1自由度和廣義坐標(biāo)

在完整約束的條件下，確定質(zhì)點系位置的獨立參數(shù)的數(shù)目等于系統(tǒng)的自由度數(shù)。質(zhì)點M被限定只能在球面（3－1）的上半部分運動，由此解出：（3－2）這樣該質(zhì)點在空間中的位置就由x,y這兩個獨立參數(shù)所確定，它的自由度數(shù)為2。一般來講，一個n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，若受到s個完整約束作用，則其在空間中的3n個坐標(biāo)不是彼此獨立的。例如:§3－1自由度和廣義坐標(biāo)在完整約束的條件由這些約束方程，可將其中s個坐標(biāo)表示成其余3n-s個坐標(biāo)的函數(shù)，這樣該質(zhì)點系在空間中的位置，就可以用N=3n-s個獨立參數(shù)完全確定下來。

描述質(zhì)點系在空間中的位置的獨立參數(shù)，稱為廣義坐標(biāo)。對于完整系統(tǒng)，廣義坐標(biāo)的數(shù)目等于系統(tǒng)的自由度數(shù)考慮由n個質(zhì)點組成的系統(tǒng)受s個完整雙側(cè)約束，（3－3）設(shè)為系統(tǒng)的一組廣義坐標(biāo)可以將各質(zhì)點的坐標(biāo)表示為：（3－4）由虛位移的定義，對上式進行變分運算，得到（3－5）其中為廣義坐標(biāo)的變分，稱為廣義虛位移。由這些約束方程，可將其中s個坐標(biāo)表示成其余3n-§3－2以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點系平衡條件

設(shè)作用在第i個質(zhì)點上的主動力的合力，在三個坐標(biāo)軸上的投影分別為，將式（3-5）代入虛功方程，得到（3-6）如令（3-7）§3－2以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點系平衡條件設(shè)作用在第i個質(zhì)則式（3－6）可以寫成（3-8）上式中具有功的量綱，所以稱為與廣義坐標(biāo)相對應(yīng)的廣義力。由于廣義坐標(biāo)的獨立性，可以任一取值，因此若式（3－8）成立，必須有（3-9）上式說明：質(zhì)點系的平衡條件是系統(tǒng)所有的廣義力都等于零。這就是用廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點系的平衡條件則式（3－6）可以寫成（3-8）上式中求廣義力的方法有兩種：一種方法是直接從定義式（3－7）出發(fā)進行計算。另一種是利用廣義虛位移的任意性，令某一個不等于零，而其他N-1個廣義虛位移都等于零，代入從而（3－10）在解決實際問題時，往往采用第二種方法比較方便求廣義力的方法有兩種：一種方法是直接從定義式（3－7）出發(fā)進例3-1：桿OA和AB以鉸鏈相連，O端懸掛于圓柱鉸鏈上，如圖所示，桿長OA=aAB=b，桿重和鉸鏈的摩擦都忽略不計，今在點A和B分別作用向下的鉛錘力和，又在點B作用一水平力。試求：平衡時與，，之間的關(guān)系例3-1：桿OA和AB以鉸鏈相連，O端懸掛于圓柱鉸鏈上，解：系統(tǒng)有兩個自由度，現(xiàn)選擇和為系統(tǒng)的兩個廣義坐標(biāo)，計算其對應(yīng)的廣義力和，用第一種方法計算：（a）由于（b）解：系統(tǒng)有兩個自由度，現(xiàn)選擇和為系統(tǒng)的兩故代入式（a），系統(tǒng)平衡時應(yīng)有（c）解出（d）故代入式（a），系統(tǒng)平衡時應(yīng)有（c）解出（d）用第二種方法計算：保持不變，只有時，如圖所示，由式（b）的變分（e）則對應(yīng)于的廣義力為，可得一組虛位移用第二種方法計算：保持不變，只有時，如圖將式（e）代入上式，得保持不變，只有時，如圖所示，由式（b）的變分，可得另一組虛位移代入對應(yīng)于的廣義力表達式，得將式（e）代入上式，得保持不變，只有時試求：平衡時重物C的重量以及重物A與水平面間的靜滑動摩擦因數(shù)。例3-2：如圖所示，重物A和B分別連接在細繩兩端，重物A放置在粗糙的水平面上，重物B繞過定滑輪E鉛直懸掛，在動滑輪H的軸心上掛一重物C，設(shè)重物A重量為，重物

B重量為，不計動滑輪H的重量。試求：平衡時重物C的重量以及重物A與水平面間的靜滑動摩擦因數(shù)解：系統(tǒng)具有兩個自由度，選取重物A向右的水平坐標(biāo)和重物B向下的鉛直坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)，則對應(yīng)的虛位移為和。此時除重力外，重物A與臺面間的摩擦力也應(yīng)視為主動力首先令向右，此時重物C的虛位移，方向向下。主動力所做虛功的和為：對應(yīng)廣義坐標(biāo)的廣義力為：（a）解：系統(tǒng)具有兩個自由度，選取重物A向右的水平坐再令向下，同理可解得：（b）因為系統(tǒng)平衡時應(yīng)有，解得：因此平衡時，要求物塊與臺面間靜摩擦因數(shù)如果作用在質(zhì)點系上的主動力都是有勢力，則勢能應(yīng)為各點坐標(biāo)的函數(shù)，記為（3－11）再令向下，同理可解此時虛功方程（3－6）中各力的投影，都可以寫成用勢能V表達的形式，即：于是有這樣，虛位移原理的表達式成為（3－12）上式說明：

在勢力場中，具有理想約束的質(zhì)點系的平衡條件為質(zhì)點系的勢能在平衡位置處一階變分為零。此時虛功方程（3－6）中各力的投影，都可以寫成用勢能V表達的如果用廣義坐標(biāo)表示質(zhì)點系的位置，則質(zhì)點系的勢能可以寫成廣義坐標(biāo)的函數(shù)，即根據(jù)廣義力的表達式（3－7）在勢力場中可將廣義力寫成用勢能表達的形式（3－13）如果用廣義坐標(biāo)這樣，由廣義坐標(biāo)表示的平衡條件可寫成如下形式（3－14）即：在勢力場中具有理想約束的質(zhì)點系的平衡條件是勢能對于每個廣義坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)分別等于零。在穩(wěn)定平衡的平衡位置處，系統(tǒng)勢能具有極小值在不平衡位置上，系統(tǒng)勢能具有極大值對于隨遇平衡，系統(tǒng)在某位置附近其勢能是不變的，所以其附近任何可能位置都是平衡位置。穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡這樣，由廣義坐標(biāo)表示的平衡條件可寫成如下形式（3－14）即：對于一個自由度系統(tǒng)，系統(tǒng)具有一個廣義坐標(biāo)q因此系統(tǒng)勢能可以表示為q的一元函數(shù)，即當(dāng)系統(tǒng)平衡時，根據(jù)式（3－14），在平衡位置處有

如果系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，則在平衡位置處。系統(tǒng)勢能具有極小值，即系統(tǒng)勢能對廣義坐標(biāo)的二階導(dǎo)數(shù)大于零。上式是一個自由度系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性判據(jù)。對于多自由度系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性判據(jù)可參考其他書籍。對于一個自由度系統(tǒng)，系統(tǒng)具有一個廣義坐標(biāo)q因此系統(tǒng)勢能可以表例3-3：如圖所示一倒置的擺，擺錘重量為，擺桿長度為l，在擺桿上的點A連有一剛度為k的水平彈簧，擺在鉛直位置時彈簧未變形，設(shè)OA=a，擺桿重量不計。試確定：擺桿的平衡位置及穩(wěn)定平衡時所應(yīng)滿足的條件。例3-3：如圖所示一倒置的擺，擺錘重量為，擺桿長度解：該系統(tǒng)是一個自由度系統(tǒng)，選擇擺角為廣義坐標(biāo)，擺的鉛直位置為擺錘重力勢能和彈簧彈性勢能的零點。則對任一擺角系統(tǒng)的總勢能等于擺錘的重力勢能和彈簧的彈性勢能之和。當(dāng)時有由上述勢能表達式可以寫成將勢能V對求一階導(dǎo)數(shù)有解：該系統(tǒng)是一個自由度系統(tǒng)，選擇擺角為廣義坐標(biāo)，擺的由得到系統(tǒng)的平衡位置為為判別系統(tǒng)是否處于穩(wěn)定平衡，將勢能對求二階導(dǎo)數(shù)，得對于穩(wěn)定平衡，要求即或由得到系統(tǒng)的平衡位置為為判別系統(tǒng)是否處于穩(wěn)定平衡，將勢能對

設(shè)有一質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，質(zhì)點系中第i個質(zhì)點質(zhì)量為mi，作用在該質(zhì)點上的主動力的合力為Fi，約束反力的合力為FNi.

如果假想地加上該質(zhì)點的慣性力FIi=-miai，由達朗貝爾原理，F(xiàn)i、Fni、FIi構(gòu)成平衡力系。整個質(zhì)點系應(yīng)組成平衡力系，質(zhì)點系具有理想約束.

應(yīng)用虛位移原理，得到：§3-3動力學(xué)普遍方程×

設(shè)有一質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，質(zhì)點系中第i個質(zhì)

在理想約束的條件下，質(zhì)點系的各個質(zhì)點在任一瞬時所受的主動力和慣性力在虛位移上所作的虛功和等于零。稱為動力學(xué)普遍方程。

得到：×在理想約束的條件下，質(zhì)點系的各個質(zhì)點在任一瞬例3-4:如圖所示滑輪系統(tǒng)中，動滑輪上懸掛著質(zhì)量為的重物，繩子繞過定滑輪后懸掛著質(zhì)量為的重物，設(shè)滑輪和繩子的重量以及輪軸摩擦都忽略不計。求:質(zhì)量為的物體下降的加速度例3-4:如圖所示滑輪系統(tǒng)中，動滑輪上懸掛著質(zhì)量為解：取整個滑輪系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)具有理想約束。系統(tǒng)所受的主動力為和，慣性力為給系統(tǒng)以虛位移和，由動力學(xué)普遍方程得這是一個單自由度系統(tǒng)，所以和中只有一個是獨立的由定滑輪和動滑輪的傳動關(guān)系，有代入前式，有消去得解：取整個滑輪系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)具有理想約束。系統(tǒng)所受的主例3-5：如圖所示兩相同均質(zhì)圓輪半徑皆為R，質(zhì)量皆為m，輪I可繞軸O轉(zhuǎn)動，輪II繞有細繩并跨于輪I上，當(dāng)細繩直線部分為鉛垂時，求輪II中心C的加速度。例3-5：如圖所示兩相同均質(zhì)圓輪半徑皆為R，質(zhì)量皆為m，解：研究整個系統(tǒng)，設(shè)I,II的角加速度分別為，輪II質(zhì)心C的加速度為a，則系統(tǒng)的慣性力系為此系統(tǒng)具有兩個自由度，取輪I、II的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)令，則點C下降。根據(jù)動力學(xué)普遍方程或o解：研究整個系統(tǒng)，設(shè)I,II的角加速度分別為再令，則，代入動力學(xué)普遍方程（a）或（b）考慮到運動學(xué)關(guān)系（c）聯(lián)立式（a）（b）（c）解出再令§3-4第一類拉格朗日方程引入符號（3-16）對式（3-3）兩邊取變分（3-17）引用拉格朗日乘子將（3-17）式兩端乘以并對k求和（3-18）§3-4第一類拉格朗日方程引入符號（3-16）對式（3-將（3-15）式與（3-18）式相減，得在3n個質(zhì)點坐標(biāo)中，獨立坐標(biāo)有3n-s個，對于s個不獨立的坐標(biāo)變分,可以選取適當(dāng)?shù)?，使得變分前的系?shù)為零而此時獨立坐標(biāo)變分前的系數(shù)也應(yīng)等于零，從而有（3-19）這就是帶拉格朗日乘子的質(zhì)點系動力學(xué)方程。又稱為第一類拉格朗日方程（3－15）將（3-15）式與（3-18）式相減，得在3n個質(zhì)點坐標(biāo)中，若將（3-19）式與質(zhì)點系統(tǒng)的達朗貝爾原理相對比，可以看出:對應(yīng)于s個約束作用于含拉格朗日乘子項系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點上的約束力。方程中共有3n+s個未知量，故須與方程（3-3）聯(lián)立求解。若將（3-19）式與質(zhì)點系統(tǒng)的達朗貝爾原理相對比，可以對應(yīng)于例3-6如圖所示的運動系統(tǒng)中，可沿光滑水平面移動的重物M1的質(zhì)量為m1；可在鉛直面內(nèi)擺動的擺錘M2的質(zhì)量為m2。兩個物體用無重桿連接，桿長為l。求此系統(tǒng)的運動微分方程。解：1）取整個系統(tǒng)為研究對象。選取坐標(biāo)軸如圖所示，則M1和M2的坐標(biāo)各為x1、y1和x2

、y2。2）運動分析：系統(tǒng)受到水平面和剛性桿的約束，有2個約束方程?！晾?-6如圖所示的運動系統(tǒng)中，可沿光滑水平面移動的重物M1××約束方程微分，消去×約束方程微分，消去×得到系統(tǒng)的運動微分方程而與矢量力學(xué)的運動學(xué)方程相對照，可知是光滑接觸面的約束力，是二力桿的內(nèi)力。得到系統(tǒng)的運動微分方程而與矢量力學(xué)的運動學(xué)方程相對照，可知當(dāng)系統(tǒng)各質(zhì)點的虛位移不獨立時，要找到虛位移之間的關(guān)系不方便。動力學(xué)普遍方程用獨立的廣義坐標(biāo)表示，可推導(dǎo)出第二類拉格朗日方程，這種方法便于求解非自由質(zhì)點系的動力學(xué)問題。設(shè)一質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，系統(tǒng)具有s個完整理想約束，具有N=3n-s個自由度。用q1、q2、…qn表示系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。設(shè)系統(tǒng)中第i個質(zhì)點的質(zhì)量為m1，矢徑為ri，矢徑ri可表示為廣義坐標(biāo)和時間的函數(shù)：§3-5第二類拉格朗日方程×當(dāng)系統(tǒng)各質(zhì)點的虛位移不獨立時，要找到虛位移之間的關(guān)由質(zhì)點系普遍方程：

上式第一項又可以表示為：

注意：這里不是研究平衡問題，所以Qk不一定為零。×由質(zhì)點系普遍方程：上式第一項又可以表示為：注意：這里不是

代入上式第二項得:×代入上式第二項得:×對于完整約束的系統(tǒng)，其廣義坐標(biāo)是相互獨立的。所以廣義坐標(biāo)的變分是任意的，為使上式成立，必須有：

這是具有N個方程的方程組，其中第二項與廣義力對應(yīng)，稱為廣義慣性力。表明廣義力與廣義慣性力相平衡，是達朗伯原理的廣義坐標(biāo)表示。 對廣義力做如下變換×對于完整約束的系統(tǒng)，其廣義坐標(biāo)是相互獨立的。1.證明：

進一步簡化，先證明兩個等式對時間求導(dǎo)數(shù)

其中

是廣義坐標(biāo)和時間的函數(shù)，而不是廣義速度的函數(shù)。再對求偏導(dǎo)數(shù)：得證在完整約束下×1.證明：進一步簡化，先證明兩個等式對時間求導(dǎo)數(shù)其中是對某qj求偏導(dǎo)數(shù)

將

對時間求導(dǎo)數(shù)得：2.證明：由此得證

×對某qj求偏導(dǎo)數(shù)將對時間求導(dǎo)數(shù)得：2.證明：由此得證××其中

為質(zhì)點系的動能該方程組中方程式的數(shù)目等于質(zhì)點系的自由度數(shù)，每一個方程都是二階常微分方程。得

上式稱為拉格朗日方程×其中為質(zhì)點系的動能該方程組中方程式的數(shù)目等于質(zhì)點系的自由度于是拉格朗日方程可寫成上式就是保守系統(tǒng)的拉格朗日方程。 記L=T-V，L稱為拉格朗日函數(shù)或動勢。如果作用在質(zhì)點系上的主動力都是有勢力，則廣義力Qk可寫成×于是拉格朗日方程可寫成上式就是保守系統(tǒng)的拉格朗日方程。如果作拉格朗日方程用動勢L=T-V表示

拉格朗日方程是解決具有完整約束的質(zhì)點系動力學(xué)問題的普遍方程，是分析力學(xué)中重要的方程。

拉格朗日方程的表達式非常簡潔，應(yīng)用時只需計算系統(tǒng)的動能和廣義力；對于保守系統(tǒng)，只需計算系統(tǒng)的動能和勢能。因為勢能是坐標(biāo)的函數(shù)×拉格朗日方程用動勢L=T-V表示拉格朗日例3-7：如圖所示的系統(tǒng)中，輪A沿水平面純滾動，輪心以水平彈簧聯(lián)于墻上，質(zhì)量為的物塊C以細繩跨過定滑輪B聯(lián)于點A，A，B兩輪皆為均質(zhì)圓盤，半徑為R，質(zhì)量為，彈簧剛度為k質(zhì)量不計，當(dāng)彈簧較軟，在細繩能始終保持張緊的條件下求此系統(tǒng)的運動微分方程例3-7：如圖所示的系統(tǒng)中，輪A沿水平面純滾動，輪心以水平解：此系統(tǒng)具有一個自由度，以物塊平衡位置為原點取x為廣義坐標(biāo)如圖，以平衡位置為重力零勢能點，取彈簧原長處為彈性力零勢能點，系統(tǒng)在任意位置x處的勢能為其中為平衡位置處彈簧的伸長量。由運動學(xué)關(guān)系式，當(dāng)物塊速度為時，輪B角速度為，輪A質(zhì)心速度為，角速度亦為，此系統(tǒng)的動能為解：此系統(tǒng)具有一個自由度，以物塊平衡位置為原點取x為廣義坐標(biāo)系統(tǒng)的動勢為代入拉格朗日方程得注意到則系統(tǒng)的運動微分方程為系統(tǒng)的動勢為代入拉格朗日方程得注意到則系統(tǒng)的運動微分方程為例3-8：仍以例3－6為例如圖所示的運動系統(tǒng)中，可沿光滑水平面移動兩個物體用無重桿連接，桿長為l。試建立此系統(tǒng)的運動微分方程重物的質(zhì)量為，擺錘的質(zhì)量為，該問題也可以用第二類拉格朗日方程來求解例3-8：仍以例3－6為例如圖所示的運動系統(tǒng)中，可沿光滑水解：選和為廣義坐標(biāo)，則有（a）將式（a）兩端對時間求導(dǎo)數(shù)，得（b）系統(tǒng)的動能選質(zhì)點在最低處時的位置為系統(tǒng)的零勢能位置，則系統(tǒng)的勢能為解：選和為廣義坐標(biāo)，則有（a）將式（a）由此得由此得把以上結(jié)果代入拉格朗日方程中，得如果質(zhì)點擺動很小，可以近似地認為。且可以忽略含和的高階小量，上式可改寫為（c）（d）從以上兩式中消去，得到（e）這是自由振動的微分方程，其解為（f）把以上結(jié)果代入拉格朗日方程中，得如果質(zhì)點擺動很小固有角頻率為擺動周期（g）如果則質(zhì)點的位移將很小，質(zhì)點的擺動周期將趨于普通單擺的周期若將式（e）代入（d）得到（h）固有角頻率為擺動周期（g）如果則質(zhì)點的位移將式（f）代入，可見質(zhì)點沿x方向也作自由振動可以將例3－6的結(jié)果與例3－8進行對比，將（a）（b）兩式代入例3－6中式（g）的第4式，當(dāng)擺動很小時，且可以忽略含和的高階小量得到代入例3－6中式（g）的第3式并注意得到（k）由本例中的式（a）代入式（k）得到與式（h）同樣的結(jié)果將式（f）代入，可見質(zhì)點沿x方向也作自由振動可以將§3-6拉格朗日方程的初積分對于保守系統(tǒng)，在一定條件下，可以直接給出初積分的一般形式。1.能量積分若系統(tǒng)所受到的約束均為定常約束，則式（3－4）中不顯含時間t，從而（3－27）§3-6拉格朗日方程的初積分對于保守系統(tǒng)，在一定條件下，為關(guān)于的二次齊次函數(shù)，其中是廣義坐標(biāo)的函數(shù)，稱為廣義質(zhì)量，容易證明（3－28）上式也稱為關(guān)于齊次函數(shù)的歐拉定理，注意勢能V不含項，從而為關(guān)于的二次齊次函數(shù)，其中是廣義坐標(biāo)的函數(shù)，稱為廣義將式（3－26b）對k求和（3－29）積分上式，有2T-L=T+V=常數(shù)（3－30）這就是保守系統(tǒng)的機械能守恒定律。也稱為保守系統(tǒng)中拉格朗日方程的能量積分。將式（3－26b）對k求和（3－29）積分上式，有2T-L=2.循環(huán)積分如果拉格朗日函數(shù)L中不顯含某廣義坐標(biāo)，則稱該坐標(biāo)為循環(huán)坐標(biāo).此時從而有常數(shù)（3－31）上式稱為拉格朗日方程的循環(huán)積分。如果引入廣義動量則有常數(shù)（3－31a）式（3－31a）也稱為廣義動量守恒2.循環(huán)積分如果拉格朗日函數(shù)L中不顯含某廣義坐標(biāo)例3-9：圖表示一個均質(zhì)圓柱體，可繞其垂直中心軸自由轉(zhuǎn)動，圓柱表面上刻有一傾角為θ的螺旋槽，今在槽中放一小球M，自靜止開始沿槽下滑，同時使圓柱體繞軸線轉(zhuǎn)動，設(shè)小球質(zhì)量為，圓柱體的質(zhì)量為，半徑為R，不計摩擦。求：當(dāng)小球下降的高度為h時，小球相對于圓柱體的速度以及圓柱體的角速度。例3-9：圖表示一個均質(zhì)圓柱體，可繞其垂直中心軸自由轉(zhuǎn)動，解：小球與圓柱體組成的系統(tǒng)是具有兩個自由度的系統(tǒng)，并具有穩(wěn)定、完整、理想約束，因為系統(tǒng)所受的主動力是重力，所以是保守系統(tǒng)。取圓柱體的轉(zhuǎn)角，和沿螺旋槽方向的弧坐標(biāo)s為廣義坐標(biāo)。取小球為動點，圓柱體為動系，利用點的速度合成公式，則小球的動能為圓柱體的動能為解：小球與圓柱體組成的系統(tǒng)是具有兩個自由度的系統(tǒng)，并具有穩(wěn)定系統(tǒng)的動能為可見此時動能T是廣義速度和的二次齊次函數(shù)。若選擇小球起點為零勢能點。則系統(tǒng)勢能V可表示為系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為：由于L中不顯含時間t和廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)有能量積分和循環(huán)積分，于是我們有兩個一次積分式系統(tǒng)的動能為可見此時動能T是廣義速度和的二次齊將動能和勢能表達式代入上式得（a）（b）將初始條件t=0時，代入上式得，由此，從式（a）中解得（c）代入式（b），并令，得將動能和勢能表達式代入上式得（a）（b）將初始條件t=0時，由此得小球相對于圓柱體的速度為（d）再由式（c）得圓柱體轉(zhuǎn)動的角速度為由此得小球相對于圓柱體的速度為（d）再由式（c）得圓柱體轉(zhuǎn)動第三章

分析力學(xué)基礎(chǔ)第三章

分析力學(xué)基礎(chǔ)§3－1自由度和廣義坐標(biāo)

在完整約束的條件下，確定質(zhì)點系位置的獨立參數(shù)的數(shù)目等于系統(tǒng)的自由度數(shù)。質(zhì)點M被限定只能在球面（3－1）的上半部分運動，由此解出：（3－2）這樣該質(zhì)點在空間中的位置就由x,y這兩個獨立參數(shù)所確定，它的自由度數(shù)為2。一般來講，一個n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，若受到s個完整約束作用，則其在空間中的3n個坐標(biāo)不是彼此獨立的。例如:§3－1自由度和廣義坐標(biāo)在完整約束的條件由這些約束方程，可將其中s個坐標(biāo)表示成其余3n-s個坐標(biāo)的函數(shù)，這樣該質(zhì)點系在空間中的位置，就可以用N=3n-s個獨立參數(shù)完全確定下來。

描述質(zhì)點系在空間中的位置的獨立參數(shù)，稱為廣義坐標(biāo)。對于完整系統(tǒng)，廣義坐標(biāo)的數(shù)目等于系統(tǒng)的自由度數(shù)考慮由n個質(zhì)點組成的系統(tǒng)受s個完整雙側(cè)約束，（3－3）設(shè)為系統(tǒng)的一組廣義坐標(biāo)可以將各質(zhì)點的坐標(biāo)表示為：（3－4）由虛位移的定義，對上式進行變分運算，得到（3－5）其中為廣義坐標(biāo)的變分，稱為廣義虛位移。由這些約束方程，可將其中s個坐標(biāo)表示成其余3n-§3－2以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點系平衡條件

設(shè)作用在第i個質(zhì)點上的主動力的合力，在三個坐標(biāo)軸上的投影分別為，將式（3-5）代入虛功方程，得到（3-6）如令（3-7）§3－2以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點系平衡條件設(shè)作用在第i個質(zhì)則式（3－6）可以寫成（3-8）上式中具有功的量綱，所以稱為與廣義坐標(biāo)相對應(yīng)的廣義力。由于廣義坐標(biāo)的獨立性，可以任一取值，因此若式（3－8）成立，必須有（3-9）上式說明：質(zhì)點系的平衡條件是系統(tǒng)所有的廣義力都等于零。這就是用廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點系的平衡條件則式（3－6）可以寫成（3-8）上式中求廣義力的方法有兩種：一種方法是直接從定義式（3－7）出發(fā)進行計算。另一種是利用廣義虛位移的任意性，令某一個不等于零，而其他N-1個廣義虛位移都等于零，代入從而（3－10）在解決實際問題時，往往采用第二種方法比較方便求廣義力的方法有兩種：一種方法是直接從定義式（3－7）出發(fā)進例3-1：桿OA和AB以鉸鏈相連，O端懸掛于圓柱鉸鏈上，如圖所示，桿長OA=aAB=b，桿重和鉸鏈的摩擦都忽略不計，今在點A和B分別作用向下的鉛錘力和，又在點B作用一水平力。試求：平衡時與，，之間的關(guān)系例3-1：桿OA和AB以鉸鏈相連，O端懸掛于圓柱鉸鏈上，解：系統(tǒng)有兩個自由度，現(xiàn)選擇和為系統(tǒng)的兩個廣義坐標(biāo)，計算其對應(yīng)的廣義力和，用第一種方法計算：（a）由于（b）解：系統(tǒng)有兩個自由度，現(xiàn)選擇和為系統(tǒng)的兩故代入式（a），系統(tǒng)平衡時應(yīng)有（c）解出（d）故代入式（a），系統(tǒng)平衡時應(yīng)有（c）解出（d）用第二種方法計算：保持不變，只有時，如圖所示，由式（b）的變分（e）則對應(yīng)于的廣義力為，可得一組虛位移用第二種方法計算：保持不變，只有時，如圖將式（e）代入上式，得保持不變，只有時，如圖所示，由式（b）的變分，可得另一組虛位移代入對應(yīng)于的廣義力表達式，得將式（e）代入上式，得保持不變，只有時試求：平衡時重物C的重量以及重物A與水平面間的靜滑動摩擦因數(shù)。例3-2：如圖所示，重物A和B分別連接在細繩兩端，重物A放置在粗糙的水平面上，重物B繞過定滑輪E鉛直懸掛，在動滑輪H的軸心上掛一重物C，設(shè)重物A重量為，重物

B重量為，不計動滑輪H的重量。試求：平衡時重物C的重量以及重物A與水平面間的靜滑動摩擦因數(shù)解：系統(tǒng)具有兩個自由度，選取重物A向右的水平坐標(biāo)和重物B向下的鉛直坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)，則對應(yīng)的虛位移為和。此時除重力外，重物A與臺面間的摩擦力也應(yīng)視為主動力首先令向右，此時重物C的虛位移，方向向下。主動力所做虛功的和為：對應(yīng)廣義坐標(biāo)的廣義力為：（a）解：系統(tǒng)具有兩個自由度，選取重物A向右的水平坐再令向下，同理可解得：（b）因為系統(tǒng)平衡時應(yīng)有，解得：因此平衡時，要求物塊與臺面間靜摩擦因數(shù)如果作用在質(zhì)點系上的主動力都是有勢力，則勢能應(yīng)為各點坐標(biāo)的函數(shù)，記為（3－11）再令向下，同理可解此時虛功方程（3－6）中各力的投影，都可以寫成用勢能V表達的形式，即：于是有這樣，虛位移原理的表達式成為（3－12）上式說明：

在勢力場中，具有理想約束的質(zhì)點系的平衡條件為質(zhì)點系的勢能在平衡位置處一階變分為零。此時虛功方程（3－6）中各力的投影，都可以寫成用勢能V表達的如果用廣義坐標(biāo)表示質(zhì)點系的位置，則質(zhì)點系的勢能可以寫成廣義坐標(biāo)的函數(shù)，即根據(jù)廣義力的表達式（3－7）在勢力場中可將廣義力寫成用勢能表達的形式（3－13）如果用廣義坐標(biāo)這樣，由廣義坐標(biāo)表示的平衡條件可寫成如下形式（3－14）即：在勢力場中具有理想約束的質(zhì)點系的平衡條件是勢能對于每個廣義坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)分別等于零。在穩(wěn)定平衡的平衡位置處，系統(tǒng)勢能具有極小值在不平衡位置上，系統(tǒng)勢能具有極大值對于隨遇平衡，系統(tǒng)在某位置附近其勢能是不變的，所以其附近任何可能位置都是平衡位置。穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡這樣，由廣義坐標(biāo)表示的平衡條件可寫成如下形式（3－14）即：對于一個自由度系統(tǒng)，系統(tǒng)具有一個廣義坐標(biāo)q因此系統(tǒng)勢能可以表示為q的一元函數(shù)，即當(dāng)系統(tǒng)平衡時，根據(jù)式（3－14），在平衡位置處有

如果系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，則在平衡位置處。系統(tǒng)勢能具有極小值，即系統(tǒng)勢能對廣義坐標(biāo)的二階導(dǎo)數(shù)大于零。上式是一個自由度系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性判據(jù)。對于多自由度系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性判據(jù)可參考其他書籍。對于一個自由度系統(tǒng)，系統(tǒng)具有一個廣義坐標(biāo)q因此系統(tǒng)勢能可以表例3-3：如圖所示一倒置的擺，擺錘重量為，擺桿長度為l，在擺桿上的點A連有一剛度為k的水平彈簧，擺在鉛直位置時彈簧未變形，設(shè)OA=a，擺桿重量不計。試確定：擺桿的平衡位置及穩(wěn)定平衡時所應(yīng)滿足的條件。例3-3：如圖所示一倒置的擺，擺錘重量為，擺桿長度解：該系統(tǒng)是一個自由度系統(tǒng)，選擇擺角為廣義坐標(biāo)，擺的鉛直位置為擺錘重力勢能和彈簧彈性勢能的零點。則對任一擺角系統(tǒng)的總勢能等于擺錘的重力勢能和彈簧的彈性勢能之和。當(dāng)時有由上述勢能表達式可以寫成將勢能V對求一階導(dǎo)數(shù)有解：該系統(tǒng)是一個自由度系統(tǒng)，選擇擺角為廣義坐標(biāo)，擺的由得到系統(tǒng)的平衡位置為為判別系統(tǒng)是否處于穩(wěn)定平衡，將勢能對求二階導(dǎo)數(shù)，得對于穩(wěn)定平衡，要求即或由得到系統(tǒng)的平衡位置為為判別系統(tǒng)是否處于穩(wěn)定平衡，將勢能對

設(shè)有一質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，質(zhì)點系中第i個質(zhì)點質(zhì)量為mi，作用在該質(zhì)點上的主動力的合力為Fi，約束反力的合力為FNi.

如果假想地加上該質(zhì)點的慣性力FIi=-miai，由達朗貝爾原理，F(xiàn)i、Fni、FIi構(gòu)成平衡力系。整個質(zhì)點系應(yīng)組成平衡力系，質(zhì)點系具有理想約束.

應(yīng)用虛位移原理，得到：§3-3動力學(xué)普遍方程×

設(shè)有一質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，質(zhì)點系中第i個質(zhì)

在理想約束的條件下，質(zhì)點系的各個質(zhì)點在任一瞬時所受的主動力和慣性力在虛位移上所作的虛功和等于零。稱為動力學(xué)普遍方程。

得到：×在理想約束的條件下，質(zhì)點系的各個質(zhì)點在任一瞬例3-4:如圖所示滑輪系統(tǒng)中，動滑輪上懸掛著質(zhì)量為的重物，繩子繞過定滑輪后懸掛著質(zhì)量為的重物，設(shè)滑輪和繩子的重量以及輪軸摩擦都忽略不計。求:質(zhì)量為的物體下降的加速度例3-4:如圖所示滑輪系統(tǒng)中，動滑輪上懸掛著質(zhì)量為解：取整個滑輪系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)具有理想約束。系統(tǒng)所受的主動力為和，慣性力為給系統(tǒng)以虛位移和，由動力學(xué)普遍方程得這是一個單自由度系統(tǒng)，所以和中只有一個是獨立的由定滑輪和動滑輪的傳動關(guān)系，有代入前式，有消去得解：取整個滑輪系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)具有理想約束。系統(tǒng)所受的主例3-5：如圖所示兩相同均質(zhì)圓輪半徑皆為R，質(zhì)量皆為m，輪I可繞軸O轉(zhuǎn)動，輪II繞有細繩并跨于輪I上，當(dāng)細繩直線部分為鉛垂時，求輪II中心C的加速度。例3-5：如圖所示兩相同均質(zhì)圓輪半徑皆為R，質(zhì)量皆為m，解：研究整個系統(tǒng)，設(shè)I,II的角加速度分別為，輪II質(zhì)心C的加速度為a，則系統(tǒng)的慣性力系為此系統(tǒng)具有兩個自由度，取輪I、II的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)令，則點C下降。根據(jù)動力學(xué)普遍方程或o解：研究整個系統(tǒng)，設(shè)I,II的角加速度分別為再令，則，代入動力學(xué)普遍方程（a）或（b）考慮到運動學(xué)關(guān)系（c）聯(lián)立式（a）（b）（c）解出再令§3-4第一類拉格朗日方程引入符號（3-16）對式（3-3）兩邊取變分（3-17）引用拉格朗日乘子將（3-17）式兩端乘以并對k求和（3-18）§3-4第一類拉格朗日方程引入符號（3-16）對式（3-將（3-15）式與（3-18）式相減，得在3n個質(zhì)點坐標(biāo)中，獨立坐標(biāo)有3n-s個，對于s個不獨立的坐標(biāo)變分,可以選取適當(dāng)?shù)模沟米兎智暗南禂?shù)為零而此時獨立坐標(biāo)變分前的系數(shù)也應(yīng)等于零，從而有（3-19）這就是帶拉格朗日乘子的質(zhì)點系動力學(xué)方程。又稱為第一類拉格朗日方程（3－15）將（3-15）式與（3-18）式相減，得在3n個質(zhì)點坐標(biāo)中，若將（3-19）式與質(zhì)點系統(tǒng)的達朗貝爾原理相對比，可以看出:對應(yīng)于s個約束作用于含拉格朗日乘子項系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點上的約束力。方程中共有3n+s個未知量，故須與方程（3-3）聯(lián)立求解。若將（3-19）式與質(zhì)點系統(tǒng)的達朗貝爾原理相對比，可以對應(yīng)于例3-6如圖所示的運動系統(tǒng)中，可沿光滑水平面移動的重物M1的質(zhì)量為m1；可在鉛直面內(nèi)擺動的擺錘M2的質(zhì)量為m2。兩個物體用無重桿連接，桿長為l。求此系統(tǒng)的運動微分方程。解：1）取整個系統(tǒng)為研究對象。選取坐標(biāo)軸如圖所示，則M1和M2的坐標(biāo)各為x1、y1和x2

、y2。2）運動分析：系統(tǒng)受到水平面和剛性桿的約束，有2個約束方程?！晾?-6如圖所示的運動系統(tǒng)中，可沿光滑水平面移動的重物M1××約束方程微分，消去×約束方程微分，消去×得到系統(tǒng)的運動微分方程而與矢量力學(xué)的運動學(xué)方程相對照，可知是光滑接觸面的約束力，是二力桿的內(nèi)力。得到系統(tǒng)的運動微分方程而與矢量力學(xué)的運動學(xué)方程相對照，可知當(dāng)系統(tǒng)各質(zhì)點的虛位移不獨立時，要找到虛位移之間的關(guān)系不方便。動力學(xué)普遍方程用獨立的廣義坐標(biāo)表示，可推導(dǎo)出第二類拉格朗日方程，這種方法便于求解非自由質(zhì)點系的動力學(xué)問題。設(shè)一質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，系統(tǒng)具有s個完整理想約束，具有N=3n-s個自由度。用q1、q2、…qn表示系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。設(shè)系統(tǒng)中第i個質(zhì)點的質(zhì)量為m1，矢徑為ri，矢徑ri可表示為廣義坐標(biāo)和時間的函數(shù)：§3-5第二類拉格朗日方程×當(dāng)系統(tǒng)各質(zhì)點的虛位移不獨立時，要找到虛位移之間的關(guān)由質(zhì)點系普遍方程：

上式第一項又可以表示為：

注意：這里不是研究平衡問題，所以Qk不一定為零?！劣少|(zhì)點系普遍方程：上式第一項又可以表示為：注意：這里不是

代入上式第二項得:×代入上式第二項得:×對于完整約束的系統(tǒng)，其廣義坐標(biāo)是相互獨立的。所以廣義坐標(biāo)的變分是任意的，為使上式成立，必須有：

這是具有N個方程的方程組，其中第二項與廣義力對應(yīng)，稱為廣義慣性力。表明廣義力與廣義慣性力相平衡，是達朗伯原理的廣義坐標(biāo)表示。 對廣義力做如下變換×對于完整約束的系統(tǒng)，其廣義坐標(biāo)是相互獨立的。1.證明：

進一步簡化，先證明兩個等式對時間求導(dǎo)數(shù)

其中

是廣義坐標(biāo)和時間的函數(shù)，而不是廣義速度的函數(shù)。再對求偏導(dǎo)數(shù)：得證在完整約束下×1.證明：進一步簡化，先證明兩個等式對時間求導(dǎo)數(shù)其中是對某qj求偏導(dǎo)數(shù)

將

對時間求導(dǎo)數(shù)得：2.證明：由此得證

×對某qj求偏導(dǎo)數(shù)將對時間求導(dǎo)數(shù)得：2.證明：由此得證××其中

為質(zhì)點系的動能該方程組中方程式的數(shù)目等于質(zhì)點系的自由度數(shù)，每一個方程都是二階常微分方程。得

上式稱為拉格朗日方程×其中為質(zhì)點系的動能該方程組中方程式的數(shù)目等于質(zhì)點系的自由度于是拉格朗日方程可寫成上式就是保守系統(tǒng)的拉格朗日方程。 記L=T-V，L稱為拉格朗日函數(shù)或動勢。如果作用在質(zhì)點系上的主動力都是有勢力，則廣義力Qk可寫成×于是拉格朗日方程可寫成上式就是保守系統(tǒng)的拉格朗日方程。如果作拉格朗日方程用動勢L=T-V表示

拉格朗日方程是解決具有完整約束的質(zhì)點系動力學(xué)問題的普遍方程，是分析力學(xué)中重要的方程。

拉格朗日方程的表達式非常簡潔，應(yīng)用時只需計算系統(tǒng)的動能和廣義力；對于保守系統(tǒng)，只需計算系統(tǒng)的動能和勢能。因為勢能是坐標(biāo)的函數(shù)×拉格朗日方程用動勢L=T-V表示拉格朗日例3-7：如圖所示的系統(tǒng)中，輪A沿水平面純滾動，輪心以水平彈簧聯(lián)于墻上，質(zhì)量為的物塊C以細繩跨過定滑輪B聯(lián)于點A，A，B兩輪皆為均質(zhì)圓盤，半徑為R，質(zhì)量為，彈簧剛度為k質(zhì)量不計，當(dāng)彈簧較軟，在細繩能始終保持張緊的條件下求此系統(tǒng)的運動微分方程例3-7：如圖所示的系統(tǒng)中，輪A沿水平面純滾動，輪心以水平解：此系統(tǒng)具有一個自由度，以物塊平衡位置為原點取x為廣義坐標(biāo)如圖，以平衡位置為重力零勢能點，取彈簧原長處為彈性力零勢能點，系統(tǒng)在任意位置x處的勢能為其中為平衡位置處彈簧的伸長量。由運動學(xué)關(guān)系式，當(dāng)物塊速度為時，輪B角速度為，輪A質(zhì)心速度為，角速度亦為，此系統(tǒng)的動能為解：此系統(tǒng)具有一個自由度，以物塊平衡位置為原點取x為廣義坐標(biāo)系統(tǒng)的動勢為代入拉格朗日方程得注意到則系統(tǒng)的運動微分方程為系統(tǒng)的動勢為代入拉格朗日方程得注意到則系統(tǒng)的運動微分方程為例3-8：仍以例3－6為例如圖所示的運動系統(tǒng)中，可沿光滑水平面移動兩個物體用無重桿連接，桿長為l。試建立此系統(tǒng)的運動微分方程重物的質(zhì)量為，擺錘的質(zhì)量為，該問題也可以用第二類拉格朗日方程來求解例3-8：仍以例3－6為例如圖所示的運動系統(tǒng)中，可沿光滑水解：選和為廣義坐標(biāo)，則有（a）將式（a）兩端對時間求導(dǎo)數(shù)，得（b）系統(tǒng)的動能選質(zhì)點在最低處時的位置為系統(tǒng)的零勢能位置，則系統(tǒng)的勢能為解：選和為廣義坐標(biāo)，則有（a）將式（a）由此得由此得把以上結(jié)果代入拉格朗日方程中，得如果質(zhì)點擺動很小，可以近