數(shù)值分析-第五章插值與擬合

第五章插值與擬合本章主要內(nèi)容：

1、拉格朗日插值方法

2、牛頓插值方法

3、埃爾米特插值方法

4、曲線擬合作用：由物理量離散的分布近似得到其連續(xù)的變化規(guī)律。

實際問題中經(jīng)常要涉及到函數(shù)值的計算問題：（1）如果函數(shù)表達式本身比較復雜，且需要多次重復計算時，計算量會很大；（2）有的函數(shù)甚至沒有表達式，只是一種表格函數(shù)，而我們需要的函數(shù)值可能不在該表格中。對于這兩種情況，我們都需要尋找一個計算方便且表達簡單的函數(shù)來近似代替，這就是插值問題。

問題背景5.1插值的基本概念定義：已知定義于區(qū)間上的實值函數(shù)在個互一、問題的引出異節(jié)點處的函數(shù)值，這里構(gòu)造一個函數(shù)P(x)，滿足（5-1）作為函數(shù)y=f(x)的近似，稱這樣的問題為插值問題。滿足關系式（5-1）的P(x)為f(x)的插值函數(shù)，f(x)為被插值函數(shù)，

[a,b]為插值區(qū)間，為插值節(jié)點，（5-1）式為插值條件。插值類型代數(shù)插值：插值函數(shù)P(x)為多項式函數(shù)x0x1x2x3x4xP(x)

f(x)幾何意義：有理插值：插值函數(shù)P(x)為有理分式函數(shù)三角插值：插值函數(shù)P(x)為三角函數(shù)按照所選取的差值函數(shù)的類型，可將插值分為二、插值多項式的存在唯一性設插值多項式為代入插值條件：要證插值多項式存在唯一，只要證上述n+1元線性方程組的解存在唯一。由于系數(shù)行列式是范德蒙行列式定理5-1：滿足插值條件(5-1)的不超過n次的插值多項式是唯一存在的.因此方程組存在唯一解。從而有下述定理注：由定理知，要得到n次的插值多項式，必須給定關于函數(shù)f(x)的n+1

個條件！

定理5.2其中．

的區(qū)間[a,b]上若在包含著插值節(jié)點與有關的

次可微，則對任意,存在使得

(5-2)稱Rn(x)為插值多項式Pn(x)的余項（截斷誤差）三、插值余項證當x=xi

(i=0,1,…,n)時，Rn(xi)=f(xi)-Pn(xi)=0,而

wn+1(xi)=0,所以（5-2）式成立。則g(t)在[a,b]上n+1次可微。顯然，t

=x,x0,x1,…,xn是g(t)的n+2個互異的零點。由羅爾(Rolle)定理可知，在g(t)的每兩個零點之間至少存在一個g’(t)的零點，因此g’(t)在(a，b)內(nèi)至少有n+1個零點。反復對g’(t),

g’’(t),

…,

g(n)(t)用羅爾定理，得到g’’(t)至少有個n零點，g’’’(t)至少有個n-1零點,…,g(n+1)(t)至少有一個零點，即至少存在一點由于因而有一、線性插值(n=1)5.2拉格朗日(Lagrange)插值首先從低次的代數(shù)插值談起————給定兩個點(x0,y0)和(x1y1),且x0≠x1,構(gòu)造一次多項式L1(x)，使其滿足條件:

L1(x0)=y0,

L1(x1)=y1.由直線的兩點式可知：,解之，得進一步可改寫成:其中并稱是的插值基函數(shù)，他們具有如下性質(zhì)：注意：只與插值節(jié)點有關，而與函數(shù)值無關??！二、拋物插值(n=2)構(gòu)造，使?jié)M足：此時有三個插值節(jié)點，仿照前一情形，這里稱為二次插值基函數(shù)，只與有關，且滿足：由插值條件可求得類似的，所要尋求的多項式可以寫成如下形式由條件可知,

其中A為待定系數(shù)。又由，可得從而，同理，是的兩個根，從而下面我們以為例來確定出：三、n次拉格朗日插值多項式設x0,x1,…,xn是[a,b]上的n+1個互異點，取與節(jié)點有關，而與f無關顯然li(x)是一個n次多項式，且有稱為n次Lagrange插值基函數(shù)．(5-3)拉格朗日多項式令則Ln(x)為次數(shù)不超過n次的多項式，且滿足插值條件：稱由（5-4）確定的Ln(x)為n次拉格朗日插值多項式。(5-4)若記

插值基函數(shù)的個數(shù)=插值節(jié)點的個數(shù)；注意：

插值基函數(shù)的次數(shù)=插值節(jié)點的個數(shù)-1；

插值基函數(shù)決定著插值多項式滿足插值條件；

插值基函數(shù)與插值節(jié)點的次序無關。例如也是一個插值多項式，其中可以是任意多項式。（2）拉格朗日插值多項式結(jié)構(gòu)對稱，形式簡單.（3）誤差估計式注：（1）若不將多項式次數(shù)限制為n

，則插值多項式不唯一。（4）當插值節(jié)點增加時，拉氏基函數(shù)需要重新計算，

n

較大時，計算量非常大，故常用于理論分析。測試:

給定xi=i+1,i=0,1,2,3,4,5.下面哪個是l2(x)的圖像？

y

0

-

-

-

1

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

x

y

0

-

-

-

1

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

x

y

0

-

-

-

1

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

x

ABC，并利用計算出

的近似值

解

首先計算插值基函數(shù)：

求

的二次Lagrange插值多項式

例1的如下函數(shù)值：

已知函數(shù)于是

例2：已知分別利用sinx的1次、2次Lagrange

插值計算sin50并估計誤差。sin50=0.7660444…解n=1分別利用x0,x1

以及x1,x2

計算利用這里而外插

/*extrapolation*/

的實際誤差0.0101sin50=0.7660444…利用sin50

0.76008,內(nèi)插

/*interpolation*/

的實際誤差0.00596高次插值通常優(yōu)于低次插值n=2)185(50sin20pL0.76543sin50=0.7660444…二次插值的實際誤差0.00061但絕對不是次數(shù)越高就越好，嘿嘿……5.3

牛頓插值拉格朗日插值雖然結(jié)構(gòu)簡單，但若要增加一個節(jié)點時，全部基函數(shù)li(x)

都需重新算過。將Ln(x)改寫成的形式，希望每加一個節(jié)點，只附加一項上去即可。????一、差商的定義1階差商2階差商給定函數(shù)f(x)在n+1個互異節(jié)點處的函數(shù)值，稱一般地，可定義

k階差商：差商的值與插值節(jié)點xi

的順序無關！即f(x)的k-1階差商的差商稱為f(x)的k

階差商。此外補充定義，為零階差商。二、差商性質(zhì)性質(zhì)1即其中證明：用數(shù)學歸納法n=1n=2由數(shù)學歸納法知，結(jié)論成立。性質(zhì)3此性質(zhì)給出了n

階差商和n

階導數(shù)的關系。性質(zhì)2差商具有對稱性，即的值與節(jié)點的順序無關。由性質(zhì)1即得。推論設f(x)為n次多項式，則f(x)的n階差商為常數(shù)，而f(x)的n+1階差商恒為零。設f(x)為n次多項式，則f(x)的一階差商f[x,

xi]是x的n-1次多項式。推論性質(zhì)4證設f(x)為n次多項式，則f(x)的k階差商是n-k次多項式12…………n+1將上述各式逐次由后一式代入上一式可得

Nn(x)Rn(x)3三、牛頓插值多項式由差商的定義設為n+1個互異節(jié)點，且求滿足插值條件：于是有顯然,

Nn(x)為次數(shù)不超過n次多項式，且有Nn(x)為f(x)關于節(jié)點x,x,…,x的n次插值多項式，稱為牛頓插值插值余項

牛頓插值多項式的遞推公式增加一個節(jié)點，只需在的基礎上，增加計算即可。注：由插值多項式的唯一性可知只是算法不同，故其插值余項也相同，即

計算牛頓插值多項式關鍵是計算差商f[x0,x1]f[x1,x2]…………f[xn1,xn]f[x0,x1,x2]……f[xn2,xn1,xn]f[x0,…,xn]

xn+1

f(xn+1)f[xn,xn+1]f[xn1,xn,xn+1]f[x1,…,xn+1]f[x0,…,xn+1]f(x0)f(x1)f(x2)…f(xn1)f(xn)x0x1x2…xn1xn（建立差商表）解首先利用均差表計算均差由上面的均差表可知，故所求的插值多項式為：例4已知f(0)=2,f(1)=-3,f(2)=-6,f(3)=11,求f(x)的3次插值多項式。例5：已知函數(shù)的函數(shù)表：

xi12345yi=f(xi)14786寫出4次牛頓插值多項式。解：構(gòu)造差商表例3已知求關于上述節(jié)點組的插值多項式解首先利用均差表計算均差由上面的均差表可知，故所求的插值多項式為：

四、等距節(jié)點插值公式當節(jié)點等距分布時:稱為在點處的階向前差分稱為在點處的階向后差分向前差分向后差分差分性質(zhì)性質(zhì)1差分與差商的關系其中證明：用數(shù)學歸納法k=1當k=j+1設k=j時結(jié)論成立即性質(zhì)1對任意整數(shù)k成立性質(zhì)2差分與導數(shù)的關系其中存在證明：且

等距節(jié)點的牛頓插值公式牛頓向前插值公式當插值點位于插值區(qū)間左端點附近時令上述公式中用差分代替差商稱之為牛頓向前插值公式。插值余項牛頓向后插值公式當插值點位于插值區(qū)間右端點附近時

令將節(jié)點順序倒置：上述公式中用差分代替差商稱之為牛頓向后插值公式。注：一般當x

靠近x0時用前插公式，靠近xn時用后插公式。插值余項例4：已知函數(shù)的函數(shù)表：

xi0.40.50.6yi=f(xi)0.389420.479430.56464分別利用牛頓前插和后插公式計算的近似值。精確值0.解：構(gòu)造差分表牛頓前插公式牛頓后插公式精確值0.5.4

埃爾米特插值

不僅要求函數(shù)值重合，而且要求若干階導數(shù)也重合。即：要求插值函數(shù)滿足，i=0,1,…,n對于埃爾米特插值問題，主要討論下面的特殊情形：稱上述問題為一般情形的埃爾米特插值問題。問題：已知函數(shù)在互異節(jié)點處的函數(shù)值以及導數(shù)值,要構(gòu)造不超過2n+1次的多項式,滿足如下的2n+2個條件一、一般情形的埃爾米特插值多項式的構(gòu)造思想類似于拉格朗日插值多項式的構(gòu)造方法，即通過構(gòu)造一組插值基函數(shù)來表示埃爾米特插值多項式。

設滿足前述2n+2個條件的插值多項式為其中，滿足的計算方法：和均為2n+1次多項式，且有n個二重根和令其中代入條件解之得從而得到插值基函數(shù)再求另一組插值基函數(shù),令利用條件:可以確定:

代入得到一般情形的埃爾米特插值多項式其中余項為x0x1x2x3x4xH9(x)

f(x)

一般情形的埃爾米特插值多項式幾何意義如n=1時，埃爾米特插值多項式為012

123-101應用埃爾米特插值計算的近似值。例1：已知函數(shù)在點數(shù)據(jù)表：解：二、導數(shù)值不完全的Hermite插值

Hermite插值問題中，還有只在部分節(jié)點處給定其導數(shù)值的情形。例如，已知求三次插值多項式H3(x),使得再如，已知求三次插值多項式H3(x),使得對于上述這類導數(shù)值不完全的Hermite插值，其插值多項式的構(gòu)造可分成兩步來進行：1、由給定的函數(shù)值構(gòu)造出相應的插值多項式；2、在所構(gòu)造出的插值多項式的基礎上，加入導數(shù)值構(gòu)造出帶導數(shù)值的插值多項式。例給定求三次插值多項式H3(x)。解

第1步：由3個函數(shù)值f0,

f1,

f2,構(gòu)造二次插值多項式P2(x).第2步：令其中λ為待定常量.顯然有H3(xi)=f(xi),

i=0,1,2.下面利用5