華師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)教案26.3 實(shí)踐與探索

；若＜，當(dāng)＝－時(shí)，函數(shù)值

；若＜，當(dāng)＝－時(shí)，函數(shù)值

.

課時(shí) 二次函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)一、基本目標(biāo)會(huì)運(yùn)用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)分析和解決問(wèn)題的能力．二、重難點(diǎn)目標(biāo)【教學(xué)重點(diǎn)】利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的步驟．【教學(xué)難點(diǎn)】讀懂題意，找出相關(guān)量的數(shù)量關(guān)系，正確構(gòu)建數(shù)學(xué)模型．教學(xué)過(guò)程環(huán)節(jié)

自學(xué)提綱，生成問(wèn)題【

閱讀】閱讀教材

～

的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．【

反饋】b

＝＋＋，若

＞，當(dāng)

＝－時(shí)，－b b函數(shù)值

有最小值，其值為－b

有最大值，其值為．建立二次函數(shù)模型，解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；把已知條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)；第頁(yè)/共頁(yè)合理設(shè)出所求函數(shù)的解析式；利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；根據(jù)求得的解析式進(jìn)一步分析判斷并進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算．．常見的二次函數(shù)模型：直觀圖象式：直接由物體運(yùn)動(dòng)的軌跡，如噴出的水流、涵洞等建立數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題．情景應(yīng)用式：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題創(chuàng)設(shè)情景，由所提供的條件建立數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題．幾何綜合式：與幾何知識(shí)結(jié)合并運(yùn)用其性質(zhì)建立數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題．環(huán)節(jié)

合作探究，解決問(wèn)題活動(dòng)

小組討論師生互學(xué)【例

】某公園要建造一個(gè)圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面豎一根柱子，在柱子的頂端

處安裝一個(gè)噴頭向外噴水．柱子在水面以上部分的高度為

m，水流在各個(gè)方向沿形狀相同的拋物線路徑落下，如圖

所示．根據(jù)設(shè)計(jì)圖紙已知：在圖

所示的平面直角坐標(biāo)系中，水流噴出的高度

與水平距離

之間的函數(shù)關(guān)系式是

＝－＋＋噴出的水流距水面的最大高度是多少？如果不計(jì)其他因素，為使水不濺落在水池外，那么水池的半徑至少為多少時(shí)，才能使噴出的水流都落在水池內(nèi)？【互動(dòng)探索】

引發(fā)學(xué)生思考

在已知拋物線解析式的情況下，利最大高度

軸、

【解答】∵＝－＋＋＝－－＋，第頁(yè)/共頁(yè)∴點(diǎn)

的坐標(biāo)為，，∴點(diǎn)

的坐標(biāo)為，，故噴出的水流距水面的最大高度是

米．解方程－＋＋＝， 得

＝－，＝， ∴＝故不計(jì)其他因素，水池的半徑至少要

米，才能使噴出的水流不至于落在水池外．【互動(dòng)總結(jié)】

學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)

這是一個(gè)運(yùn)用拋物線的有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用題，利用拋物線的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【例

】一個(gè)涵洞的截面邊緣是拋物線，如圖．現(xiàn)測(cè)得當(dāng)水面寬＝

m

m

m處，涵洞寬

ED

是多少？是否會(huì)超過(guò)

【互動(dòng)探索】

引發(fā)學(xué)生思考

根據(jù)此拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為

＝.根據(jù)

＝，涵洞頂點(diǎn)

到水面的距離為

m，那么

點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)該是析式，繼而求出點(diǎn)

的坐標(biāo)及

ED

的長(zhǎng)．【解答】設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為＝＜．由題意，得點(diǎn)

在拋物線上，且

，－，將

，－代入

＝＜，解得

＝－

，∴所求函數(shù)解析式為＝－

.第頁(yè)/共頁(yè)設(shè)點(diǎn)

的坐標(biāo)為，－， 則有－＝－

，解得

＝

，

故

DE

寬度為

＜，∴涵洞寬

ED

不超過(guò)

【互動(dòng)總結(jié)】

學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)

本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)圖中信息得出函數(shù)經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．活動(dòng)

鞏固練習(xí)學(xué)生獨(dú)學(xué)直，球開始飛行時(shí)距地面

米，當(dāng)球飛行距離為

米時(shí)達(dá)最大高度

米，已知球場(chǎng)長(zhǎng)

米，問(wèn)這樣發(fā)球是否會(huì)直接把球打出邊線？解：球出邊線了．

＝－－＋代入

點(diǎn)的＞縱坐標(biāo)

，得

≈20.12

，所以球出邊線了．＞．某公司草坪的護(hù)欄是由

段形狀相同的拋物線組成的，為牢固起見，每段護(hù)欄需按間距

m

加設(shè)不銹鋼管如圖

做成的立柱，為了計(jì)算所需不銹鋼管立柱的總長(zhǎng)度，設(shè)計(jì)人員利用圖

所示的坐標(biāo)系進(jìn)行計(jì)算．求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；計(jì)算所需不銹鋼管立柱的總長(zhǎng)度．第頁(yè)/共頁(yè)圖

圖

解：＝－＋

米．．如圖，一位運(yùn)動(dòng)員在距籃下

m

處跳起投籃，球運(yùn)行的路線是拋物線，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為

m

時(shí)，達(dá)到最大高度

m，然后準(zhǔn)確落入籃圈，已知籃圈中心到地面的距離為

建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求拋物線的表達(dá)式；該運(yùn)動(dòng)員身高

m，在這次跳投中，球在頭頂上方

m

處出手，問(wèn)：球出手時(shí)，他跳離地面的高度是多少？解：拋物線的表達(dá)式為

＝－＋

第頁(yè)/共頁(yè)活動(dòng)

拓展延伸學(xué)生對(duì)學(xué)【例

】某跳水運(yùn)動(dòng)員在進(jìn)行

m

跳臺(tái)跳水訓(xùn)練時(shí)，身體看成一點(diǎn)時(shí)，正常情況下，該運(yùn)動(dòng)員在空中的最高處距水面

m，入水處距池邊的距離為

m，同時(shí)運(yùn)動(dòng)員在距水面高度

m

或

m

以上時(shí)，必須完成規(guī)定的翻騰動(dòng)作，并調(diào)整好入水姿勢(shì)，否則就會(huì)出現(xiàn)失誤．求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；在某次試跳中，測(cè)得運(yùn)動(dòng)員在空中的運(yùn)動(dòng)路線是

中的拋物線，且運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿勢(shì)時(shí)，距池邊的水平距離為

m，問(wèn)：此次跳水會(huì)不會(huì)失誤？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．【互動(dòng)探索】利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式．要判斷會(huì)不會(huì)失誤，只要看運(yùn)動(dòng)員是否在距水面高度

m

以前完成規(guī)定動(dòng)作，于是只要求運(yùn)動(dòng)員在距池邊水平距離為

m

時(shí)的縱坐標(biāo)即可．【解答】

，拋物線的解析式為

＝＋＋.由題意知，、

兩點(diǎn)的坐標(biāo)依次為、，－，且頂點(diǎn)

的縱坐標(biāo)為，－b

＝，

＝，＋b＋＝－第頁(yè)/共頁(yè)或b＝－，＝

即當(dāng)

＝

時(shí)，＝

－或b＝－，＝

即當(dāng)

＝

時(shí)，＝

－

×

＋

×5＝－

， 解得 b＝

，＝b∵拋物線對(duì)稱軸在

軸右側(cè)，∴－＞， ∴＝－

，b＝

，＝ ∴拋物線的解析式為＝－

＋

.此次試跳會(huì)出現(xiàn)失誤．理由如下：由題意知，橫坐標(biāo)為－＝，

此時(shí)運(yùn)動(dòng)員距水面的高為－

＝

＜因此，此次試跳會(huì)出現(xiàn)失誤．【互動(dòng)總結(jié)】

學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)

本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解答二次函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，要注意自變量的取值范圍還必須使實(shí)際問(wèn)題有意義．環(huán)節(jié)

課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)練習(xí)設(shè)計(jì)請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)訓(xùn)練！第

課時(shí) 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的關(guān)系教學(xué)目標(biāo)一、基本目標(biāo)第頁(yè)/共頁(yè)過(guò)程，體會(huì)二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式之間的聯(lián)系．．理解一元二次方程＋＋＝

的根就是二次函數(shù)

＝＋＋

的圖象與直線

＝

是實(shí)數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．二、重難點(diǎn)目標(biāo)【教學(xué)重點(diǎn)】二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的聯(lián)系．【教學(xué)難點(diǎn)】用圖象法解一元二次不等式．教學(xué)過(guò)程環(huán)節(jié)

自學(xué)提綱，生成問(wèn)題【

閱讀】閱讀教材

的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．【

反饋】．二次函數(shù)＝＋＋

的圖象與

軸的交點(diǎn)有三種情況：有兩個(gè)交點(diǎn)、有一個(gè)交點(diǎn)、沒(méi)有交點(diǎn).與此相對(duì)應(yīng)，一元二次方程

＋＋＝

的根也有三種情況：有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根、沒(méi)有實(shí)數(shù)根.．二次函數(shù)＝＋＋

的圖象與

軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程

＋＋＝

的根．

嗎？方程

＋－＝

的根是

＝－，＝；方程

－＋＝

的根是

＝＝；方程

－＋＝

的根的情況是無(wú)實(shí)根.．若二次函數(shù)的解析式為

＝－＋，則其函數(shù)圖象與

軸第頁(yè)/共頁(yè)交點(diǎn)的情況是沒(méi)有交點(diǎn).．給出三個(gè)二次函數(shù)：①

＝－＋；②＝－＋；③＝－＋它們的圖象分別為觀察圖象與

軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，分別是

個(gè)、

個(gè)、

個(gè)．你知道圖象與

軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與什么有關(guān)嗎？圖象與

軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的情況有關(guān)．能否利用二次函數(shù)

＝＋＋

的圖象尋找方程

＋＋＝≠0)，不等式

＋＋≠0或

＋＋≠0)的解？能．環(huán)節(jié)

合作探究，解決問(wèn)題活動(dòng)

小組討論師生互學(xué)【例

】畫出函數(shù)

＝－－的圖象，根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題．圖象與

軸、

軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么？當(dāng)

取何值時(shí)，＝？這里

的取值與方程

－－＝

有什么關(guān)系？

取什么值時(shí)，函數(shù)值

大于

？

取什么值時(shí)，函數(shù)值

小于【互動(dòng)探索】

引發(fā)學(xué)生思考

數(shù)形結(jié)合法：畫出函數(shù)圖象→根據(jù)所畫圖象解決問(wèn)題．【解答】函數(shù)圖象如圖所示：圖象與

軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為、，與

軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為. 當(dāng)

＝－或

＝時(shí)，＝，

的取值與方程

－－＝

的解相同．第頁(yè)/共頁(yè) 當(dāng)

＜－或

＞時(shí)，＞；當(dāng)－＜＜時(shí)，＜【互動(dòng)總結(jié)】

學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)

解決此類問(wèn)題常用數(shù)形結(jié)合的思想方法：二次函數(shù)圖象與

軸的交點(diǎn)問(wèn)題常通過(guò)一元二次方程的根的問(wèn)題來(lái)解決；反過(guò)來(lái)，一元二次方程的根的問(wèn)題，又常用二次函數(shù)的圖象來(lái)解決．利用函數(shù)的圖象能更好地求不等式的解集，先觀察圖象，找出拋物線與

軸的交點(diǎn)，再根據(jù)交點(diǎn)的坐標(biāo)寫出不等式的解集．活動(dòng)

鞏固練習(xí)學(xué)生獨(dú)學(xué)．如圖是拋物線＝＋＋

的圖象的一部分，請(qǐng)你根據(jù)圖象求出方程

＋＋＝

的兩根是

＝－，＝

＝－＋

的圖象與

的取值范圍．解：∵二次函數(shù)

＝－＋

的圖象與

軸沒(méi)有交點(diǎn)，∴－＋＝

的判別式

Δ＜，即

b－＝－＜，解得

＞．若二次函數(shù)

＝＋＋≠0)的圖象的最低點(diǎn)的坐標(biāo)為，－，求關(guān)于

的一元二次方程

＋＋＝－

的根．解：∵二次函數(shù)

＝＋＋≠0)的圖象的最低點(diǎn)的坐標(biāo)為，－，∴二次函數(shù)＝＋＋≠0)的圖象的頂點(diǎn)是，－，∴當(dāng)＝－，即

＋＋＝－

時(shí)，＝＝，∴關(guān)于

的一元二次方程

＋＋＝－

的根為

＝＝．已知二次函數(shù)

＝－－此函數(shù)圖象的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并畫出草圖；當(dāng)

為何值時(shí)，

隨

的增大而增大？通過(guò)觀察圖象，在＞

及當(dāng)

≥－

時(shí)，試求

的取值范圍．解：∵＝－－＝－－，∴圖象開口向上，對(duì)稱軸第頁(yè)/共頁(yè) 配方，得

＝

－＋＝

配方，得

＝

－＋＝

－

－，∴，－.∵對(duì)稱軸

＝

＞

時(shí)，

隨

的增大而增大．由圖知，點(diǎn)，－關(guān)于

＝

的對(duì)稱點(diǎn)為，－，∴在＞及當(dāng)

≥－

時(shí)，

的取值范圍為

≥2.活動(dòng)

拓展延伸學(xué)生對(duì)學(xué)【例

】已知二次函數(shù)＝－－＋－，其中

是常數(shù)．

軸一定有公共點(diǎn)；當(dāng)

＝

時(shí)，該二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)為

，與

軸交于

、

兩點(diǎn)，與

軸交于點(diǎn)

，求四邊形

的面積．【互動(dòng)探索】要證明二次函數(shù)的圖象與

軸一定有公共點(diǎn)，可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的判斷方法．由

＝4→確定

、、、的坐標(biāo)→求四邊形

的面積．【解答】證明：令

＝－－＋－＝∵Δ＝－－－－＝－≥0，∴方程

－－＋－＝

有實(shí)數(shù)根，∴不論

為何值，該函數(shù)的圖象與

軸總有公共點(diǎn)．由題可知，當(dāng)

＝

時(shí)，＝－＋ 當(dāng)

＝

時(shí)，－＋＝，解得

＝，＝∴、．當(dāng)

＝

時(shí)，＝，∴，第頁(yè)/共頁(yè)∴

＝

＋

＝＋＝【互動(dòng)總結(jié)】

學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)

要判斷二次函數(shù)的圖象與

軸的交點(diǎn)情況，只需要將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程，然后判斷方程的根的情況即可．環(huán)節(jié)

課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)．二次函數(shù)與一元二次方程有下列對(duì)應(yīng)關(guān)系：二次函數(shù)

＝＋＋

一元二次方程

＋≠0的圖象與

軸的 ＋＝≠0)的根的情位置關(guān)系 況

b－

的值有兩個(gè)公共點(diǎn)

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

b－>0只有一個(gè)公共點(diǎn)無(wú)公共點(diǎn)

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根無(wú)實(shí)數(shù)根

b－＝b－<0若拋物線

＝＋＋

與

軸的一個(gè)交點(diǎn)為，則

是方程

＋＋＝

的一個(gè)根．練習(xí)設(shè)計(jì)請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)訓(xùn)練！第

課時(shí) 利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的根教學(xué)目標(biāo)一、基本目標(biāo)．掌握方程與函數(shù)間的轉(zhuǎn)化．．掌握一元二次方程及二元二次方程組的圖象解法．二、重難點(diǎn)目標(biāo)【教學(xué)重點(diǎn)】能夠利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似根．第頁(yè)/共頁(yè)【教學(xué)難點(diǎn)】用圖象法求解一元二次方程．教學(xué)過(guò)程環(huán)節(jié)

自學(xué)提綱，生成問(wèn)題【

閱讀】閱讀教材

的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．【

反饋】的根是準(zhǔn)確值嗎？由于作圖或觀察可能存在誤差，由二次函數(shù)的圖象求得一元二次方程的根，一般是近似值．＋＋＝

的根的近似解的方法：直接作出函數(shù)

＝＋＋

的圖象，則圖象與

軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程

＋＋＝

的根；先將方程

＋＋＝

變形為

＋＝－，再分別作拋物線

＝＋

和直線

＝－，則兩圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程

＋＋＝

的根；先將方程

＋＋＝

變形為

＝－－，再分別作出拋物線

＝和直線

＝－－＋＋＝

的根．范圍估計(jì)一元二次方程的近似根．環(huán)節(jié)

合作探究，解決問(wèn)題活動(dòng)

小組討論師生互學(xué)【例

】利用函數(shù)的圖象，求下列方程的解：第頁(yè)/共頁(yè)得到它們的交點(diǎn)，、，＋－＝； －＋＝得到它們的交點(diǎn)，、，【互動(dòng)探索】

引發(fā)學(xué)生思考

將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)→利用圖象法求交點(diǎn)坐標(biāo)即可．【解答】在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)＝和

＝－＋

的圖象，得到它們的交點(diǎn)－、，如圖

，則方程

＋－＝

的解為

＝－，＝先把方程

－＋＝

化為

－＋＝，然后在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)

＝和

＝－

的圖象，如圖

， 則方程

－＋＝

的解為

＝，＝【互動(dòng)總結(jié)】學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)一般地，求一元二次方程b＋＋＝≠0)的近似解時(shí)，可先將方程

＋＋＝

化為

＋ b ＋＝，然后分別畫出函數(shù)

＝和

＝－－的圖象，得出兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的解．【例

】利用函數(shù)的圖象，求下列方程組的解：＝－＝－＋，＝；

＝＋，＝＋.【互動(dòng)探索】

引發(fā)學(xué)生思考可以通過(guò)直接畫出函數(shù)

＝－＋和

＝的圖象，得到它們的交點(diǎn)，從而得到方程組的解；也可第頁(yè)/共頁(yè)得到它們的交點(diǎn)－，、，以同樣解決．得到它們的交點(diǎn)－，、， 【解答】在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)

＝和

＝－＋的圖象，如圖

， 則方程組

的解為則方程組

的解為＝

＋

＝－

，

＋

＝

＝，

＝，在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)＝＋

和

＝＋

的圖象，＝＋，如圖

，得到它們的交點(diǎn)－、，則方程組 的解＝＋＝－＝－，＝＝，

＝，【互動(dòng)總結(jié)】

學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)

根據(jù)題意分別畫出兩函數(shù)的圖象，由函數(shù)圖象的交點(diǎn)即可得出方程組的解，考查的是用數(shù)形結(jié)合的方法求方程組的解，解答此題的關(guān)鍵是正確畫出函數(shù)的圖象，找出兩圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．活動(dòng)

鞏固練習(xí)學(xué)生獨(dú)學(xué)．已知二次函數(shù)

＝＋＋

中，

與

的部分對(duì)應(yīng)值如下：

－

－

－

－

則一元二次方程

＋＋＝

的一個(gè)解

滿足條件 A．＜＜．＜＜

B．＜＜．＜＜第頁(yè)/共頁(yè)．如圖，二次函數(shù)

＝＋＋≠0)與

＝＋b≠0)的圖象交于

－、，求能使

<成立的

的取值范圍．解：－＜＜“一般說(shuō)來(lái)，教師”““師者教人以不及，故謂師為師資也”“師資”《韓非子》也有云：“今有不才之子……師長(zhǎng)教之弗為變”其“師長(zhǎng)”當(dāng)然也指教師。這兒的

“師資”和“師長(zhǎng)”可稱為“教師”概念的雛形，但仍說(shuō)不上是名副其實(shí)的“教師”，因?yàn)椤敖處煛北仨氁忻鞔_的傳授知識(shí)的對(duì)象和本身明確的職責(zé)。．用函數(shù)的圖象求下列方程的解：－＋＝；這個(gè)工作可讓學(xué)生分組負(fù)責(zé)收集整理,登在小黑板上,,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會(huì),熱愛生活,所以內(nèi)容要盡量廣泛一些,理想、學(xué)習(xí)、成長(zhǎng)、責(zé)任、友誼、愛心、探索、環(huán)保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以積累

多則材料。如果學(xué)生的腦海里