2020年高考數(shù)學(xué)選填題專(zhuān)項(xiàng)測(cè)試11 基本不等式

33.（2020?海南咼二月考）已知a，bwR，且a+2b—4=0，則2a+4b的最小值為（）2020高考數(shù)學(xué)選填題專(zhuān)項(xiàng)測(cè)試01（基本不等式）（文理通用）第I卷（選擇題）一、單選題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.（2020?河北高三期末（文））已知遞增等差數(shù)列｛a｝中，aa=-2，則《的（）n123A.最大值為-4B.最小值為4C.最小值為-4D.最大值為4或-4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可用ai表示出d.由數(shù)列單調(diào)遞增可得ai<0?用ai表示出葺結(jié)合基本不等式即可求得最值.【詳解】因?yàn)閍ia2—-2，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式，設(shè)公差為d，可得ai（氣+d）=—2，變形可得d—-ai-221a1因?yàn)閿?shù)列｛a｝為遞增數(shù)列，所以d=-〈-一>0，即ai<0，而由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可知《-a’1a1a+2f2]-a-——(-a)+f4、1Iiai丿1<ai丿a—(-a)+a—(-a)+314，由-3>°，—>0結(jié)合基本不等式可得1-a1—4，當(dāng)且僅當(dāng)ai--2時(shí)取得等號(hào)，所以a3的最小值為4。點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式與單調(diào)性的應(yīng)用,基本不等式在求最值中的用法,屬于中檔題.C.(2,+8)D.(0,1)2.（2020.山西高三期末（理））若方程血X—m有兩個(gè)不等的實(shí)根xi和x2，則X2+的取值范圍是（A.（C.(2,+8)D.(0,1)答案】解析】分析】詳解】由方程可得兩個(gè)實(shí)數(shù)根的關(guān)系，再利用不等式求解范圍.分析】詳解】因?yàn)閨lnX—m兩個(gè)不等的實(shí)根是X和x2，不妨令Xe（0,i）,x?e（i,+8），Inx—-m,Inx—m故可得In(xix2)—0，解得x2—X，則%2+%2=x2+-丄—2，故選：C.1~1點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，涉及均值不等式的使用，屬基礎(chǔ)題.A.4B.4^2C.8D.2【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式即可求得結(jié)果.【詳解】由a+2b—4=0得：a+2b=4,/.2a+4b=2a+22b>2x2a-22b=22a+2b=224=8（當(dāng)且僅當(dāng)2a=22b，即a=2b時(shí)取等號(hào)）故答案為：8【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求解和的最小值的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.91（2020?內(nèi)蒙古高三期末）+的最小值為（）sm2acos2aA.2B.16C.8D.12【答案】B【解析】91【分析】利用sin2a+cos2a=1將+變?yōu)榉e為定值的形式后，根據(jù)基本不等式可求得最小值.sin2acos2a【詳解】Tsin2a+cos2a=1，.:91+—sin2a91+—sin2acos2a2a+cos2a91)+sin2acos2a丿=io+出+9cosia??io+6=16，當(dāng)且僅當(dāng)cos2asin2a191sm2a=丁，cos2a=丁時(shí)“=成立，故+的最小值為16.4sin2acos2a【點(diǎn)睛】本題考查了利用基本不等式求和的最小值，解題關(guān)鍵是變形為積為定值，才能用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.111⑵2。.廣東中山紀(jì)念中學(xué)高三月考（文、理））已知x，y均為正實(shí)數(shù)，且匸+豐=6，則x+y的最小值為（）A.20B.24C.28D.32【答案】A【解析】分析：由已知條件構(gòu)造基本不等式模型x+y=（x+2）+（y+2）-4即可得出.

詳解：Q詳解：Qx，y均為正實(shí)數(shù)，且丄+占=6則6???x+y=(x+2)+(y+2)-4=6(1x+2十???x+y=(x+2)+(y+2)-4=6(1=6(2+=+蘭)-4>6(2+2)-4=20當(dāng)且僅當(dāng)x=y=10時(shí)取等號(hào).x+2y+2yx+2y+2二x+y的最小值為20.故選A.點(diǎn)睛：本題考查了基本不等式的性質(zhì)，“一正、二定、三相等”.6.(2020?海南中學(xué)高三月考)當(dāng)xe(1,2)時(shí)，不等式x2+mx+2>0恒成立，則m的取值范圍是()A.A.(一2,+8)B.(2七2+8)C.(0,+8)D.(-2找+8)【答案】D解析】分析】將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，利用均值不等式求解即可.(2)【詳解】當(dāng)xe(1,2)時(shí)，不等式x2+mx+2>0恒成立，等價(jià)于m>-x+—在xe(1,2)時(shí)恒成立Jx丿(2)(2)x(2)(2)x+—；而因?yàn)閤e(I，2)，故—x+—Jx丿Jx丿即等價(jià)于m>max<-2x?-=-2邁x2，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取得x最大值.故：m>-2^2【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)在區(qū)間上的恒成立問(wèn)題，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，是一般思路；本題中還涉及利用均值不等式求最值.屬綜合題.1n7.(2020.天水市第一中學(xué)高三月考(文))已知a>0,b>0，若不等式—+〒>恒成立，則n的最ab3a+b大值為()A.A.9B.12C.16D.20答案】C解析】【分析】可左右同乘3a+b，再結(jié)合基本不等式求解即可詳解】Qa詳解】Qa>0,b>0，3+丄>丄ab3a+b―+―(3a+b)>nJab丿3+-l（3a+b）二9+3+3a+1>10+23b-3a二16,當(dāng)且僅當(dāng)a二b=1時(shí)，等號(hào)成立，故n<16。Vab丿abvab點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題8.(20208.(2020?四川石室中學(xué)高三月考(文、理))設(shè)x>0,y>0,11且—+——=4JtdLc，X2yZ=2lOg4X+lOg2y，則z的最小值是()A.-z的最小值是()A.-4B.-3【答案】BC.-log263D.2叫解析】【分析】利用基本不等式可求出xy的最小值，利用換底公式以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算律可得出z的最小值.【詳解】Qx>0，y>0，【詳解】Qx>0，y>0，且-+2-=4，?4=丄+2->2x2yx2y11Vx2y=2Y2xy2xy<211???xy>，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取等號(hào).z=2logx+logy=logx+logy=logxy>log=-3，則z84222228的最小值是-3?故選：B.點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值，同時(shí)也考查了換底公式以及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9.(2020?廣東高三月考(文))如圖，三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)恰是長(zhǎng)、寬、高分別是m，2,n的長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，此三棱錐的體積為2，則該三棱錐外接球體積的最小值為()A.256^B體的頂點(diǎn)，此三棱錐的體積為2，則該三棱錐外接球體積的最小值為()A.256^B.C.32^D.36^答案】C解析】【分析】根據(jù)三棱錐的體積關(guān)系可得mn=6,根據(jù)三棱錐與長(zhǎng)方體共外接球，長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)就是外接球的直徑可得2R=Jm2+加+4，根據(jù)基本不等式可得半徑的最小值,進(jìn)一步可得體積的最小值.

【詳解】根據(jù)長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知三棱錐的高為n，所以3-n-1-m-2二2,所以mn=6,又該三棱錐的外接球就是長(zhǎng)方體的外接球,該外接球的直徑是長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)，設(shè)外接球的半徑為R，所以2R=咖+n+4,所以2R>^2mn+4二、：'12+4二4，當(dāng)且僅當(dāng)m二n仝時(shí)，等號(hào)成立,，所以R>2，所以該三棱錐外接球體積為3體積為3兀R3>4兀x23二暫?故選:C點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的體積公式,球的體積公式,長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)定理,基本不等式,屬于中檔題.10.（2020?江蘇南京師大附中咼三月考）在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊另別是a，b，c，已知2sin2A+sin2B+叮2sinAsinB=3sin2C，則sinC的最大值為（）A．V34A．V34~6~D．答案】A解析】【分析】由已知可得2a2+b2+\-2ab=3c2，結(jié)合余弦定理，求出cosC用a,b表示，用基本不等式求出cosC的最小值，即可求解.【詳解】2sin2A+sin2B+\：2sinAsinB=3sin2C，由正弦定理得2a2+b2+論2ab=3c234等號(hào)成立，?.sinC="1一cos2C<—6由余弦定理得3c2=3a2+3b2-6abcosC，6abcosC=34等號(hào)成立，?.sinC="1一cos2C<—66cosC=a+越-邁>J2,cosC>—，當(dāng)且僅當(dāng)a=<2b時(shí)ba66cosC=所以sinC的最大值為上里.6【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的最值，考查正、余弦定理解三角形，應(yīng)用基本不等式求最值，屬于中檔題.fx—y—1<011.（2020.天水市第一中學(xué)高三月考（理、文））實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足條件k當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a，b>°）在該約束條件下取到最小值4時(shí)，|+1的最小值為（）A.6B.4C.3D.2答案】D解析】az【分析】先將目標(biāo)函數(shù)化為y=-bx+b，由題中約束條件作出可行或，結(jié)合圖像，由題意得到2a+b二4(12)1(—+—(2a+b)—_Vab丿41121再由a+b二4結(jié)合基本不等式，即可求出結(jié)果.aza【詳解】由z=ax+by得y=-〒x+，因?yàn)閍,b>0，所以直線(xiàn)的斜率為—<0bbbfx-y-1<0作出不等式1對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如下：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"azaz由圖像可得：當(dāng)直線(xiàn)y———x+經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線(xiàn)y———x+在y軸截距最小，此時(shí)z最小。\o"CurrentDocument"bbbb\o"CurrentDocument"fx—y—1—0fx—2/、由1解得1，即A(2,l)，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a,b>0丿的最小值為412x—y—3—0Iy—112即2a+b12即2a+b-4，所以a+b—4二+匚(2a+b)—二2+-++2Vab丿丄(4+42當(dāng)且僅當(dāng)-—半，即；：—2時(shí)，等號(hào)成立?故選：dabIb—2【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃與基本不等式的綜合，熟記基本不等式，會(huì)求解簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題即可，屬于常考題型.12.(2020?內(nèi)蒙古咼二期末(文、理))已知0<x<1，0<y<1，則<x2+y2+x2+(1一y丿2+(1一x丿2+y2+\：(1-x丿2+(1-y丿2的最小值為()A.J5B.2邁C.価D.2爲(wèi)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)均值不等式，可有"+*>M2，貝y甘2+y2n：，v，x2+(1-y丿2^―2222Y(l-x)2+y2>1芳y,t'(l-x)2+(1-y)2>1x#y,再利用不等式的基本性質(zhì)，兩邊分別相加求解。【詳解】因?yàn)閤2+y2>2xy，所以2(x2+y2)>2xy+x2+y2=(x+y)2，所以廣；W>xA-_^，所以,右>N,W+(1—y1,\：'(1-xl+y2>，,(1-x)2+(1-y)2>2222所以?xún)蛇叿謩e相加得tx2+y2+$x2+(1-y)2+*(1-xl+y2+f(l-x)2+(1-y)2>2€2，當(dāng)且僅當(dāng)1x二y二-取等號(hào)，故選：b【點(diǎn)睛】本題主要考查了均值不等式，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.第II卷(非選擇題)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中的橫線(xiàn)上。51(2020.廣西柳州高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試(文))已知x>，則函數(shù)y=4x+的最小值為4x—5【答案】7【解析】【分析】轉(zhuǎn)化函數(shù)，通過(guò)基本不等式求解即可.11【詳解］Qx>，4x—5>0，y—4x+—(4x—5)++5>2+5=744x—54x—513當(dāng)且僅當(dāng)4x—5—，即，即x—時(shí)等號(hào)成立.TOC\o"1-5"\h\z4x—52【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式在最值中的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．(2020?江蘇高三月考)若a，b均為非負(fù)實(shí)數(shù)，且ab+a+b—1—0，則2a+b的最小值為.【答案】1【解析】1—b小丁47^^【分析】由條件可得a—，然后將2a+b變形為+b+1—3，運(yùn)用基本不等式即可求出.b+1b+1【詳解】因?yàn)閍b+a+b—1—0，且a,b均為非負(fù)實(shí)數(shù)，所以a—工b+1所以2a+b—+b——2(b+1+4+b+1—1—丄+b+1—3>2j4—3—1b+1b+1b+14當(dāng)且僅當(dāng)-b+1即b—1時(shí)取得最小值，所以2a+b的最小值為1,此時(shí)a—0,b—1，故答案為：1b+1【點(diǎn)睛】當(dāng)題目中有2個(gè)字母時(shí)，利用題目的方程將所求式子進(jìn)行消元是常用方法.15.(2020.江蘇南京師大附中高三月考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1，2)，點(diǎn)M(4,2)，點(diǎn)N在

線(xiàn)段OA的延長(zhǎng)線(xiàn)上?設(shè)直線(xiàn)MN與直線(xiàn)OA及x軸圍成的三角形面積為S,則S的最小值為【答案】12【解析】【分析】求出直線(xiàn)OA方程，設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)，求出直線(xiàn)MN的方程，進(jìn)而求出直線(xiàn)MN與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo),將所求三角形的面積S表示成N點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)特征，利用基本不等式求出最小值.【詳解】點(diǎn)A(1,2)，直線(xiàn)OA方程為y二2x,點(diǎn)N在線(xiàn)段OA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，設(shè)N(a,2a),a>1當(dāng)a=4時(shí)，N(4,8),S=16，當(dāng)a>1，且a豐4時(shí)，直線(xiàn)MN方程為T(mén)OC\o"1-5"\h\z2a—2a—43y-2二(X-4)，令y二0,x二4-二3+a—4a—1a—1\o"CurrentDocument"1a1S=2ax3(1+