微分方程建模(同名437)課件

微分方程建模1微分方程建模1

當我們描述實際對象的某些特性隨時間（空間）而演變的過程、分析它的變化規(guī)律、預測它的未來形態(tài)、研究它的控制手段時。通常要建立對象的動態(tài)模型。

在許多實際問題中，當直接導出變量之間的函數(shù)關(guān)系較為困難，但導出包含未知函數(shù)的導數(shù)或微分的關(guān)系式較為容易時，可用建立微分方程模型的方法來研究該問題。2感謝你的觀看2019年8月21當我們描述實際對象的某些特性隨時間（空間）而一、數(shù)學建模的基本思維過程

轉(zhuǎn)化實際問題

1、對要討論的問題所涉及的重要特征進行合理的數(shù)學刻畫（轉(zhuǎn)化），即用數(shù)學語言對問題涉及到的重要特征進行表述.2、尋求的實際問題的文字敘述，利用一些原則或定律，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學描述。解數(shù)學問題用數(shù)學工具求解得到的數(shù)學問題。3感謝你的觀看2019年8月21一、數(shù)學建模的基本思維過程轉(zhuǎn)化實際問題2、尋求的二、微分方程模型

涉及“改變”、“變化”、“增加”、“減少”、“衰變”、“邊際”、“速度”、“運動”、“追趕”、“逃跑”、、、等等詞語的確定性連續(xù)問題。b、微分方程建模的基本手段微元法等a、微分方程建模的對象4感謝你的觀看2019年8月21二、微分方程模型涉及“改變”、“變化

1、尋找改變量一般說來微分方程問題都遵循這樣的文字等式變化率（微商）=單位增加量--單位減少量等式通常是利用已有的原則或定律。c、微分方程建模的基本規(guī)則2、對問題中的特征進行數(shù)學刻畫3、用微元法建立微分方程；4、確定微分方程的定解條件（初邊值條件）；5、求解或討論方程（數(shù)值解或定性理論）6、模型和結(jié)果的討論與分析。5感謝你的觀看2019年8月211、尋找改變量一般說來微分方程問題都遵循這樣的文字對論文的評價主要以“假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性和文字表述的清晰性”為標準。所以，在論文中應(yīng)努力反映出這些特點。三、

數(shù)學建模論文的撰寫方法6感謝你的觀看2019年8月21對論文的評價主要以“假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性論文格式及組成題目摘要，關(guān)鍵詞問題重述模型假設(shè)分析與建立數(shù)學模型數(shù)學模型的求解模型檢驗(總結(jié)與評價)模型推廣參考文獻附錄（若有）正文7感謝你的觀看2019年8月21論文格式及組成題目模型假設(shè)正文7感謝你的觀看2019年8月21、題目論文題目是一篇論文給出的涉及論文范圍及水平的第一個重要信息。要求簡短精練、高度概括、準確得體、恰如其分。既要準確表達論文內(nèi)容，恰當反映所研究的范圍和深度，又要盡可能概括、精練。8感謝你的觀看2019年8月211、題目論文題目是一篇論文給出的涉及論文范圍及水平的第一個重2、摘要、關(guān)鍵詞摘要是論文內(nèi)容不加注釋和評論的簡短陳述，其作用是使讀者不閱讀論文全文既能獲得必要的信息。在數(shù)學建模論文中，摘要是非常重要的一部分。數(shù)學建模論文的摘要應(yīng)包含以下內(nèi)容：所研究的實際問題、建立的模型、求解模型的方法、獲得的基本結(jié)果以及對模型的檢驗或推廣。論文摘要需要概括、簡練的語言反映這些內(nèi)容，尤其要突出論文的優(yōu)點，如巧妙的建模方法、快速有效的算法、合理的推廣等。一般科技論文的摘要要求不列舉例證，不出現(xiàn)圖、表和數(shù)學公式，不自我評價，且字數(shù)200以內(nèi)。前幾年，全國大學生數(shù)學建模競賽要求摘要字數(shù)應(yīng)在300字以內(nèi)。但從2001年開始，為了提高論文評選效率，要求將論文第一頁全用作摘要，對字數(shù)已無明確限制。在摘要中也可適當出現(xiàn)反映結(jié)果數(shù)學公式。9感謝你的觀看2019年8月212、摘要、關(guān)鍵詞摘要是論文內(nèi)容不加注釋和評論的簡短陳述，其作3、問題重述數(shù)學建模比賽要求解決給定的問題，所以論文中應(yīng)敘述給定問題。撰寫這部分內(nèi)容時，不要照抄原題，應(yīng)把握問題的實質(zhì)，再用較精練的語言敘述問題。10感謝你的觀看2019年8月213、問題重述10感謝你的觀看2019年8月214、模型假設(shè)建模時，要根據(jù)問題的特征和建模目的，抓住問題的本質(zhì)，忽略次要因素，對問題進行必要的簡化，做出一些合理的假設(shè)。模型假設(shè)部分要求用精練、準確的語言列出問題中所給出的假設(shè)，以及為了解決問題所做的必要、合理的假設(shè)。假設(shè)作得不合理或太簡單，會導致錯誤的或無用的模型；假設(shè)作得過分詳盡，試圖把復雜對象的眾多因素都考慮進去，會使工作很難或無法繼續(xù)下去，因此常常需要在合理與簡化之間作出恰當?shù)恼壑小?1感謝你的觀看2019年8月214、模型假設(shè)建模時，要根據(jù)問題的特征和建模目的，5、分析與建立模型根據(jù)假設(shè)，用數(shù)學的語言、符號描述對象的內(nèi)在規(guī)律，得到一個數(shù)學結(jié)構(gòu)。建模時應(yīng)盡量采用簡單的數(shù)學工具，使建立的模型易于被人理解。在撰寫這一部分時，對所用的變量、符號、計量單位應(yīng)作解釋，特定的變量和參數(shù)應(yīng)在整篇文章保持一致。為使模型易懂，可借助于適當?shù)膱D形、表格來描述問題或數(shù)據(jù)。12感謝你的觀看2019年8月215、分析與建立模型12感謝你的觀看2019年8月216、模型求解使用各種數(shù)學方法或軟件包求解數(shù)學模型。此部分應(yīng)包括求解過程的公式推導、算法步驟及計算結(jié)果。為求解而編寫的計算機程序應(yīng)放在附錄部分。有時需要對求解結(jié)果進行數(shù)學上的分析，如結(jié)果的誤差分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性或靈敏度分析等。13感謝你的觀看2019年8月216、模型求解13感謝你的觀看2019年8月217、模型檢驗把求解和分析結(jié)果翻譯回到實際問題，與實際的現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性。如果結(jié)果與實際不符，問題常出在模型假設(shè)上，應(yīng)該修改、補充假設(shè)，重新建模。這一步對于模型是否真的有用十分關(guān)鍵。14感謝你的觀看2019年8月217、模型檢驗14感謝你的觀看2019年8月218、模型推廣模型的評價不要流于空泛，需對模型的意義、可信程度、精度等可能問題，需要認真地思考和討論。將該問題的模型推廣到解決更多的類似問題，或討論給出該模型的更一般情況下的解法，或指出可能的深化、推廣及進一步研究的建議。15感謝你的觀看2019年8月218、模型推廣15感謝你的觀看2019年8月219、參考文獻在正文中提及或直接引用的材料或原始數(shù)據(jù)，應(yīng)注明出處，并將相應(yīng)的出版物列舉在考文獻中。需標明出版物名稱、頁碼、著者姓名、出版日期、出版單位等。參考文獻按正文中的引用次序列出，其中書籍的表述方式為：[編號]作者，書名[M]，出版地：出版社，出版年。參考文獻中期刊雜志論文的表述方式為：[編號]作者，論文名[J]，雜志名，出版年，卷期號：起止頁碼。參考文獻中網(wǎng)上資源的表述方式為：[編號]作者，資源標題，網(wǎng)址，訪問時間（年月日）。16感謝你的觀看2019年8月219、參考文獻在正文中提及或直接引用的材料或原始數(shù)據(jù)，應(yīng)注明出10、附錄附錄是正文的補充，與正文有關(guān)而又不便于編入正文的內(nèi)容都收集在這里。包括：計算機程序、比較重要但數(shù)據(jù)量較大的中間結(jié)果等。為便于閱讀，應(yīng)在源程序中加入足夠的注釋和說明語句。17感謝你的觀看2019年8月2110、附錄附錄是正文的補充，與正文有關(guān)而又不便于編入正文的內(nèi)18最簡單的數(shù)學模型之一——“航行問題”用x表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米/小時.甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順水航行需30小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?x=20y=5求解感謝你的觀看2019年8月2118最簡單的數(shù)學模型之一——“航行問題”用x表示船速，y19航行問題建立數(shù)學模型的基本步驟

作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；

用符號表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數(shù)學式子（二元一次方程）；

求解得到數(shù)學解答（x=20,y=5）；

回答原問題（船速每小時20千米/小時）。感謝你的觀看2019年8月2119航行問題建立數(shù)學模型的基本步驟作出簡化假設(shè)（船速、水速四、導彈跟蹤問題1、實驗?zāi)康谋緦嶒炛饕婕俺Ｎ⒎址匠獭Ｍㄟ^實驗復習微分方程的建模和求解；介紹兩種微分方程的數(shù)值方法：Euler法和改進的Euler法；還介紹了仿真方法。203、數(shù)學模型微分方程建模的方法主要是依據(jù)守恒律來建立等量關(guān)系式。對于這個問題，尋求等量關(guān)系是比較簡單的。設(shè)坐標系如圖3.1所示，取導彈基地為原點O(0,0)，x軸指向正東方,y軸指向正北方。2、實際問題某軍的一導彈基地發(fā)現(xiàn)正北方向120km處海面上有敵艦一艘以90km/h的速度向正東方向行駛。該基地立即發(fā)射導彈跟蹤追擊敵艇，導彈速度為450km/h，自動導航系統(tǒng)使導彈在任一時刻都能對準敵艇。試問導彈在何時何處擊中敵艦？感謝你的觀看2019年8月21四、導彈跟蹤問題1、實驗?zāi)康?03、數(shù)學模型2、實際問題感

當t=0時，導彈位于點O，敵艇位于點A(0,H)，其中H=120（km）。21設(shè)導彈在t時刻的位置為P(x(t),y(t))，由題意,感謝你的觀看2019年8月21當t=0時，導彈位于點O，敵艇位于點A(0,H方程(3.1),(3.3)連同初值條件構(gòu)成了一個關(guān)于時間變量t的一階微分方程組的初值問題。其中另外在t時刻,敵艇位置為,其中。由于導彈軌跡的切線方向必須指向敵艇，即直線PM的方向就是導彈軌跡上點P的切線方向,故有或?qū)憺?2兩邊對t求導為了尋求x與y的關(guān)系,要設(shè)法消去變量t,由式(3.2)得感謝你的觀看2019年8月21方程(3.1),(3.3)連同初值條件其中22兩邊對t求導即有把式(3.1)寫為代入上式,就得到軌跡方程.這是一個二階非線性微分方程,加上初值條件,則初值問題23感謝你的觀看2019年8月21即有23感謝你的觀看2019年8月21就是導彈軌跡的數(shù)學模型。值得注意的是，前面導出的一階微分方程組(3.1)，(3.3)和(3.4)實際上已經(jīng)是一個數(shù)學模型了，不過多一個變量（或說參數(shù)）而已。24則（3.5）化為一階可分離變量方程即易得由初值條件(3.7)即4、解析方法方程（3.5）可以降階.令感謝你的觀看2019年8月21就是導彈軌跡的數(shù)學模型。值得注意的是，前面導出的一階微分方程注意到上式可改寫為于是有這樣我們又得到一個可分離變量方程積分得利用于是導彈軌跡方程為25感謝你的觀看2019年8月21注意到上式可改寫為25感謝你的觀看2019年8月21設(shè)導彈擊中敵艇于B(L,H),以Y=H代入(3.9)式,得而導彈擊中敵艇的時刻將數(shù)據(jù)代入(3.10),(3.11)式,得265、數(shù)值方法

將初值問題(3.5)~(3.7)化為一階微分方程組感謝你的觀看2019年8月21設(shè)導彈擊中敵艇于B(L,H),以Y=H代入(3.9)式取自變量y的步長為,于是得節(jié)點相應(yīng)點上的x的值和p的值記為顯然,有初值條件我們將介紹兩種近似算法來進行數(shù)值處理.27設(shè)導彈到達處的時刻為那么得到計算的迭代格式ⅠEuler方法

Euler方法十分簡單,就是用差商代替微商,即以代之以而代之以這樣有感謝你的觀看2019年8月21取自變量y的步長為,于于是表3.1是取n=4時的計算結(jié)果,讀者可以用來檢驗程序或應(yīng)用軟件的正確性.

表3.1

kykxkpk000013000.052601.50.123905.00.22412011.50.42此時28感謝你的觀看2019年8月21于是28感謝你的觀看2019年8月21表3.2是對于不同的n值所對應(yīng)的計算結(jié)果.顯然,n越大(即h越小),結(jié)果就越精確.

表3.2n4812244896120240L11.5215.9617.9720.5522.2523.3323.5824.15T0.1280.1770.2000.2280.2470.2590.2620.268

29注意，由問題（3.1）,(3.3),(3.4)消去t推導出問題（3.5）～(3.7)是較為巧妙和偶然的.一般而言，一個微分方程組未必能消去一些變元而減少方程的個數(shù)。那么，我們能否直接對初值問題(3.1),(3.3),(3.4)進行數(shù)值處理呢？答案是肯定的。實際上，只要由方程(3.1),(3.3)解出和的表達式，這樣問題變?yōu)楦兄x你的觀看2019年8月2129注意，由問題（3.1）,(3.3),(3.4)消去取時間步長對應(yīng)時導彈軌跡上點的坐標為則Euler格式為當計算到即停止,于是,30感謝你的觀看2019年8月21取時間步長對應(yīng)表3.3和表3.4分別列出了取步長為0.1和0.05時的計算結(jié)果:

表3.3ktkxkyk

00.00.000000.0000010.10.0000045.0000020.25.3615489.6794630.322.67495131.21553此時取31感謝你的觀看2019年8月21表3.3和表3.4分別列出了取步長為0.

表3.4ktkxkyk

10.050.0000022.5000020.101.0373642.9760730.153.4120567.3504140.207.6461589.4484350.2514.86790110.7579660.3029.19480128.10702此時取表3.5是對應(yīng)不同的,用Euler法所得相應(yīng)的步長推進次數(shù)n和計算結(jié)果.

表3.50.10.050.0050.001n3656278L22.6749529.1948025.6673125.04935T0.251940.324390.285190.2783332感謝你的觀看2019年8月21

Euler方法較為簡單,但也較為粗糙,對形式較復雜的微分方程更易有較大的誤差.人們設(shè)計了不少更精確的近似算法,這里我們介紹其中的一種,進一步研究可看參考書.33其中其中而改進的Euler迭代格式則是Ⅱ.改進的Euler方法(預報---校正法)

以一維情況為例,對問題Euler迭代格式是感謝你的觀看2019年8月21Euler方法較為簡單,但也較為粗糙,對形式由積分表達式的幾何意義看,右邊為下方的曲邊梯形,從圖3.2我們可以看出Euler法是用矩形來代替曲邊梯形,而改進的Euler法則是用梯形來代替曲邊梯形.

對問題(3.18)~(3.20),我們寫出相應(yīng)的改進Euler迭代格式34感謝你的觀看2019年8月21由積分表達式34感謝你的觀看2019年8月2135感謝你的觀看2019年8月2135感謝你的觀看2019年8月21表3.6和表3.7分別列出了取步長為0.1和0.05時的計算結(jié)果:

表3.6ktkxkyk

00.00.000000.0000010.12.6807744.8397320.212.5752488.2867930.322.07242130.25569此時取表3.7ktkxkyk

10.050.5186822.4880420.102.1059644.9219530.155.0982167.2021340.2010.1609689.0690650.2519.65646108.9789860.3024.24089130.9903036感謝你的觀看2019年8月21表3.6和表3.7分別列出了取步長為0.1此時取表3.8是對應(yīng)不同的,用改進的Euler法所得相應(yīng)的步長推進次數(shù)n和計算結(jié)果.

表3.80.10.050.0050.001n3656278L27.0724224.2408925.1355224.98112T0.300800.269340.279280.27757

圖3.3畫出了導彈軌跡由解析式所給出的精確曲線以及由Euler法和改進的Euler法進行數(shù)值計算所給出的近似曲線.37感謝你的觀看2019年8月21此時取圖3.3畫出了導彈軌跡由解析式所給出的精確曲線以6、仿真方法

如果建立微分方程很困難，或者微分方程很復雜而較難作出數(shù)值處理，常?？梢杂梅抡娣椒?。所謂仿真方法，顧名思義，指的是模仿真實行為和過程的方法。在這個具體問題中，就是一步步地模擬導彈追蹤敵艇的實際過程。而計算機仿真，則是在計算機上通過相應(yīng)的程序和軟件來實現(xiàn)對事件運行的實際過程的模擬。設(shè)導彈和敵艇在初始時刻（即t=0時）分別位于P0(0,0)和M0(0,H)。此時，導彈指向M0。而在t=時，導彈的位置P1(x1,y1)，其中，敵艇的位置則為這時導彈沿P1M1

方向飛行，P1M1的傾角為在t=2時，導彈的位置為P(x,y)，其中38感謝你的觀看2019年8月216、仿真方法38感謝你的觀看2019年8月21此時敵艇位置為,導彈沿P2M2方向飛行(見圖3.4).以此方式,一般地,設(shè)時,導彈位置為敵艇的位置則為導彈將沿PkMk方向飛行,那么,PkMk的傾角為39感謝你的觀看2019年8月21此時敵艇位置為,導彈沿從而時,導彈位置為,其中而敵艇位置為仍然可以如前那樣,當時,仿真停止;或者事先給定誤差界,當時,仿真停止,這時對于我們用仿真迭代格式(3.33)~(3.36)進行計算,結(jié)果與Euler迭代格式的結(jié)果完全一致(見表3.3~3.5).這兩種迭代格式實際上確實是相同的,建議讀者自己驗證一下.

值得注意的是,在仿真方法中,我們根本沒有用到微分方程組(3.18)~(3.20),卻得到了它的一種離散形式,這是十分有意思的.40感謝你的觀看2019年8月21從而時,導彈位置為五、實驗任務(wù)

1.應(yīng)用數(shù)學軟件或編制計算程序?qū)栴}(3.12)~(3.14)進行數(shù)值計算，先運用Euler法，與表3.2以及表3.3的數(shù)據(jù)比較，并以更小的步長計算結(jié)果；再用改進的Euler法計算（步長與Euler法相同）。

2．在本實驗介紹的計算過程中，我們是計算到即停止，然后取

,這樣做法可能會有不小的誤差。有時甚至會出現(xiàn)整體步長改小而結(jié)果卻未必能改進的情況。由于Euler法或改進的Euler法的計算格式中每一步值的取得僅僅依賴上一步的值，因此在計算過程中改變步長是可行的，即當計算到而y遠大于H時，可縮小步長（例如為原來的十分之一）以xy作為新起點繼續(xù)進行迭代。試用這種變步長方法來改進在任務(wù)１中得到的結(jié)果。3．如果當基地發(fā)射導彈的同時，敵艇立即由儀器發(fā)覺。假定敵艇為一高速快艇，它即刻一135km/h的速度與導彈方向垂直的方向逃逸，問導彈何時何地擊中快艇？試建立數(shù)學模型并求解。4、如果敵艇以135km/h的速度與導彈方向成固定夾角的方向逃逸，問導彈何時何地擊中敵艇？試建立數(shù)學模型。并選擇若干特殊角度進行計算。5、對問題5的結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)敵艇與導彈方向成何夾角逃逸才好？從結(jié)論中你又能得到些什么看法？

41感謝你的觀看2019年8月21五、實驗任務(wù)41感謝你的觀看2019年8月21微分方程建模42微分方程建模1

當我們描述實際對象的某些特性隨時間（空間）而演變的過程、分析它的變化規(guī)律、預測它的未來形態(tài)、研究它的控制手段時。通常要建立對象的動態(tài)模型。

在許多實際問題中，當直接導出變量之間的函數(shù)關(guān)系較為困難，但導出包含未知函數(shù)的導數(shù)或微分的關(guān)系式較為容易時，可用建立微分方程模型的方法來研究該問題。43感謝你的觀看2019年8月21當我們描述實際對象的某些特性隨時間（空間）而一、數(shù)學建模的基本思維過程

轉(zhuǎn)化實際問題

1、對要討論的問題所涉及的重要特征進行合理的數(shù)學刻畫（轉(zhuǎn)化），即用數(shù)學語言對問題涉及到的重要特征進行表述.2、尋求的實際問題的文字敘述，利用一些原則或定律，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學描述。解數(shù)學問題用數(shù)學工具求解得到的數(shù)學問題。44感謝你的觀看2019年8月21一、數(shù)學建模的基本思維過程轉(zhuǎn)化實際問題2、尋求的二、微分方程模型

涉及“改變”、“變化”、“增加”、“減少”、“衰變”、“邊際”、“速度”、“運動”、“追趕”、“逃跑”、、、等等詞語的確定性連續(xù)問題。b、微分方程建模的基本手段微元法等a、微分方程建模的對象45感謝你的觀看2019年8月21二、微分方程模型涉及“改變”、“變化

1、尋找改變量一般說來微分方程問題都遵循這樣的文字等式變化率（微商）=單位增加量--單位減少量等式通常是利用已有的原則或定律。c、微分方程建模的基本規(guī)則2、對問題中的特征進行數(shù)學刻畫3、用微元法建立微分方程；4、確定微分方程的定解條件（初邊值條件）；5、求解或討論方程（數(shù)值解或定性理論）6、模型和結(jié)果的討論與分析。46感謝你的觀看2019年8月211、尋找改變量一般說來微分方程問題都遵循這樣的文字對論文的評價主要以“假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性和文字表述的清晰性”為標準。所以，在論文中應(yīng)努力反映出這些特點。三、

數(shù)學建模論文的撰寫方法47感謝你的觀看2019年8月21對論文的評價主要以“假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性論文格式及組成題目摘要，關(guān)鍵詞問題重述模型假設(shè)分析與建立數(shù)學模型數(shù)學模型的求解模型檢驗(總結(jié)與評價)模型推廣參考文獻附錄（若有）正文48感謝你的觀看2019年8月21論文格式及組成題目模型假設(shè)正文7感謝你的觀看2019年8月21、題目論文題目是一篇論文給出的涉及論文范圍及水平的第一個重要信息。要求簡短精練、高度概括、準確得體、恰如其分。既要準確表達論文內(nèi)容，恰當反映所研究的范圍和深度，又要盡可能概括、精練。49感謝你的觀看2019年8月211、題目論文題目是一篇論文給出的涉及論文范圍及水平的第一個重2、摘要、關(guān)鍵詞摘要是論文內(nèi)容不加注釋和評論的簡短陳述，其作用是使讀者不閱讀論文全文既能獲得必要的信息。在數(shù)學建模論文中，摘要是非常重要的一部分。數(shù)學建模論文的摘要應(yīng)包含以下內(nèi)容：所研究的實際問題、建立的模型、求解模型的方法、獲得的基本結(jié)果以及對模型的檢驗或推廣。論文摘要需要概括、簡練的語言反映這些內(nèi)容，尤其要突出論文的優(yōu)點，如巧妙的建模方法、快速有效的算法、合理的推廣等。一般科技論文的摘要要求不列舉例證，不出現(xiàn)圖、表和數(shù)學公式，不自我評價，且字數(shù)200以內(nèi)。前幾年，全國大學生數(shù)學建模競賽要求摘要字數(shù)應(yīng)在300字以內(nèi)。但從2001年開始，為了提高論文評選效率，要求將論文第一頁全用作摘要，對字數(shù)已無明確限制。在摘要中也可適當出現(xiàn)反映結(jié)果數(shù)學公式。50感謝你的觀看2019年8月212、摘要、關(guān)鍵詞摘要是論文內(nèi)容不加注釋和評論的簡短陳述，其作3、問題重述數(shù)學建模比賽要求解決給定的問題，所以論文中應(yīng)敘述給定問題。撰寫這部分內(nèi)容時，不要照抄原題，應(yīng)把握問題的實質(zhì)，再用較精練的語言敘述問題。51感謝你的觀看2019年8月213、問題重述10感謝你的觀看2019年8月214、模型假設(shè)建模時，要根據(jù)問題的特征和建模目的，抓住問題的本質(zhì)，忽略次要因素，對問題進行必要的簡化，做出一些合理的假設(shè)。模型假設(shè)部分要求用精練、準確的語言列出問題中所給出的假設(shè)，以及為了解決問題所做的必要、合理的假設(shè)。假設(shè)作得不合理或太簡單，會導致錯誤的或無用的模型；假設(shè)作得過分詳盡，試圖把復雜對象的眾多因素都考慮進去，會使工作很難或無法繼續(xù)下去，因此常常需要在合理與簡化之間作出恰當?shù)恼壑小?2感謝你的觀看2019年8月214、模型假設(shè)建模時，要根據(jù)問題的特征和建模目的，5、分析與建立模型根據(jù)假設(shè)，用數(shù)學的語言、符號描述對象的內(nèi)在規(guī)律，得到一個數(shù)學結(jié)構(gòu)。建模時應(yīng)盡量采用簡單的數(shù)學工具，使建立的模型易于被人理解。在撰寫這一部分時，對所用的變量、符號、計量單位應(yīng)作解釋，特定的變量和參數(shù)應(yīng)在整篇文章保持一致。為使模型易懂，可借助于適當?shù)膱D形、表格來描述問題或數(shù)據(jù)。53感謝你的觀看2019年8月215、分析與建立模型12感謝你的觀看2019年8月216、模型求解使用各種數(shù)學方法或軟件包求解數(shù)學模型。此部分應(yīng)包括求解過程的公式推導、算法步驟及計算結(jié)果。為求解而編寫的計算機程序應(yīng)放在附錄部分。有時需要對求解結(jié)果進行數(shù)學上的分析，如結(jié)果的誤差分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性或靈敏度分析等。54感謝你的觀看2019年8月216、模型求解13感謝你的觀看2019年8月217、模型檢驗把求解和分析結(jié)果翻譯回到實際問題，與實際的現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性。如果結(jié)果與實際不符，問題常出在模型假設(shè)上，應(yīng)該修改、補充假設(shè)，重新建模。這一步對于模型是否真的有用十分關(guān)鍵。55感謝你的觀看2019年8月217、模型檢驗14感謝你的觀看2019年8月218、模型推廣模型的評價不要流于空泛，需對模型的意義、可信程度、精度等可能問題，需要認真地思考和討論。將該問題的模型推廣到解決更多的類似問題，或討論給出該模型的更一般情況下的解法，或指出可能的深化、推廣及進一步研究的建議。56感謝你的觀看2019年8月218、模型推廣15感謝你的觀看2019年8月219、參考文獻在正文中提及或直接引用的材料或原始數(shù)據(jù)，應(yīng)注明出處，并將相應(yīng)的出版物列舉在考文獻中。需標明出版物名稱、頁碼、著者姓名、出版日期、出版單位等。參考文獻按正文中的引用次序列出，其中書籍的表述方式為：[編號]作者，書名[M]，出版地：出版社，出版年。參考文獻中期刊雜志論文的表述方式為：[編號]作者，論文名[J]，雜志名，出版年，卷期號：起止頁碼。參考文獻中網(wǎng)上資源的表述方式為：[編號]作者，資源標題，網(wǎng)址，訪問時間（年月日）。57感謝你的觀看2019年8月219、參考文獻在正文中提及或直接引用的材料或原始數(shù)據(jù)，應(yīng)注明出10、附錄附錄是正文的補充，與正文有關(guān)而又不便于編入正文的內(nèi)容都收集在這里。包括：計算機程序、比較重要但數(shù)據(jù)量較大的中間結(jié)果等。為便于閱讀，應(yīng)在源程序中加入足夠的注釋和說明語句。58感謝你的觀看2019年8月2110、附錄附錄是正文的補充，與正文有關(guān)而又不便于編入正文的內(nèi)59最簡單的數(shù)學模型之一——“航行問題”用x表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米/小時.甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順水航行需30小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?x=20y=5求解感謝你的觀看2019年8月2118最簡單的數(shù)學模型之一——“航行問題”用x表示船速，y60航行問題建立數(shù)學模型的基本步驟

作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；

用符號表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數(shù)學式子（二元一次方程）；

求解得到數(shù)學解答（x=20,y=5）；

回答原問題（船速每小時20千米/小時）。感謝你的觀看2019年8月2119航行問題建立數(shù)學模型的基本步驟作出簡化假設(shè)（船速、水速四、導彈跟蹤問題1、實驗?zāi)康谋緦嶒炛饕婕俺Ｎ⒎址匠?。通過實驗復習微分方程的建模和求解；介紹兩種微分方程的數(shù)值方法：Euler法和改進的Euler法；還介紹了仿真方法。613、數(shù)學模型微分方程建模的方法主要是依據(jù)守恒律來建立等量關(guān)系式。對于這個問題，尋求等量關(guān)系是比較簡單的。設(shè)坐標系如圖3.1所示，取導彈基地為原點O(0,0)，x軸指向正東方,y軸指向正北方。2、實際問題某軍的一導彈基地發(fā)現(xiàn)正北方向120km處海面上有敵艦一艘以90km/h的速度向正東方向行駛。該基地立即發(fā)射導彈跟蹤追擊敵艇，導彈速度為450km/h，自動導航系統(tǒng)使導彈在任一時刻都能對準敵艇。試問導彈在何時何處擊中敵艦？感謝你的觀看2019年8月21四、導彈跟蹤問題1、實驗?zāi)康?03、數(shù)學模型2、實際問題感

當t=0時，導彈位于點O，敵艇位于點A(0,H)，其中H=120（km）。62設(shè)導彈在t時刻的位置為P(x(t),y(t))，由題意,感謝你的觀看2019年8月21當t=0時，導彈位于點O，敵艇位于點A(0,H方程(3.1),(3.3)連同初值條件構(gòu)成了一個關(guān)于時間變量t的一階微分方程組的初值問題。其中另外在t時刻,敵艇位置為,其中。由于導彈軌跡的切線方向必須指向敵艇，即直線PM的方向就是導彈軌跡上點P的切線方向,故有或?qū)憺?3兩邊對t求導為了尋求x與y的關(guān)系,要設(shè)法消去變量t,由式(3.2)得感謝你的觀看2019年8月21方程(3.1),(3.3)連同初值條件其中22兩邊對t求導即有把式(3.1)寫為代入上式,就得到軌跡方程.這是一個二階非線性微分方程,加上初值條件,則初值問題64感謝你的觀看2019年8月21即有23感謝你的觀看2019年8月21就是導彈軌跡的數(shù)學模型。值得注意的是，前面導出的一階微分方程組(3.1)，(3.3)和(3.4)實際上已經(jīng)是一個數(shù)學模型了，不過多一個變量（或說參數(shù)）而已。65則（3.5）化為一階可分離變量方程即易得由初值條件(3.7)即4、解析方法方程（3.5）可以降階.令感謝你的觀看2019年8月21就是導彈軌跡的數(shù)學模型。值得注意的是，前面導出的一階微分方程注意到上式可改寫為于是有這樣我們又得到一個可分離變量方程積分得利用于是導彈軌跡方程為66感謝你的觀看2019年8月21注意到上式可改寫為25感謝你的觀看2019年8月21設(shè)導彈擊中敵艇于B(L,H),以Y=H代入(3.9)式,得而導彈擊中敵艇的時刻將數(shù)據(jù)代入(3.10),(3.11)式,得675、數(shù)值方法

將初值問題(3.5)~(3.7)化為一階微分方程組感謝你的觀看2019年8月21設(shè)導彈擊中敵艇于B(L,H),以Y=H代入(3.9)式取自變量y的步長為,于是得節(jié)點相應(yīng)點上的x的值和p的值記為顯然,有初值條件我們將介紹兩種近似算法來進行數(shù)值處理.68設(shè)導彈到達處的時刻為那么得到計算的迭代格式ⅠEuler方法

Euler方法十分簡單,就是用差商代替微商,即以代之以而代之以這樣有感謝你的觀看2019年8月21取自變量y的步長為,于于是表3.1是取n=4時的計算結(jié)果,讀者可以用來檢驗程序或應(yīng)用軟件的正確性.

表3.1

kykxkpk000013000.052601.50.123905.00.22412011.50.42此時69感謝你的觀看2019年8月21于是28感謝你的觀看2019年8月21表3.2是對于不同的n值所對應(yīng)的計算結(jié)果.顯然,n越大(即h越小),結(jié)果就越精確.

表3.2n4812244896120240L11.5215.9617.9720.5522.2523.3323.5824.15T0.1280.1770.2000.2280.2470.2590.2620.268

70注意，由問題（3.1）,(3.3),(3.4)消去t推導出問題（3.5）～(3.7)是較為巧妙和偶然的.一般而言，一個微分方程組未必能消去一些變元而減少方程的個數(shù)。那么，我們能否直接對初值問題(3.1),(3.3),(3.4)進行數(shù)值處理呢？答案是肯定的。實際上，只要由方程(3.1),(3.3)解出和的表達式，這樣問題變?yōu)楦兄x你的觀看2019年8月2129注意，由問題（3.1）,(3.3),(3.4)消去取時間步長對應(yīng)時導彈軌跡上點的坐標為則Euler格式為當計算到即停止,于是,71感謝你的觀看2019年8月21取時間步長對應(yīng)表3.3和表3.4分別列出了取步長為0.1和0.05時的計算結(jié)果:

表3.3ktkxkyk

00.00.000000.0000010.10.0000045.0000020.25.3615489.6794630.322.67495131.21553此時取72感謝你的觀看2019年8月21表3.3和表3.4分別列出了取步長為0.

表3.4ktkxkyk

10.050.0000022.5000020.101.0373642.9760730.153.4120567.3504140.207.6461589.4484350.2514.86790110.7579660.3029.19480128.10702此時取表3.5是對應(yīng)不同的,用Euler法所得相應(yīng)的步長推進次數(shù)n和計算結(jié)果.

表3.50.10.050.0050.001n3656278L22.6749529.1948025.6673125.04935T0.251940.324390.285190.2783373感謝你的觀看2019年8月21

Euler方法較為簡單,但也較為粗糙,對形式較復雜的微分方程更易有較大的誤差.人們設(shè)計了不少更精確的近似算法,這里我們介紹其中的一種,進一步研究可看參考書.74其中其中而改進的Euler迭代格式則是Ⅱ.改進的Euler方法(預報---校正法)

以一維情況為例,對問題Euler迭代格式是感謝你的觀看2019年8月21Euler方法較為簡單,但也較為粗糙,對形式由積分表達式的幾何意義看,右邊為下方的曲邊梯形,從圖3.2我們可以看出Euler法是用矩形來代替曲邊梯形,而改進的Euler法則是用梯形來代替曲邊梯形.

對問題(3.18)~(3.20),我們寫出相應(yīng)的改進Euler迭代格式75感謝你的觀看2019年8月21由積分表達式34感謝你的觀看2019年8月2176感謝你的觀看2019年8月2135感謝你的觀看2019年8月21表3.6和表3.7分別列出了取步長為0.1和0.05時的計算結(jié)果:

表3.6ktkxkyk

00.00.000000.0000010.12.6807744.8397320.212.5752488.2867930.322.07242130.25569此時取表3.7ktkxkyk

10.050.5186822.4880420.102.1059644.9219530.155.0982167.2021340.2010.1609689.06906