(完整版)多元線性回歸模型公式

二、多元線性回歸模型在多要素的地理環(huán)境系統(tǒng)中，多個（多于兩個況。因此，多元地理回歸模型更帶有普遍性的意義。（一）多元線性回歸模型的建立ykxx

n（yx

,...,x，1 2 k a 1a 2a kaa1,2,...,n。那么，多元線性回歸模型的結(jié)構(gòu)形式為：yxa 0 1

x22a

...x （3.2.11）kka a式中：,...,0,1

為待定參數(shù)；為隨機(jī)變量。a如果bb

分別為

的擬合值，則回歸方程為0 1 k

0 1 2 k=bbxbx...bx

（3.2.12）式中：

0 11 22 kkb為常數(shù)；0b,b,...,b稱為偏回歸系數(shù)。2 k偏回歸系數(shù)b（ik）i變化一個單位而使因變量y平均改變的數(shù)值。

（ji）都固定時，自變量x每j i

（ik）的估計值b（ik）應(yīng)該使i iQny2nb

b

...b

2min ya aa1

aa1

0 1

kka

（3.2.13）有求極值的必要條件得

Q2nb

y0ya ay 0 a1

（3.2.14）Q2ny

0(j1,2,...,k)bj

a1

yxaja將方程組（3.2.14）式展開整理后得： nb(nxb(n

b...(n

bny 0 1a 1

2a 2

ka k a a1 a1 a1 a1

xb

x2b

xxb...

xxbnxy1a 0 1a 1 1a2a 2 1aka k 1ana1 a1 a1 a1 an

（3.2.15）( x)b 2a

xx1a2a

b1

x2)b2a

...

xx)b2aka

xy2aaa1

a1

...

a1 a1

xb

xxb

xxb...

x2bnxya1

ka

1aka 1 2aka 2 ka k kaa1 a1 a1 a1方程組（3.2.15）式，被稱為正規(guī)方程組。如果引入一下向量和矩陣：b 1 x x ... x0

y

11

k1b

1

1 x x ... x 1

y

12

k2bb

,Y2,X1

x ... x2...

...y

13... ...

23...

...

k3...b k

1 x1n

x ... x2n kn1

1 ... 11 x

x 21

xk1x x

x ...

1

x ... x 11 12

1n

12

k2AXTXx x21 22

x ... x23

1 x13

x 23

xk3... ...xxxnk1 kn

... ... ...1x ... x1k3 kn

... ...x x1n

... ...... xkn n x

nx2a

...

nx kaa1 a1 a1nx nx21a

nxx1a2a

...

xx1akaa1

a1 a1 a1 xnx

nxx1a2a

nx22a

...

xx2akan

a1...n

n

a1... n x ka

xx1aka

xx2aka

...

x2 kaa1

a1 a1

ny a1 1 1 ... 1y

a1

1 nxyx x

x ...

y

1aa11 12

1n2

a1 BXTYx21 x22 x23 ... x2ny3... ... ... ... ......

xy2aax x x ...

y a1... k1 k2 k3

n

xykaa則正規(guī)方程組（3.2.15）式可以進(jìn)一步寫成矩陣形式求解（3.2.15’）

AbB（3.2.15’）bA1B(XTX)1XTY（3.2.16）如果引入記號：

LLij

n(xiaa1

x)(xi

x)(i,j1,2,...,k)jLiy則正規(guī)方程組也可以寫成：

n(xiaa1

x)(yi

y)(i1,2,...,k)LbLb...LbL111

122

1kk 1yLbLb...LbL211 222 2kk 2y

（3.2.15’’）LbLb...LbLk11 k22 kkk ky1bybxbx...bx10 1 22 kk（二）多元線性回歸模型的顯著性檢驗與一元線性回歸模型一樣，當(dāng)多元線性回歸模型建立以后，也需要進(jìn)行顯著性檢驗。與前面yyyy1 2 n

之間的波動或差異，是由兩個因素引起的，一是由于自變量x,x,...,x1 2 k

的取之不同，另一是受其他隨機(jī)因素的影響而引起的。為了從y的離差平方和中把它們區(qū)分開來，就需要對回歸模型進(jìn)行方差分析，也就是將y的離差平方和ST或（Lyy）分解成兩個部分，即回歸平方和U與剩余平方和Q：SLT yy

UQky按公式Un

(( yy) bL計算，而剩余平方和為

aa