數(shù)學(xué)思想講座數(shù)學(xué)與思維發(fā)展的關(guān)系

數(shù)學(xué)與思維發(fā)展的關(guān)系人類的思維是后天形成的，思維受到各種因素的影響，并表現(xiàn)出多面性。但符合邏輯的、精密的、深刻的、聰慧的思維是每個人希望達到的最高境界之一。數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育如此受重視，不完全是因為其廣泛的用途，也不能完全從應(yīng)用的角度來看待數(shù)學(xué)。在上一講中我們說明了數(shù)學(xué)能提供觀察世界的一般觀念和方法外，實際上數(shù)學(xué)對人的其他發(fā)展，尤其是對人的思維發(fā)展有不可或缺的作用和價值，數(shù)學(xué)是為人的更完美發(fā)展提供了良好訓(xùn)練。數(shù)學(xué)與思維發(fā)展的關(guān)系人們常把數(shù)學(xué)形容為思維的體操。培根說過，哲理使人深刻，詩歌使人聰慧，演算使人精密。其實數(shù)學(xué)不單單使人精密，數(shù)學(xué)同樣也使人深刻，使人聰慧！

哲學(xué)、詩歌——不要求每人都會數(shù)學(xué)——每人必須會

1、歸納與完全歸納

思維的一種形式是歸納。那么歸納性質(zhì)的表征是什么呢？所謂歸納，是指通過對有限多個同類對象的觀察分析，猜測一種共性或規(guī)律，并證明這種共性的確是正確的一種思維方法。當(dāng)“同類對象”為有限多個時，我們將對象一一驗證就可獲得結(jié)論（對或錯）；但當(dāng)“同類對象”無法窮舉或?qū)嶋H上就是無限多時，我們原有的思維方法就無法具有說服力了。因此必須尋找一種處理無限的思維方法.即在數(shù)學(xué)上所要求的完全歸納,確保其正確性.1、歸納與完全歸納我們熟悉的完全歸納法——數(shù)學(xué)歸納法。我們來看一些（非完全歸納）例子。

1、歸納與完全歸納

1、歸納與完全歸納1、歸納與完全歸納這說明，考察一組對象的性質(zhì)或規(guī)律時，可能出錯。究其原因在于對于“無窮多”的思維方式不能按照“有限多”方式來處理，否則容易出現(xiàn)問題。這種方法通常成為不完全歸納。1、歸納與完全歸納數(shù)學(xué)對歸納的完全性是要求十分嚴(yán)格，其意義不僅對所有的自然科學(xué)是重要的，而且對人文社會科學(xué)也是重要的。借鑒數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)格性，可以大大提高社會科學(xué)學(xué)科的科學(xué)性。以例帶證的方法屬于不完全歸納，顯然不能令人信服。目前許多社會科學(xué)學(xué)科還是按照這種方式來解釋其命題，科學(xué)性顯然要遭到質(zhì)疑。社會科學(xué)；實驗學(xué)科；2、邏輯思維的代表：演繹當(dāng)歸納具有完全性時，其方法可以說屬于邏輯的范疇了。邏輯思維的代表之一是演繹思維。演義思維最早來自幾何學(xué)，其影響之廣泛使得人們特別看重演繹科學(xué)的地位。實際上，一門學(xué)科是否為成熟的是以它是否已形成一套演繹體系（公理體系）為標(biāo)志的。數(shù)學(xué)的這一特點是與它極強的邏輯性和抽象性緊密聯(lián)系在一起的。2、邏輯思維的代表：演繹抽象：強抽象弱抽象。任意四邊形凸四邊形梯形平行四邊形矩形菱形正方形強抽象弱抽象2、邏輯思思維的代表表：演繹例子：函數(shù)數(shù)概念的演演變過程。。17世紀(jì)：：冪函數(shù)（（多項式））的代名詞詞。18世紀(jì)：：表達式（（初等函數(shù)數(shù)）。歐拉拉給出了y=f(x)的表示示。初等函數(shù)———非初等等函數(shù)（級級數(shù)、積分分表示）———解析表表達式（一一個式子））——分段段函數(shù)（偽偽函數(shù)，柯柯西引入了了“對應(yīng)””術(shù)語，但但還是解析析式子）———Dirichlet函數(shù)數(shù)：Dirichlet函數(shù)不但但從表達式式上突破了了解析式的的限制，而而且還對““凡函數(shù)至至少在一點點連續(xù)”提提出了挑戰(zhàn)戰(zhàn)。2、邏輯思思維的代表表：演繹雖然這個表表達式是認(rèn)認(rèn)為構(gòu)造的的，帶有主主觀性質(zhì)，，但它卻推推動了人們們對函數(shù)本本質(zhì)的客觀觀認(rèn)識。這這也反映了了認(rèn)識論中中的基本內(nèi)內(nèi)涵。主觀觀判斷主觀觀事物一定定要小心，，不要把主主觀臆相混混同于主觀觀構(gòu)想。科科學(xué)需要主主觀構(gòu)想的的。2、邏輯思思維的代表表：演繹Dirichlet函數(shù)———對應(yīng)規(guī)則則（何為對對應(yīng)？）———有序?qū)Γ▁,y）（新新概念）———集合函函數(shù)（泛函函）——廣廣義函數(shù)（（δ函數(shù)）——......上述過程實實際上就是是演繹思維維弱抽象的的例子.2、邏輯思思維的代表表：演繹再以函數(shù)為為例給出強強抽象的例例子.連續(xù)性問題題解決后,出現(xiàn)了可可微性問題題.f(x)=|x|是連續(xù)續(xù)但在0點點不可微的的例子.問題:連續(xù)續(xù)函數(shù)至少少有一個可可微點?Weiestrauss構(gòu)造造了一個處處處連續(xù)但但處處不可可微的例子子,這個例子讓讓數(shù)學(xué)家驚驚嘆:直觀觀似乎告訴訴我們不可可能有這種種函數(shù),直直觀欺騙了了我們.2、邏輯思思維的代表表：演繹函數(shù)——連連續(xù)函數(shù)———不可微微函數(shù)———處處連續(xù)續(xù)處處不可可微函數(shù)。。強抽象過程程。但抽象象性依然很很強。數(shù)學(xué)的抽象象方法很多多，需要學(xué)學(xué)習(xí)和實踐踐逐步加深深了解，在在你領(lǐng)會的的同時，抽抽象思維能能力就得到到了加強和和提