43-齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)課件

§4.3齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組解的性質(zhì)與解空間二、基礎(chǔ)解系及其求法§4.3齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組解的性質(zhì)與

本節(jié)所考慮的齊次線性方程組為簡(jiǎn)記為一、齊次線性方程組解的性質(zhì)與解空間主要討論有非零解的情況。本節(jié)所考慮的齊次線性方程組為簡(jiǎn)記為一、齊次線性方程組解的性1.解的性質(zhì)證明(1)由有(2)由有表明齊次線性方程組解的線性組合仍然是它的解。一、齊次線性方程組解的性質(zhì)與解空間(1)若

為

的解，也是的解。則也是的解。故也是

的解。即(2)若為的解，也是

的解。則P118定理4.31.解的性質(zhì)證明(1)由1.解的性質(zhì)2.解空間稱之為齊次線性方程組的解空間，

解空間又稱為A的零空間或者A的核。啟示說明可以利用向量空間的基與維數(shù)等概念來研究齊次線性方程組的解。一、齊次線性方程組解的性質(zhì)與解空間齊次線性方程組的所有解構(gòu)成一個(gè)向量空間，定義記為P1181.解的性質(zhì)2.解空間稱之為齊次線性方程組的解空間，解二、基礎(chǔ)解系及其求法(1)線性無關(guān)；滿足：(2)的任何一個(gè)解都可以由設(shè)為齊次線性方程組的一組解，定義1.基礎(chǔ)解系線性表出。稱為方程組的(一個(gè))基礎(chǔ)解系。P118定義4.3二、基礎(chǔ)解系及其求法(1)二、基礎(chǔ)解系及其求法1.基礎(chǔ)解系說明一組基礎(chǔ)解系，其中是任意常數(shù)。(1)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系就是其解空間的基，因此基礎(chǔ)解系是不惟一的。(2)一組基礎(chǔ)解系中所含的解向量的個(gè)數(shù)是惟一的，其個(gè)數(shù)即為解空間的維數(shù)。(3)如果為齊次線性方程組

的那么的通解可表示為P119二、基礎(chǔ)解系及其求法1.基礎(chǔ)解系說明一組基礎(chǔ)解系，其中不妨設(shè)A的前r個(gè)列向量線性無關(guān)，二、基礎(chǔ)解系及其求法1.基礎(chǔ)解系2.基礎(chǔ)解系的求法于是

A

可化為設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣

A的秩為初等行變換不妨設(shè)A的前r個(gè)列向量線性無關(guān)，二、基礎(chǔ)解系及其求法二、基礎(chǔ)解系及其求法1.基礎(chǔ)解系2.基礎(chǔ)解系的求法相應(yīng)地，齊次線性方程組等價(jià)(或同解)變形為二、基礎(chǔ)解系及其求法1.基礎(chǔ)解系2.基礎(chǔ)解系的求法相應(yīng)地二、基礎(chǔ)解系及其求法1.基礎(chǔ)解系2.基礎(chǔ)解系的求法進(jìn)一步改寫為其中是自由未知量，共有

(

n

-

r

)

個(gè)。由此得到方程組A

X=0的所有解為：二、基礎(chǔ)解系及其求法1.基礎(chǔ)解系2.基礎(chǔ)解系的求法進(jìn)一步二、基礎(chǔ)解系及其求法1.基礎(chǔ)解系2.基礎(chǔ)解系的求法其中，任意取值。二、基礎(chǔ)解系及其求法1.基礎(chǔ)解系2.基礎(chǔ)解系的求法其中，二、基礎(chǔ)解系及其求法1.基礎(chǔ)解系2.基礎(chǔ)解系的求法令二、基礎(chǔ)解系及其求法1.基礎(chǔ)解系2.基礎(chǔ)解系的求法令二、基礎(chǔ)解系及其求法1.基礎(chǔ)解系2.基礎(chǔ)解系的求法則(1)是方程組的一組線性無關(guān)的解，方程組的所有解可由(2)線性表示，即因此是方程組的一組基礎(chǔ)解系。注：具體對(duì)齊次線性方程組求解時(shí)，不一定非要明確地指出基礎(chǔ)解系，只需按前面的求解過程完成即可。二、基礎(chǔ)解系及其求法1.基礎(chǔ)解系2.基礎(chǔ)解系的求法則(1二、基礎(chǔ)解系及其求法1.基礎(chǔ)解系2.基礎(chǔ)解系的求法3.關(guān)于解空間的維數(shù)定理設(shè)A為階矩陣，解空間的維數(shù)為：推論設(shè)A為階矩陣，則(1)齊次線性方程組A

X=0的任意個(gè)線性無關(guān)的解都是它的(一個(gè))基礎(chǔ)解系。(2)A

X=0有非零解的充要條件是則齊次線性方程組A

X=0的P119定理4.4P120推論1推論2二、基礎(chǔ)解系及其求法1.基礎(chǔ)解系2.基礎(chǔ)解系的求法3.例求解齊次線性方程組(1)對(duì)系數(shù)矩陣施行初等行變換化為標(biāo)準(zhǔn)階梯形解例求解齊次線性方程組(1)對(duì)系數(shù)矩陣施行初等行變換化為標(biāo)準(zhǔn)(2)由標(biāo)準(zhǔn)階梯形得到方程組為(3)由此得到方程組的解：(4)寫成向量形式為:其中任意取值。其中任意取值。(2)由標(biāo)準(zhǔn)階梯形得到方程組為(3)由此得到方程組的解：例求解線性齊次方程組解初等行變換故方程組有無窮多解，其基礎(chǔ)解系中有三個(gè)線性無關(guān)的解向量。由于例求解線性齊次方程組解初等行變換故方程組有無窮多解，其基礎(chǔ)解令自由未知量得到方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為故原方程組的通解為其中為任意常數(shù)。分別令自由未知量得到方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為故原方程組的通解為其中例求解線性齊次方程組解初等行變換兩個(gè)線性無關(guān)的解向量。故方程組有無窮多解，由于其中為自由未知量。其基礎(chǔ)解系中有例求解線性齊次方程組解初等兩個(gè)線性無關(guān)的解向量。故方程組有無令自由未知量得到方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為故原方程組的通解為其中為任意常數(shù)。分別令自由未知量得到方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為故原方程組的通解為其中(1)取求該方程組解空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基附：(2)單位化(1)取求該方程組解空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基附：(2)單位化從而B的三個(gè)列線性相關(guān)，故例設(shè)

B

是三階非零矩陣，它的每一列都是線性齊次方程組的解，求l的值和解由于線性齊次方程組有非零解，當(dāng)時(shí)，即的基礎(chǔ)解系中只含一個(gè)解向量，因此P122例8從而B的三個(gè)列線性相關(guān)，故例設(shè)B是三階非零矩陣，它的例設(shè)

A

為

n

階方陣，且r(

A

)=n

-

1，證明證由r

(

A

)=n

-

1，有又由

A中至少有一個(gè)

n

-

1階子式不等于零，故即的每一列都是線性齊次方程組的解，(本題在前面已經(jīng)利用矩陣秩的不等式證明過)根據(jù)線性齊次方程組解空間的維數(shù)定理可得即的基礎(chǔ)解系中只含一個(gè)解向量，不妨設(shè)為有則的每一列都是的倍數(shù)，例設(shè)A為n階方陣，且r(A)=n-1例設(shè)

A

為

階實(shí)矩陣，證明證(1)先證方程組和等價(jià)。由由(2)由方程組和等價(jià)，有(解空間相等)P122例9例設(shè)A為階實(shí)矩陣，證明證(1

輕松一下吧……輕松一下吧……§4.3齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組解的性質(zhì)與解空間二、基礎(chǔ)解系及其求法§4.3齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組解的性質(zhì)與

本節(jié)所考慮的齊次線性方程組為簡(jiǎn)記為一、齊次線性方程組解的性質(zhì)與解空間主要討論有非零解的情況。本節(jié)所考慮的齊次線性方程組為簡(jiǎn)記為一、齊次線性方程組解的性1.解的性質(zhì)證明(1)由有(2)由有表明齊次線性方程組解的線性組合仍然是它的解。一、齊次線性方程組解的性質(zhì)與解空間(1)若

為

的解，也是的解。則也是的解。故也是

的解。即(2)若為的解，也是

的解。則P118定理4.31.解的性質(zhì)證明(1)由1.解的性質(zhì)2.解空間稱之為齊次線性方程組的解空間，

解空間又稱為A的零空間或者A的核。啟示說明可以利用向量空間的基與維數(shù)等概念來研究齊次線性方程組的解。一、齊次線性方程組解的性質(zhì)與解空間齊次線性方程組的所有解構(gòu)成一個(gè)向量空間，定義記為P1181.解的性質(zhì)2.解空間稱之為齊次線性方程組的解空間，解二、基礎(chǔ)解系及其求法(1)線性無關(guān)；滿足：(2)的任何一個(gè)解都可以由設(shè)為齊次線性方程組的一組解，定義1.基礎(chǔ)解系線性表出。稱為方程組的(一個(gè))基礎(chǔ)解系。P118定義4.3二、基礎(chǔ)解系及其求法(1)二、基礎(chǔ)解系及其求法1.基礎(chǔ)解系說明一組基礎(chǔ)解系，其中是任意常數(shù)。(1)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系就是其解空間的基，因此基礎(chǔ)解系是不惟一的。(2)一組基礎(chǔ)解系中所含的解向量的個(gè)數(shù)是惟一的，其個(gè)數(shù)即為解空間的維數(shù)。(3)如果為齊次線性方程組

的那么的通解可表示為P119二、基礎(chǔ)解系及其求法1.基礎(chǔ)解系說明一組基礎(chǔ)解系，其中不妨設(shè)A的前r個(gè)列向量線性無關(guān)，二、基礎(chǔ)解系及其求法1.基礎(chǔ)解系2.基礎(chǔ)解系的求法于是

A

可化為設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣

A的秩為初等行變換不妨設(shè)A的前r個(gè)列向量線性無關(guān)，二、基礎(chǔ)解系及其求法二、基礎(chǔ)解系及其求法1.基礎(chǔ)解系2.基礎(chǔ)解系的求法相應(yīng)地，齊次線性方程組等價(jià)(或同解)變形為二、基礎(chǔ)解系及其求法1.基礎(chǔ)解系2.基礎(chǔ)解系的求法相應(yīng)地二、基礎(chǔ)解系及其求法1.基礎(chǔ)解系2.基礎(chǔ)解系的求法進(jìn)一步改寫為其中是自由未知量，共有

(

n

-

r

)

個(gè)。由此得到方程組A

X=0的所有解為：二、基礎(chǔ)解系及其求法1.基礎(chǔ)解系2.基礎(chǔ)解系的求法進(jìn)一步二、基礎(chǔ)解系及其求法1.基礎(chǔ)解系2.基礎(chǔ)解系的求法其中，任意取值。二、基礎(chǔ)解系及其求法1.基礎(chǔ)解系2.基礎(chǔ)解系的求法其中，二、基礎(chǔ)解系及其求法1.基礎(chǔ)解系2.基礎(chǔ)解系的求法令二、基礎(chǔ)解系及其求法1.基礎(chǔ)解系2.基礎(chǔ)解系的求法令二、基礎(chǔ)解系及其求法1.基礎(chǔ)解系2.基礎(chǔ)解系的求法則(1)是方程組的一組線性無關(guān)的解，方程組的所有解可由(2)線性表示，即因此是方程組的一組基礎(chǔ)解系。注：具體對(duì)齊次線性方程組求解時(shí)，不一定非要明確地指出基礎(chǔ)解系，只需按前面的求解過程完成即可。二、基礎(chǔ)解系及其求法1.基礎(chǔ)解系2.基礎(chǔ)解系的求法則(1二、基礎(chǔ)解系及其求法1.基礎(chǔ)解系2.基礎(chǔ)解系的求法3.關(guān)于解空間的維數(shù)定理設(shè)A為階矩陣，解空間的維數(shù)為：推論設(shè)A為階矩陣，則(1)齊次線性方程組A

X=0的任意個(gè)線性無關(guān)的解都是它的(一個(gè))基礎(chǔ)解系。(2)A

X=0有非零解的充要條件是則齊次線性方程組A

X=0的P119定理4.4P120推論1推論2二、基礎(chǔ)解系及其求法1.基礎(chǔ)解系2.基礎(chǔ)解系的求法3.例求解齊次線性方程組(1)對(duì)系數(shù)矩陣施行初等行變換化為標(biāo)準(zhǔn)階梯形解例求解齊次線性方程組(1)對(duì)系數(shù)矩陣施行初等行變換化為標(biāo)準(zhǔn)(2)由標(biāo)準(zhǔn)階梯形得到方程組為(3)由此得到方程組的解：(4)寫成向量形式為:其中任意取值。其中任意取值。(2)由標(biāo)準(zhǔn)階梯形得到方程組為(3)由此得到方程組的解：例求解線性齊次方程組解初等行變換故方程組有無窮多解，其基礎(chǔ)解系中有三個(gè)線性無關(guān)的解向量。由于例求解線性齊次方程組解初等行變換故方程組有無窮多解，其基礎(chǔ)解令自由未知量得到方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為故原方程組的通解為其中為任意常數(shù)。分別令自由未知量得到方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為故原方程組的通解為其中例求解線性齊次方程組解初等行變換兩個(gè)線性無關(guān)的解向量。故方程組有無窮多解，由于其中為自由未知量。其基礎(chǔ)解系中有例求解線性齊次方程組解初等兩個(gè)線性無關(guān)的解向量。故方程組有無令自由未知量得到方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為故原方程組的通解為其中為任意常數(shù)。分別令自由未知量得到方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為故原方程組的通解為其中(1)取求該方程組解空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基附：(2)單位化(1)取求該方程組解空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基附：(2)單