自動控制原理的復(fù)習(xí)總結(jié)

自動控制原理的復(fù)習(xí)總結(jié)1.階躍函數(shù)階躍函數(shù)的定義是???=<>0,00,(ttArtx式中A為常數(shù)。A等于1的階躍函數(shù)稱為單位階躍函數(shù),如圖所示。它表示為xr(t=l(t,或xr(t=u(t單位階躍函數(shù)的拉氏變換為Xr(s=L[1(t]=1/s在t=0處的階躍信號,相當(dāng)于一個不變的信號突然加到系統(tǒng)上;對于恒值系統(tǒng),相當(dāng)于給定值突然變化或者突然變化的擾動量;對于隨動系統(tǒng),相當(dāng)于加一突變的給定位置信號。2.斜坡函數(shù)這種函數(shù)的定義是?????<>=0,00,(tttAtxr式中A為常數(shù)。該函數(shù)的拉氏變換是Xr(s=L[At]=A/s2這種函數(shù)相當(dāng)于隨動系統(tǒng)中加入一按恒速變化的位置信號,該恒速度為A。當(dāng)A=l時,稱為單位斜坡函數(shù),如圖所示。3.拋物線函數(shù)如圖所示,這種函數(shù)的定義是?????<>=0,00,t(2ttAtxr式中A為常數(shù)。這種函數(shù)相當(dāng)于隨動系統(tǒng)中加入一按照恒加速變化的位置信號,該恒加速度為A。拋物線函數(shù)的拉氏變換是Xr(s=L[At2]=2A/s3當(dāng)A=1/2時,稱為單位拋物線函數(shù),即Xr(s=1/s3。4.脈沖函數(shù)這種函數(shù)的定義是???????→<<→><=0(0,0(,0,0(εεεεεtAtttxr式中A為常數(shù),ε為趨于零的正數(shù)。脈沖函數(shù)的拉氏變換是AALsXr=??????=→εεlim0(當(dāng)A=1,ε→0時,稱為單位脈沖函數(shù)δ(t,如圖所示。單位脈沖函數(shù)的面積等于l,即?∞∞-=1(dttδ在t=t0處的單位脈沖函數(shù)用δ(t-t0來表示,它滿足如下條件幅值為無窮大、持續(xù)時間為零的脈沖純屬數(shù)學(xué)上的假設(shè),但在系統(tǒng)分析中卻很有用處。單位脈沖函數(shù)δ(t可認為是在間斷點上單位階躍函數(shù)對時間的導(dǎo)數(shù),即反之,單位脈沖函數(shù)δ(t的積分就是單位階躍函數(shù)。控制系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)對控制系統(tǒng)的一般要求歸納為穩(wěn)、準(zhǔn)、快。工程上為了定量評價系統(tǒng)性能好壞,必須給出控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)的準(zhǔn)確定義和定量計算方法。1動態(tài)性能指標(biāo)動態(tài)性能指標(biāo)通常有如下幾項:延遲時間dt階躍響應(yīng)第一次達到終值(∞h的50%所需的時間。上升時間rt階躍響應(yīng)從終值的10%上升到終值的90%所需的時間;對有振蕩的系統(tǒng),也可定義為從0到第一次達到終值所需的時間。峰值時間pt階躍響應(yīng)越過穩(wěn)態(tài)值(∞h達到第一個峰值所需的時間。調(diào)節(jié)時間st階躍響到達并保持在終值(∞h5±%誤差帶內(nèi)所需的最短時間;有時也用終值的2±%誤差帶來定義調(diào)節(jié)時間。超調(diào)量σ%峰值(pth超出終值(∞h的百分比,即σ%100(((?∞∞-=hhthp%在上述動態(tài)性能指標(biāo)中,工程上最常用的是調(diào)節(jié)時間st(描述“快”,超調(diào)量σ%(描述“勻”以及峰值時間pt。2穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)穩(wěn)態(tài)誤差是時間趨于無窮時系統(tǒng)實際輸出與理想輸出之間的誤差,是系統(tǒng)控制精度或抗干擾能力的一種度量。穩(wěn)態(tài)誤差有不同定義,通常在典型輸入下進行測定或計算。一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)一.一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型由一階微分方程描述的系統(tǒng),稱為一階系統(tǒng)。一些控制元部件及簡單系統(tǒng)如RC網(wǎng)絡(luò)、發(fā)電機、空氣加熱器、液面控制系統(tǒng)等都是一階系統(tǒng)。因為單位階躍函數(shù)的拉氏變換為R(s=1/s,故輸出的拉氏變換式為11111(((+-=?+=?Φ=TsTssTssRssC取C(s的拉氏反變換得tTec(t11--=或?qū)懗蓆tssccc(t+=式中,css=1,代表穩(wěn)態(tài)分量;tTttec1--=代表暫態(tài)分量。當(dāng)時間t趨于無窮,暫態(tài)分量衰減為零。顯然,一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線是一條由零開始,按指數(shù)規(guī)律上升并最終趨于1的曲線,如圖所示。響應(yīng)曲線具有非振蕩特征,故又稱為非周期響應(yīng)。一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)典型二階系統(tǒng)方框圖,其閉環(huán)傳遞函數(shù)為:(((vmvmvmvKssTKsTsKsTsKsRsCs++=+++==Φ21(/11(/2222nnnssωζωω++=式中Kv--開環(huán)增益;ωn--無阻尼自然頻率或固有頻率,mvnTK=ω;ζ--阻尼比,mnTωζ21=。二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為s2+2ζωns+ω2n=0其特征根為nsωζζ?????-±-=122,11.臨界阻尼(ζ=1其時域響應(yīng)為(1(1tetcntnωω+-=-上式包含一個衰減指數(shù)項。c(t為一無超調(diào)的單調(diào)上升曲線,如圖3-8b所示。(a(b(cζ≥1時二階系統(tǒng)的特征根的分布與單位階躍響應(yīng)2.過阻尼(ζ>1具有兩個不同負實根]1(,[221nssωζζ-±-=的慣性環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)拉氏變換式。其時域響應(yīng)必然包含二個衰減的指數(shù)項,其動態(tài)過程呈現(xiàn)非周期性,沒有超調(diào)和振蕩。圖為其特征根分布圖。3.欠阻尼(0<ζ<1圖3-90<ζ<1時二階系統(tǒng)特征根的分布圖3-10欠阻尼時二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)4.無阻尼(ζ=0((222nnsssCωω+=其時域響應(yīng)為(ttcnωcos1-=在這種情況下,系統(tǒng)的響應(yīng)為等幅(不衰減振蕩,圖ζ=0時特征根的分布圖ζ=0時二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)5.負阻尼(ζ<0當(dāng)ζ<0時,特征根將位于復(fù)平面的虛軸之右,其時域響應(yīng)中的e的指數(shù)將是正的時間函數(shù),因而tneζω-為發(fā)散的,系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。顯然,ζ≤0時的二階系統(tǒng)都是不穩(wěn)定的,而在ζ≥1時,系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的速度又太慢,所以對二階系統(tǒng)而言,欠阻尼情況是最有實際意義的。下面討論這種情況下的二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)。欠阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)1.上升時間tr上升時間tr是指瞬態(tài)響應(yīng)第一次到達穩(wěn)態(tài)值所需的時間。21ζωθπωθπ--=-=ndrt由此式可見,阻尼比ζ越小,上升時間tr則越小;ζ越大則tr越大。固有頻率ωn越大,tr越小,反之則tr越大。2.峰值時間tp及最大超調(diào)量Mp21ζωπωπ-==ndpt最大超調(diào)量πζζ1/(max2(--=∞-=eccMp最大超調(diào)百分數(shù)%100.((%1/(max2πζζδ--=∞∞-=ecccc3.調(diào)整時間ts707.004]1ln(214[1%2(707.003]1ln(213[1%5(22<<≈--=<<≈--=ζζωζζωζζωζζω,,nnsnnstt圖3-13二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的一對包絡(luò)線圖3-14調(diào)節(jié)時間和阻尼比的近似關(guān)系根據(jù)以上分析,二階振蕩系統(tǒng)特征參數(shù)ζ和ωn與瞬態(tài)性能指標(biāo)(δ4.振蕩次數(shù)μ在調(diào)整時問ts之內(nèi),輸出c(t波動的次數(shù)稱為振蕩次數(shù)μ,顯然fstt=μ式中2122ζωπωπ-==ndft,稱為阻尼振蕩的周期時間。(122122++=TSSTsφ這一系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)瞬態(tài)特性指標(biāo)為:最大超調(diào)百分數(shù)%3.4%1001/(%2=?=--πζζδe上升時間Ttnr7.412=--=ζωθπ調(diào)整時間(Tts43.8%2=(用近似式求得為8T(Tts14.4%5=(用近似式求得為6T有一位置隨動系統(tǒng)其中Kk=4。求該系統(tǒng)的(1固有頻率;(2阻尼比;(3超調(diào)量和調(diào)整時間;(4如果要求實現(xiàn)工程最佳參數(shù)ζ=l/2,開環(huán)放大系數(shù)kk值應(yīng)是多少?【解】系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為(kkKssKs++=2φ4=kK與二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)形式的傳遞函數(shù)(2222nnnsssωζωωφ++=對比得:(1固有頻率24===knKω(2阻尼比由12=nζω得25.021==nωζ(3超調(diào)(%47%100%1/(2=?=--neζζδ(4調(diào)整時間(stns63%5=≈ξω當(dāng)要求21=ζ時,由12=nζω得5.0,212===nknKωω可見該系統(tǒng)要滿足工程最佳參數(shù)的要求,須降低開環(huán)放大系數(shù)kK的值。但是,降低kK值將增大系統(tǒng)的誤差。勞斯穩(wěn)定判據(jù)將系統(tǒng)的特征方程式寫成如下標(biāo)準(zhǔn)式0122110=+++++---nnnnnasasasasa將各系數(shù)組成如下排列的勞斯表1112124321343212753116420gsfseesccccsbbbbsaaaasaaaasonnnn---表中的有關(guān)系數(shù)為130211aaaaab-=150412aaaaab-=170613aaaaab-=系數(shù)ib的計算,一直進行到其余的b值全部等于零為止。121311bbaabc-=131512bbaabc-=141713bbaabc-=這一計算過程,一直進行到n行為止。為了簡化數(shù)值運算,可以用一個正整數(shù)去除或乘某一行的各項,這時并不改變穩(wěn)定性的結(jié)論。(l第一列所有系數(shù)均不為零的情況第一列所有系數(shù)均不為零時,勞斯判據(jù)指出,特征方程式的實部為正實數(shù)根的數(shù)目等于勞斯表中第一列的系數(shù)符號改變的次數(shù)。方程式的根全部在復(fù)平面的左半平面的充分必要條件是,方程式的各項系數(shù)全部為正值,并且勞斯表的第一列都具有正號。例如,三階系統(tǒng)的特征方程式為0322130=+++asasasa列出勞斯表為3130211312203asaaaaasaasaas-則系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是00>a,01>a,02>a,03>a,0(3021>-aaaa系統(tǒng)的特征方程為054322345=+++++sssss試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解計算勞斯表中各元素的數(shù)值,并排列成下表532059031532411012345ssssss-由上表可以看出,第一列各數(shù)值的符號改變了兩次,由+2變成-1,又由-1改變成+9。因此該系統(tǒng)有兩個正實部的根,系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。(2某行第一列的系數(shù)等于零而其余項中某些項不等于零的情況在計算勞斯表中的各元素的數(shù)值時,如果某行的第一列的數(shù)值等于零,而其余的項中某些項不等于零,那么可以用一有限小的數(shù)值ε來代替為零的那一項,然后按照通常方法計算陣列中其余各項。如果零(ε上面的系數(shù)符號與零(ε下面的系數(shù)符號相反,則表明這里有一個符號變化。例如,對于下列特征方程式0122234=++++ssss勞斯表為12210(02211101234sssssεε-≈現(xiàn)在觀察第一列中的各項數(shù)值。當(dāng)ε趨近于零時,ε22-的值是一很大的負值,因此可以認為第一列中的各項數(shù)值的符號改變了兩次。由此得出結(jié)論,該系統(tǒng)特征方程式有兩個根具有正實部,系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。如果零(ε上面的系數(shù)符號與零(ε下面的系數(shù)符號不變,則表示系統(tǒng)有純虛根。例如,對下列特征方程式02223=+++sss勞斯表為222110123ssssε可以看出,第一列各項中ε的上面和下面的系數(shù)符號不變,故有一對虛根。將特征方程式分解,有02(1(2=++ss解得根為12,1jp±=-,23-=-p(3某行所有各項系數(shù)均為零的情況如果勞斯表中某一行的各項均為零,或只有等于零的一項,這表示在s平面內(nèi)存在一些大小相等但符號相反的特征根。在這種情況下,可利用全零行的上一行各系數(shù)構(gòu)造一個輔助方程,式中s均為偶次。將輔助方程對s求導(dǎo),用所得的導(dǎo)數(shù)方程系數(shù)代替全零行,然后繼續(xù)計算下去。至于這些大小相等,符號相反的根,可以通過解輔助方程得到。系統(tǒng)特征方程式為0161620128223456=++++++ssssss試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解勞斯表中的6s~3s各項為1620816s0861016122345sss由上表可以看出,3s行的各項全部為零。為了求出3s-0s各項,將4s行的各項組成輔助方程為86(24++=sssA將輔助方程(sA對s求導(dǎo)數(shù)得ssdssdA124(3+=用上式中的各項系數(shù)作為3s行的各項系數(shù),并計算以下各行的各項系數(shù),得勞斯表為124861016122162081346sssss83483012sss從上表的第一列可以看出,各項符號沒有改變,因此可以確定在右半平面沒有特征方程式的根。另外,由于3s行的各項皆為零,這表示有共軛虛根。這些根可由輔助方程求出。本例中的輔助方程式是08624=++ss由之求得特征方程式的大小相等符號相反的虛根為22,1jp±=-,24,3jp±=-,216,5jp±-=-穩(wěn)態(tài)誤差及其計算誤差本身是時間t的函數(shù),在時域中以(te表示。穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終值稱為穩(wěn)態(tài)誤差sse,即為誤差信號的穩(wěn)態(tài)分量,則穩(wěn)態(tài)誤差為((limlimssEteestss→∞→==系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)((((11sHsGsRsE+=故E(s=R(s1+G(sH(ssR(s1+G(sH(s將系統(tǒng)誤差的拉氏變換E(s代入(3-38，得穩(wěn)態(tài)誤差的計算公式為ess=lims→0控制系統(tǒng)的型別控制系統(tǒng)的一般開環(huán)傳遞函數(shù)可以寫成G(sH(s=Kk∏(Tis+1sN∏(Tjs+1j=1i=1n?Nm式中Kk為開環(huán)放大系數(shù)或稱為開環(huán)傳遞系數(shù)；Ti、Tj為時間常數(shù)；N表示開環(huán)傳遞函數(shù)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)個數(shù)。這是一個很重要的結(jié)構(gòu)參數(shù)。根據(jù)N的數(shù)值，可將系統(tǒng)分為幾種不同類型。N＝0的系統(tǒng)稱為0型系統(tǒng)；N＝1的系統(tǒng)稱為I型系統(tǒng)；N=2的系統(tǒng)稱為II型系統(tǒng)。當(dāng)N＞2時，要使系統(tǒng)穩(wěn)定是很困難的。因此，一般采用的是0型、I型和II型系統(tǒng)。典型輸入下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差對于不同輸入函數(shù)，下面分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。1.單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差單位階躍輸入(R(s=1下的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，由式(3-40得ss11ess=lim=1+G(sH(ss→01+G(sH(sskp=limG(sH(ss→0定義kp稱為位置誤差系數(shù)，則ess=0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為11+Kpess=11+Kkess=0I型或高于I型的系統(tǒng)的位置穩(wěn)態(tài)誤差為2.單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差單位斜坡輸入(R(s=1的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差s211ess=lims→0s1?2=1+G(sH(ss1limsG(sH(ss→0定義Kν=limsG(sH(ss→0Kν稱為速度誤差系數(shù)。則對于0型系統(tǒng)ess=1KνKk∏(Tis+1s0mkν=lims→0∏(Ts+1jj=1i=1n=0所以對于I型系統(tǒng)ess=∞Kk∏(Tis+1s∏(Tjs+1j=1i=1nmkν=limss→0=Kk所以對于II型或更高型系統(tǒng)ess=11=kνKkmkν=limss→0Kk∏(Tis+1s2∏(T