大學(xué)物理第17章量子力學(xué)基礎(chǔ)課件

第17章量子力學(xué)§17.1物質(zhì)的波粒二象性§17.2不確定關(guān)系§17.3薛定諤方程§17.4一維無限深勢阱

§17.5勢壘貫穿§17.6氫原子的量子力學(xué)處理§17.7多電子原子§17.8量子力學(xué)的理論假設(shè)第17章量子力學(xué)§17.1物質(zhì)的波粒二象性§17.1大學(xué)物理第17章量子力學(xué)基礎(chǔ)課件2§17.1物質(zhì)的波粒二象性1672年Newton提出光的微粒說：1678年惠更斯提出光是縱向波：干涉、衍射、偏振；黑體輻射、光電效應(yīng)1905年Einstein

提出光子的能量：1917年Einstein又提出光子不僅有能量，而且有動(dòng)量P1.光的二象性光具有波粒二象性!!!波動(dòng)性(,v)粒子性(m,p)一、德布羅意物質(zhì)波假設(shè)§17.1物質(zhì)的波粒二象性1672年Newton提出光的32.微粒的波動(dòng)性1924年deBroglie根據(jù)光的波粒二象性，提出了：deBroglie一個(gè)能量為E、動(dòng)量為P的實(shí)物粒子同時(shí)具有波動(dòng)性，波長和頻率分別是一切實(shí)物粒子也具有波粒二象性。實(shí)物粒子：靜止質(zhì)量不為0的粒子。例如：電子、質(zhì)子等。實(shí)物粒子的波又叫deBroglie波(物質(zhì)波或概率波）。2.微粒的波動(dòng)性1924年deBroglie根據(jù)光的波粒4二.deBroglie波的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證戴維孫-革末：單晶電子衍射實(shí)驗(yàn)（1927）UNi單晶GUIIU當(dāng)電壓為54V,=65電子流最強(qiáng)=65,d=0.091nm,n=1=0.165nm=0.167nm粒子性:實(shí)驗(yàn):二.deBroglie波的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證戴維孫-革末：單晶電5

電子通過金薄膜的衍射實(shí)驗(yàn)2.湯姆遜（G.P.Thomson）實(shí)驗(yàn)（1927）電子的單縫、雙縫、三縫和四縫衍射實(shí)驗(yàn)3.約恩遜(Jonsson)實(shí)驗(yàn)（1961）基本數(shù)據(jù)電子通過金薄膜的衍射實(shí)驗(yàn)2.湯姆遜（G.P.Thomso6透射電鏡（transmissionelectronmicroscopeTEM）透射電鏡是以電子束透過樣品經(jīng)過聚焦與放大后所產(chǎn)生的物像，投射到熒光屏上或照相底片上進(jìn)行觀察。微粒的波動(dòng)性的應(yīng)用-----電子束代替光波來實(shí)現(xiàn)成像(電子顯微鏡)電子與物質(zhì)相互作用會(huì)產(chǎn)生透射電子，彈性散射電子，能量損失電子，二次電子，背反射電子，吸收電子，X射線，俄歇電子，陰極發(fā)光等等。電子顯微鏡就是利用這些信息來對(duì)試樣進(jìn)行形貌觀察、成分分析和結(jié)構(gòu)測定。掃描電鏡（scanningelectronmicroscopeSEM）掃描電鏡是用極細(xì)的電子束在樣品表面掃描，將產(chǎn)生的二次電子用特制的探測器收集，形成電信號(hào)運(yùn)送到顯像管，在熒光屏上顯示物體。透射電鏡（transmissionelectronmic7TA16(Ti-Al-Zr)經(jīng)1×1017N+/cm2注入后的TEM形貌及對(duì)應(yīng)的衍射斑點(diǎn)

鈦合金在多種強(qiáng)腐蝕性介質(zhì)中具有很強(qiáng)的耐蝕性，故在能源工業(yè)中它是重要的候選結(jié)構(gòu)材料，它應(yīng)用于制造原子能核反應(yīng)堆的結(jié)構(gòu)材料，海洋熱能轉(zhuǎn)換（OTEC）系統(tǒng)熱交換器，地?zé)猁}水試驗(yàn)用熱交換器，海水冷卻表面冷凝器管TA16(Ti-Al-Zr)經(jīng)1×1017N+/cm8不同摻雜濃度ZnO:Al薄膜的掃描電子顯微鏡SEM圖像摻鋁ZnO薄膜具有可見光區(qū)高透過率和低電阻率的特點(diǎn)，所以很適合制作太陽能電池和平板顯示器件的透明電極，另外也可用來制作聲表面波器件和光波導(dǎo)等。不同摻雜濃度ZnO:Al薄膜的掃描電子顯微鏡SEM圖像摻鋁9三.

物質(zhì)波的統(tǒng)計(jì)解釋(1926年玻恩)波動(dòng)觀點(diǎn)粒子觀點(diǎn)明紋處:波強(qiáng)大

電子出現(xiàn)的概率大暗紋處:波強(qiáng)小

電子出現(xiàn)的概率小

波強(qiáng)與粒子在該處附近出現(xiàn)的概率成正比。

可見，物質(zhì)波是一種概率波。xxs2s1poDdr2r1...電子束三.物質(zhì)波的統(tǒng)計(jì)解釋(1926年玻恩)波10用物質(zhì)波的概念成功地解釋了玻爾提出的軌道量子化條件。λr（軌道角動(dòng)量量子化條件）朗之萬把德布羅意的文章寄給愛因斯坦，愛因斯坦說：“揭開了自然界巨大帷幕的一角”，“瞧瞧吧，看來瘋狂，可真是站得住腳呢”用物質(zhì)波的概念成功地解釋了玻爾提出的軌道量子化條件。λr（軌11經(jīng)典粒子:只需考慮粒子性,遵從決定論,適用牛頓力學(xué)。微觀粒子:波粒二象性,遵從概率定律,適用量子力學(xué)。問題:2.E=mc2=hv對(duì)實(shí)物粒子:

=c?錯(cuò)。

1.

經(jīng)典粒子與微觀粒子有何區(qū)別?經(jīng)典粒子:只需考慮粒子性,遵從決定論,適用牛頓力學(xué)。12例17.1.1

(1)電子動(dòng)能Ek=100eV；(2)子彈動(dòng)量p=6.63×106kg.m.s-1,求德布羅意波長。解:(1)因電子動(dòng)能較小，速度較小，可用非相對(duì)論公式求解。=1.23?(2)子彈:h=6.63×10-34=1.0×10-40m

可見，只有微觀粒子的波動(dòng)性較顯著；而宏觀粒子(如子彈)的波動(dòng)性根本測不出來。例17.1.1(1)電子動(dòng)能Ek=100eV；(2)子彈13

例17.1.2

用5×104V的電壓加速電子，求電子的速度、質(zhì)量和德布羅意波長。解:因加速電壓大，應(yīng)考慮相對(duì)論效應(yīng)。=1.24×108(m/s)=10×10-31(kg)=0.0535?mo=9.11×10-31(kg)例17.1.2用5×104V的電壓加速電子，求電子的14§17.2不確定關(guān)系波和粒子是兩個(gè)截然不同的概念。既然微觀粒子具有明顯的波粒二象性,那么采用經(jīng)典力學(xué)的方法描述微觀粒子,就將受到限制。yx圖17-2...單能電子束衍射后:

落在中央明紋范圍內(nèi)的電子動(dòng)量的不確定范圍為0≤px≤psin先考慮中央明紋。px=0,py=p電子衍射前:§17.2不確定關(guān)系波和粒子是兩個(gè)截然不同的概念。既15對(duì)第一級(jí)衍射暗紋，有

xsin=,其中x—縫寬于是若計(jì)及更高級(jí)次的衍射,應(yīng)有

xpx

h即電子在x方向上動(dòng)量的不確定量為

px=psinyx圖17-2...單能電子束

xpx=h對(duì)y和z分量，也有類似的關(guān)系。對(duì)第一級(jí)衍射暗紋，有若計(jì)及更高級(jí)次的衍射,應(yīng)有即電子在x方16xpx

h(17-1)還可寫為

實(shí)際上上述公式只用于數(shù)量級(jí)的估計(jì),所以這些公式所反映的物理內(nèi)涵是相同的。式(17-1)[(17-2),(17-3)]稱為不確定關(guān)系，又稱測不準(zhǔn)關(guān)系。(17-2)(17-3)xpxh171.不確定關(guān)系式(17-3)表明：微觀粒子的坐標(biāo)測得愈準(zhǔn)確(x0)，動(dòng)量就愈不準(zhǔn)確(px)

；微觀粒子的動(dòng)量測得愈準(zhǔn)確(px0)，坐標(biāo)就愈不準(zhǔn)確(x)

。但這里要注意，不確定關(guān)系不是說微觀粒子的坐標(biāo)測不準(zhǔn)；也不是說微觀粒子的動(dòng)量測不準(zhǔn)；更不是說微觀粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量都測不準(zhǔn)；而是說微觀粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量不能同時(shí)測準(zhǔn)。(17-3)1.不確定關(guān)系式(17-3)表明：(17-3)18這是因?yàn)槲⒂^粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量本來就不同時(shí)具有確定量。這本質(zhì)上是微觀粒子具有波粒二象性的必然反映。由上討論可知，不確定關(guān)系是自然界的一條客觀規(guī)律,不是測量技術(shù)和主觀能力的問題。

2.為什么微觀粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量不能同時(shí)測準(zhǔn)呢?3.不確定關(guān)系提供了一個(gè)判據(jù)：當(dāng)不確定關(guān)系施加的限制可以忽略時(shí)，則可以用經(jīng)典理論來研究粒子的運(yùn)動(dòng)。當(dāng)不確定關(guān)系施加的限制不可以忽略時(shí)，那只能用量子力學(xué)理論來處理問題。這是因?yàn)槲⒂^粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量本來就不同時(shí)具有確定量。19

例題17.2.1

估算氫原子中電子速度的不確定量。解電子被束縛在原子球內(nèi),坐標(biāo)的不確定量是x=10-10m(原子的大小),按不確定關(guān)系:xpx

h,則電子速度的不確定量為電子速度的不確定量是如此之大！可見,微觀粒子的速度和坐標(biāo)不能同時(shí)準(zhǔn)確測定。這也表明，不確定關(guān)系施加的限制不允許我們用經(jīng)典理論來研究氫原子的問題，像氫原子這樣的微觀粒子只能用量子力學(xué)理論來處理。例題17.2.1估算氫原子中電子速度的20例題17.2.2

子彈質(zhì)量m=0.1kg,速度測量的不確定量是x=10-6m/s(應(yīng)當(dāng)說這個(gè)測量夠精確的了！)，求子彈坐標(biāo)的不確定量。解按不確定關(guān)系:xpx

h,則子彈坐標(biāo)的不確定量為可見,子彈的速度和坐標(biāo)能同時(shí)準(zhǔn)確測定。這表示，不確定關(guān)系施加的限制可以忽略，像子彈這樣的宏觀物體可以用經(jīng)典理論來研究它的運(yùn)動(dòng)。例題17.2.2子彈質(zhì)量m=0.1kg,速度測量的21例題17.2.3

波長=5000?的光沿x軸正方向傳播，波長的不確定量為=10-3?，求光子坐標(biāo)的不確定量。解光子的動(dòng)量按不確定關(guān)系:xpx

h,則光子坐標(biāo)的不確定量為例題17.2.3波長=5000?的光沿x軸正方向傳播22§17.3薛定諤方程

1.波函數(shù)對(duì)微觀粒子，由于不確定關(guān)系施加的限制不可以忽略，它的速度和坐標(biāo)不能同時(shí)確定，因此微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),不能用坐標(biāo)、速度、加速度等物理量來描述。由于微觀粒子具有波粒二象性，這就要求在描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)，要有創(chuàng)新的概念和思想來統(tǒng)一波和粒子這樣兩個(gè)在經(jīng)典物理中截然不同的物理圖像。波函數(shù)就是作為量子力學(xué)基本假設(shè)之一引入的一個(gè)新的概念。量子力學(xué)認(rèn)為：微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可用一個(gè)復(fù)函數(shù)(x,y,z,t)來描述，函數(shù)(x,y,z,t)—稱為波函數(shù)?！?7.3薛定諤方程1.波函數(shù)232.波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋波動(dòng)觀點(diǎn)粒子觀點(diǎn)明紋處:電子波強(qiáng)(x,y,z,t)2大,電子出現(xiàn)的概率大;暗紋處:電子波強(qiáng)(x,y,z,t)2小,電子出現(xiàn)的概率小?？梢?，波函數(shù)模的平方(x,y,z,t)2與粒子在該處附近出現(xiàn)的概率成正比。xxs2s1po圖17-1D2ar2r1...電子束K=0K=1K=1K=2K=22.波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋241926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋：

波函數(shù)模的平方(x,y,z,t)2

表示粒子在t時(shí)刻在(x,y,z)處的單位體積中出現(xiàn)的概率，即概率密度。

而(x,y,z,t)2dxdydz上式一般稱為波函數(shù)的歸一化條件。波函數(shù)都應(yīng)當(dāng)是歸一化的。(17-21)玻恩對(duì)波函數(shù)的這種統(tǒng)計(jì)解釋，把微觀粒子的波粒二象性作出了完美的描述。(1)因?yàn)樵谡麄€(gè)空間內(nèi)粒子出現(xiàn)的概率是1,所以有表示粒子在t時(shí)刻在(x,y,z)處的體積元dxdydz中出現(xiàn)的概率。1926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函數(shù)25(2)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件由于一定時(shí)刻在空間給定點(diǎn)粒子出現(xiàn)的概率是唯一的,并且應(yīng)該是有限的(具體說應(yīng)該小于1),在空間不同點(diǎn)處,概率分布應(yīng)該是連續(xù)的,不能逐點(diǎn)躍變或在任何點(diǎn)處發(fā)生突變。

因此，波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件應(yīng)該是：單值、有限、連續(xù)。應(yīng)當(dāng)指出，物質(zhì)波與經(jīng)典物理中的波動(dòng)是不同。對(duì)機(jī)械波,y表示位移;對(duì)電磁波,y表示電場E或磁場B，波強(qiáng)與振幅A的平方成正比。在量子力學(xué)中,物質(zhì)波不代表任何實(shí)在的物理量的波動(dòng),波的振幅的平方(x,y,z,t)2表示粒子在t時(shí)刻在(x,y,z)處的單位體積中出現(xiàn)的概率。(2)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件由于一定時(shí)刻在空間給26在量子力學(xué)中微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是用波函數(shù)(x,y,z,t)來描述的。但描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的波函數(shù)(x,y,z,t)又到那里去尋找呢？答案是：求解薛定諤方程。在量子力學(xué)中微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是用波函數(shù)(x,27

3.自由粒子的波函數(shù)和薛定諤方程根據(jù)德布羅意關(guān)系式,能量為E和動(dòng)量為p的自由粒子與一單色平面波相聯(lián)系,波長和頻率為=h/p,v=E/h由波動(dòng)理論可知,頻率為v、波長為、沿x方向傳播的單色平面波的波動(dòng)方程為寫為復(fù)數(shù)形式就是這就是自由粒子的波函數(shù)。3.自由粒子的波函數(shù)和薛定諤方程寫為復(fù)數(shù)形式28通常寫成如下形式:(17-20)(x,t)=o粒子在空間某處出現(xiàn)的概率密度為由此可見,概率密度不隨時(shí)間而改變,是一種穩(wěn)定狀態(tài),簡稱定態(tài)。通常寫成如下形式:(17-20)(x,t)=o粒子在空間29(x,t)=o現(xiàn)在研究自由粒子的波函數(shù)滿足什么方程。自由粒子勢能為零，在非相對(duì)論情況下有在以上式子中消去p,E，就得(x,t)=o現(xiàn)在研究自由粒子的波函數(shù)滿足什么方程。自由30

4.定態(tài)薛定諤方程若粒子在某勢場U中運(yùn)動(dòng),則粒子的總能量應(yīng)為設(shè)(17-29)4.定態(tài)薛定諤方程設(shè)(17-29)31于是就得這是薛定諤方程的一般形式?！绽顾惴茴D算符于是薛定諤方程的一般形式可寫為(17-34)于是就得這是薛定諤方程的一般形式?！绽顾惴茴D算符32若勢能U不顯含時(shí)間t,則并注意到得將上式兩端除以=E若勢能U不顯含時(shí)間t,則并注意到得將上式兩端除以=E33其解上式稱為定態(tài)薛定諤方程。概率密度：概率密度不隨時(shí)間而改變,是一種穩(wěn)定狀態(tài),即為定態(tài)。波函數(shù)：另一方程:(17-32)其解上式稱為定態(tài)薛定諤方程。概率密度：概率密度不隨34§17.4一維無限深勢阱設(shè)質(zhì)量為m的粒子,只能在0<x<a的區(qū)域內(nèi)自由運(yùn)動(dòng),粒子在這種外力場中的勢能函數(shù)為

0oaxU(x)圖17-3在阱外,粒子出現(xiàn)的概率為零,故(x)=o§17.4一維無限深勢阱設(shè)質(zhì)量為m的粒子35在阱內(nèi),定態(tài)薛定諤方程為

0oaxU(x)圖17-3令有它的通解是：(x)=Acoskx+Bsinkx式中A，B是由邊界條件決定的常數(shù)。在阱內(nèi),定態(tài)薛定諤方程為0oaxU(x)圖17-36oaxU(x)圖17-3(x)=Acoskx+Bsinkx由于Ψ(x)在x=0處必須連續(xù),所以有Ψ(0)=A=0故波函數(shù)：(x)=Bsinkx又由于Ψ(x)在x=a處也必須連續(xù),所以又有Ψ(a)=Bsinka=0故ka=n于是(n=1,2,……)(n=0,(x)=0;而n為負(fù)數(shù)與正數(shù)表達(dá)同樣的概率,所以n=1,2,…...)oaxU(x)圖17-3(x)=Acoskx+Bsin371.能量是量子化的。(n=1,2,……)于是(n=1,2,……)(17-42)可見，粒子的能量只能取不連續(xù)的值，這叫做能量量子化。整數(shù)n叫做量子數(shù)。當(dāng)n=1是粒子的基態(tài)能級(jí)。注意,這與經(jīng)典理論所得結(jié)果是不同的。因?yàn)楦鶕?jù)經(jīng)典理論,粒子的最低能量應(yīng)該為零。E1又稱為零點(diǎn)能。1.能量是量子化的。(n=1,2,……)于是(n=1,2,…382.粒子在勢阱內(nèi)的概率分布波函數(shù)：(x)=Bsinkx，由歸一化條件得于是歸一化波函數(shù)為(17-41)2.粒子在勢阱內(nèi)的概率分布波函數(shù)：(x)=Bsinkx，由39根據(jù)經(jīng)典的概念,在勢阱內(nèi)各處,粒子出現(xiàn)的概率是相同的。量子力學(xué)給出粒子出現(xiàn)在勢阱內(nèi)各點(diǎn)的概率密度為(n=1,2,……)E1E2E3ox圖17-4a這一概率密度是隨x改變的,粒子在有的地方出現(xiàn)概率大,在有的地方出現(xiàn)的概率小,而且概率分布還和量子數(shù)n有關(guān)。根據(jù)經(jīng)典的概念,在勢阱內(nèi)各處,粒子出現(xiàn)的概率是相40

例題17.4.1設(shè)質(zhì)量m的微觀粒子在寬度為a的一維無限深方勢阱中運(yùn)動(dòng)，其波函數(shù)為求：(1)粒子的能量和動(dòng)量；(2)概率密度最大的位置。解(1)量子數(shù)n=3,粒子的能量:又例題17.4.1設(shè)質(zhì)量m的微觀粒子在寬度41(2)概率密度最大的位置。粒子出現(xiàn)在勢阱內(nèi)各點(diǎn)的概率密度為有極大值的充要條件是解得E1E2E3ox圖17-4a(2)概率密度最大的位置。粒子出現(xiàn)在勢阱內(nèi)各點(diǎn)的概率密度為有42*§17.5一維勢壘隧道效應(yīng)§17.6量子力學(xué)對(duì)氫原子的描述應(yīng)用玻爾理論,可以成功地解釋氫原子的光譜規(guī)律,但是玻爾仍然把電子視為經(jīng)典粒子,認(rèn)為電子沿著確定的軌道在運(yùn)動(dòng)。同時(shí)又人為地加上了一些量子條件,所以玻爾理論實(shí)質(zhì)上是半經(jīng)典半量子的不完整的理論體系,無法解釋多電子原子的光譜等問題。電子是微觀粒子,它具有波粒二象性,必須應(yīng)用量子力學(xué)才能正確描述電子在氫原子中的運(yùn)動(dòng)。設(shè)原子核不動(dòng)，電子是在原子核的庫侖場中運(yùn)動(dòng),其勢能為(與時(shí)間無關(guān))*§17.5一維勢壘隧道效應(yīng)§17.6量子力學(xué)對(duì)43波函數(shù)應(yīng)滿足的條件：單值、連續(xù)、有限、歸一化。由于U(r)呈球?qū)ΨQ,顯然取球坐標(biāo)較方便。取原子核為坐標(biāo)原點(diǎn)，其定態(tài)薛定諤方程為波函數(shù)應(yīng)滿足的條件：單值、連續(xù)、有限、由于U(r44

Ψ(r,,)是球坐標(biāo)中的波函數(shù),可以分離變量：Ψ(r,,)=R(r)()Φ()

(17-47)在E<0(束縛態(tài))的情況下求解上述方程，可得如下結(jié)論：1.能量量子化為使波函數(shù)滿足標(biāo)準(zhǔn)條件，電子(或說是整個(gè)原子)的能量只能是(主量子數(shù):n=1,2,……)(17-48)這和玻爾理論的結(jié)果一致。Ψ(r,,)是球坐標(biāo)中的波函數(shù),可以分離變量：452.角動(dòng)量量子化為使波函數(shù)滿足標(biāo)準(zhǔn)條件，電子的角動(dòng)量為副量子數(shù)(角量子數(shù)):l=0,1,2,…(n-1)3.角動(dòng)量的空間量子化為使波函數(shù)滿足標(biāo)準(zhǔn)條件，電子角動(dòng)量在任意方向(例如z軸正向)的分量Lz滿足下面的量子化條件:(17-49)(17-50)磁量子數(shù):ml=0,±1,±2,…±l由上分析可知，不僅電子角動(dòng)量的大小是量子化的,而且它在空間的方向也有一定的限制，即它在任意方向(例如z軸正向)的分量,也只能取一系列分立的數(shù)值,這稱為空間量子化。2.角動(dòng)量量子化為使波函數(shù)滿足標(biāo)準(zhǔn)條件，電46例如：l=1,圖17-5zL0z0例如：l=1,圖17-5zL0z0474.電子的概率分布電子云解定態(tài)薛定諤方程，可得氫原子的波函數(shù)：Ψnl(r,,)=Rnl(r)l()Φ()

電子在核外空間出現(xiàn)的概率密度:Ψnl(r,,)

2可見，氫原子中的電子是按一定的概率分布在原子核的周圍,這和玻爾理論中電子是在一定軌道上運(yùn)動(dòng)完全不同。這種電子在核外空間出現(xiàn)的概率密度,人們往往形象化地稱之為“電子云”。例如：對(duì)1S態(tài)的電子，其概率密度為(玻爾半徑)4.電子的概率分布電子云解定態(tài)薛定諤方程，可得氫原子的波48由于p1s是r的連續(xù)函數(shù)，可見電子在核外(從r=0到r=∞)每點(diǎn)都有一定的概率，只是概率大小不同而已。這和玻爾的軌道運(yùn)動(dòng)概念完全不同。而玻爾半徑只是概率最大的位置。aorp1s圖17-6由于p1s是r的連續(xù)函數(shù)，可見電子在核外(49§17.7多電子原子1921年，斯特恩(O.Stern)和蓋拉赫(W.Gerlach)實(shí)驗(yàn)證明，電子除了繞核運(yùn)動(dòng)外,還有自旋。應(yīng)當(dāng)指出，電子的自旋是一種量子力學(xué)效應(yīng)，不是機(jī)械的自轉(zhuǎn)。用量子力學(xué)理論可以證明，電子自旋角動(dòng)量為(17-51)自旋角動(dòng)量在任意方向(例如z軸正向)的分量Sz滿足下面的量子化條件：(17-52)自旋磁量子數(shù):一、電子自旋四個(gè)量子數(shù)§17.7多電子原子1921年，斯特恩(O50z0z051(1)主量子數(shù)：n=1,2,3,…。它大體上決定了原子中電子的能量。(2)角量子數(shù)：l=0,1,2,…,(n-1)。它決定電子繞核運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量的大小。一般說來,處于同一主量子數(shù)n,而不同角量子數(shù)l的狀態(tài)中的各個(gè)電子,其能量稍有不同。(3)磁量子數(shù)：ml=0,±1,±2,…,±l。它決定電子角動(dòng)量z分量Lz的量子化，即空間量子化。它決定電子自旋角動(dòng)量的z分量Sz的量子化,也影響原子在外磁場中的能量。(4)自旋磁量子數(shù)：?？偨Y(jié)起來,原子中電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)應(yīng)由四個(gè)量子數(shù)決定。(1)主量子數(shù)：n=1,2,3,…。52除了氫原子以及類氫離子以外,其他元素的原子核外都有兩個(gè)或兩個(gè)以上的電子。要從解薛定諤方程求出描寫電子運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)和能級(jí)是非常復(fù)雜和困難的。在量子力學(xué)中常采用近似的計(jì)算方法?？梢宰C明,原子核外電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)仍由四個(gè)量子數(shù)來確定。

原子的殼層結(jié)構(gòu)：1916年柯塞爾(W.Kossel)對(duì)多電子原子系統(tǒng)提出了殼層結(jié)構(gòu)學(xué)說：主量子數(shù)n相同的電子分布在同一殼層上。

n=1,2,3,4，5,6……

K,L,M,N,O,P…...二、原子的殼層結(jié)構(gòu)除了氫原子以及類氫離子以外,其他元素的原子核53l=0,1,2,3,4...…

s,p,d,f,g……如：n=3,l=0,1,2…分別稱為3s態(tài),3p態(tài),3d態(tài)…主量子數(shù)n愈小其相應(yīng)的能級(jí)愈低。在同一殼層中,角量子數(shù)l愈小,其相應(yīng)的能級(jí)愈低。多電子原子系統(tǒng)中,核外電子在不同的殼層上的分布還要遵從下面兩條基本原理：

1.泡利不相容原理一個(gè)原子系統(tǒng)內(nèi)，不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上電子具有完全相同的量子態(tài)(n,l,ml,ms)。利用泡利不相容原理可以計(jì)算各個(gè)殼層中可能占有的最多電子數(shù)。主量子數(shù)n相同而角量子數(shù)l不同的電子分布在不同的分殼層或支殼層上。l=0,1,2,54對(duì)給定的一個(gè)n,l=0,1,2,…,(n-1),共n個(gè)值；ml=0,±1,±2,…,±l，共(2l+1)個(gè)值；共2個(gè)值;(2l+1)2=2n2所以各殼層能容納的最多電子數(shù)為

n=1,2,3,4，5,……KLMNO……最多電子數(shù)：28183250…...量子態(tài)數(shù)為對(duì)給定的一個(gè)n,l=0,1,2,…,(n-1),共n個(gè)值55對(duì)給定的一個(gè)l的分殼層,ml=0,±1,±2,…,±l，共(2l+1)個(gè)值；共2個(gè)值;量子態(tài)數(shù)為2(2l+1)所以各分殼層能容納的最多電子數(shù)為l=0,1,2,3,4……spdfg……最多電子數(shù)：26101418……

2.能量最小原理原子系統(tǒng)處在正常狀態(tài)時(shí),每個(gè)電子總是盡可能占有最低的能級(jí)。對(duì)給定的一個(gè)l的分殼層,ml=0,±1,±2,…,±l，共(56電子在各殼層、分殼層的填充由左向右：n=1234……KLMN……1s22s22p6

3s23p63d10

4s24p64d104f14

…...例題17.7.1寫出氬(z=18)的電子組態(tài)。解1s22s22p63s23p6例題17.7.2鈷(z=27)4s有兩個(gè)電子，沒有其它n4的電子，則3d態(tài)上的電子數(shù)為個(gè)。電子組態(tài)：1s22s22p63s23p63d？4s27電子在各殼層、分殼層的填充由左向右：n=157例題17.7.4根據(jù)量子力學(xué)理論，當(dāng)主量子數(shù)n=3時(shí)，電子動(dòng)量矩的可能值為答:當(dāng)n=3時(shí)，l=0,1,2例題17.7.3在氫原子的L殼層中，電子可能具有的量子數(shù)(n,l,ml,ms)為(A)(1,0,0,)。(B)(2,1,-1,)。(C)(2,0,1,)。(D)(3,1,-1,)。

答：(B)所以L的可能值為：L=0,例題17.7.4根據(jù)量子力學(xué)理論，當(dāng)主量58第17章量子力學(xué)§17.1物質(zhì)的波粒二象性§17.2不確定關(guān)系§17.3薛定諤方程§17.4一維無限深勢阱

§17.5勢壘貫穿§17.6氫原子的量子力學(xué)處理§17.7多電子原子§17.8量子力學(xué)的理論假設(shè)第17章量子力學(xué)§17.1物質(zhì)的波粒二象性§17.59大學(xué)物理第17章量子力學(xué)基礎(chǔ)課件60§17.1物質(zhì)的波粒二象性1672年Newton提出光的微粒說：1678年惠更斯提出光是縱向波：干涉、衍射、偏振；黑體輻射、光電效應(yīng)1905年Einstein

提出光子的能量：1917年Einstein又提出光子不僅有能量，而且有動(dòng)量P1.光的二象性光具有波粒二象性!!!波動(dòng)性(,v)粒子性(m,p)一、德布羅意物質(zhì)波假設(shè)§17.1物質(zhì)的波粒二象性1672年Newton提出光的612.微粒的波動(dòng)性1924年deBroglie根據(jù)光的波粒二象性，提出了：deBroglie一個(gè)能量為E、動(dòng)量為P的實(shí)物粒子同時(shí)具有波動(dòng)性，波長和頻率分別是一切實(shí)物粒子也具有波粒二象性。實(shí)物粒子：靜止質(zhì)量不為0的粒子。例如：電子、質(zhì)子等。實(shí)物粒子的波又叫deBroglie波(物質(zhì)波或概率波）。2.微粒的波動(dòng)性1924年deBroglie根據(jù)光的波粒62二.deBroglie波的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證戴維孫-革末：單晶電子衍射實(shí)驗(yàn)（1927）UNi單晶GUIIU當(dāng)電壓為54V,=65電子流最強(qiáng)=65,d=0.091nm,n=1=0.165nm=0.167nm粒子性:實(shí)驗(yàn):二.deBroglie波的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證戴維孫-革末：單晶電63

電子通過金薄膜的衍射實(shí)驗(yàn)2.湯姆遜（G.P.Thomson）實(shí)驗(yàn)（1927）電子的單縫、雙縫、三縫和四縫衍射實(shí)驗(yàn)3.約恩遜(Jonsson)實(shí)驗(yàn)（1961）基本數(shù)據(jù)電子通過金薄膜的衍射實(shí)驗(yàn)2.湯姆遜（G.P.Thomso64透射電鏡（transmissionelectronmicroscopeTEM）透射電鏡是以電子束透過樣品經(jīng)過聚焦與放大后所產(chǎn)生的物像，投射到熒光屏上或照相底片上進(jìn)行觀察。微粒的波動(dòng)性的應(yīng)用-----電子束代替光波來實(shí)現(xiàn)成像(電子顯微鏡)電子與物質(zhì)相互作用會(huì)產(chǎn)生透射電子，彈性散射電子，能量損失電子，二次電子，背反射電子，吸收電子，X射線，俄歇電子，陰極發(fā)光等等。電子顯微鏡就是利用這些信息來對(duì)試樣進(jìn)行形貌觀察、成分分析和結(jié)構(gòu)測定。掃描電鏡（scanningelectronmicroscopeSEM）掃描電鏡是用極細(xì)的電子束在樣品表面掃描，將產(chǎn)生的二次電子用特制的探測器收集，形成電信號(hào)運(yùn)送到顯像管，在熒光屏上顯示物體。透射電鏡（transmissionelectronmic65TA16(Ti-Al-Zr)經(jīng)1×1017N+/cm2注入后的TEM形貌及對(duì)應(yīng)的衍射斑點(diǎn)

鈦合金在多種強(qiáng)腐蝕性介質(zhì)中具有很強(qiáng)的耐蝕性，故在能源工業(yè)中它是重要的候選結(jié)構(gòu)材料，它應(yīng)用于制造原子能核反應(yīng)堆的結(jié)構(gòu)材料，海洋熱能轉(zhuǎn)換（OTEC）系統(tǒng)熱交換器，地?zé)猁}水試驗(yàn)用熱交換器，海水冷卻表面冷凝器管TA16(Ti-Al-Zr)經(jīng)1×1017N+/cm66不同摻雜濃度ZnO:Al薄膜的掃描電子顯微鏡SEM圖像摻鋁ZnO薄膜具有可見光區(qū)高透過率和低電阻率的特點(diǎn)，所以很適合制作太陽能電池和平板顯示器件的透明電極，另外也可用來制作聲表面波器件和光波導(dǎo)等。不同摻雜濃度ZnO:Al薄膜的掃描電子顯微鏡SEM圖像摻鋁67三.

物質(zhì)波的統(tǒng)計(jì)解釋(1926年玻恩)波動(dòng)觀點(diǎn)粒子觀點(diǎn)明紋處:波強(qiáng)大

電子出現(xiàn)的概率大暗紋處:波強(qiáng)小

電子出現(xiàn)的概率小

波強(qiáng)與粒子在該處附近出現(xiàn)的概率成正比。

可見，物質(zhì)波是一種概率波。xxs2s1poDdr2r1...電子束三.物質(zhì)波的統(tǒng)計(jì)解釋(1926年玻恩)波68用物質(zhì)波的概念成功地解釋了玻爾提出的軌道量子化條件。λr（軌道角動(dòng)量量子化條件）朗之萬把德布羅意的文章寄給愛因斯坦，愛因斯坦說：“揭開了自然界巨大帷幕的一角”，“瞧瞧吧，看來瘋狂，可真是站得住腳呢”用物質(zhì)波的概念成功地解釋了玻爾提出的軌道量子化條件。λr（軌69經(jīng)典粒子:只需考慮粒子性,遵從決定論,適用牛頓力學(xué)。微觀粒子:波粒二象性,遵從概率定律,適用量子力學(xué)。問題:2.E=mc2=hv對(duì)實(shí)物粒子:

=c?錯(cuò)。

1.

經(jīng)典粒子與微觀粒子有何區(qū)別?經(jīng)典粒子:只需考慮粒子性,遵從決定論,適用牛頓力學(xué)。70例17.1.1

(1)電子動(dòng)能Ek=100eV；(2)子彈動(dòng)量p=6.63×106kg.m.s-1,求德布羅意波長。解:(1)因電子動(dòng)能較小，速度較小，可用非相對(duì)論公式求解。=1.23?(2)子彈:h=6.63×10-34=1.0×10-40m

可見，只有微觀粒子的波動(dòng)性較顯著；而宏觀粒子(如子彈)的波動(dòng)性根本測不出來。例17.1.1(1)電子動(dòng)能Ek=100eV；(2)子彈71

例17.1.2

用5×104V的電壓加速電子，求電子的速度、質(zhì)量和德布羅意波長。解:因加速電壓大，應(yīng)考慮相對(duì)論效應(yīng)。=1.24×108(m/s)=10×10-31(kg)=0.0535?mo=9.11×10-31(kg)例17.1.2用5×104V的電壓加速電子，求電子的72§17.2不確定關(guān)系波和粒子是兩個(gè)截然不同的概念。既然微觀粒子具有明顯的波粒二象性,那么采用經(jīng)典力學(xué)的方法描述微觀粒子,就將受到限制。yx圖17-2...單能電子束衍射后:

落在中央明紋范圍內(nèi)的電子動(dòng)量的不確定范圍為0≤px≤psin先考慮中央明紋。px=0,py=p電子衍射前:§17.2不確定關(guān)系波和粒子是兩個(gè)截然不同的概念。既73對(duì)第一級(jí)衍射暗紋，有

xsin=,其中x—縫寬于是若計(jì)及更高級(jí)次的衍射,應(yīng)有

xpx

h即電子在x方向上動(dòng)量的不確定量為

px=psinyx圖17-2...單能電子束

xpx=h對(duì)y和z分量，也有類似的關(guān)系。對(duì)第一級(jí)衍射暗紋，有若計(jì)及更高級(jí)次的衍射,應(yīng)有即電子在x方74xpx

h(17-1)還可寫為

實(shí)際上上述公式只用于數(shù)量級(jí)的估計(jì),所以這些公式所反映的物理內(nèi)涵是相同的。式(17-1)[(17-2),(17-3)]稱為不確定關(guān)系，又稱測不準(zhǔn)關(guān)系。(17-2)(17-3)xpxh751.不確定關(guān)系式(17-3)表明：微觀粒子的坐標(biāo)測得愈準(zhǔn)確(x0)，動(dòng)量就愈不準(zhǔn)確(px)

；微觀粒子的動(dòng)量測得愈準(zhǔn)確(px0)，坐標(biāo)就愈不準(zhǔn)確(x)

。但這里要注意，不確定關(guān)系不是說微觀粒子的坐標(biāo)測不準(zhǔn)；也不是說微觀粒子的動(dòng)量測不準(zhǔn)；更不是說微觀粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量都測不準(zhǔn)；而是說微觀粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量不能同時(shí)測準(zhǔn)。(17-3)1.不確定關(guān)系式(17-3)表明：(17-3)76這是因?yàn)槲⒂^粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量本來就不同時(shí)具有確定量。這本質(zhì)上是微觀粒子具有波粒二象性的必然反映。由上討論可知，不確定關(guān)系是自然界的一條客觀規(guī)律,不是測量技術(shù)和主觀能力的問題。

2.為什么微觀粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量不能同時(shí)測準(zhǔn)呢?3.不確定關(guān)系提供了一個(gè)判據(jù)：當(dāng)不確定關(guān)系施加的限制可以忽略時(shí)，則可以用經(jīng)典理論來研究粒子的運(yùn)動(dòng)。當(dāng)不確定關(guān)系施加的限制不可以忽略時(shí)，那只能用量子力學(xué)理論來處理問題。這是因?yàn)槲⒂^粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量本來就不同時(shí)具有確定量。77

例題17.2.1

估算氫原子中電子速度的不確定量。解電子被束縛在原子球內(nèi),坐標(biāo)的不確定量是x=10-10m(原子的大小),按不確定關(guān)系:xpx

h,則電子速度的不確定量為電子速度的不確定量是如此之大！可見,微觀粒子的速度和坐標(biāo)不能同時(shí)準(zhǔn)確測定。這也表明，不確定關(guān)系施加的限制不允許我們用經(jīng)典理論來研究氫原子的問題，像氫原子這樣的微觀粒子只能用量子力學(xué)理論來處理。例題17.2.1估算氫原子中電子速度的78例題17.2.2

子彈質(zhì)量m=0.1kg,速度測量的不確定量是x=10-6m/s(應(yīng)當(dāng)說這個(gè)測量夠精確的了！)，求子彈坐標(biāo)的不確定量。解按不確定關(guān)系:xpx

h,則子彈坐標(biāo)的不確定量為可見,子彈的速度和坐標(biāo)能同時(shí)準(zhǔn)確測定。這表示，不確定關(guān)系施加的限制可以忽略，像子彈這樣的宏觀物體可以用經(jīng)典理論來研究它的運(yùn)動(dòng)。例題17.2.2子彈質(zhì)量m=0.1kg,速度測量的79例題17.2.3

波長=5000?的光沿x軸正方向傳播，波長的不確定量為=10-3?，求光子坐標(biāo)的不確定量。解光子的動(dòng)量按不確定關(guān)系:xpx

h,則光子坐標(biāo)的不確定量為例題17.2.3波長=5000?的光沿x軸正方向傳播80§17.3薛定諤方程

1.波函數(shù)對(duì)微觀粒子，由于不確定關(guān)系施加的限制不可以忽略，它的速度和坐標(biāo)不能同時(shí)確定，因此微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),不能用坐標(biāo)、速度、加速度等物理量來描述。由于微觀粒子具有波粒二象性，這就要求在描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)，要有創(chuàng)新的概念和思想來統(tǒng)一波和粒子這樣兩個(gè)在經(jīng)典物理中截然不同的物理圖像。波函數(shù)就是作為量子力學(xué)基本假設(shè)之一引入的一個(gè)新的概念。量子力學(xué)認(rèn)為：微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可用一個(gè)復(fù)函數(shù)(x,y,z,t)來描述，函數(shù)(x,y,z,t)—稱為波函數(shù)?！?7.3薛定諤方程1.波函數(shù)812.波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋波動(dòng)觀點(diǎn)粒子觀點(diǎn)明紋處:電子波強(qiáng)(x,y,z,t)2大,電子出現(xiàn)的概率大;暗紋處:電子波強(qiáng)(x,y,z,t)2小,電子出現(xiàn)的概率小。可見，波函數(shù)模的平方(x,y,z,t)2與粒子在該處附近出現(xiàn)的概率成正比。xxs2s1po圖17-1D2ar2r1...電子束K=0K=1K=1K=2K=22.波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋821926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋：

波函數(shù)模的平方(x,y,z,t)2

表示粒子在t時(shí)刻在(x,y,z)處的單位體積中出現(xiàn)的概率，即概率密度。

而(x,y,z,t)2dxdydz上式一般稱為波函數(shù)的歸一化條件。波函數(shù)都應(yīng)當(dāng)是歸一化的。(17-21)玻恩對(duì)波函數(shù)的這種統(tǒng)計(jì)解釋，把微觀粒子的波粒二象性作出了完美的描述。(1)因?yàn)樵谡麄€(gè)空間內(nèi)粒子出現(xiàn)的概率是1,所以有表示粒子在t時(shí)刻在(x,y,z)處的體積元dxdydz中出現(xiàn)的概率。1926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函數(shù)83(2)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件由于一定時(shí)刻在空間給定點(diǎn)粒子出現(xiàn)的概率是唯一的,并且應(yīng)該是有限的(具體說應(yīng)該小于1),在空間不同點(diǎn)處,概率分布應(yīng)該是連續(xù)的,不能逐點(diǎn)躍變或在任何點(diǎn)處發(fā)生突變。

因此，波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件應(yīng)該是：單值、有限、連續(xù)。應(yīng)當(dāng)指出，物質(zhì)波與經(jīng)典物理中的波動(dòng)是不同。對(duì)機(jī)械波,y表示位移;對(duì)電磁波,y表示電場E或磁場B，波強(qiáng)與振幅A的平方成正比。在量子力學(xué)中,物質(zhì)波不代表任何實(shí)在的物理量的波動(dòng),波的振幅的平方(x,y,z,t)2表示粒子在t時(shí)刻在(x,y,z)處的單位體積中出現(xiàn)的概率。(2)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件由于一定時(shí)刻在空間給84在量子力學(xué)中微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是用波函數(shù)(x,y,z,t)來描述的。但描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的波函數(shù)(x,y,z,t)又到那里去尋找呢？答案是：求解薛定諤方程。在量子力學(xué)中微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是用波函數(shù)(x,85

3.自由粒子的波函數(shù)和薛定諤方程根據(jù)德布羅意關(guān)系式,能量為E和動(dòng)量為p的自由粒子與一單色平面波相聯(lián)系,波長和頻率為=h/p,v=E/h由波動(dòng)理論可知,頻率為v、波長為、沿x方向傳播的單色平面波的波動(dòng)方程為寫為復(fù)數(shù)形式就是這就是自由粒子的波函數(shù)。3.自由粒子的波函數(shù)和薛定諤方程寫為復(fù)數(shù)形式86通常寫成如下形式:(17-20)(x,t)=o粒子在空間某處出現(xiàn)的概率密度為由此可見,概率密度不隨時(shí)間而改變,是一種穩(wěn)定狀態(tài),簡稱定態(tài)。通常寫成如下形式:(17-20)(x,t)=o粒子在空間87(x,t)=o現(xiàn)在研究自由粒子的波函數(shù)滿足什么方程。自由粒子勢能為零，在非相對(duì)論情況下有在以上式子中消去p,E，就得(x,t)=o現(xiàn)在研究自由粒子的波函數(shù)滿足什么方程。自由88

4.定態(tài)薛定諤方程若粒子在某勢場U中運(yùn)動(dòng),則粒子的總能量應(yīng)為設(shè)(17-29)4.定態(tài)薛定諤方程設(shè)(17-29)89于是就得這是薛定諤方程的一般形式?！绽顾惴茴D算符于是薛定諤方程的一般形式可寫為(17-34)于是就得這是薛定諤方程的一般形式?！绽顾惴茴D算符90若勢能U不顯含時(shí)間t,則并注意到得將上式兩端除以=E若勢能U不顯含時(shí)間t,則并注意到得將上式兩端除以=E91其解上式稱為定態(tài)薛定諤方程。概率密度：概率密度不隨時(shí)間而改變,是一種穩(wěn)定狀態(tài),即為定態(tài)。波函數(shù)：另一方程:(17-32)其解上式稱為定態(tài)薛定諤方程。概率密度：概率密度不隨92§17.4一維無限深勢阱設(shè)質(zhì)量為m的粒子,只能在0<x<a的區(qū)域內(nèi)自由運(yùn)動(dòng),粒子在這種外力場中的勢能函數(shù)為

0oaxU(x)圖17-3在阱外,粒子出現(xiàn)的概率為零,故(x)=o§17.4一維無限深勢阱設(shè)質(zhì)量為m的粒子93在阱內(nèi),定態(tài)薛定諤方程為

0oaxU(x)圖17-3令有它的通解是：(x)=Acoskx+Bsinkx式中A，B是由邊界條件決定的常數(shù)。在阱內(nèi),定態(tài)薛定諤方程為0oaxU(x)圖17-94oaxU(x)圖17-3(x)=Acoskx+Bsinkx由于Ψ(x)在x=0處必須連續(xù),所以有Ψ(0)=A=0故波函數(shù)：(x)=Bsinkx又由于Ψ(x)在x=a處也必須連續(xù),所以又有Ψ(a)=Bsinka=0故ka=n于是(n=1,2,……)(n=0,(x)=0;而n為負(fù)數(shù)與正數(shù)表達(dá)同樣的概率,所以n=1,2,…...)oaxU(x)圖17-3(x)=Acoskx+Bsin951.能量是量子化的。(n=1,2,……)于是(n=1,2,……)(17-42)可見，粒子的能量只能取不連續(xù)的值，這叫做能量量子化。整數(shù)n叫做量子數(shù)。當(dāng)n=1是粒子的基態(tài)能級(jí)。注意,這與經(jīng)典理論所得結(jié)果是不同的。因?yàn)楦鶕?jù)經(jīng)典理論,粒子的最低能量應(yīng)該為零。E1又稱為零點(diǎn)能。1.能量是量子化的。(n=1,2,……)于是(n=1,2,…962.粒子在勢阱內(nèi)的概率分布波函數(shù)：(x)=Bsinkx，由歸一化條件得于是歸一化波函數(shù)為(17-41)2.粒子在勢阱內(nèi)的概率分布波函數(shù)：(x)=Bsinkx，由97根據(jù)經(jīng)典的概念,在勢阱內(nèi)各處,粒子出現(xiàn)的概率是相同的。量子力學(xué)給出粒子出現(xiàn)在勢阱內(nèi)各點(diǎn)的概率密度為(n=1,2,……)E1E2E3ox圖17-4a這一概率密度是隨x改變的,粒子在有的地方出現(xiàn)概率大,在有的地方出現(xiàn)的概率小,而且概率分布還和量子數(shù)n有關(guān)。根據(jù)經(jīng)典的概念,在勢阱內(nèi)各處,粒子出現(xiàn)的概率是相98

例題17.4.1設(shè)質(zhì)量m的微觀粒子在寬度為a的一維無限深方勢阱中運(yùn)動(dòng)，其波函數(shù)為求：(1)粒子的能量和動(dòng)量；(2)概率密度最大的位置。解(1)量子數(shù)n=3,粒子的能量:又例題17.4.1設(shè)質(zhì)量m的微觀粒子在寬度99(2)概率密度最大的位置。粒子出現(xiàn)在勢阱內(nèi)各點(diǎn)的概率密度為有極大值的充要條件是解得E1E2E3ox圖17-4a(2)概率密度最大的位置。粒子出現(xiàn)在勢阱內(nèi)各點(diǎn)的概率密度為有100*§17.5一維勢壘隧道效應(yīng)§17.6量子力學(xué)對(duì)氫原子的描述應(yīng)用玻爾理論,可以成功地解釋氫原子的光譜規(guī)律,但是玻爾仍然把電子視為經(jīng)典粒子,認(rèn)為電子沿著確定的軌道在運(yùn)動(dòng)。同時(shí)又人為地加上了一些量子條件,所以玻爾理論實(shí)質(zhì)上是半經(jīng)典半量子的不完整的理論體系,無法解釋多電子原子的光譜等問題。電子是微觀粒子,它具有波粒二象性,必須應(yīng)用量子力學(xué)才能正確描述電子在氫原子中的運(yùn)動(dòng)。設(shè)原子核不動(dòng)，電子是在原子核的庫侖場中運(yùn)動(dòng),其勢能為(與時(shí)間無關(guān))*§17.5一維勢壘隧道效應(yīng)§17.6量子力學(xué)對(duì)101波函數(shù)應(yīng)滿足的條件：單值、連續(xù)、有限、歸一化。由于U(r)呈球?qū)ΨQ,顯然取球坐標(biāo)較方便。取原子核為坐標(biāo)原點(diǎn)，其定態(tài)薛定諤方程為波函數(shù)應(yīng)滿足的條件：單值、連續(xù)、有限、由于U(r102

Ψ(r,,)是球坐標(biāo)中的波函數(shù),可以分離變量：Ψ(r,,)=R(r)()Φ()

(17-47)在E<0(束縛態(tài))的情況下求解上述方程，可得如下結(jié)論：1.能量量子化為使波函數(shù)滿足標(biāo)準(zhǔn)條件，電子(或說是整個(gè)原子)的能量只能是(主量子數(shù):n=1,2,……)(17-48)這和玻爾理論的結(jié)果一致。Ψ(r,,)是球坐標(biāo)中的波函數(shù),可以分離變量：1032.角動(dòng)量量子化為使波函數(shù)滿足標(biāo)準(zhǔn)條件，電子的角動(dòng)量為副量子數(shù)(角量子數(shù)):l=0,1,2,…(n-1)3.角動(dòng)量的空間量子化為使波函數(shù)滿足標(biāo)準(zhǔn)條件，電子角動(dòng)量在任意方向(例如z軸正向)的分量Lz滿足下面的量子化條件:(17-49)(17-50)磁量子數(shù):ml=0,±1,±2,…±l由上分析可知，不僅電子角動(dòng)量的大小是量子化的,而且它在空間的方向也有一定的限制，即它在任意方向(例如z軸正向)的分量,也只能取一系列分立的數(shù)值,這稱為空間量子化。2.角動(dòng)量量子化為使波函數(shù)滿足標(biāo)準(zhǔn)條件，電104例如：l=1,圖17-5zL0z0例如：l=1,圖17-5zL0z01054.電子的概率分布電子云解定態(tài)薛定諤方程，可得氫原子的波函數(shù)：Ψnl(r,,)=Rnl(r)l()Φ()

電子在核外空間出現(xiàn)的概率密度:Ψnl(r,,)

2可見，氫原子中的電子是按一定的概率分布在原子核的周圍,這和玻爾理論中電子是在一定軌道上運(yùn)動(dòng)完全不同。這種電子在核外空間出現(xiàn)的概率密度,人們往往形象化地稱之為“電子云”。例如：對(duì)1S態(tài)的電子，其概率密度為(玻爾半徑)4.電子的概率分布電子云解定態(tài)薛定諤方程，可得氫原子的波106由于p1s是r的連續(xù)函數(shù)，可見電子在核外(從r=0到r=∞)每點(diǎn)都有一定的概率，只是概率大小不同而已。這和玻爾的軌道運(yùn)動(dòng)概念完全不同。而玻爾半徑只是概率最大的位置。aorp1s圖17-6由于p1s是r的連續(xù)函數(shù)，可見電子在核外(107§17.7多電子原子1921年，斯特恩(O.Stern)和蓋拉赫(W.Gerlach)實(shí)驗(yàn)證明，電子除了繞核運(yùn)動(dòng)外,還有自旋。應(yīng)當(dāng)指出，電子的自旋是一種量子力學(xué)效應(yīng)，不是機(jī)械的自轉(zhuǎn)。用量子力學(xué)理論可以證明，電子自旋角動(dòng)量為(17-51)自旋角動(dòng)量在任意方向(例如z軸正向)的分量Sz滿足下面的量子化條件：(17-52)自旋磁量子數(shù):一、電子自旋四個(gè)量子數(shù)§17.7多電子原子1921年，斯特恩(O108z0z0109(1)主量子數(shù)：n=1,2,3,…。它大體上決定了原子中電子的能量。(2)角量子數(shù)：l=0,1,2,…,(n-1)