2021-2022學(xué)年廣東省廣州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（附答案詳解）

202L2022學(xué)年廣東省廣州市華南師大附中高一（下）期

末數(shù)學(xué)試卷.復(fù)數(shù)z=l-2i（其中i為虛數(shù)單位），則|z+3i|=（）A.V2 B.2 C.V10 D.5.設(shè)全集U={xCN|-2<x<4},A={0,2},則扇4為（）A.{1,3} B.[0,1,3} C.{-1,1,3} D.{-1,04,3}.某中學(xué)高二年級共有學(xué)生2400人，為了解他們的身體狀況，用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為80的樣本，若樣本中共有男生42人，則該校高二年級共有女生A.1260 B.1230.在空間中，下列說法正確的是（）A.垂直于同一直線的兩條直線平行C.平行于同一平面的兩條直線平行C.1200 D.1140B.垂直于同一直線的兩條直線垂直D.垂直于同一平面的兩條直線平行.有3位男生和2位女生在周日去參加社區(qū)志愿活動(dòng)，從該5位同學(xué)中任取3人，至少有1名女生的概率為（）A.- B.- C.- D.-10 5 5 10.如圖所示，△ABC中，點(diǎn)。是線段BC的中點(diǎn)，E是線段的靠近A的三等分點(diǎn)，則布=（）A.-BA+-BCB.-BA+-BCC.-BA+-BCD.-BA+-BC3 6 3 3 3 3 3 6.若正實(shí)數(shù)小人滿足Q+b=l,則（）A.ab有最大值； B.工+；有最大值44 abC.ab有最小值; D.-+9有最小值24 ab8.隨著社會的發(fā)展，人與人的交流變得廣泛，信息的拾取、傳輸和處理變得頻繁，這對信息技術(shù)的要求越來越高，無線電波的技術(shù)也越來越成熟，其中電磁波在空間中自由傳播時(shí)能量損耗滿足傳輸公式：L=32.44+201gC+201gF,其中。為傳輸距離，單位是加，F(xiàn)為載波頻率，單位是M〃z,L為傳輸損耗（亦稱衰減）單位為dB.若傳輸距離變?yōu)樵瓉淼?倍，傳輸損耗增加了1848,則載波頻率變?yōu)樵瓉砑s倍（參考數(shù)據(jù)：lg2?0.3,lg3?0.5）（）A.1 B.2 C.3 D.4.某教練組為了比較甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員的競技狀態(tài)，選取了他們最近10場常規(guī)賽得分制成如圖的莖葉圖，則從最近10場比賽的得分看（）8°725】35853168242904086A.甲的中位數(shù)大于乙的中位數(shù)B.甲的平均數(shù)大于乙的平均數(shù)C.甲的競技狀態(tài)比乙的更穩(wěn)定D..乙的競技狀態(tài)比甲的更穩(wěn)定TOC\o"1-5"\h\z.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1CW1中，M,N分別為j\{C,棱GDi，QC的中點(diǎn)，其中正確的結(jié)論為（） / /\/A.直線AM與GC是相交直線 lvB.直線4M與8N是平行直線'/ /\C.直線BN與MB1是異面直線 /與 \7/CD.直線MN與AC所成的角為60。 A B.已知甲罐中在四個(gè)相同的小球，標(biāo)號1,2,3,4；乙罐中有五個(gè)相同的小球，標(biāo)號為1,2,3,5,6.現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，記事件4="抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號之和大于5"，事件B="抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號之積大于8"，則（）A.事件A發(fā)生的概率為：B.事件4UB發(fā)生的概率為總C.事件ADB發(fā)生的概率為:D.從甲罐中抽到標(biāo)號為2的小球的概率為g.定義平面向量的一種運(yùn)算"0"如下：對任意的兩個(gè)向量i=（x"i），b=（x2,y2）>令1。方=（%,2 +丫1丫2），下面說法一定正確的是（）A.對任意的/leR,有（45）?至=40。石）B.存在唯一確定的向量3使得對于任意向量五，都有五6>3=3@五=五成立C.若乙與石垂直，則0。石）。下與五?（方6）?）共線D.若日與方共線，則（361）。不與五。（另6。的模相等.已知向量落石的夾角為？，|菊=百，|石|=1，則|3五+石|=..已知復(fù)數(shù)4=3+4i,Z2=t+i（其中，?為虛數(shù)單位），且Zi.&是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)r等于..在△ABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,a=8,b=10,△ABC的面積為206，則△ABC中最大角的正切值是.

.在梯形A8CO中，AB//CD,AB=2,AD=CD=CB=1,將△4CD沿AC折起,連接8。得到三棱錐。一ABC,則三棱錐D-A8C體積的最大值為,此時(shí)該三棱錐的外接球的表面積為..已知△4BC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,asinB+bcosA=c.(1)求B；(2)設(shè)a=>/2c,b=2,求c..某校高二年級一個(gè)班有60名學(xué)生，將期中考試的數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))分成六段：［40,50)、［50,60)、［60,70)、［70,80)、［80,90)、［90,100),得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求a的值；(2)用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為20的樣本，已知甲同學(xué)的成績在［70,80),乙同學(xué)的成績在［80,90),求甲乙至少一人被抽到的概率.頻率組距0.0250.0150.0100.0050 405060708090100成績/分?jǐn)?shù).如圖，在三棱柱ABC-&B1C1中，側(cè)棱441底面ABC,AB1BC,。為AC的中點(diǎn).AA1=AB=4,BC=6.(1)求證：AB"/平面BC】。；(2)求三棱柱ABC-&B1G的表面積.

.已知方=(2cosx,2sinx),b=(sin(x-cos(x-^)),五與方的夾角為。，函數(shù)f(x)=cosd.(1)求函數(shù)/(%)最小正周期；(2)若銳角A4BC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且/(A)=1,求等的取值范圍..已知平面四邊形ABC。，AB=AD=2,/.BAD=60°,乙BCD=30",現(xiàn)將△4BC沿8。邊折起，使得平面48。1平面8CQ,此時(shí)4。J.CD,點(diǎn)P為線段4。的中點(diǎn).(1)求證：8。1平面4€7)；(2)若M為CO的中點(diǎn)，求MP與平面BPC所成角的正弦值；(3)在(2)的條件下，求二面角P-BM-。的平面角的余弦值..定義在。上的函數(shù)f(x),如果滿足：對任意x6D,存在常數(shù)M>0,都有|/(x)|<M成立，則稱f(x)是。上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)/Xx)的上界.已知函數(shù)f(x)=1+聯(lián)5+(：尸；5(x)=^g.(1)當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)/(x)在(一8,0)上的值域，并判斷函數(shù)/(x)在(一8,0)上是否為有界函數(shù)，請說明理由；(2)若函數(shù)/(x)在［0,+8)上是以3為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍：(3)若m>0,函數(shù)g(x)在［0,1］上的上界是Rm),求T(m)的取值范圍.答案和解析.【答案】A【解析】解：復(fù)數(shù)z=i—2i（其中i為虛數(shù)單位），則憶+3"=|1+“= =故選：A.利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解.本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題..【答案】A【解析】解：???全集U={xG/V|-2<x<4}={0,1,2,3},A={0,2},???CuA={1,3}.故選：A.利用補(bǔ)集定義能求出Q4本題考查集合的運(yùn)算，考查補(bǔ)集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題..【答案】D【解析】解:設(shè)女生總?cè)藬?shù)為x人，由分層抽樣的方法可得:抽取女生人數(shù)為80-42=38人，則=—>解得x=1140.2400X故選：D.由分層抽樣方法列方程求解即可.本題主要考查了分層抽樣方法中的比例關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題..【答案】D【解析】解：垂直于同一直線的兩條直線的位置關(guān)系有：平行、相交和異面，A、8不正確：平行于同一平面的兩條直線的位置關(guān)系有：平行、相交和異面，C不正確；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知：。正確；故選：D.根據(jù)空間中線、面的位置關(guān)系理解判斷4、B、C,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判斷D本題考查線面平行或垂直的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題..【答案】D【解析】解：有3位男生和2位女生在周日去參加社區(qū)志愿活動(dòng)，從該5位同學(xué)中任取3人，基本事件總數(shù)n=廢=10,至少有1名女生包含的基本事件個(gè)數(shù)m=CjCl+ClCj=9.???至少有1名女生的概率為P=~=^.n10故選：D.基本事件總數(shù)n=盤=10,至少有1名女生包含的基本事件個(gè)數(shù)m=廢程+ClCj=9.由此能求出至少有1名女生的概率.本題考查概率的求法，涉及到古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識等核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題..【答案】A【解析】解：由題意可得：BE=BA+AE,AE=-AD,AD=AB+BD,BD=-BC,3 2■.Je=-ba+-bc,3 6故選：A.利用向量共線定理、三角形法則即可得出結(jié)論.本題考查了向量三角形法則、向量共線定理、平面向量基本定理，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題..【答案】A【解析】解：???正實(shí)數(shù)。，人滿足a+b=l,.?.abW空些=二，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=為寸等4 4 2號成立，?,?ab有最大值［，???4正確，C錯(cuò)誤，4:正實(shí)數(shù)a,b滿足Q4-&=1, = +7)(a+6)=-4-7+2>2a+2=4,ab ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)等號成立，.?一+：有最小值為4, 錯(cuò)誤，2 ab故選：A.直接利用基本不等式判斷AC,利用乘“1”法，再結(jié)合基本不等式判斷BD.本題考查基本不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題..【答案】B【解析】解：設(shè)L'是變化后的傳輸損耗，F(xiàn)'是變化后的載波頻率，D'是變化后的傳輸距離，由題意可得：L'=L+18?D'=4D,1S=L'-L=(32.44+201gD'+201gF')-(32.44+201gD+201gF)=20(lgD'-IgD)+20(lgF'-IgF)=20(lg4D-IgD)+20(lgF'-IgF)=401g2+20(lgF'-IgF),所以20(lgF'-IgF)?18-40x0.3=6,所以lg/-lg/=0.3,即lg?=0.3hlg2=2n2,F F

所以F'=2F,即載波頻率變?yōu)樵瓉砑s2倍.故選：B.由題，由前后兩傳輸公式作差，結(jié)合題設(shè)數(shù)量關(guān)系及對數(shù)運(yùn)算，即可得出結(jié)果.本題考查了對數(shù)的基本運(yùn)算，理解所給公式是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題..【答案】AC【解析】【分析】本題考查莖葉圖、中位數(shù)、平均數(shù)、方差，考查運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.利用莖葉圖、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的性質(zhì)直接求解.【解答】解：對于A,甲的中位數(shù)是：笥史=24,乙的中位數(shù)是：誓=23,???甲的中位數(shù)大于乙的中位數(shù)，故A正確；對于B,甲的平均數(shù)為:2(8+12+15+21+23+25+26+28+30+34)=22.2,乙的平均數(shù)為：-(7+13+15+18+22+24+29+30+36+38)=23.2,???甲的平均數(shù)小于乙的平均數(shù)，故B錯(cuò)誤；由莖葉圖得甲的數(shù)據(jù)更集中，故甲的競技狀態(tài)比乙的更穩(wěn)定，故C正確，。錯(cuò)誤.故選：AC..【答案】CD【解析】解：在正方體中，M,N分別為棱CiD「GC的中點(diǎn)，在A中，直線AM與GC是異面直線，故A錯(cuò)誤；在8中，直線4M與BN是異面直線，故B錯(cuò)誤；在C中，直線BN與MB］是異面直線，故C正確；在。中，以。為原點(diǎn)，OA為x軸，OC為y軸，DDi為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體4BCD 中棱長為2,則M(0,l,2),/V(0,2,1),4(2,0,0),C(0,2,0),MN=(0,1,-1),AC=(-2,2,0),則"兩前”品=善一二直線MN與AC所成的角為60。，故。正確.故選：CD.在A中，直線AM與GC是異面直線；在8中，直線AM與8N是異面直線；在C中，直線8N與MBi是異面直線：在。中，以。為原點(diǎn)，D4為x軸，0c為y軸，D2為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線MN與AC所成的角為60°.本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題..【答案】BC【解析】解：甲罐中在四個(gè)相同的小球，標(biāo)號1,2,3,4；乙罐中有五個(gè)相同的小球,標(biāo)號為1,2,3,5,6.現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，記事件A="抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號之和大于5"，事件8="抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號之積大于8”，對于A,從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，基本事件總數(shù)n=4x5=20,事件A包含的基本事件有：(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,6),共11個(gè)，?.P(4)=u，故A錯(cuò)誤；對于B,事件AUB包含的基本事件有：(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),共11個(gè),??P(B)=豢故8正確；對于C,事件4nB包含的基本事件有(2,5),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),(4,3),(4,5),8個(gè),對于。，從甲罐中抽到標(biāo)號為2的小球的概率為「=噤=；,故。錯(cuò)誤.故選：BC.對于4,從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，基本事件總數(shù)n=4x5=20,利用列舉法求出事件A包含的基本事件有11個(gè)，從而P(4)=算；對于8,利用列舉法求出事件AUB包含的基本事件有11個(gè)，從而P(8)=%；對于C,利用列舉法求出事件APIB包含的基本事件有8個(gè)，從而P(C)=:對于。，從甲罐中抽到標(biāo)號為2的小球的概率為141本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題..【答案】AD【解析】解：設(shè)五=(Xi，yi),b=(次,丫2)，對于4,對任意的aGR,(Aa)0b=(2x^2-Ax2y1,Ax1x2+4yly2)=A(xty2-x2y1,x1x2+y/2)=A(a0b),故A正確；對于B,假設(shè)存在唯一確定的向量E=(々J。)使得對于任意向量作故有3。3= 五成立，即(占則一&%，占劭+%y。)=(xoyi- +yoyi)=(/Ji)恒成立，?成篇歌:：廿_*1泗=的對任意X,y恒成立,而此方程組無解，故8錯(cuò)誤：對于C,若Gb垂直，則X1M+%>2=0,設(shè)卜=(*3，、3)，(a0b)0c=(xxy2-x2yltO)0(x3,y3)=&y2y3-x2y1y3,x1y2x3-x2yxx^,aG(b0W)=(xpy^QCxzys-x3y2,x2x3+y2y3)=(與不打+xiy2y3+y1x3y2，不小丫3-Xyy2x3+yxx2x3+y/2y3)=(/y2y3-y/2y3,一刀1丫2與+yix2x3)*”(/y2y3-yix2y3,xxy2x3-yix2x3'),故c錯(cuò)誤：對于D,若五,方共線,則與丫2~x2yi=0,設(shè)卜=(x3,y3).(aGb)Gc=(0"62+y1y2)0(x3.y3)=(一與小為-y/2y3,與必與+y1y2y3)aG(b0a)=(與小與+與y2y3一%x2y3+yiy2x3.XiX2y3-xxy2x3+ +y[y2y3)=(xix2x3+y1y2x3,x1x2y3+7^273),???若行與石共線，則三與五?(石?。的模相等，故。正確.故選：AD.由五。至=0/2—刀2丫1，打》2+丫1丫2)表示出(4砌。B和ARE)，判斷A：假設(shè)存在唯一確定的向量3=(Xo，y°)使得對于任意向量落都有Z?3=NOW 成立，由此列方程組能判斷8；若乙石垂直，則/不+，02=。，設(shè)口=(>3，為)，分別表示出不與ad(b0a),判斷C；若無，石共線，則與丫2-?。?0,設(shè)e=。3，丫3)，分別表示出判斷江本題考查命題真假的判斷，考查新定義、平面向量運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題..【答案】V19【解析】解：由向量五，9的夾角為？，|磯=6，0|=1，6則五不=|a||K|cos—=則|31+加|=J(3五+石>=j9|a|2+6a-K+|K|2=j9x3+6xV3xlx(y)+l=V19,故答案為：V19.先由已知條件求出△反然后結(jié)合向量模的運(yùn)算求解即可.

本題考查了平面向量數(shù)量積運(yùn)算，重點(diǎn)考查了平面向量的模的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題..【答案】:4【解析】解：???Zi=3+4i,Z2=t+i,??zvz2=(3+4i)(t-i)=3t+4+(4t—3)i,?,Zi?,是實(shí)數(shù),**4t—3=0,得t=—.4故答案為：利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由虛部為。求得/的值.本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)的計(jì)算題..【答案】w或一百【解析】解：???a=8,b=10,△ABC的面積為20百,S=|absinC=40sinC=20>/31:.smc=y,若C為最大角，zC=120",此時(shí)tanC=-B；若C不為最大角，zC=60",又a<b,B為最大角，由余弦定理得：c?=a?+爐一2abeosC=64+100-80=84,:.c=2y/21,再由正弦定理肅=熹得:.c.cbsinCs\nB= 10x]_5V72V21—14又cosB=a2+C2-b2又cosB=2ac- 32721 -14綜上，△ABC中最大角的正切值為罟或-百.故答案為：空或一8利用三角形的面積公式S=gabsinC表示出三角形ABC的面積，把a(bǔ),6及已知的面積代入求出sinC的值，分兩種情況考慮：當(dāng)C為最大角時(shí)，利用特殊角的三角函數(shù)值求出C的度數(shù)，進(jìn)而確定出tanC的值，即為三角形中最大角的正切值：當(dāng)C不為最大角時(shí)，根據(jù)a小于b得到B為最大角，求出C的度數(shù)，利用余弦定理得到c2=a2+b2-2abeosC,把a(bǔ),b及cosC的值代入求出c的長，再由sinB及b的值，利用正弦定理求出sinC的值，同時(shí)利用余弦定理表示出cosC,把a(bǔ),6及c的值代入求出cosC的值，進(jìn)而確定出tanC的值，即為最大角的正切值，綜上，得到所求三角形中最大角的正切值.此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：正弦、余弦定理，三角形的面積公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，三角形的邊角關(guān)系，以及特殊角的三角函數(shù)值，利用了分類討論的數(shù)學(xué)思想，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵..【答案】57r【解析】【分析】本題考查了三棱錐體積的最大值和外接球的表面積，屬于中檔題.注意到三棱錐C-4BC體積最大時(shí)，平面4CCJ?平面ABC,可知以8為頂點(diǎn)時(shí)，BC為三棱錐的高，然后利用正余弦定理可得各棱長可得體積；利用球心到平面ACQ的距離、△ACC外接圓半徑和球的半徑滿足勾股定理可得球半徑，然后可得表面積.【解答】解：過點(diǎn)C作CEJ.AB,垂足為E,圖1???ABCD為等腰梯形，AB=2,CD=1,7T3由余弦定理得心=AB2+BC2-2AB-BCcosg=3,即AC=6,?????AB2=BC2+AC2,：.BC1AC,易知，當(dāng)平面ACCJ?平面ABC時(shí)，三棱錐。一ABC體積最大，此時(shí)，BC1￥?ACD,易知，4D=y,??Smcd= -CDsi吟=f,Vd-abc=[xfxl=^|；記。為外接球球心，半徑為R,VBC1平面ACD,OB=0C,到平面ACQ的距籬d=%又AACD的外接圓半徑r=$=1,2sm三.,?/?2=r2+d2=4圖2故答案為：5n..【答案】解：(1)由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=sinC,因?yàn)閟inC=sin[7r—(A+B)]=sin(4+B)=sinAcosB+cosAsinBf所以sinAsinB=sinAcosB,又因?yàn)閟inAH0,cosB*0,所以tanB=1,又0VBVtc,所以(2)由余弦定理Z?2=c24-a2-2accosB,a=V2c,可得4=c2+2c2-2伍2*圣解得，=2.【解析】本題考查正弦定理及余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.(1)由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換化簡已知等式可得tanB=1,結(jié)合0<B<zr,可求8的值.(2)由已知利用余弦定理即可解得c的值..【答案】解：(1)由題意可得(0.01+0.15+0.15+a+0,025+0,005)x10=1,解得：a=0.030；(2)因?yàn)榭傮w共60名學(xué)生，樣本容量為20,因此抽樣比為秒=60 3其中[70,80)分?jǐn)?shù)段有0.03X10X60=18人，[80,90)分?jǐn)?shù)段有0.025x10x60=15人，所以在[70,80)分?jǐn)?shù)段中抽取18X1=6人，[80,90)分?jǐn)?shù)段抽取15X1=5人，設(shè)甲被抽到的事件為A,乙被抽到的事件為B,

則P(4)=2=￥P(B)=卜則甲乙至少一人被抽到的概率為P=1-P(4B)=1-1x1=1.【解析】(1)利用頻率分布直方圖中各個(gè)小矩形面積之和為1即可求出a的值；(2)設(shè)甲被抽到的事件為4,乙被抽到的事件為8,求出相應(yīng)的概率，然后可以根據(jù)對立事件求解.本題考查頻率分布直方圖求頻數(shù)、頻率，分層抽樣，相互獨(dú)立事件的概率，是基礎(chǔ)題.19.【答案】解：(1)證明：連接BiC,交BCi于0,連接on,??在三棱柱ABC—ABC中，四邊形BCQB1是平行四邊形，??。是BG中點(diǎn)，.?。為4c的中點(diǎn)，.?.OD/fABi，??AB】C平面BG。，。。＜3平面8。1。，AB"/平面BGD.(2)側(cè)棱A41底面ABC,AB1BC,。為AC的中點(diǎn)，AAr=AB=4,BC=6,S&abc=1x4x6=12,AC=7AB2+BC2=V42+62=2g，??S側(cè)固積=(4+6+2-/13)x4=40+8-/13,三棱柱ABC-&B1C］的表面積S=40+8V13+2x12=64+8V13.【解析】(1)連接BiC,交Bg于0,連接0。，推導(dǎo)出由此能證明4/〃平面BGD.(2)根據(jù)表面積公式即可求出.本題考查線面平行的證明，考查三棱柱表面積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.20.【答案】解：(1)由于4=(2cosx,2sinx),b=(sin(x—^),cos(x-^)),所以3?b=2cosx-sin(x--)+2sinx-cos(x--)=V3sin2x—cos2x,6 6函數(shù)/(x)=COS0=擊=)=sin(2x-》；所以函數(shù)/"(x)的最小正周期為年=7T.(2)由于f(A)=1,即sin(24=1；由于該三角形為銳角三角形，所以4=：,所以B+C=g；故比=sinB+sinC=sinB+s『)=2sin(g+巴)，asinX sin- 63TOC\o"1-5"\h\z由于三一B<巴，所以B>-,3 2 6故gvBVg,6 2所以gvB+WJ3 o3故sin(B+”(4，l],故勺^=2sin(B+^)G[V3,2].【解析】(1)直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的夾角求出三角函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出函數(shù)的最小正周期：(2)利用正弦定理和三角函數(shù)的關(guān)系式的變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，向量的夾角的運(yùn)算，正弦型函數(shù)的性質(zhì)，正弦定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題..【答案】證明：(1)因?yàn)?B=4￡>,ABAD=60°,所以△48。為等邊三角形，因?yàn)镻為的中點(diǎn)，所以BP14D取8。的中點(diǎn)E,連接AE,AB=AD,則AEJ.BD,因?yàn)槠矫鍭BD1平面BCD,平面力BOD平面BCD=BD,AEu平面ABD,所以AE1平面BCO,又CDu平面BCO,所以AE1CD.因?yàn)镃D1AD,ADV\AE=A,AE,ADABD,所以CD1平面ABD,因?yàn)锽Pu平面ABO,所以CDJ.BP,又因?yàn)镃Dn4C=。，CD,ADACD,所以BP_L平面ACC.解：(2)過點(diǎn)M作MHJ.PC,垂足為H.如圖所示，由(1)知，82，平面4。。.因?yàn)镸Hu平面ACC,所以BP1MMBPCIPC=P,所以MHJ■平面BPC,所以4Mpe為MP與平面BPC所成角.由(1)知，。。_1_平面48。，BDciFffiABD,所以CD1BD.

在RtABCD中，=在RtABCD中，=30°,BD=2,DC=BDtanzBCD2遮,因?yàn)镸為CO的中點(diǎn)，所以MD=CM=VI在Rt△PDM中，PM=y/PD2+MD2=Jl2+(V3)2=2,在RtAPDC中,PC=y/PD2+CD2=I2+(2>/3)2=V13,在ACPM中，在ACPM中，coszMPC=PC2+PM2-CM2-2PCPM-(m)2+22-(6)2=2_r^2

2xV13x2 -26V所以由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得sin/MPC=42_&舊)2=絆."M 26 26所以MP與平面BPC所成角的正弦值為緩.26(3)取EO的中點(diǎn)為O,連接PO,因?yàn)镻為線段4。的中點(diǎn)，所以P0〃4E,PO=^AE=^x>]AB2-BE2=1xV22-l2=y,由(1)知，AEJ■平面BCD,所以POJ■平面BCD,BMu平面BCD所以P。1BM.過點(diǎn)P作PGIBM,垂足為G,連接。G,POnPG=P,PO,PGu平面POG,所以BM_L平面POG.OGu平面尸OG,所以BM_LOG,所以NPG。為二面角P-BM-。的平面角.在Rt△BDM中,BM=>JBD2+DM2=^22+(V3)2=y/7,由(1)知，AABD為等邊三角形,尸為線段A￡>的中點(diǎn)，所以BP=>JAB2-AP2=V22-I2=V3由(1)知，BPl￥ffiACD,PMu平面ACD所以BPJ.PM,^BP-PM=^BM-PG,由(2)知，PM=2,即工x6x2=工xV7xPG,解得PG=—.2 2 7因?yàn)镻O1平面BCQ,OGu平面BCD,所以P。1OG.在Rt△POG中，GO=y/PG2-PO2=I(罷產(chǎn)一(丹=等.所以二面角尸-BM-。的平面角的余弦值為生【解析】(1)根據(jù)等腰三角形的三線合一定理及線面垂直的性質(zhì)定理，再利用線面垂直的性質(zhì)定理及線面垂直的判定定理即可求解；(2)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及線面垂直的判定定理，再利用線面角的