已知遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)的常見類型

2121已知遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)的常見類型鐘祥一中陳國仿普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)⑤(必修)第二章《數(shù)列》的考題B組題6：已知數(shù)列｛an｝中,a]=5,a2=2，an=2an-1+3an-2(n^3),對于這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式作一研究，能否寫出它的通項(xiàng)公式？可以看到，新課程改革對遞推數(shù)列的要求比舊教材更高,現(xiàn)將常見的由遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)的情形歸納如下：1、a—a=f(n)型n+1n當(dāng)f(n)為常數(shù)時(shí)，即為等差數(shù)列；當(dāng)f(n)不為常數(shù)時(shí)，這類數(shù)列，可考慮利用累加法.例1：已知數(shù)列｛an｝中，ai=l,且an+1—an=3n，求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式解：由于本例給出了數(shù)列｛an｝中連續(xù)兩項(xiàng)的差，故可考慮用累加法求解(an—an-P+(an-1—an-2)+^+(a3一a2)+(a2一a1)+a1[21Fn-1+3n-+?+3+A舌二2(3“-1)練習(xí)1：已知數(shù)列｛aJ中,a練習(xí)1：已知數(shù)列｛aJ中,a1=2,答：(n(n+3)__2__an+1=an+n+2,求an.2、J=f(n)型an當(dāng)f(n)為非零常數(shù)時(shí)，即為等比數(shù)列，當(dāng)f(n)不為常數(shù)時(shí)，這類數(shù)列，可考慮利用累乘或迭代法.例2：在數(shù)列｛a｝中，已知a?+1=匕1，且a]=1,求通項(xiàng)anan1nn解：由于本例給出了連續(xù)兩項(xiàng)的比，故可考慮用累乘法求解.an=a

H—

an=a

H—

an-1—n1?—n2aan-2n-3練習(xí)：已知牛1二隹，a嚴(yán)1'求數(shù)列％｝的前n項(xiàng)和n答：先求得a=2n(n+答：先求得a=2n(n+1)'進(jìn)而Sn=2nn+13、a=入a+|i型n＋1n對于形如a^1=Xan+y型所決定的數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式，我們可以設(shè)an+1+x=X(an+x)，從而構(gòu)造一個(gè)數(shù)列｛an+x｝，它是一個(gè)首項(xiàng)為a]+x,公比為九的等比數(shù)列，從而得到數(shù)列｛aJ的通項(xiàng)公式17n+1=例3：已知a葉嚴(yán)-an+-，且a1=一，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式n+1=(2)

a-2(2)

a-2n31為公比的等比數(shù)列2+23n＋1解：由于an[=-an+-可變形為an[一一=-n+12n3n+n＋121故數(shù)列｛an—一｝是以a[—一=一為首項(xiàng)，n3132211-一=(一)n??.a=(1)2n23練習(xí)3：①已知a]=一，且3an廠an—1=0，求數(shù)列的通項(xiàng)an12n+1nn答:a=(-)n-1+丄n32②已知數(shù)列｛aJ滿足a1=1，an+]=2an+3，求an答：an=2n+1—34、a一=Xa+an+B型n+1n對于此種遞推關(guān)系，可變形為an+]+p(n+1)+q=^(an+pn+q)，使數(shù)列｛an+pn+q｝為一個(gè)等比數(shù)列，從而求得數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式例4：已知數(shù)列｛aJ中，an+]=2an+3n+2，且a1=1，求通項(xiàng)an解：設(shè)a葉]+p(n+1)+q=2(an+pn+q)，比較得，p=3，q=5從而有a1+3(n+1)+5=2(a+3n+5)n+1n所以｛an+3n+5｝是首項(xiàng)為a1+3X1+5=9,公比為2的等比等列???a+3n+5=9X2n-1Aa=9X2n-1—3n—5nn練習(xí)4：①已知a吟嚴(yán)-an+2n+5，a1=2，求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)an及前n

項(xiàng)和項(xiàng)和Sn答：(1)nS=3+心—1)-3x(1)

n2223答：(1)n②已知a嚀1=3an+4n+4,且a]=2,求通項(xiàng)an答：an=7X3n-1-2n-35、a=ha+p?入n型n＋1n當(dāng)X=1時(shí)，即為等差數(shù)列，當(dāng)九Hl時(shí)，對于此種遞推關(guān)系，可兩邊同除以得到數(shù)列｛亠｝為等差數(shù)列入n-1例5：已知an+1=2an+2n，且a1=3,求通項(xiàng)an解：由a解：由an+1=2an+2n可得fL+i——=12n2n-1???數(shù)列｛加是首項(xiàng)為a=3,公差為1的等差數(shù)列―—=3+(n—1)X1=n+2?°?a=(n+2)X2n-1TOC\o"1-5"\h\z2n-1n練習(xí)5：已知a[=3a+3n，且a〔=2，求通項(xiàng)an+1n1n答：an=(n+1)X3n-1n6、a=ha+|iqn(q工入)型n+1n當(dāng)九=1時(shí)，即為類型1,當(dāng)九H1時(shí)，對于此種類型的遞推關(guān)系，可變形為an+]+pXqn+1=^(an+p?qn)得到｛an+p?qn｝為一等比數(shù)列例6：已知數(shù)列｛an｝滿足an+]=3an+2n，且a1=1，求通項(xiàng)an解：由于an+]=3an+2n可變形為a^1+2n+1=3(an+2n)｛an+2n｝是首項(xiàng)為a1+2=3，公比為3的等比數(shù)列an+2n=3n?an=3n-2nnn練習(xí)6：①已知a葉1=2an+3n，且a產(chǎn)2，求通項(xiàng)an答：an=3n-2n-1n

②已知a1=4a+3X2n+1，a1=1，求通項(xiàng)an+1n1n答：an=7X4n-1—3X2nn7、a2=2a型n+1n對于此種類型的遞推關(guān)系，兩邊取對數(shù)，即化為類型③例7：已知a2=4an，且a1=1,求通項(xiàng)ann+1解：由a2=4an兩邊取對數(shù)得2logan]=logan+2n+1n2n+12nloga21=丄loga+1loga2n+122n從而可得loga2n+1—2=|(l0g2an從而可得loga2???{logan—2}是首項(xiàng)為一2,公比為1的等比數(shù)列2n2「?I%「?I%an—2=—2X(I)n-1「a=22-(2)n—2n練習(xí)7：已知a2=3an，且a]=9，求通項(xiàng)ann+1答:a=31+(2)n-1n8、含a〔a與a1±a型n+1nn+1n對于形如an=Pam的遞推數(shù)列，總能取倒，化為類型3,進(jìn)而求出通nqa+rn1項(xiàng)ann例：已知3aa[+a—a〔=0，a〔=丄，求通項(xiàng)ann—1nn—112n解：由3an解：由3anan_1+an_an—1=°，得aa^—13a+1n—113a取倒得丄=313a取倒得丄=3aan+11+31=+3an—1-nan-1??丄—丄=3aann—111??.｛丄｝是首項(xiàng)為丄=2,公差為3的等差數(shù)列aan1nnl???一=2+(n—1)X3=3n-1an?an=13n一1練習(xí)8：①已知3anan—1+an+an—1=0，a1=2，求通項(xiàng)an答：an=7x(-l)n_l-3②已知a答：a3an—1——2a+3n—164n—1a]=2，求通項(xiàng)an9、9、an－laa+b=—n——型ca+dn對于此種遞推關(guān)系，當(dāng)b=0時(shí)，此即類型8，當(dāng)bHO時(shí)，可兩邊同加上常數(shù)入，化為類型83a+4例9：數(shù)列｛an｝中，已知例9：數(shù)列｛an｝中，已知a7=4,且an+lTOC\o"1-5"\h\z7—ann+ln項(xiàng)與最大項(xiàng)(3—入)a+4+7入解：設(shè)an+1+入=—n+17—an令壯二入，得入=—2?an+15(a—2)n——a+7n1a1a—2n+1???｛」石｝等差a一2n—(a—2)+5n—5(a—2)n1——+(n—7)X?1■?a一2a一2n7??a=2+—10—=2—n19—2n一2n+191^?a9最大，a9=12，練習(xí)9：①數(shù)列｛an519

n一-2a1O最小，a10=_8｝中，已知n+l7a—9=一n，求通項(xiàng)aa+1n答：9n-21答：9n-213n-11答：8n-222n-7411n--3②數(shù)列｛an｝中，已知a5=6,an+1an—an+1—7an+16=0,求通項(xiàng)an10、a=pa+qa型n+2n+1n對此種類型的遞推關(guān)系，可設(shè)an+2+入an+1=u(an+1+入an),其中入、口滿足[足[卩—入=〃，從而得到數(shù)列｛屮入二qan+1+入an｝為一等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式例10(數(shù)學(xué)必修⑤P696)已知數(shù)列｛an｝中，a]=5，a2=2，an=2an-1+3an-2(n±3),試求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式解：設(shè)a"+入3n-1="(an-1+入&n-2)口一入=2□入二3，解得口一入=2□入二3，解得入=1□=3屮二-1入=1□二3時(shí)，有an+an-1=3(an-1+an-2)TOC\o"1-5"\h\z此時(shí)，數(shù)列｛a屮+an｝是首項(xiàng)為a2+a戸，公比為3的等比數(shù)列.*.ai+a=7X3n-1①n+1n「入=-3當(dāng)s時(shí)，有a—3a[=—(a〔—3a2)[□二-1nn-in-in-2此時(shí)，｛an+1—3an｝是首項(xiàng)為a2—3ax=—13，公比為一1的等比數(shù)列?°?a1—3a=—13X(—1)n-1②n+1n①一②得a=1[7X3n-i+13X(—1)n-1]n4□一入=2\入=1「入=-3我們看到，由s、，得到兩組解s或s，以上，我[□入二3[□二3[□二-1

們求通項(xiàng)時(shí)用入，口的兩組值。事實(shí)上對于入，口的任何一組值，都可獨(dú)立地求得其通項(xiàng)公式〔入=1對于｛，我們可得到a+1+a=7X3n-i,此即類型6,山二3n+1n設(shè)an+1＋pX3n+1=－(an＋pX3n)7(a——X3n)7(a——X3n)

n12比較得，p=—，從而有an+1—X3n+1=—12n+112TOC\o"1-5"\h\z7713?°?數(shù)列｛an—一X3n｝是首項(xiàng)為a[一一X3=一，公比為一1的等比數(shù)列n121124713a—X3n=X(—1)n-1n1247131于是a=—X3n+—X(—1)n-1=_[7X3n-1+13X(—1)n-1]n1244入=-3對于L-1，我們可得到an+1-3an=-13X(-1)n-1，此即類型6設(shè)an+1+pX(—1)n+1=3[an+pX(—1)n]131313比較得，p=，從而有an+1+X(—1)n+1=3[an+X(—1)n]n+14n413???數(shù)列｛an+匸X(-1)n｝是首項(xiàng)為a1-苧=4，公比為3的等比數(shù)列TOC\o"1-5"\h\z137a+——X(—1)n=—X3n-1n447131于是a=—X3n-1—一X(—1)n=_[7X3n-1+13X(—1)n-1]n444練習(xí)10：①數(shù)列｛an｝中,a1=3，a2=3,an=an-]+6an-2(n三3)，試求通項(xiàng)an答：an=5[8X3n-1+7X(—2)n-1]②試求斐波那契數(shù)列，a答一1「八‘5+1答：a一[(nv521=a2=1，)(1—丁5、2an+2=an+1+an的通項(xiàng)公式Qn+1+XQn+1+Xan)設(shè)a設(shè)an+2+入*n+1=