向量法求夾角

關(guān)于向量法求夾角第一頁，共三十六頁，2022年，8月28日βabABCD設(shè)異面直線a、b的夾角為θcosθ=AB,CDcos||=AB·CD·AB||CD||θ=AB,CD或θ=π－AB,CD利用兩條直線的方向向量的夾角的余弦的絕對(duì)值為兩直線的夾角的余弦而得。1求直線和直線所成的角第二頁，共三十六頁，2022年，8月28日[例1]正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1的底面邊長為1,側(cè)棱長為,則這個(gè)棱柱的側(cè)面對(duì)角線E1D與BC1所成的角是（）C1D1E1F1A1DBCFEAB1A.90°B.60°C.45°D.30°(2002年全國高考）解法一：連結(jié)FE1、FD、BC1∴四邊形BFE1C1是平行四邊形∴FE1∥BC1∴∠FE1D是異面直線E1D與BC1所成的角或補(bǔ)角∵底長為1，棱長為=FE1∴△FDE1為等邊三角形∴∠FE1D=60°

B第三頁，共三十六頁，2022年，8月28日解法2：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。C1D1E1F1A1DBCFEAB1zxyBC1DE1∴cos,=BC1DE1BC1·DE1|BC1||DE1|故,BC1DE1=

60°∴E1D與BC1所成的角是60°故應(yīng)選B第四頁，共三十六頁，2022年，8月28日一法向量：如果一個(gè)向量所在直線垂直于平面，則該向量是平面的一個(gè)法向量。1證明線面平行二法向量的主要作用取和直線平行的向量，驗(yàn)證該向量和法向量的點(diǎn)積是否為零。βa設(shè)平面β的法向量為n,na是a的方向向量.aa

·n=0aβa∥β第五頁，共三十六頁，2022年，8月28日例1.如圖,正方體ABCD——A1B1C1D1中,E是的BB1中點(diǎn),求證:BD1∥平面A1C1ECDBAB1C1D1A1EO法一：證明：連B1D1交A1C1于O連OEOD1=OB1B1E=BEOE∥BD1BD1平面A1C1EOE平面A1C1EBD1∥平面A1C1E第六頁，共三十六頁，2022年，8月28日ECDC1D1BAA1B1zxy證法二：如圖所示建立直角坐標(biāo)系,且設(shè)正方體的棱長為2,D1(0,0,0),B(2,2,2),A1(2,0,0),C1(0,2,0),E(2,2,1)D1B∴=(2,2,2)A1E=(0,2,1)C1E=(2,0,1)設(shè)平面A1EC1的法向量為n=(x,y,z)∴nA1E·=2y+z=0nC1E·=2x+z=0令x=1時(shí)，z=－2，y=1n=(1,1,－2)∴D1B·∴n=0D1B⊥nD1B平面A1EC1D1B∥平面A1EC1第七頁，共三十六頁，2022年，8月28日βα2證明面面垂直如圖設(shè)n1,n2分別是平面α、β的法向量n1n2n1

·n2

=0當(dāng)時(shí)a⊥β驗(yàn)證兩個(gè)平面的法向量的點(diǎn)積是否為零。第八頁，共三十六頁，2022年，8月28日3、求直線和平面所成的角βCBθn設(shè)直線BA與平面β的夾角為θ，n為平面β的法向量,Ag1n與向量BA的夾角為銳角g1當(dāng)θ=βCBAθng2n與向量BA的夾角為鈍角g2當(dāng)θ=第九頁，共三十六頁，2022年，8月28日BACOEF例1如圖所示,已知正四面體O—ABC，E、F分別是AB、OC的中點(diǎn)。(1)求OE與BF所成的角；（2）求BF與平面ABC所成的角。分析:(1)設(shè)OA=caOB=bOC=abc求出OE,BF,然后可求cosOE,BFBFOE·||OE||BF=(2)可過點(diǎn)O作OO’⊥平面ABC于點(diǎn)O’，O'若OO’與BF所成的角為θ，則BF與平面ABC所成的角為第十頁，共三十六頁，2022年，8月28日BACOEFabc解:(1)設(shè)正四面體O—ABC的棱長為1,OA=caOB=bOC=則a·b=c·b=a·c||=1a||=||=bcOE(+)abBFc－bOE·BF=(+)·ab()c－b(a·c+cb·a·b－||2b－)第十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日cosOE,BFBFOE·||OE||BF=∴OE與BF所成的角為BACOEFabc第十二頁，共三十六頁，2022年，8月28日（2）求BF與平面ABC所成的角。BACOEFabc(2)作OO’⊥平面ABC于點(diǎn)O’，設(shè)OO’與BF所成的角為θ,則BF與平面ABC所成的角為O'OO’=OC+CO’c=CEc=()OE－OCc=[](+)－abc(+)abc+第十三頁，共三十六頁，2022年，8月28日BACOEFabcO'||2OO’(+)2abc+(+)|a|2|b|2+|c|2+2a·bc·b+2+2a·c∴||OO’cos=OO’,BFBFOO’

·||OO’||BF=()c－b(+)·abc+第十四頁，共三十六頁，2022年，8月28日BACOEFabcO'cosOO’,BF∴求BF與平面ABC所成的角評(píng)析:利用向量討論線面關(guān)系不需作輔助線，但需要正確設(shè)出空間向量的基底，再利用多面體的性質(zhì)算出或找出其它的向量。第十五頁，共三十六頁，2022年，8月28日balqn1n2g4.法向量的夾角與二面角的平面角的關(guān)系

設(shè),=

gn1n2設(shè)a—l—b的平面角為qq=π－gbalqn1n2gg兩個(gè)平面的法向量同時(shí)指向或背離。第十六頁，共三十六頁，2022年，8月28日balqn1n2gbalqn1n2g

設(shè),=

gn1n2設(shè)a—l—b的平面角為qq=g兩個(gè)平面的法向量一個(gè)指向另一個(gè)背離。第十七頁，共三十六頁，2022年，8月28日例1如圖,在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中,AC與BD交于點(diǎn)E,C1B與CB1交于點(diǎn)F.(1)求證：A1C⊥平面BDC1(2)求二面角B—EF—C的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)表示)證明:(1)以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則FEC1D1CDB1A1BAzxyC(0,1,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),C1(0,1,1),A1C=(－1,1,－1),C1D=(0,－1,－1),BD

=(－1,－1,0)A1C·C1D=0－1+1=0A1C

⊥C1DA1C·BD=1－1+0=0A1C⊥BDC1D∩BD=DA1C⊥平面BDC1第十八頁，共三十六頁，2022年，8月28日解:(2)同（1）可知,D1B⊥平面AB1CzxyEFC1D1CDB1A1AB由(1)A1C⊥平面BDC1即向量D1B是平面AB1C的一個(gè)法向量。,A1C是平面BDC1的一個(gè)法向量。A1C=(－1,1,－1),∵D1B=(1,1,－1),cos,A1CD1BA1C·D1B=||A1C·D1B||故二面角B—EF—C的為第十九頁，共三十六頁，2022年，8月28日例2.(2001年全國）如圖,在底面是直角梯形的四棱錐S—ABCD中,與面SBA所成的二面角的正切值。DBCAs解法1：延長BA、CD相交于E,E連接SE,則SE是所求二面角的棱AD∥BCBC=2ADEA=AB=SASE⊥SBSA⊥面ABCDSA⊥BCBC⊥ABBC⊥

面SEB∴SB是SC在面SEB上的射影?！螦BC=90°,SA⊥面ABCD,求面SCDSA=BC=AB=1,第二十頁，共三十六頁，2022年，8月28日EDBCAs∴SC⊥SE∴∠CSB是所求二面角的平面角.BC=1∠SBC=90°tan∠BSC即所求二面角的正切值為第二十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日DBCAszxy解法2：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,C(1,1,0),S(0,0,1)AD且AD

是面SBA的法向量設(shè)平面SCD的法向量n=(x,y,z)DCSDn

·DC=0n

·SD=0即第二十二頁，共三十六頁，2022年，8月28日DBCAszxy即令x=1,則n∴∴cosa=

n

·AD|n|·|AD|從而tana反思研究：求二面角大小可轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)平面的法向量的夾角大小，兩平面法向量的夾角與二面角的大小相等或互補(bǔ)，解題時(shí)要注意結(jié)合題目條件進(jìn)一步確定二面角的大小。第二十三頁，共三十六頁，2022年，8月28日例3(2001年天津）如圖,以正四棱錐V—ABCD底面中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz,其中ox∥BC,oy∥AB,E為VC的中點(diǎn),正四棱錐底面邊長為2a,高為h.(1)求cosBE,DE（2）記面BCV為a,面DCV為b,∠BED是二面角a—VC—b的平面角,求∠BED。zyxOCDAVEB解:(1)依題意:B(a,a,0),C(－a,a,0),D(－a,－a,0)BE∴DE第二十四頁，共三十六頁，2022年，8月28日zyxOCDAVEBBE∴DE∴BE·DE||BE又||DEcos=BE,DE∴DEBE

·||BE||DE第二十五頁，共三十六頁，2022年，8月28日zyxEOCDBAV(2)∵∠BED是二面角a—VC—b的平面角BE⊥∴CVBE·CV=0又由C(－a,a,0),V(0,0,h)CV=(a,－

a,

h),∴BE又BE·CV∴=0cosBE,DE∵cosBE,DE∴∴∠BED=BE,DE第二十六頁，共三十六頁，2022年，8月28日[鞏固練習(xí)]例1(2002年新教材高考題)如圖所示,正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為a,側(cè)棱長為(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,并寫出點(diǎn)A、B、A1、C1的坐標(biāo)；(2)求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角。11ACBBCA1解:(1)如圖以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)O,以AB所在的直線為oy軸,y以AA1所在直線為oz軸,z以經(jīng)過原點(diǎn)且與平面ABB1A1垂直的直線為ox軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由已知得xA(0,0,0),B(0,a,0)A1(0,0,)第二十七頁，共三十六頁，2022年，8月28日zxyACBB1C1A1(2)取A1B1的中點(diǎn)M,于是有M連MC1、AM,有MC1AB=(0,a,0),AA1由于MC1·AB=0MC1·AA1=0∴MC1⊥平面ABB1A1∴AC1與AM所成的角就是AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角。AC1∵AMAC1·∴AM第二十八頁，共三十六頁，2022年，8月28日zxyACBB1C1A1MAC1∵AMAC1·∴AM|AC1|又|AM|cos,=AC1AM∴AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30°評(píng)析:本題主要考查空間直角坐標(biāo)系的概念，空間點(diǎn)和向量的坐標(biāo)表示以及向量夾角的計(jì)算方法，考查運(yùn)用向量研究空間圖形的數(shù)學(xué)思想方法。第二十九頁，共三十六頁，2022年，8月28日B1C1BA1C例2(2003年全國)如圖直三棱柱ABC—A1B1C1底面是等腰直角三角形,ACB=90°,側(cè)棱AA1=2,D、E分別是CC1與A1B的中點(diǎn),點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.求A1B與平面ABD所成的角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)AEDG解:連結(jié)BG,則BG是BE在面ABD上的射影即A1BG是A1B與ABD所成的角。如圖所示建立直角坐標(biāo)系,坐標(biāo)原點(diǎn)為C設(shè)CA=2a,則A(2a,0,0

),B(0,2a,0

),D(0,

0

,1

),E(a,

a

,1

),GE∴BD=(0,－2a,1

)GE·由BD=0得a=1第三十頁，共三十六頁，2022年，8月28日B1C1BA1CAEDG∴B(0,2,0),A1(2,0,2)BA1∴=(2,－2,2),BG∴cosA1BG=BA1·B