哥尼斯堡七橋問題學(xué)習(xí)資料課件

哥尼斯堡七橋問題哥尼斯堡七橋問題1知道一筆畫問題的提法掌握段道圖能否一筆畫的判斷方法會用添弧的方法求最優(yōu)解最優(yōu)投遞路線的求法教學(xué)目標重點和難點知道一筆畫問題的提法教學(xué)目標重點和難點2哥尼斯堡七橋問題學(xué)習(xí)資料課件3哥尼斯堡七橋問題學(xué)習(xí)資料課件45歐拉的解法

哥尼斯堡七橋問題引起了大數(shù)學(xué)家歐拉的興趣。他知道，如果沿著所有可能的路線都走一次的話，一共要走5040次。就算是一天走一次，也需要13年多的時間。實際上，歐拉只用了幾天的時間就解決了七橋問題。

5歐拉的解法哥尼斯堡七橋問題引起了大數(shù)學(xué)56

歐拉的想法是：兩岸的陸地與河中的小島，都是橋梁的連接點，它們的大小、形狀均與問題本身無關(guān)。因此，不妨把它們看作是4個點。7座橋是7條必須經(jīng)過的路線，它們的長短、曲直，也與問題本身無關(guān)。因此，不妨任意畫7條線來表示它們。就這樣，歐拉將七橋問題抽象成了一個“一筆畫”問題，從而否定了問題的答案。6歐拉的想法是：兩岸的陸地與河中的小島，67七橋問題

哥尼斯堡七橋問題：如何不重復(fù)地走完七橋后回到起點？一筆畫問題如何將此圖一筆畫出？7七橋問題哥尼斯堡七橋一筆畫問題7歐拉的推理

凡是一筆畫中出現(xiàn)的交點處，線一出一進總應(yīng)該通過偶數(shù)條（偶點），只有作為起點和終點的兩點才有可能通過奇數(shù)條（奇點）。歐拉這種處理問題的方法標志著圖論的誕生歐拉的推理凡是一筆畫中出現(xiàn)的交點處，線一出一進總歐8

歐拉（L.Euler,1707.4.15-1783.9.18）著名的數(shù)學(xué)家。生于瑞士的巴塞爾，卒于彼得堡。大部分時間在俄國和德國度過。他早年在數(shù)學(xué)天才貝努里賞識下開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),17歲獲得碩士學(xué)位，畢業(yè)后研究數(shù)學(xué),是數(shù)學(xué)史上最高產(chǎn)的作家。在世發(fā)表論文700多篇,去世后還留下100多篇待發(fā)表。其論著幾乎涉及所有數(shù)學(xué)分支。歐拉（L.Euler,179歐拉在數(shù)學(xué)、物理、天文、建筑以至音樂、哲學(xué)方面都取得了輝煌的成就。在數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域，常常見到以歐來命名的公式、定理、和重要常數(shù)。課本上常見的如π、i、e、sin、cos、tg、△x、Σ、f(x)等，都是他創(chuàng)立并推廣的。歐拉還首先完成了月球繞地球運動的精確理論，創(chuàng)立了分析力學(xué)、剛體力學(xué)等力學(xué)學(xué)科，深化了望遠鏡、顯微鏡的設(shè)計計算理論。歐拉在數(shù)學(xué)、物理、天文、建筑以至音樂、哲學(xué)方面都取得了輝煌的10觀察下列圖形，完成統(tǒng)計表圖7圖5圖1圖8圖6圖4圖3圖2可以一筆畫的圖形不能一筆畫的圖形圖形序號奇點個數(shù)偶點個數(shù)

圖形序號奇點個數(shù)偶點個數(shù)

觀察下列圖形，完成統(tǒng)計表圖7圖5圖1圖8圖6圖4圖3圖2可11不連通的圖形不能一筆畫

連通的圖形有可能一筆畫全都是偶點的連通圖可以一筆畫

奇點個數(shù)超過兩個的連通圖形不能一筆畫畫時以任一點為起點，最后仍回到該點畫時以一個奇點為起點，另一個奇點為終點有兩個奇點的連通圖可以一筆畫

不連通的圖形不能一筆畫連通的圖形有可能一筆畫全都是偶點的12歐拉回路

經(jīng)過圖中所有邊一次，且訪問每個頂點至少一次的一個回路，稱為歐拉回路。具有歐拉回路的圖稱為歐拉圖。

注意：通過圖中所有邊一次且僅一次行遍所有頂點的通路稱為歐拉通路。歐拉回路經(jīng)過圖中所有邊一次，且訪問每個頂點至少13判斷下列圖形能否一筆畫圖5圖4圖3圖2圖6圖1判斷下列圖形能否一筆畫圖5圖4圖3圖2圖6圖114下圖是一個公園的平面圖，要使游人走遍每一條路不重復(fù)，出口和入口應(yīng)設(shè)在哪兒？下圖是一個公園的平面圖，要使游人走遍每一條路不重復(fù)，出口和入15中國郵遞員問題中國郵遞員問題(ChinesePostmanProblem,CPP)是由我國管梅谷教授于1962年首先提出并發(fā)表的例如：觀察下列段道圖

從郵局出發(fā)，走遍郵區(qū)的所有街道至少

一次再回到郵局，按照什么樣的路線投

遞郵件才能使總的路程最短？圖（1）圖（2）中國郵遞員問題中國郵遞員問題(ChinesePostman16

投遞路線一筆畫歐拉回路

最理想的投遞路線，就是該段道圖是一條歐拉回路。圖（2）的投遞路線如下圖（3）。

含有奇點的段道圖不能一筆畫出，有些道路需要重復(fù)走兩次的都要添上一條弧。圖（1）添弧后如圖（4）。圖（3）圖（4）投遞路線一筆畫17定理1一個能夠不重復(fù)的一筆畫出的連通圖中，所以的點一定都是偶點。定理2沒有奇點的連通圖一定能夠從任意一點開始不重復(fù)的一筆畫出。最優(yōu)投遞路線重復(fù)的路最短添弧的總長度最短添弧最短的條件（1）沒有重疊的添?。?）每一個圈上添弧的總長度不超過圈長的一半最短的一組添弧稱為最優(yōu)解。

定理1一個能夠不重復(fù)的一筆畫出的連通圖中，所以的點一定都18案例：西北大學(xué)的灑水車要給主要路面灑水，該如何確定行車路線？案例：西北大學(xué)的灑水車要給主要路面灑水，該如何確定行車路線？19灑水車要給主要路面灑水，也就意味著行車路線必需經(jīng)過圖示所有的路面至少一次。這類似于郵路問題。類似的還有送奶工送奶問題。灑水車要給主要路面灑水，也就意味著行車路線必需經(jīng)過圖示所有的20哥尼斯堡七橋問題哥尼斯堡七橋問題21知道一筆畫問題的提法掌握段道圖能否一筆畫的判斷方法會用添弧的方法求最優(yōu)解最優(yōu)投遞路線的求法教學(xué)目標重點和難點知道一筆畫問題的提法教學(xué)目標重點和難點22哥尼斯堡七橋問題學(xué)習(xí)資料課件23哥尼斯堡七橋問題學(xué)習(xí)資料課件2425歐拉的解法

哥尼斯堡七橋問題引起了大數(shù)學(xué)家歐拉的興趣。他知道，如果沿著所有可能的路線都走一次的話，一共要走5040次。就算是一天走一次，也需要13年多的時間。實際上，歐拉只用了幾天的時間就解決了七橋問題。

5歐拉的解法哥尼斯堡七橋問題引起了大數(shù)學(xué)2526

歐拉的想法是：兩岸的陸地與河中的小島，都是橋梁的連接點，它們的大小、形狀均與問題本身無關(guān)。因此，不妨把它們看作是4個點。7座橋是7條必須經(jīng)過的路線，它們的長短、曲直，也與問題本身無關(guān)。因此，不妨任意畫7條線來表示它們。就這樣，歐拉將七橋問題抽象成了一個“一筆畫”問題，從而否定了問題的答案。6歐拉的想法是：兩岸的陸地與河中的小島，2627七橋問題

哥尼斯堡七橋問題：如何不重復(fù)地走完七橋后回到起點？一筆畫問題如何將此圖一筆畫出？7七橋問題哥尼斯堡七橋一筆畫問題27歐拉的推理

凡是一筆畫中出現(xiàn)的交點處，線一出一進總應(yīng)該通過偶數(shù)條（偶點），只有作為起點和終點的兩點才有可能通過奇數(shù)條（奇點）。歐拉這種處理問題的方法標志著圖論的誕生歐拉的推理凡是一筆畫中出現(xiàn)的交點處，線一出一進總歐28

歐拉（L.Euler,1707.4.15-1783.9.18）著名的數(shù)學(xué)家。生于瑞士的巴塞爾，卒于彼得堡。大部分時間在俄國和德國度過。他早年在數(shù)學(xué)天才貝努里賞識下開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),17歲獲得碩士學(xué)位，畢業(yè)后研究數(shù)學(xué),是數(shù)學(xué)史上最高產(chǎn)的作家。在世發(fā)表論文700多篇,去世后還留下100多篇待發(fā)表。其論著幾乎涉及所有數(shù)學(xué)分支。歐拉（L.Euler,1729歐拉在數(shù)學(xué)、物理、天文、建筑以至音樂、哲學(xué)方面都取得了輝煌的成就。在數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域，常常見到以歐來命名的公式、定理、和重要常數(shù)。課本上常見的如π、i、e、sin、cos、tg、△x、Σ、f(x)等，都是他創(chuàng)立并推廣的。歐拉還首先完成了月球繞地球運動的精確理論，創(chuàng)立了分析力學(xué)、剛體力學(xué)等力學(xué)學(xué)科，深化了望遠鏡、顯微鏡的設(shè)計計算理論。歐拉在數(shù)學(xué)、物理、天文、建筑以至音樂、哲學(xué)方面都取得了輝煌的30觀察下列圖形，完成統(tǒng)計表圖7圖5圖1圖8圖6圖4圖3圖2可以一筆畫的圖形不能一筆畫的圖形圖形序號奇點個數(shù)偶點個數(shù)

圖形序號奇點個數(shù)偶點個數(shù)

觀察下列圖形，完成統(tǒng)計表圖7圖5圖1圖8圖6圖4圖3圖2可31不連通的圖形不能一筆畫

連通的圖形有可能一筆畫全都是偶點的連通圖可以一筆畫

奇點個數(shù)超過兩個的連通圖形不能一筆畫畫時以任一點為起點，最后仍回到該點畫時以一個奇點為起點，另一個奇點為終點有兩個奇點的連通圖可以一筆畫

不連通的圖形不能一筆畫連通的圖形有可能一筆畫全都是偶點的32歐拉回路

經(jīng)過圖中所有邊一次，且訪問每個頂點至少一次的一個回路，稱為歐拉回路。具有歐拉回路的圖稱為歐拉圖。

注意：通過圖中所有邊一次且僅一次行遍所有頂點的通路稱為歐拉通路。歐拉回路經(jīng)過圖中所有邊一次，且訪問每個頂點至少33判斷下列圖形能否一筆畫圖5圖4圖3圖2圖6圖1判斷下列圖形能否一筆畫圖5圖4圖3圖2圖6圖134下圖是一個公園的平面圖，要使游人走遍每一條路不重復(fù)，出口和入口應(yīng)設(shè)在哪兒？下圖是一個公園的平面圖，要使游人走遍每一條路不重復(fù)，出口和入35中國郵遞員問題中國郵遞員問題(ChinesePostmanProblem,CPP)是由我國管梅谷教授于1962年首先提出并發(fā)表的例如：觀察下列段道圖

從郵局出發(fā)，走遍郵區(qū)的所有街道至少

一次再回到郵局，按照什么樣的路線投

遞郵件才能使總的路程最短？圖（1）圖（2）中國郵遞員問題中國郵遞員問題(ChinesePostman36

投遞路線一筆畫歐拉回路

最理想的投遞路線，就是該段道圖是一條歐拉回路。圖（2）的投遞路線如下圖（3）。

含有奇點的段道圖不能一筆畫出，有些道路需要重復(fù)走兩次的都要添上一條弧。圖（1）添弧后如圖（4）。圖（3）圖（4）投遞路線一筆畫37定理1一個能夠不重復(fù)的一筆畫出的連通圖中，所以的點一定都是偶點。定理2沒有奇點的連通圖一定能夠從任意一點開始不重復(fù)的一筆畫出。最優(yōu)投遞路線重復(fù)的路最短添弧的總長度最短添弧最短