概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第7章 假設檢驗課件

第七章假設檢驗第七章假設檢驗假設檢驗的一般理論正態(tài)總體均值與方差的假設檢驗分布擬合檢驗置信區(qū)間與假設檢驗之間的關系有許多實際問題,需要通過部分信息量,對某種看法進行判定或估計.

例7.1

某企業(yè)生產(chǎn)一種零件,以往的資料顯示零件平均長度為4cm,標準差為0.1cm.工藝改革后,抽查100個零件發(fā)現(xiàn)其平均長度為3.94cm.問:工藝改革后零件長度是否發(fā)生了顯著變化?假設檢驗問題的提出在本節(jié)中,我們將討論不同于參數(shù)估計的另一類重要的統(tǒng)計推斷問題.這就是根據(jù)樣本的信息檢驗關于總體的某個假設是否正確.

這類問題稱作假設檢驗問題.所謂假設檢驗,就是事先對總體參數(shù)或總體分布形式作出一個假設,然后利用樣本信息來判斷原假設是否合理,即判斷樣本信息與原假設是否有顯著差異,從而決定是否接受或否定原假設.假設檢驗參數(shù)假設檢驗總體分布已知,檢驗關于未知參數(shù)的某個假設非參數(shù)假設檢驗總體分布未知時的假設檢驗問題把每一罐都打開倒入量杯,看看容量是否合于標準.這樣做顯然不行！生產(chǎn)流水線上罐裝可樂不斷地封裝,然后裝箱外運.怎么知道這批罐裝可樂的容量是否合格呢?例7.3

罐裝可樂的容量按標準應在350毫升和360毫升之間.7.1假設檢驗的一般理論

如每隔1小時,抽查5罐,得5個容量的值x1,…,x5,根據(jù)這些值來判斷生產(chǎn)是否正常.每隔一定時間,抽查若干罐.如發(fā)現(xiàn)不正常,就應停產(chǎn),找出原因,排除故障,然后再生產(chǎn);如沒有問題,就繼續(xù)按規(guī)定時間再抽樣,以此監(jiān)督生產(chǎn),保證質(zhì)量.通常的辦法是進行抽樣檢查.在正常生產(chǎn)條件下,由于種種隨機因素的影響,每罐可樂的容量應在355毫升上下波動.這些因素中沒有哪一個占有特殊重要的地位.因此,根據(jù)中心極限定理,假定每罐容量服從正態(tài)分布是合理的.罐裝可樂的容量按標準應在350毫升和360毫升之間.那么,如何判斷原假設H0是否成立呢?較大、較小是一個相對的概念,合理的界限在何處?應由什么原則來確定?由于是正態(tài)分布的期望值,它的估計量是樣本均值,因此可以根據(jù)與的差距來判斷H0

是否成立.較小時,可以認為H0是成立的;當生產(chǎn)已不正常.當較大時,應認為H0不成立,即然而,這種隨機性的波動是有一定限度的,如果差異超過了這個限度,則我們就不能用抽樣的隨機性來解釋了.必須認為這個差異反映了事物的本質(zhì)差別,即反映了生產(chǎn)已不正常.這種差異稱作“系統(tǒng)誤差”.問題是,根據(jù)所觀察到的差異,如何判斷它究竟是由于偶然性在起作用,還是生產(chǎn)確實不正常?即差異是“抽樣誤差”還是“系統(tǒng)誤差”所引起的?這里需要給出一個量的界限.問題是:如何給出這個量的界限?這里用到人們在實踐中普遍采用的一個原則:小概率事件在一次試驗中基本上不會發(fā)生.小概率事件在一次試驗中基本上不會發(fā)生.下面我們用一例說明這個原則.這里有兩個盒子,各裝有100個球.99個白球一個紅球…99個…99個99個紅球一個白球現(xiàn)從兩盒中隨機取出一個盒子,問這個盒子里是白球99個還是紅球99個?小概率事件在一次試驗中基本上不會發(fā)生.現(xiàn)在我們從中隨機摸出一個球,發(fā)現(xiàn)是此時你如何判斷這個假設是否成立呢？小概率事件在一次試驗中基本上不會發(fā)生.我們不妨先假設:這個盒子里有99個白球.…99個概率反證法它不同于一般的反證法概率反證法的邏輯是:如果小概率事件在一次試驗中居然發(fā)生,我們就以很大的把握否定原假設.一般的反證法要求在原假設成立的條件下導出的結論是絕對成立的,如果事實與之矛盾,則完全絕對地否定原假設.現(xiàn)在回到我們前面罐裝可樂的例中:在提出原假設H0后,如何作出接受和拒絕H0的結論呢?在假設檢驗中,我們稱這個小概率為顯著性水平,用表示.的選擇要根據(jù)實際情況而定.常取提出假設選檢驗統(tǒng)計量~N(0,1)H0:=355H1:≠355由于已知,它能衡量差異大小且分布已知.對給定的顯著性水平

,可以在N(0,1)表中查到分位點的值,使故我們可以取拒絕域為：也就是說,“”是一個小概率事件.C：如果由樣本值算得該統(tǒng)計量的實測值落入?yún)^(qū)域C,則拒絕H0;否則,不能拒絕H0.如果顯著性水平

取得很小,則拒絕域也會比較小.其產(chǎn)生的后果是:H0難于被拒絕.如果在很小的情況下H0仍被拒絕了,則說明實際情況很可能與之有顯著差異.基于這個理由,人們常把時拒絕H0稱為是顯著的,而把在時拒絕H0稱為是高度顯著的.例7.4某工廠生產(chǎn)的一種螺釘,標準要求長度是32.5毫米.實際生產(chǎn)的產(chǎn)品,其長度X假定服從正態(tài)分布未知,現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中抽取6件,得尺寸數(shù)據(jù)如下:32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03問這批產(chǎn)品是否合格?…下面,我們結合另一個例子,進一步說明假設檢驗的一般步驟.即

是一個小概率事件.

第三步:對給定的顯著性水平,查表確定臨界值,使得否定域(拒絕域)C:|t|>4.0322故不能拒絕H0.第四步:將樣本值代入,算出統(tǒng)計量t的實測值|t|=2.997<4.0322沒有落入拒絕域假設檢驗會不會犯錯誤呢?由于作出結論的依據(jù)是小概率原理:小概率事件在一次試驗中基本上不會發(fā)生.不是一定不發(fā)生如果H0成立,但統(tǒng)計量的實測值落入否定域,從而作出否定H0的結論,那就犯了“以真為假”的錯誤.如果H0不成立,但統(tǒng)計量的實測值未落入否定域,從而沒有作出否定H0的結論,即接受了錯誤的H0,那就犯了“以假為真”的錯誤.假設檢驗的兩類錯誤H0為真實際情況決定拒絕H0接受H0H0不真第一類錯誤正確正確第二類錯誤兩類錯誤是互相關聯(lián)的,當樣本容量固定時,一類錯誤概率的減少導致另一類錯誤概率的增加.要同時降低兩類錯誤的概率,或者要在不變的條件下降低,或者需要增加樣本容量.犯兩類錯誤的概率顯著性水平為犯第一類錯誤的概率.P{拒絕H0|H0為真}=,P{接受H0|H0不真}=.例:某廠生產(chǎn)的螺釘,標準強度為68克/mm2,而實際生產(chǎn)的螺釘強度X服從

,若

,則認為這批螺釘符合要求,

否則認為不符合要求.為此提出如下假設:現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的螺釘中抽取容量為36的樣本,其樣本均值為,問原假設是否正確?若原假設正確,則拒絕域為落入接受域,則接受原假設.犯第一類錯誤的概率=P(拒絕H0|H0為真)若H0為真,則

所以,拒絕H0的概率為,又稱為顯著性水平,越大,

犯第一類錯誤的概率越大,即越顯著.H0不真,即68,可能小于68,

也可能大于68,的大小取決于的真值的大小.設

=66,n=36,犯第二類錯誤的概率=P(接受H0|H0不真)若

=69,

n=36,取偽的概率較大./2/2H0

真H0

不真仍取=0.05,則由可以確定拒絕域為

(,67.118)與(68.882,+)因此,接受域為(67.118,68.882)現(xiàn)增大樣本容量,取n=64,=66,則命題:當樣本容量確定后,犯兩類錯誤的概率不可能同時減少.此時犯第二類錯誤的概率為證設,在水平給定下,檢驗假設又由此可見,當

n固定時1)若2)若7.2正態(tài)總體均值與方差的假設檢驗抽樣分布回顧:若(x)/2/21-0xz/2-z/2為樣本,則單個正態(tài)總體均值的假設檢驗假設設

為樣本,

為已知數(shù)(1)

(雙側)1.已知的情形(z

檢驗)2.

未知的情形(t

檢驗)(3)

(左單側)(2)

(右單側)相同點(1)平均數(shù)值在中央且等于0,以縱軸為對稱軸.(2)曲線由中央向兩側逐漸降低,兩尾部無限延伸與橫軸相靠始終不相交.(3)面積為1.

t分布與正態(tài)分布的區(qū)別不同點(1)標準正態(tài)曲線的形狀不隨n(自由度)的大小而改變.t分布曲隨著n的不同而變化,曲線不是一條,而是多條(一簇),即不同的自由度有不同的曲線.(2)n愈小,t分布曲線愈平坦,曲線中間愈低,兩側尾部翹得愈高.n愈大,t分布曲線愈接近正態(tài)分布曲線.為∞時,分布曲線與標準正態(tài)分布曲線完全重合.分布就可由標準正態(tài)分布來取代.雙邊z

檢驗設取自正態(tài)總體的一個樣本,為已知常數(shù).(1)檢驗假設分析比較集中的反映總體均值信息,所以檢驗函數(shù)從樣本均值著手考慮1.已知的情形(z

檢驗)H0成立時，可選用z統(tǒng)計量做為檢驗函數(shù)因此，應在0的周圍隨機擺動,遠離0的可能性較小,拒絕域選在兩側.(2)選用z

統(tǒng)計量(3)給定顯著性水平,查正態(tài)分布表,使即則尋找上側分位點，使確定拒絕域(4)計算樣本實測值值,判斷其是否落入拒絕域.若,即,拒絕原假設.否則接受原假設.解:總體分布為例7.6某產(chǎn)品指標服從正態(tài)分布,均方差已知,為150小時.今在一批產(chǎn)品中隨機抽取了26個樣本,測得指標的平均值為1637小時,問在5%的顯著性水平下,能否認為這批產(chǎn)品的指標為1600小時?提出假設代入,并由樣本值計算得統(tǒng)計量u的實測值z0

=1.2578<1.96故接受原假設H0.沒有落入否定域取統(tǒng)計量否定域為C:不能否認這批產(chǎn)品的指標為1600小時.設取自正態(tài)總體的一個樣本,為已知常數(shù).單邊z

檢驗(1)檢驗假設為小概率事件查正態(tài)分布表,拒絕域確定拒絕域,分兩種情況:(2)假設檢驗(a),拒絕域(b),選統(tǒng)計量H0成立時,z0遠大于0的可能性較小,拒絕域應在右側由于z0分布未知,考慮即因此,在給定條件下,使事件所以H0成立時,對假設H0,為小概事件,拒絕域仍為C.(3)檢驗假設拒絕域(4)檢驗假設拒絕域解:提出假設:例7.7某織物強力指標X的均值公斤.改進工藝后生產(chǎn)一批織物,今從中取30件,測得公斤.假設強力指標服從正態(tài)分布且已知公斤,問在顯著性水平下,新生產(chǎn)織物比過去的織物強力是否有提高?代入,并由樣本值計算得統(tǒng)計量z的實測值z0=2.51>2.33故拒絕原假設H0.落入否定域此時可能犯第一類錯誤,犯錯誤的概率不超過0.01.取統(tǒng)計量否定域為C

:

是一小概率事件例7.8

已知某煉鐵廠的鐵水含碳量(%)在正常情況下服從正態(tài)分布N(4.55,0.112),今測得5爐鐵水含碳量如下:4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.若標準差不變,鐵水的含碳量是否有明顯的降低?(

)

解此為方差

時的左邊單側檢驗,由題設知n=5,

,又由樣本觀察值計算出其假設為所以拒絕H0接受H1,即認為鐵水的含碳量有顯著下降.設取自正態(tài)總體的一個樣本,為未知數(shù).雙邊t檢驗(1)檢驗假設(2)構造t統(tǒng)計量

2.

2

未知的情形(t

檢驗)其中(3)給定顯著性水平,確定拒絕域由查t-分布表,自由度取n-1,確定分位點拒絕域單邊t檢驗(1)檢驗假設拒絕域(2)檢驗假設拒絕域(3)檢驗假設拒絕域(4)檢驗假設拒絕域例7.9

假設糧食產(chǎn)量服從正態(tài)分布.某縣在秋收時隨機抽查了20個村的產(chǎn)量(單位:kg),平均產(chǎn)量為981kg,

=50kg,問該縣已達到噸糧縣的結論是否成立?(

)

解本題是

未知的左邊單側檢驗由于

未知,用t檢驗.由題設n=20,=50,則所以接受H0,認為該縣已經(jīng)達到了噸糧縣的標準.若取

=0.06,由于t0<-t0.06(19)=-1.6280,則應當拒絕H0,認為該縣尚未達到噸糧縣的標準.

雙正態(tài)總體均值的假設檢驗欲檢驗假設：設1.

已知時的z檢驗2.

但未知時的t檢驗(3)左邊單側檢驗

(1)雙側檢驗(2)右邊單側檢驗(1)檢驗假設(2)構造z

統(tǒng)計量設和分別為取自正態(tài)總體和的樣本,在方差

已知的條件下1.

已知時的z

檢驗查正態(tài)分布表，拒絕域

(3)給定顯著性水平,確定拒絕域(4)求樣本觀測值的z值,判斷與否.(1)檢驗假設(2)構造t統(tǒng)計量2.

但未知時的t檢驗設和分別為取自正態(tài)總體和的樣本,在方差的條件下其中特別時,可以推廣至檢驗此時將t統(tǒng)計量分子換成查t-分布表拒絕域

(3)給定顯著性水平,確定拒絕域(4)求樣本觀測值的t-值,判斷與否.例7.10

為比較兩種農(nóng)藥殘留時間的長短,現(xiàn)分別取12塊地施甲種農(nóng)藥,10塊地施乙種農(nóng)藥,經(jīng)一段時間后,分別測得結果為:假設兩藥的殘留時間均服從正態(tài)分布且方差相等,試問兩種農(nóng)藥的殘留時間有無顯著差異?(

)解此為

但未知時，兩個正態(tài)總體均值差的t檢驗.

所以在顯著性水平=0.05下接受H0,認為兩種農(nóng)藥的殘留時間無顯著差異.若=0.052,拒絕H0

.單個正態(tài)總體方差假設檢驗檢驗假設設1.已知時,2的2檢驗2.未知時,2的2檢驗(1)雙側檢驗(2)右邊單側檢驗(3)左邊單側檢驗(1)檢驗假設設取自正態(tài)總體的一個樣本，為已知常數(shù)雙邊2檢驗

1.已知時,2的2檢驗比較集中的反映了的信息(2)選取統(tǒng)計量做為檢驗函數(shù)H0成立時，因此，遠離n的可能性較小拒絕域選在兩側.

(3)給定顯著性水平，確定拒絕域，使拒絕域為了計算方便，取查-分布表知，上側分位點使分位點使單邊2檢驗(1)檢驗假設拒絕域(2)檢驗假設拒絕域(1)檢驗假設拒絕域選統(tǒng)計量H0成立時，

遠大于n的可能性較小，拒絕域應在右側由于

分布未知，考慮即因此,在給定條件下,使事件所以H0成立時，對假設H0,為小概事件,拒絕域仍為C.(1)檢驗假設(2)構造統(tǒng)計量設取自正態(tài)總體的一個樣本,未知.雙邊2檢驗2.未知時,2的2檢驗

(3)給定顯著性水平,確定拒絕域,使拒絕域查-分布表知,上側分位點使分位點使為了計算方便,取單邊2檢驗(1)檢驗假設拒絕域(2)檢驗假設拒絕域

例11

已知某種棉花的纖度服從N(,0.0482),現(xiàn)從中任取8個樣品,測得纖度為1.36,1.40,1.38,1.32,1.42,1.36,1.44,1.32.問棉花纖度的方差與已知纖度的方差是否相同?(=0.10)解這是未知情況下,對總體方差的雙側檢驗.由于

,

且由樣本觀察值計算得對=0.10,查

2

分布表得由于所以接受H0,認為棉花纖度的方差與0.0482無顯著不同.

例12

在進行工藝改革時,一般若方差顯著增大,可作相反方向的改革以減小方差.若方差變化不顯著,可試行別的改革方案.今進行某項工藝改革,加工23個活塞,測量其直徑,,設改革前活塞直徑方差為0.0004,問進一步改革的方向應如何(假設改革前后活塞直徑服從正態(tài)分布,=0.10)解這是未知情況下,對總體方差的單側檢驗.對=0.05,查

2

分布表得由于所以拒絕H0,認為改革后的直徑方差大于改革前,下一步改革朝相反方向進行.選擇統(tǒng)計量兩個正態(tài)總體方差檢驗假設且它們相互獨立設1.1,2已知時方差齊性的F檢驗2.1,2未知時方差齊性的F檢驗(1)雙側檢驗(2)右邊單側檢驗(3)左邊單側檢驗(1)檢驗假設

(2)構造F統(tǒng)計量設和分別為取自正態(tài)總體和的樣本,在均值

已知的條件下1.1,2已知時方差齊性的F檢驗(3)給定顯著性水平,確定拒絕域注意:(1)檢驗假設(2)構造F統(tǒng)計量2.1,2未知時方差齊性的F檢驗設和分別為取自正態(tài)總體和的樣本,在方差

未知的條件下

(3)給定顯著性水平，確定拒絕域例12為比較兩臺自動機床的精度,分別取容量為10和8的兩個樣本,測量某個指標的尺寸(假定服從正態(tài)分布),得到下列結果：在時,問這兩臺機床是否有同樣的精度?車床甲：1.08,1.10,1.12,1.14,1.15,1.25,1.36,1.38,1.40,1.42車床乙：1.11,1.12,1.18,1.22,1.33,1.35,1.36,1.38

解:設兩臺自動機床的方差分別為在下檢驗假設:取統(tǒng)計量否定域為C:或由樣本值可計算得F的實測值為:F0=1.51查表得由于0.304<1.51<3.68，故接受H0.這時可能犯第二類錯誤.若含氮量都服從正態(tài)分布,問其含氮量是否相同?(=0.05)解此題是兩正態(tài)總體方差未知,亦不知是否齊性的情況下對兩總體均值差的檢驗.須先作方差齊性檢驗,再用t

檢驗.例13

甲乙兩種氮肥,其含氮量的抽樣數(shù)據(jù)分別為:(1)假設所以接受H0,即認為方差是齊性的.

已得到方差齊性的結論，已經(jīng)滿足t檢驗的條件.進而檢驗

所以接受H0,認為兩種氮肥的含氮量基本相同(無顯著差異).

統(tǒng)計量成對數(shù)據(jù)假設檢驗

前面討論的用于兩個正態(tài)總體均值的比較檢驗中,我們假設了來自這兩個正態(tài)總體的樣本是相互獨立的.但是,在實際中,有時候情況不總是這樣.可能這兩個正態(tài)總體的樣本是來自同一個總體上的重復測量,它們是成對出現(xiàn)的且是相關的.例如,為了考察一種降血壓藥的效果,測試了n個高血壓病人服藥前后的血壓分別為和

.這里

是第i個病人服藥前和服藥后的血壓.它們是有關系的,不會相互獨立.另一方面,

是n個不同病人的血壓,由于各人體質(zhì)諸方面的條件不同,這n個觀測值也不能看成來自同一個正態(tài)總體的樣本.也一樣.這樣的數(shù)據(jù)稱為成對數(shù)據(jù).就消除了人的體質(zhì)諸方面的條件差異,僅剩下降血壓的效果.從而我們可以把

看成來自正態(tài)總體的樣本.其中

就是降血壓藥的平均效果.降血壓藥是否有效,就歸結為檢驗如下假設

即為來自正態(tài)總體

的隨機樣本.H0為真時,檢驗函數(shù)為拒絕域為令例14

為了檢驗A、B兩種測定鐵礦石含鐵量的方法是否有明顯差異,現(xiàn)用這兩種方法測定了取自12個不同鐵礦的礦石標本的含鐵量(%),結果列于表.問這兩種測定方法是否有顯著差異?解將方法A和方法B的測定分別記為和.由于這12個標本來自不同鐵礦,因此,不能看成來自同一個總體的樣本,也一樣.故需用成對t檢驗.拒絕域為計算實測值沒有落入拒絕域,接受原假設,認為兩種測定方法無顯著差異.假設檢驗中的大樣本方法

問題:總體不是服從正態(tài)分布,而是0-1分布,怎么樣對0-1分布的參數(shù)p進行假設檢驗?當樣本容量n足夠大時,總體X~B(1,p),p為未知參數(shù),為事件成功的頻數(shù),檢驗H0為真時,檢驗函數(shù)為拒絕域為(x)/2/21-0xz/2-z/2一般說來,按照檢驗所用的統(tǒng)計量的分布,分為F檢驗用F分布z檢驗用正態(tài)分布t檢驗用t分布檢驗用分布在大樣本的條件下,若能求得檢驗統(tǒng)計量的極限分布,依據(jù)它去決定臨界值C.按照對立假設的提法,分為單側檢驗,它的拒絕域取在左側或右側.雙側檢驗,它的拒絕域取在兩側;

1.據(jù)往年統(tǒng)計,某杏園中株產(chǎn)杏服從N(54,0.752),2010年整枝施肥后,收獲時任取10株單收,算得平均株產(chǎn)量為56.22.如果方差不變,問2010年株產(chǎn)量是否有顯著提高?(=0.05)

2.某內(nèi)服藥有使病人血壓增高的副作用,已知血壓增量服從均值22的正態(tài)分布,現(xiàn)就一種新藥品,測得10名服用者的血壓增量平均值為17.9,問能否得出副作用小的結論?練習題

3.杜鵑總是把蛋生在別的鳥巢中,現(xiàn)有從兩種鳥巢中得到的蛋共24只,測量其長度.試鑒別杜鵑蛋的長度與它們被發(fā)現(xiàn)的鳥巢不同是否有關?(設兩個樣本來自同方差的正態(tài)總體)

z檢驗

t檢驗

t檢驗7.3分布擬合檢驗在前面的課程中,我們已經(jīng)了解了假設檢驗的基本思想,并討論了當總體分布為正態(tài)時,關于其中未知參數(shù)的假設檢驗問題.然而可能遇到這樣的情形,總體服從何種理論分布并不知道,要求我們直接對總體分布提出一個假設.例如,從1500到1931年的432年間,每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù)可以看作一個隨機變量,椐統(tǒng)計,這432年間共爆發(fā)了299次戰(zhàn)爭,具體數(shù)據(jù)如下:戰(zhàn)爭次數(shù)X01234

22314248154

發(fā)生X次戰(zhàn)爭的年數(shù)在概率論中,大家對泊松分布產(chǎn)生的一般條件已有所了解,容易想到,每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù),可以用一個泊松隨機變量來近似描述.也就是說,我們可以假設每年爆發(fā)戰(zhàn)爭次數(shù)分布X近似泊松分布.上面的數(shù)據(jù)能否證實X具有泊松分布的假設是正確的?現(xiàn)在的問題是：又如,某鐘表廠對生產(chǎn)的鐘進行精確性檢查,抽取100個鐘作試驗,撥準后隔24小時以后進行檢查,將每個鐘的誤差(快或慢)按秒記錄下來.問該廠生產(chǎn)的鐘的誤差是否服從正態(tài)分布?再如,某工廠制造一批骰子,聲稱它是均勻的.為檢驗骰子是否均勻,要把骰子實地投擲若干次,統(tǒng)計各點出現(xiàn)的頻率與1/6的差距.也就是說,在投擲中,出現(xiàn)1點,2點,…,6點的概率都應是1/6.得到的數(shù)據(jù)能否說明“骰子均勻”的假設是可信的?問題是：K.皮爾遜這是一項很重要的工作,不少人把它視為近代統(tǒng)計學的開端.解決這類問題的工具是英國統(tǒng)計學家K.皮爾遜在1900年發(fā)表的一篇文章中引進的所謂

檢驗法.

檢驗法是在總體X的分布未知時,根據(jù)來自總體的樣本,檢驗關于總體分布的假設的一種檢驗方法.

H0：總體X的分布函數(shù)為F(x)

然后根據(jù)樣本的經(jīng)驗分布和所假設的理論分布之間的吻合程度來決定是否接受原假設.使用

對總體分布進行檢驗時,我們先提出原假設:檢驗法這種檢驗通常稱作擬合優(yōu)度檢驗,它是一種非參數(shù)檢驗.在用

檢驗法檢驗假設H0時,若在H0下分布類型已知,但其參數(shù)未知,這時需要先用極大似然估計法估計參數(shù),然后作檢驗.分布擬合的

檢驗法的基本原理和步驟如下:3.根據(jù)所假設的理論分布,可以算出總體X

的值落入每個Ai的概率pi,于是npi就是落入Ai的樣本值的理論頻數(shù).1.將總體X的取值范圍分成k個互不重迭的小區(qū)間,記作A1,A2,…,Ak.2.把落入第i個小區(qū)間Ai的樣本值的個數(shù)記

作fi,稱為實測頻數(shù).所有實測頻數(shù)之和

f1+f2+…+fk等于樣本容量n.標志著經(jīng)驗分布與理論分布之間的差異的大小.皮爾遜引進如下統(tǒng)計量表示經(jīng)驗分布與理論分布之間的差異:統(tǒng)計量的分布是什么?在理論分布已知的條件下,npi是常量實測頻數(shù)理論頻數(shù)皮爾遜證明了如下定理:若原假設中的理論分布F(x)已經(jīng)完全給定,那么當時,統(tǒng)計量分布漸近為(k-1)個自由度的分布.如果理論分布F(x)中有r個未知參數(shù)需用相應的估計量來代替,那么當時,統(tǒng)計量分布漸近為

(k-r-1)個自由度的分布.是k個近似正態(tài)的變量的平方和.這些變量之間存在著一個制約關系:故統(tǒng)計量漸近(k-1)個自由度的分布.

在理論分布F(x)完全給定的情況下,每個pi

都是確定的常數(shù).由棣莫佛－拉普拉斯中心極限定理,當n充分大時,實測頻數(shù)fi

漸近正態(tài),因此在F(x)尚未完全給定的情況下,每個未知參數(shù)用相應的估計量代替,就相當于增加一個制約條件,因此,自由度也隨之減少一個.若有r個未知參數(shù)需用相應的估計量來代替,自由度就減少r個.此時統(tǒng)計量漸近(k-r-1)個自由度的分布.如果根據(jù)所給的樣本值X1,X2,…,Xn算得統(tǒng)計量的實測值落入拒絕域,則拒絕原假設,否則就認為差異不顯著而接受原假設.得拒絕域:(不需估計參數(shù))(估計r個參數(shù))查分布表可得臨界值,使得根據(jù)這個定理,對給定的顯著性水平,皮爾遜定理是在n無限增大時推導出來的,因而在使用時要注意n要足夠大,以及npi

不太小這兩個條件.根據(jù)計算實踐,要求n不小于50,以及npi

都不小于5.否則應適當合并區(qū)間,使npi滿足這個要求.讓我們回到開始的一個例子,檢驗每年爆發(fā)戰(zhàn)爭次數(shù)分布是否服從泊松分布.提出假設H0