復(fù)變函數(shù)與積分變換第2章解析函數(shù)精課件

第2章解析函數(shù)第2章解析函數(shù)1

解析函數(shù)是具有某種特性的復(fù)變函數(shù)，它是復(fù)分析研究的主要對(duì)象之一，本章首先給出復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義，然后引入解析函數(shù)的概念及判別函數(shù)解析的方法，最后討論初等解析函數(shù)及其性質(zhì)．

解析函數(shù)是具有某種特性的復(fù)變函數(shù)，它是復(fù)分析研究的2

2.1解析函數(shù)的概念

2.1.1復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分

(1)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

把一元實(shí)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概念形式推廣到復(fù)變函數(shù)中來(lái)，就得到復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念.

定義2.1設(shè)w=f(z)是定義在區(qū)域D內(nèi)的復(fù)變函數(shù)，z0,z0+Δz∈D，若極限

存在，則稱f(z)在點(diǎn)z0可導(dǎo)，這個(gè)極限值稱為f(z)在z0的導(dǎo)數(shù)，記作

2.1解析3

即

式（2.1）意味著ε>0，δ=δ(ε)>0，使得當(dāng)0<|Δz|<δ時(shí)，有

若w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱f(z)在D內(nèi)可導(dǎo)．

令z=z0+Δz，則Δz→0等價(jià)于z→z0.從而導(dǎo)數(shù)也可由下式來(lái)表示

即

式（2.1）意味著ε>0，δ=δ(ε)>0，4

與微積分學(xué)一樣，若函數(shù)f(z)在z0處有導(dǎo)數(shù)，則它在這點(diǎn)連續(xù).這是因?yàn)橛蓪?dǎo)數(shù)的定義可知，對(duì)ε0=1，δ0>0，使得當(dāng)0<|z－z0|<δ0時(shí)，有

與微積分學(xué)一樣，若函數(shù)f(z)在z0處有導(dǎo)數(shù)，則它在這5復(fù)變函數(shù)與積分變換第2章解析函數(shù)[精]課件6復(fù)變函數(shù)與積分變換第2章解析函數(shù)[精]課件7

（2）復(fù)變函數(shù)的微分

下面將一元實(shí)變函數(shù)的微分概念推廣到復(fù)變函數(shù)，得到

定義2.2設(shè)函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z0的某鄰域內(nèi)有定義，A是一個(gè)復(fù)常數(shù)．若在Nδ(z0)內(nèi)有

其中是關(guān)于Δz的高階無(wú)窮小，即，則稱函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z0可微，Δw的線性部分AΔz稱為函數(shù)w在點(diǎn)z0的微分，記為

（2）復(fù)變函數(shù)的微分

下面將一元實(shí)變函數(shù)的微分概念推廣到8

特別是當(dāng)w=z時(shí)，dz=Δz，于是式(2.2)可表示為

容易證明，如果函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z0可導(dǎo)，則一定在該點(diǎn)可微，反之亦然，并且微分與導(dǎo)數(shù)有如下關(guān)系：

因此,導(dǎo)數(shù)也稱為微商．

特別是當(dāng)w=z時(shí)，dz=Δz，于是式(2.2)可表示為

9

下面我們列出復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，其證明方法與微積分中方法類似.

如果函數(shù)f(z)，g(z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)，則在對(duì)任意z∈D有

②設(shè)函數(shù)ξ=g(z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)，w=f(ξ)在區(qū)域G內(nèi)可導(dǎo)，且對(duì)于D內(nèi)每一點(diǎn)z，函數(shù)值ξ=g(z)均在區(qū)域G內(nèi)，則對(duì)任意z∈D有

③設(shè)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)且f′(z)≠0，G為w=f(z)的值域，若z=φ(w)是w=f(z)的單值反函數(shù)，且在G上連續(xù)，則z=φ(w)在G上可導(dǎo)，且．

下面我們列出復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，其證明方法與微積分中方10

2.1.2解析函數(shù)

在很多理論和實(shí)際問題中，需要研究的是區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，下面給出定義.

定義2.3若函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)，則稱f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析；若存在區(qū)域G，使得閉區(qū)域，且f(z)在區(qū)域G內(nèi)解析，則稱f(z)在閉區(qū)域D上解析；若函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)解析，則稱f(z)在點(diǎn)處解析．

顯然，函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析的充分必要條件是它在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都解析.

2.1.2解析函數(shù)

在很多理論和實(shí)際問題中，需要研究11

若函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)的解析，也稱f(z)為區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)或D內(nèi)的正則函數(shù)，特別地，在全平面上解析的函數(shù)稱為整函數(shù).函數(shù)w=f(z)的不解析點(diǎn)，稱為f(z)的奇點(diǎn)．

由例2.1知，函數(shù)在

上可導(dǎo)，因而在

上的解析，從而是一個(gè)整函數(shù)．

由例2.2可知，函數(shù)在

上處處不可導(dǎo)，因此,z在

上處處不解析，即

上所有點(diǎn)都是z的奇點(diǎn).

若函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)的解析，也稱f(z)為區(qū)域12

例2.3考察函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性．

解由例2.1、例2.2知在C上可導(dǎo)，

在

上處處不可導(dǎo)，從而由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則知，函數(shù)f(z)=在z≠0時(shí)不可導(dǎo).當(dāng)z=0時(shí),可得

即在z=0處可導(dǎo)．綜上所述，函數(shù)f(z)=僅在z=0可導(dǎo)，故在全平面C上處處不解析．

由復(fù)變函數(shù)的求導(dǎo)法可推出解析函數(shù)的以下性質(zhì):

例2.3考察函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性．13

定理2.1

①解析函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）仍是解析函數(shù).

②設(shè)函數(shù)ξ=g(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，w=f(ξ)在區(qū)域G內(nèi)解析，且z∈D，函數(shù)值ξ=g(z)均在區(qū)域G內(nèi)，則f［g(z)］在區(qū)域D內(nèi)解析.

③設(shè)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且f′(z)≠0，G為w=f(z)的值域，若z=φ(w)是w=f(z)的單值反函數(shù)，且在G上連續(xù)，則z=φ(w)在G上解析.

由此可知，多項(xiàng)式是全平面上的解析函數(shù)；有理分式函數(shù)（其分子與分母是互質(zhì)多項(xiàng)式）在分母不為零的點(diǎn)處是解析的．

定理2.1

①解析函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）仍14

2.2C.-R.條件

有例子表明，即便u(x,y),v(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，甚至有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)也不能保證f(z)的可導(dǎo)性，比如函數(shù)f(z)=的實(shí)部u(x,y)=x,虛部v(x,y)=－y,它們?cè)谌我庖稽c(diǎn)(x,y)處都有任意階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，但由本章例2.2可知，復(fù)函數(shù)f(z)=在任意一點(diǎn)z=x+iy處都不可導(dǎo).當(dāng)函數(shù)f(z)可導(dǎo)時(shí)，它的實(shí)部與虛部并不是獨(dú)立的，而是有一定的依賴關(guān)系，由此可得到下述定理：

2.2C.-R.條件

有例子表明，即便u(x,y),v15

定理2.2f(z)=u(x,y)+iυ(x,y)在某點(diǎn)z=x+iy可導(dǎo)的充分必要條件是

①u(x,y),v(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微；

②在點(diǎn)(x,y)處有

此時(shí)f(z)的導(dǎo)數(shù)為

稱式(2.3)為柯西—黎曼（Cauch-Riemann）方程，或簡(jiǎn)稱為C.-R.條件．

定理2.2f(z)=u(x,y)+iυ(x,y)在某點(diǎn)z16

證必要性．記Δz=Δx+iΔy，f(z+Δz)－f(z)=Δu+iΔv，f′(z)=a+ib，

若f(z)在點(diǎn)z=x+iy可微，則有

其中，且根據(jù)復(fù)數(shù)相等的意義，得

證必要性．記Δz=Δx+iΔy，f(z+Δz)－f(z)17

由此說(shuō)明u(x,y)與v(x,y)在點(diǎn)z=x+iy可微，并且在點(diǎn)z=x+iy有

即滿足C.-R.條件式(2.3)．

充分性．因?yàn)閡(x,y)與v(x,y)在點(diǎn)z處可微，所以有

由此說(shuō)明u(x,y)與v(x,y)在點(diǎn)z=x+iy可微，18

由C.-R.條件式(2.3)及上述兩式有

將上式兩端同除以Δz，并讓?duì)→0，即得

因此,函數(shù)f(z)在點(diǎn)z處可導(dǎo)且式（2.4）成立.

由C.-R.條件式(2.3)及上述兩式有

19

下面例子表明將定理2.1中條件減弱為u(x,y),v(x,y)在點(diǎn)(x,y)處存在偏導(dǎo)數(shù)且滿足C.-R.條件，則不能保證f′(z)存在．

例2.4證明的實(shí)部、虛部在點(diǎn)(0,0)處偏導(dǎo)數(shù)存在且滿足C.-R.條件，但f(z)在點(diǎn)z=0處不可導(dǎo)．

事實(shí)上，此時(shí)v(x,y)=0，所以在點(diǎn)z=0處有

下面例子表明將定理2.1中條件減弱為u(x,y),v(x20

即函數(shù)在點(diǎn)z=0處滿足C.-R.條件式(2.3).

但由于

不存在，所以在點(diǎn)z=0處是不可導(dǎo)．

由定義2.3及定理2.2，便可得到復(fù)變函數(shù)f(z)解析的等價(jià)刻畫．

即函數(shù)在點(diǎn)z=0處滿足C.-R21

定理2.3f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析的充分必要條件是u(x,y)與v(x,y)在D內(nèi)處處可微，且在D內(nèi)處處滿足C.-R.條件式(2.3)．

定理2.4若u(x,y)與v(x,y)在區(qū)域D內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且在D內(nèi)滿足C.-R.條件式(2.3)，則f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)解析．

例2.5判別下列函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性，并在可導(dǎo)點(diǎn)處求出導(dǎo)數(shù).

定理2.3f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域22

解①設(shè)w=u(x,y)+iv(x,y),此時(shí)u(x,y)=x,v(x,y)=－y，故

它們?cè)贑上處處不滿足C.-R.條件，故w=在C上處處不可導(dǎo)，處處不解析．

②因?yàn)樵谄矫嫔咸幪幙晌⑶?/p>

于是在直線

上

從而在直線上任意一點(diǎn)處可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)為

但在C上處處不解析.

解①設(shè)w=u(x,y)+iv(x,y),此時(shí)u(x,y)=23

③當(dāng)z≠0時(shí)，都是可微函數(shù)且

即滿足C.-R.條件，因此,在區(qū)域C\{0}內(nèi)處處可導(dǎo)，從而在C\{0}內(nèi)處處解析，其導(dǎo)數(shù)為

③當(dāng)z≠0時(shí)，24

例2.6設(shè)f(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，且在D內(nèi)|f(z)|等于常數(shù)，則f(z)在D內(nèi)也為常數(shù).

證明設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，z=x+iy∈D，由已知|f(z)|=C(z∈D,C為常數(shù))，即有

上式中兩端分別對(duì)x，y求偏導(dǎo)可得

例2.6設(shè)f(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，且在D內(nèi)|f(z25

因?yàn)閒(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則在D內(nèi)有

由式(2.5)、式(2.6)得

注意

因?yàn)閒(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則在D內(nèi)有

由26

則

①C=0時(shí)，即在D內(nèi)有，于是在D內(nèi)有u≡0,v≡0，故在D內(nèi)f(z)≡0；

②當(dāng)C≠0時(shí)，則齊次線性方程組(2.7)只有零解，即在D內(nèi)

由C.-R.條件，在D內(nèi)也有

從而在D內(nèi)u(x,y)，v(x,y)均為常數(shù)，所以在D內(nèi)f(z)是常數(shù)．

則

①C=0時(shí)，即在D內(nèi)有27

2.3初等函數(shù)

本節(jié)討論復(fù)數(shù)域上的初等函數(shù)，它們是微積分中基本初等函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的延拓．特別要注意的是，復(fù)變初等函數(shù)與相應(yīng)的實(shí)變函數(shù)在性質(zhì)上會(huì)有所不同，如指數(shù)函數(shù)ez具有周期性，正弦函數(shù)sinz和余弦函數(shù)cosz在定義域內(nèi)不再有界等．

2.3初等函數(shù)

本節(jié)討論28

2.3.1指數(shù)函數(shù)

定義2.4設(shè)，則由

表示的復(fù)數(shù)w稱為z的指數(shù)函數(shù)，記為

對(duì)于實(shí)數(shù)z=x而言，便是通常的實(shí)變數(shù)的指數(shù)函數(shù)；對(duì)于純虛數(shù)z=iy而言，，這便是Euler公式，所以指數(shù)函數(shù)的定義是Euler公式的推廣．

2.3.1指數(shù)函數(shù)

定義2.4設(shè)29

指數(shù)函數(shù)具有以下幾個(gè)重要的性質(zhì)：

①的定義域?yàn)橛邢迯?fù)平面

，且

②是C上的解析函數(shù)，且(ez)′=ez；

③，有

④是以2πi為周期的周期函數(shù)；

⑤函數(shù)

(w≠0,∞)把z平面上的寬度為2π的帶形區(qū)域

均映射為w平面上的角形區(qū)域G=C\{負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)}．

指數(shù)函數(shù)具有以下幾個(gè)重要的性質(zhì)：

①的定義域?yàn)橛?0

證①因?yàn)椋?/p>

②依定義知：

它們?cè)谌矫嫔咸幪幙晌⑶覞M足C.-R.條件，故在

上處處解析，且

③設(shè)依指數(shù)函數(shù)定義得

同理可證第二個(gè)等式.

證①因?yàn)?，?/p>

②依定義知：

31

④事實(shí)上，有

⑤設(shè)z=x+iy，，則由，可得于是

當(dāng)y=y0時(shí)，有θ=y0，表明它將z平面上的水平直線y=y0映射為w平面上的射線θ=y0；而當(dāng)x=x0時(shí)，有表明它將z平面上的直線段“x=x0且－π<y≤π”映射為w平面上的圓周(圖2.1)

④事實(shí)上，有

⑤設(shè)z=x+i32

圖2.1

33

當(dāng)z平面上的動(dòng)直線從y=0掃動(dòng)到直線y=y0時(shí)，對(duì)應(yīng)的像就在w平面上就從射線θ=0掃動(dòng)到射線θ=y0.從而z平面上的帶形區(qū)域{z|0<Imz<y0}映射為w平面上的角形區(qū)域{w|0<argw<y0}．

特別地，把z平面上的帶形區(qū)域{z|－π<Imz<π}映射為w平面上去掉負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)后的角形區(qū)域G=C\{負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)}，如圖2.2所示.

一般地，把z平面上的寬度為2π的帶形區(qū)域

均映射為w平面上的角形區(qū)域G=\{負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)}．

當(dāng)z平面上的動(dòng)直線從y=0掃動(dòng)到直線y=y0時(shí)，對(duì)應(yīng)的像就34

圖2.2

35

2.3.2對(duì)數(shù)函數(shù)

定義2.5若復(fù)數(shù)z和w滿足

則稱w是z的對(duì)數(shù)函數(shù)，記為w=Lnz，顯然它是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù).

令，則式(2.9)即為

故所以

2.3.2對(duì)數(shù)函數(shù)

定義2.5若復(fù)數(shù)z和w滿足

則36

于是

由此可見，任何非零有窮復(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)仍是復(fù)數(shù)，且

因?yàn)镮m(Lnz)是無(wú)窮多值的，所以w=Lnz是z的無(wú)窮多值函數(shù)．

于是

由此可見，任何非零有窮復(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)仍是復(fù)數(shù)，37

對(duì)每一個(gè)給定的整數(shù)k，由式（2.10）確定了z=ew一個(gè)單值反函數(shù)，記為

，,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的映射性質(zhì)知，（Lnz)k將z平面上區(qū)域G=\{負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)}映射為w平面上的區(qū)域

特別地，(Lnz)0=ln|z|+iargz將z平面上的區(qū)域G=\{負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)}映射為w平面上的區(qū)域

對(duì)每一個(gè)給定的整數(shù)k，由式（2.10）確定了z=ew一個(gè)單38

我們稱為對(duì)數(shù)函數(shù)Lnz的單值分支，而(Lnz)0=ln|z|+iargz稱為L(zhǎng)nz的主值支，記為lnz，即

顯然有

當(dāng)z=x>0時(shí)，主值支lnz=lnx，就是實(shí)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù).

我們稱為對(duì)數(shù)函數(shù)Lnz的單值分支39

對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì):

①對(duì)數(shù)函數(shù)w=Lnz的定義域?yàn)?/p>

\{0}；

②對(duì)數(shù)函數(shù)w=Lnz是一個(gè)多值函數(shù)，并且任意兩個(gè)值之間相差2πi的整數(shù)倍；

③對(duì)數(shù)函數(shù)w=Lnz的任意一個(gè)單值分支都在區(qū)域G=\{負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)}內(nèi)解析，且

即為對(duì)數(shù)函數(shù)w=Lnz的第k個(gè)單值解析分支;

④

對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì):

①對(duì)數(shù)函數(shù)w=Lnz的定義域?yàn)閈{40

證由對(duì)數(shù)函數(shù)定義知，性質(zhì)①、②顯然成立.

③由于z=ew在區(qū)域內(nèi)解析，且(ew)′=ew≠0，G=\{負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)}為函數(shù)z=ew(w∈Dk)的值域（見指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)⑤），又每個(gè)wk=（Lnz)k是z=ew的單值反函數(shù)，且在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，由定理2.1的第③條結(jié)論知：wk=（Lnz)k在區(qū)域G內(nèi)解析，且

證由對(duì)數(shù)函數(shù)定義知，性質(zhì)①、②顯然成立.

③由于z=41

④由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義知恒等式

成立，另一方面，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得

故

于是式（2.11）的第一個(gè)等式得證，同理可證第二個(gè)等式成立.

④由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義知恒等式

成立，另一方面，由指數(shù)42

例2.7求Ln(－1)和2Lni的值.

解

注上例表明，一般而言，對(duì)任意非零復(fù)數(shù)z及正整數(shù)n，等式

不再成立，這是與實(shí)變函數(shù)的對(duì)數(shù)性質(zhì)不同之處.

例2.7求Ln(－1)和2Lni的值.

解

注43

例2.8求Lnz在z=1取值4πi的那一支在z=i時(shí)的值.

解Ln1=ln|1|+i(arg1+2kπ)=2kπi(k∈)，要使Ln1=4πi，即2kπi=4πi，故k=2，所以

例2.8求Lnz在z=1取值4πi的那一支在z=i44

2.3.3冪函數(shù)

定義2.6設(shè)a∈\{0}，由表示的復(fù)數(shù)w稱為復(fù)變量z的冪函數(shù).記為

,即，冪函數(shù)的性質(zhì)與a有關(guān)，詳述如下：

①若，則就是函數(shù)z自乘n次得到的函數(shù)，它是

上單值解析函數(shù)，且

②若，則它是

\{0}上的單值解析函數(shù)，且

2.3.3冪函數(shù)

定義2.6設(shè)a∈\{0}，由45

③若

(p,q為互質(zhì)的整數(shù))，則是\{0}上的q值函數(shù)，它在區(qū)域G=\{負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)}內(nèi)可分成q個(gè)單值解析分支

且對(duì)每個(gè)k有

③若(p,q為互質(zhì)的整數(shù))，則46

特別地，若，則

就是根式函數(shù)，它在區(qū)域G=\{負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)}內(nèi)有n個(gè)單值解析分支

且

特別地，若，則47

④若a是無(wú)理數(shù)或虛數(shù)時(shí)，za是定義域?yàn)閈{0}的無(wú)窮多值函數(shù)，它在區(qū)域G=\{負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)}內(nèi)可以分出無(wú)窮多個(gè)單值解析分支：

且

④若a是無(wú)理數(shù)或虛數(shù)時(shí)，za是定義域?yàn)閈{0}48

證①、②的證明類似，我們只證明②.事實(shí)上，由冪函數(shù)的定義和指數(shù)函數(shù)的周期性及運(yùn)算性質(zhì)有

再由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及例2.1可知式(2.12)成立.

證①、②的證明類似，我們只證明②.事實(shí)上，由冪函數(shù)的49

③由冪函數(shù)的定義

它只在k=0,1,…，q－1時(shí)才取不同的值，故式(2.13)成立.因?yàn)樵?/p>

上解析，Lnz在G=\{負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)}內(nèi)可分成單值解析分支（Lnz)k，故復(fù)合函數(shù)

在

{負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)}內(nèi)可分成單值解析分支

③由冪函數(shù)的定義

它只在k=0,1,…，q－1時(shí)才取不50

再由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，對(duì)每個(gè)k(=0,1,…,q－1)有和任意的z∈G={負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)}有

再由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，對(duì)每個(gè)k(=0,1,…,q－151

④因?yàn)楫?dāng)a是無(wú)理數(shù)或虛數(shù)時(shí)，對(duì)于不同的取不同的值，此時(shí)式(2.15)有無(wú)窮多個(gè)值，再由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得

證畢.

綜上所述，當(dāng)a是整數(shù)時(shí)，是單值的；當(dāng)a是其他情形時(shí)，

是多值的.此時(shí)我們稱za中對(duì)應(yīng)于Lnz的主值支的那一支為的主值支.

④因?yàn)?2

例2.9求的值．

解

例2.10求的主值．

解因?yàn)槠渲髦禐?/p>

例2.9求的值．

解

例2.10求53

2.3.4三角函數(shù)與雙曲函數(shù)

定義2.7規(guī)定

并分別稱為復(fù)變數(shù)z的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)．

顯然，當(dāng)z=x是實(shí)數(shù)時(shí)，由Euler公式知，以上定義的三角函數(shù)與實(shí)的三角函數(shù)定義一致.

2.3.4三角函數(shù)與雙曲函數(shù)

定義2.7規(guī)定

54

正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的基本性質(zhì)：

sinz，cosz都是

上單值解析函數(shù)，且有

②sinz和cosz都是以2π為周期的周期函數(shù)，即

③sinz是奇函數(shù)，cosz是偶函數(shù)，即有

正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的基本性質(zhì)：

sinz，cosz55

④在

上成立的三角恒等式在

內(nèi)都成立，如：

⑤sinz=0的零點(diǎn)為cosz=0的零點(diǎn)為

⑥在

內(nèi)，|sinz|和|cosz|都是無(wú)界的．

④在上成立的三角恒等式在內(nèi)都成立，如：

56

證明①由指數(shù)函數(shù)的解析性質(zhì)及解析函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)知，sinz，cosz都是C上單值解析函數(shù)，且

同理可證另一個(gè).

②因?yàn)槎家?πi為周期，故都以2π為周期，于是由定義2.7知sinz和cosz都以2π為周期.

③直接由定義2.7容易驗(yàn)證.

④在此僅證第一個(gè)等式.

證明①由指數(shù)函數(shù)的解析性質(zhì)及解析函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)知，sin57

事實(shí)上，由定義

⑤由定義2.7，sinz=0的充要條件為設(shè)z=α+iβ，則,故從而類似可得cosz=0

的零點(diǎn)為

事實(shí)上，由定義

⑤由定義2.7，sinz=058

⑥事實(shí)上，

可見，當(dāng)|y|無(wú)限增大時(shí)，|cosz|趨于無(wú)窮大．同理可證|sinz|也是無(wú)界的．

其他三角函數(shù)如下：

它們都在分母不為零處解析，且有

⑥事實(shí)上，

可見，當(dāng)|y|無(wú)限增大時(shí)，|cos59

定義2.8規(guī)定

并分別稱為復(fù)變數(shù)z的雙曲正弦、雙曲余弦、雙曲正切、雙曲余切、雙曲正割、雙曲余割函數(shù)．

定義2.8規(guī)定

并分別稱為復(fù)變數(shù)z的雙曲60

由定義2.7，定義2.8知，雙曲函數(shù)與三角函數(shù)可以互化，例如通過計(jì)算容易得到

等等，從而由三角函數(shù)的性質(zhì)可以直接得到雙曲函數(shù)的性質(zhì)，例如，由

可見sinhz為奇函數(shù)，同理可得coshz為偶函數(shù)；且都是以2πi為周期的周期函數(shù)；并有關(guān)系式

等，此外，shz與chz都是

上的解析函數(shù)，且有

由定義2.7，定義2.8知，雙曲函數(shù)與三角函數(shù)可以互化，例61

2.3.5反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)

三角函數(shù)的反函數(shù)稱為反三角函數(shù)，雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù)．我們知道三角函數(shù)與雙曲函數(shù)均是通過指數(shù)函數(shù)來(lái)表達(dá)的，而指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)，因而反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)應(yīng)該可通過對(duì)數(shù)函數(shù)來(lái)表達(dá)．

我們先從反正弦函數(shù)開始．若z=sinw，則稱w為z的反正弦函數(shù)，記作w=Arcsinz．

2.3.5反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)

三角函數(shù)的反函數(shù)稱62

下面來(lái)推導(dǎo)Arcsinz的表達(dá)式．由定義2.7，有

即

解之得

即

從而有

下面來(lái)推導(dǎo)Arcsinz的表達(dá)式．由定義2.7，有

63

同理可得，反余弦函數(shù)w=Arccosz的表達(dá)式

反正切函數(shù)Arctanz的表達(dá)式

反余切函數(shù)Arccotz的表達(dá)式

同理可得，反余弦函數(shù)w=Arccosz的表達(dá)式

64

類似地，可以推導(dǎo)出所有反雙曲函數(shù)的表達(dá)式，具體地有

反雙曲正弦函數(shù)Arcsinhz的表達(dá)式

反雙曲余弦函數(shù)Arccoshz的表達(dá)式

反雙曲正切函數(shù)Arctanhz的表達(dá)式

反雙曲余切函數(shù)Arccothz的表達(dá)式

根據(jù)對(duì)數(shù)的無(wú)窮多值性可知，反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)都是多值函數(shù)．

類似地，可以推導(dǎo)出所有反雙曲函數(shù)的表達(dá)式，具體地有

反雙曲65

習(xí)題2

1.利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在z=1處的導(dǎo)數(shù).

2．下列函數(shù)何處可導(dǎo)？何處解析？

3．試確定下列函數(shù)的解析區(qū)域和奇點(diǎn)，并求出導(dǎo)數(shù).

習(xí)題2

66

4．試證下列函數(shù)在z平面上任何點(diǎn)都不解析.

5.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，試證f(z)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù).

6.判斷下述命題的真假，若真，請(qǐng)給出證明；若假，請(qǐng)舉例說(shuō)明.

（1）如果存在，那么f(z)在點(diǎn)解析;

（2）如果f(z)在點(diǎn)連續(xù)，那么存在;

（3）實(shí)部與虛部滿足柯西-黎曼方程的復(fù)變函數(shù)是解析函數(shù)；

（4）如果是f(z)和g(z)的一個(gè)奇點(diǎn)，則z0是f(z)+g(z)和一個(gè)奇點(diǎn)；

（5）如果u(x,y)和v(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)均存在，則f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的導(dǎo)數(shù)一定存在.

4．試證下列函數(shù)在z平面上任何點(diǎn)都不解析.

5.若f(67

7．證明：如果函數(shù)f(z)=u+iv在區(qū)域D內(nèi)解析，并滿足下列條件之一，那么f(z)是常數(shù).

（1）f(z)恒取實(shí)值；

（2）在D內(nèi)解析；

（3）argf(z)在D內(nèi)是一個(gè)常數(shù)；

（4）au+bv=c，其中a、b與c為不全為零的實(shí)常數(shù)；

（5）

8.設(shè)

在全平面上解析，試確定l、m、n的值.

9.如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析，試證：

7．證明：如果函數(shù)f(z)=u+iv在區(qū)域D內(nèi)解析，并滿足68

10.判斷下列關(guān)系是否正確？

11．找出下列方程的全部解.

10.判斷下列關(guān)系是否正確？

11．找出下列方程69

12.證明.

12.證明.

70

13.化簡(jiǎn).

14.已知，求|f′(1－i)|及argf′(1－i).

15.求Ln(－i)，Ln(－3+4i)和它們的主值.

16．求的值.

17.解下列方程：

13.化簡(jiǎn).

14.已知71

18.指出下列運(yùn)算中的錯(cuò)誤所在.

18.指出下列運(yùn)算中的錯(cuò)誤所在.

72第2章解析函數(shù)第2章解析函數(shù)73

解析函數(shù)是具有某種特性的復(fù)變函數(shù)，它是復(fù)分析研究的主要對(duì)象之一，本章首先給出復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義，然后引入解析函數(shù)的概念及判別函數(shù)解析的方法，最后討論初等解析函數(shù)及其性質(zhì)．

解析函數(shù)是具有某種特性的復(fù)變函數(shù)，它是復(fù)分析研究的74

2.1解析函數(shù)的概念

2.1.1復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分

(1)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

把一元實(shí)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概念形式推廣到復(fù)變函數(shù)中來(lái)，就得到復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念.

定義2.1設(shè)w=f(z)是定義在區(qū)域D內(nèi)的復(fù)變函數(shù)，z0,z0+Δz∈D，若極限

存在，則稱f(z)在點(diǎn)z0可導(dǎo)，這個(gè)極限值稱為f(z)在z0的導(dǎo)數(shù)，記作

2.1解析75

即

式（2.1）意味著ε>0，δ=δ(ε)>0，使得當(dāng)0<|Δz|<δ時(shí)，有

若w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱f(z)在D內(nèi)可導(dǎo)．

令z=z0+Δz，則Δz→0等價(jià)于z→z0.從而導(dǎo)數(shù)也可由下式來(lái)表示

即

式（2.1）意味著ε>0，δ=δ(ε)>0，76

與微積分學(xué)一樣，若函數(shù)f(z)在z0處有導(dǎo)數(shù)，則它在這點(diǎn)連續(xù).這是因?yàn)橛蓪?dǎo)數(shù)的定義可知，對(duì)ε0=1，δ0>0，使得當(dāng)0<|z－z0|<δ0時(shí)，有

與微積分學(xué)一樣，若函數(shù)f(z)在z0處有導(dǎo)數(shù)，則它在這77復(fù)變函數(shù)與積分變換第2章解析函數(shù)[精]課件78復(fù)變函數(shù)與積分變換第2章解析函數(shù)[精]課件79

（2）復(fù)變函數(shù)的微分

下面將一元實(shí)變函數(shù)的微分概念推廣到復(fù)變函數(shù)，得到

定義2.2設(shè)函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z0的某鄰域內(nèi)有定義，A是一個(gè)復(fù)常數(shù)．若在Nδ(z0)內(nèi)有

其中是關(guān)于Δz的高階無(wú)窮小，即，則稱函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z0可微，Δw的線性部分AΔz稱為函數(shù)w在點(diǎn)z0的微分，記為

（2）復(fù)變函數(shù)的微分

下面將一元實(shí)變函數(shù)的微分概念推廣到80

特別是當(dāng)w=z時(shí)，dz=Δz，于是式(2.2)可表示為

容易證明，如果函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z0可導(dǎo)，則一定在該點(diǎn)可微，反之亦然，并且微分與導(dǎo)數(shù)有如下關(guān)系：

因此,導(dǎo)數(shù)也稱為微商．

特別是當(dāng)w=z時(shí)，dz=Δz，于是式(2.2)可表示為

81

下面我們列出復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，其證明方法與微積分中方法類似.

如果函數(shù)f(z)，g(z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)，則在對(duì)任意z∈D有

②設(shè)函數(shù)ξ=g(z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)，w=f(ξ)在區(qū)域G內(nèi)可導(dǎo)，且對(duì)于D內(nèi)每一點(diǎn)z，函數(shù)值ξ=g(z)均在區(qū)域G內(nèi)，則對(duì)任意z∈D有

③設(shè)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)且f′(z)≠0，G為w=f(z)的值域，若z=φ(w)是w=f(z)的單值反函數(shù)，且在G上連續(xù)，則z=φ(w)在G上可導(dǎo)，且．

下面我們列出復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，其證明方法與微積分中方82

2.1.2解析函數(shù)

在很多理論和實(shí)際問題中，需要研究的是區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，下面給出定義.

定義2.3若函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)，則稱f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析；若存在區(qū)域G，使得閉區(qū)域，且f(z)在區(qū)域G內(nèi)解析，則稱f(z)在閉區(qū)域D上解析；若函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)解析，則稱f(z)在點(diǎn)處解析．

顯然，函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析的充分必要條件是它在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都解析.

2.1.2解析函數(shù)

在很多理論和實(shí)際問題中，需要研究83

若函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)的解析，也稱f(z)為區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)或D內(nèi)的正則函數(shù)，特別地，在全平面上解析的函數(shù)稱為整函數(shù).函數(shù)w=f(z)的不解析點(diǎn)，稱為f(z)的奇點(diǎn)．

由例2.1知，函數(shù)在

上可導(dǎo)，因而在

上的解析，從而是一個(gè)整函數(shù)．

由例2.2可知，函數(shù)在

上處處不可導(dǎo)，因此,z在

上處處不解析，即

上所有點(diǎn)都是z的奇點(diǎn).

若函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)的解析，也稱f(z)為區(qū)域84

例2.3考察函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性．

解由例2.1、例2.2知在C上可導(dǎo)，

在

上處處不可導(dǎo)，從而由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則知，函數(shù)f(z)=在z≠0時(shí)不可導(dǎo).當(dāng)z=0時(shí),可得

即在z=0處可導(dǎo)．綜上所述，函數(shù)f(z)=僅在z=0可導(dǎo)，故在全平面C上處處不解析．

由復(fù)變函數(shù)的求導(dǎo)法可推出解析函數(shù)的以下性質(zhì):

例2.3考察函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性．85

定理2.1

①解析函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）仍是解析函數(shù).

②設(shè)函數(shù)ξ=g(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，w=f(ξ)在區(qū)域G內(nèi)解析，且z∈D，函數(shù)值ξ=g(z)均在區(qū)域G內(nèi)，則f［g(z)］在區(qū)域D內(nèi)解析.

③設(shè)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且f′(z)≠0，G為w=f(z)的值域，若z=φ(w)是w=f(z)的單值反函數(shù)，且在G上連續(xù)，則z=φ(w)在G上解析.

由此可知，多項(xiàng)式是全平面上的解析函數(shù)；有理分式函數(shù)（其分子與分母是互質(zhì)多項(xiàng)式）在分母不為零的點(diǎn)處是解析的．

定理2.1

①解析函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）仍86

2.2C.-R.條件

有例子表明，即便u(x,y),v(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，甚至有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)也不能保證f(z)的可導(dǎo)性，比如函數(shù)f(z)=的實(shí)部u(x,y)=x,虛部v(x,y)=－y,它們?cè)谌我庖稽c(diǎn)(x,y)處都有任意階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，但由本章例2.2可知，復(fù)函數(shù)f(z)=在任意一點(diǎn)z=x+iy處都不可導(dǎo).當(dāng)函數(shù)f(z)可導(dǎo)時(shí)，它的實(shí)部與虛部并不是獨(dú)立的，而是有一定的依賴關(guān)系，由此可得到下述定理：

2.2C.-R.條件

有例子表明，即便u(x,y),v87

定理2.2f(z)=u(x,y)+iυ(x,y)在某點(diǎn)z=x+iy可導(dǎo)的充分必要條件是

①u(x,y),v(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微；

②在點(diǎn)(x,y)處有

此時(shí)f(z)的導(dǎo)數(shù)為

稱式(2.3)為柯西—黎曼（Cauch-Riemann）方程，或簡(jiǎn)稱為C.-R.條件．

定理2.2f(z)=u(x,y)+iυ(x,y)在某點(diǎn)z88

證必要性．記Δz=Δx+iΔy，f(z+Δz)－f(z)=Δu+iΔv，f′(z)=a+ib，

若f(z)在點(diǎn)z=x+iy可微，則有

其中，且根據(jù)復(fù)數(shù)相等的意義，得

證必要性．記Δz=Δx+iΔy，f(z+Δz)－f(z)89

由此說(shuō)明u(x,y)與v(x,y)在點(diǎn)z=x+iy可微，并且在點(diǎn)z=x+iy有

即滿足C.-R.條件式(2.3)．

充分性．因?yàn)閡(x,y)與v(x,y)在點(diǎn)z處可微，所以有

由此說(shuō)明u(x,y)與v(x,y)在點(diǎn)z=x+iy可微，90

由C.-R.條件式(2.3)及上述兩式有

將上式兩端同除以Δz，并讓?duì)→0，即得

因此,函數(shù)f(z)在點(diǎn)z處可導(dǎo)且式（2.4）成立.

由C.-R.條件式(2.3)及上述兩式有

91

下面例子表明將定理2.1中條件減弱為u(x,y),v(x,y)在點(diǎn)(x,y)處存在偏導(dǎo)數(shù)且滿足C.-R.條件，則不能保證f′(z)存在．

例2.4證明的實(shí)部、虛部在點(diǎn)(0,0)處偏導(dǎo)數(shù)存在且滿足C.-R.條件，但f(z)在點(diǎn)z=0處不可導(dǎo)．

事實(shí)上，此時(shí)v(x,y)=0，所以在點(diǎn)z=0處有

下面例子表明將定理2.1中條件減弱為u(x,y),v(x92

即函數(shù)在點(diǎn)z=0處滿足C.-R.條件式(2.3).

但由于

不存在，所以在點(diǎn)z=0處是不可導(dǎo)．

由定義2.3及定理2.2，便可得到復(fù)變函數(shù)f(z)解析的等價(jià)刻畫．

即函數(shù)在點(diǎn)z=0處滿足C.-R93

定理2.3f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析的充分必要條件是u(x,y)與v(x,y)在D內(nèi)處處可微，且在D內(nèi)處處滿足C.-R.條件式(2.3)．

定理2.4若u(x,y)與v(x,y)在區(qū)域D內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且在D內(nèi)滿足C.-R.條件式(2.3)，則f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)解析．

例2.5判別下列函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性，并在可導(dǎo)點(diǎn)處求出導(dǎo)數(shù).

定理2.3f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域94

解①設(shè)w=u(x,y)+iv(x,y),此時(shí)u(x,y)=x,v(x,y)=－y，故

它們?cè)贑上處處不滿足C.-R.條件，故w=在C上處處不可導(dǎo)，處處不解析．

②因?yàn)樵谄矫嫔咸幪幙晌⑶?/p>

于是在直線

上

從而在直線上任意一點(diǎn)處可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)為

但在C上處處不解析.

解①設(shè)w=u(x,y)+iv(x,y),此時(shí)u(x,y)=95

③當(dāng)z≠0時(shí)，都是可微函數(shù)且

即滿足C.-R.條件，因此,在區(qū)域C\{0}內(nèi)處處可導(dǎo)，從而在C\{0}內(nèi)處處解析，其導(dǎo)數(shù)為

③當(dāng)z≠0時(shí)，96

例2.6設(shè)f(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，且在D內(nèi)|f(z)|等于常數(shù)，則f(z)在D內(nèi)也為常數(shù).

證明設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，z=x+iy∈D，由已知|f(z)|=C(z∈D,C為常數(shù))，即有

上式中兩端分別對(duì)x，y求偏導(dǎo)可得

例2.6設(shè)f(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，且在D內(nèi)|f(z97

因?yàn)閒(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則在D內(nèi)有

由式(2.5)、式(2.6)得

注意

因?yàn)閒(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則在D內(nèi)有

由98

則

①C=0時(shí)，即在D內(nèi)有，于是在D內(nèi)有u≡0,v≡0，故在D內(nèi)f(z)≡0；

②當(dāng)C≠0時(shí)，則齊次線性方程組(2.7)只有零解，即在D內(nèi)

由C.-R.條件，在D內(nèi)也有

從而在D內(nèi)u(x,y)，v(x,y)均為常數(shù)，所以在D內(nèi)f(z)是常數(shù)．

則

①C=0時(shí)，即在D內(nèi)有99

2.3初等函數(shù)

本節(jié)討論復(fù)數(shù)域上的初等函數(shù)，它們是微積分中基本初等函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的延拓．特別要注意的是，復(fù)變初等函數(shù)與相應(yīng)的實(shí)變函數(shù)在性質(zhì)上會(huì)有所不同，如指數(shù)函數(shù)ez具有周期性，正弦函數(shù)sinz和余弦函數(shù)cosz在定義域內(nèi)不再有界等．

2.3初等函數(shù)

本節(jié)討論100

2.3.1指數(shù)函數(shù)

定義2.4設(shè)，則由

表示的復(fù)數(shù)w稱為z的指數(shù)函數(shù)，記為

對(duì)于實(shí)數(shù)z=x而言，便是通常的實(shí)變數(shù)的指數(shù)函數(shù)；對(duì)于純虛數(shù)z=iy而言，，這便是Euler公式，所以指數(shù)函數(shù)的定義是Euler公式的推廣．

2.3.1指數(shù)函數(shù)

定義2.4設(shè)101

指數(shù)函數(shù)具有以下幾個(gè)重要的性質(zhì)：

①的定義域?yàn)橛邢迯?fù)平面

，且

②是C上的解析函數(shù)，且(ez)′=ez；

③，有

④是以2πi為周期的周期函數(shù)；

⑤函數(shù)

(w≠0,∞)把z平面上的寬度為2π的帶形區(qū)域

均映射為w平面上的角形區(qū)域G=C\{負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)}．

指數(shù)函數(shù)具有以下幾個(gè)重要的性質(zhì)：

①的定義域?yàn)橛?02

證①因?yàn)椋?/p>

②依定義知：

它們?cè)谌矫嫔咸幪幙晌⑶覞M足C.-R.條件，故在

上處處解析，且

③設(shè)依指數(shù)函數(shù)定義得

同理可證第二個(gè)等式.

證①因?yàn)?，?/p>

②依定義知：

103

④事實(shí)上，有

⑤設(shè)z=x+iy，，則由，可得于是

當(dāng)y=y0時(shí)，有θ=y0，表明它將z平面上的水平直線y=y0映射為w平面上的射線θ=y0；而當(dāng)x=x0時(shí)，有表明它將z平面上的直線段“x=x0且－π<y≤π”映射為w平面上的圓周(圖2.1)

④事實(shí)上，有

⑤設(shè)z=x+i104

圖2.1

105

當(dāng)z平面上的動(dòng)直線從y=0掃動(dòng)到直線y=y0時(shí)，對(duì)應(yīng)的像就在w平面上就從射線θ=0掃動(dòng)到射線θ=y0.從而z平面上的帶形區(qū)域{z|0<Imz<y0}映射為w平面上的角形區(qū)域{w|0<argw<y0}．

特別地，把z平面上的帶形區(qū)域{z|－π<Imz<π}映射為w平面上去掉負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)后的角形區(qū)域G=C\{負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)}，如圖2.2所示.

一般地，把z平面上的寬度為2π的帶形區(qū)域

均映射為w平面上的角形區(qū)域G=\{負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)}．

當(dāng)z平面上的動(dòng)直線從y=0掃動(dòng)到直線y=y0時(shí)，對(duì)應(yīng)的像就106

圖2.2

107

2.3.2對(duì)數(shù)函數(shù)

定義2.5若復(fù)數(shù)z和w滿足

則稱w是z的對(duì)數(shù)函數(shù)，記為w=Lnz，顯然它是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù).

令，則式(2.9)即為

故所以

2.3.2對(duì)數(shù)函數(shù)

定義2.5若復(fù)數(shù)z和w滿足

則108

于是

由此可見，任何非零有窮復(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)仍是復(fù)數(shù)，且

因?yàn)镮m(Lnz)是無(wú)窮多值的，所以w=Lnz是z的無(wú)窮多值函數(shù)．

于是

由此可見，任何非零有窮復(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)仍是復(fù)數(shù)，109

對(duì)每一個(gè)給定的整數(shù)k，由式（2.10）確定了z=ew一個(gè)單值反函數(shù)，記為

，,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的映射性質(zhì)知，（Lnz)k將z平面上區(qū)域G=\{負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)}映射為w平面上的區(qū)域

特別地，(Lnz)0=ln|z|+iargz將z平面上的區(qū)域G=\{負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)}映射為w平面上的區(qū)域

對(duì)每一個(gè)給定的整數(shù)k，由式（2.10）確定了z=ew一個(gè)單110

我們稱為對(duì)數(shù)函數(shù)Lnz的單值分支，而(Lnz)0=ln|z|+iargz稱為L(zhǎng)nz的主值支，記為lnz，即

顯然有

當(dāng)z=x>0時(shí)，主值支lnz=lnx，就是實(shí)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù).

我們稱為對(duì)數(shù)函數(shù)Lnz的單值分支111

對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì):

①對(duì)數(shù)函數(shù)w=Lnz的定義域?yàn)?/p>

\{0}；

②對(duì)數(shù)函數(shù)w=Lnz是一個(gè)多值函數(shù)，并且任意兩個(gè)值之間相差2πi的整數(shù)倍；

③對(duì)數(shù)函數(shù)w=Lnz的任意一個(gè)單值分支都在區(qū)域G=\{負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)}內(nèi)解析，且

即為對(duì)數(shù)函數(shù)w=Lnz的第k個(gè)單值解析分支;

④

對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì):

①對(duì)數(shù)函數(shù)w=Lnz的定義域?yàn)閈{112

證由對(duì)數(shù)函數(shù)定義知，性質(zhì)①、②顯然成立.

③由于z=ew在區(qū)域內(nèi)解析，且(ew)′=ew≠0，G=\{負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)}為函數(shù)z=ew(w∈Dk)的值域（見指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)⑤），又每個(gè)wk=（Lnz)k是z=ew的單值反函數(shù)，且在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，由定理2.1的第③條結(jié)論知：wk=（Lnz)k在區(qū)域G內(nèi)解析，且

證由對(duì)數(shù)函數(shù)定義知，性質(zhì)①、②顯然成立.

③由于z=113

④由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義知恒等式

成立，另一方面，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得

故

于是式（2.11）的第一個(gè)等式得證，同理可證第二個(gè)等式成立.

④由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義知恒等式

成立，另一方面，由指數(shù)114

例2.7求Ln(－1)和2Lni的值.

解

注上例表明，一般而言，對(duì)任意非零復(fù)數(shù)z及正整數(shù)n，等式

不再成立，這是與實(shí)變函數(shù)的對(duì)數(shù)性質(zhì)不同之處.

例2.7求Ln(－1)和2Lni的值.

解

注115

例2.8求Lnz在z=1取值4πi的那一支在z=i時(shí)的值.

解Ln1=ln|1|+i(arg1+2kπ)=2kπi(k∈)，要使Ln1=4πi，即2kπi=4πi，故k=2，所以

例2.8求Lnz在z=1取值4πi的那一支在z=i116

2.3.3冪函數(shù)

定義2.6設(shè)a∈\{0}，由表示的復(fù)數(shù)w稱為復(fù)變量z的冪函數(shù).記為

,即，冪函數(shù)的性質(zhì)與a有關(guān)，詳述如下：

①若，則就是函數(shù)z自乘n次得到的函數(shù)，它是

上單值解析函數(shù)，且

②若，則它是

\{0}上的單值解析函數(shù)，且

2.3.3冪函數(shù)

定義2.6設(shè)a∈\{0}，由117

③若

(p,q為互質(zhì)的整數(shù))，則是\{0}上的q值函數(shù)，它在區(qū)域G=\{負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)}內(nèi)可分成q個(gè)單值解析分支

且對(duì)每個(gè)k有

③若(p,q為互質(zhì)的整數(shù))，則118

特別地，若，則

就是根式函數(shù)，它在區(qū)域G=\{負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)}內(nèi)有n個(gè)單值解析分支

且

特別地，若，則119

④若a是無(wú)理數(shù)或虛數(shù)時(shí)，za是定義域?yàn)閈{0}的無(wú)窮多值函數(shù)，它在區(qū)域G=\{負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)}內(nèi)可以分出無(wú)窮多個(gè)單值解析分支：

且

④若a是無(wú)理數(shù)或虛數(shù)時(shí)，za是定義域?yàn)閈{0}120

證①、②的證明類似，我們只證明②.事實(shí)上，由冪函數(shù)的定義和指數(shù)函數(shù)的周期性及運(yùn)算性質(zhì)有

再由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及例2.1可知式(2.12)成立.

證①、②的證明類似，我們只證明②.事實(shí)上，由冪函數(shù)的121

③由冪函數(shù)的定義

它只在k=0,1,…，q－1時(shí)才取不同的值，故式(2.13)成立.因?yàn)樵?/p>

上解析，Lnz在G=\{負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)}內(nèi)可分成單值解析分支（Lnz)k，故復(fù)合函數(shù)

在

{負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)}內(nèi)可分成單值解析分支

③由冪函數(shù)的定義

它只在k=0,1,…，q－1時(shí)才取不122

再由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，對(duì)每個(gè)k(=0,1,…,q－1)有和任意的z∈G={負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)}有

再由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，對(duì)每個(gè)k(=0,1,…,q－1123

④因?yàn)楫?dāng)a是無(wú)理數(shù)或虛數(shù)時(shí)，對(duì)于不同的取不同的值，此時(shí)式(2.15)有無(wú)窮多個(gè)值，再由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得

證畢.

綜上所述，當(dāng)a是整數(shù)時(shí)，是單值的；當(dāng)a是其他情形時(shí)，

是多值的.此時(shí)我們稱za中對(duì)應(yīng)于Lnz的主值支的那一支為的主值支.

④因?yàn)?24

例2.9求的值．

解

例2.10求的主值．

解因?yàn)槠渲髦禐?/p>

例2.9求的值．

解

例2.10求125

2.3.4三角函數(shù)與雙曲函數(shù)

定義2.7規(guī)定

并分別稱為復(fù)變數(shù)z的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)．

顯然，當(dāng)z=x是實(shí)數(shù)時(shí)，由Euler公式知，以上定義的三角函數(shù)與實(shí)的三角函數(shù)定義一致.

2.3.4三角函數(shù)與雙曲函數(shù)

定義2.7規(guī)定

126

正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的基本性質(zhì)：

sinz，cosz都是

上單值解析函數(shù)，且有

②sinz和cosz都是以2π為周期的周期函數(shù)，即

③sinz是奇函數(shù)，cosz是偶函數(shù)，即有

正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的基本性質(zhì)：

sinz，cosz127

④在

上成立的三角恒等式在

內(nèi)都成立，如：

⑤sinz=0的零點(diǎn)為cosz=0的零點(diǎn)為

⑥在

內(nèi)，|sinz|和|cosz|都是無(wú)界的．

④在上成立的三角恒等式在內(nèi)都成立，如：

128

證明①由指數(shù)函數(shù)的解析性質(zhì)及解析函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)知，sinz，cosz都是C上單值解析