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文檔簡介
第2章導數(shù)與微分
2.4二元函數(shù)的偏導數(shù)偏導數(shù)的定義高階導數(shù)全微分
基本要求第2章導數(shù)與微分2.4二元函數(shù)的偏導數(shù)偏導數(shù)2.4.1偏導數(shù)的定義在點設函數(shù)的某一領域內(nèi)有定義,當y固定在而x在處有增量時,相應的函數(shù)有增量,如果有極限存在,則稱函數(shù)在點處對x可導,并稱此極限為函數(shù)在點處對x的偏導數(shù).2.4.1偏導數(shù)的定義在點設函數(shù)的某一領域內(nèi)有定義,當y即定義為記作類似的,函數(shù)在點處對y的偏導數(shù)即定義為記作類似的,函數(shù)在點處對y的偏導數(shù)稱為二元函數(shù)對于x的偏導函數(shù)記作即對于二元函數(shù)如果只有自變量x變化,自變量y固定,這時它就是x的一元函數(shù),函數(shù)對x的導數(shù),就對y的偏導數(shù),記為類似的,可定義函數(shù)稱為二元函數(shù)對于x的偏導函數(shù)記作即由定義可以看出:求時,只要把y看作常量而對x求求時,只要把x看做常量而對一求導數(shù)即可.導數(shù),偏導數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù)。例如三元函數(shù)在點處對x的偏導數(shù)定義為()()()Δxzy,x,fzy,Δx,xflimzy,x,f0Δxx-+=¢?即由定義可以看出:求時,只要把y看作常量而對x求求時,只要例4.1
求在點(1,2)處的偏導數(shù)解例4.2
求的偏導數(shù)解例4.1求在點(1,2)處的偏導數(shù)解例4.2求的例4.3
求的偏導數(shù)解等式兩端求導:解出例4.3求的偏導數(shù)解等式兩端求導:解出是一個整體記號,不能看作分子與分母之商
與一元函數(shù)不同,偏導數(shù)的記號說明2.4.2.高階導數(shù)與一元函數(shù)類似,二元函數(shù)的偏導函數(shù)仍然是x與y的二元函數(shù),如果這兩階偏導數(shù)。個函數(shù)的偏導數(shù)也存在,則稱它們是函數(shù)的二是一個整體記號,不能看作分子與分母之商與一元
四個二階導數(shù)按照對變量求導次序的不同,函數(shù)
有下列其中混合偏導數(shù)稱為四個二階導數(shù)按照對變量求導次的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù)例4.4
設解同樣可得三階、四階以及n階偏導數(shù)。二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù)例4.4設解同樣可得三階、2.4.3全微分形式的不變性可得因此:顯然例4.5
設,有一元復合函數(shù)微分2.4.3全微分形式的不變性可得因此:顯然例4.5定義2.6
如果函數(shù)的全增量可表示為可微分,而稱為函數(shù)的全微分,記作dz其中A、B不依賴于而僅與x、y有關(guān),則稱函數(shù)定義2.6如果函數(shù)的全增量可表示為可微分,而稱為函于是全微分公式又可以寫成與一元函數(shù)一樣,當x,y是自變量時,定理2.5(必要條件)如果函數(shù)在點(x,y)可微分,則函數(shù)在該點的偏導數(shù)必定存在,且函數(shù)在點(x,y)的全微分為于是全微分公式又可以寫成與一元函數(shù)一樣,當x,y是自變量時,例4.6
計算函數(shù)的全微分解
因為所以例4.6計算函數(shù)的全微分解因為所以第2章導數(shù)與微分
2.4二元函數(shù)的偏導數(shù)偏導數(shù)的定義高階導數(shù)全微分
基本要求第2章導數(shù)與微分2.4二元函數(shù)的偏導數(shù)偏導數(shù)2.4.1偏導數(shù)的定義在點設函數(shù)的某一領域內(nèi)有定義,當y固定在而x在處有增量時,相應的函數(shù)有增量,如果有極限存在,則稱函數(shù)在點處對x可導,并稱此極限為函數(shù)在點處對x的偏導數(shù).2.4.1偏導數(shù)的定義在點設函數(shù)的某一領域內(nèi)有定義,當y即定義為記作類似的,函數(shù)在點處對y的偏導數(shù)即定義為記作類似的,函數(shù)在點處對y的偏導數(shù)稱為二元函數(shù)對于x的偏導函數(shù)記作即對于二元函數(shù)如果只有自變量x變化,自變量y固定,這時它就是x的一元函數(shù),函數(shù)對x的導數(shù),就對y的偏導數(shù),記為類似的,可定義函數(shù)稱為二元函數(shù)對于x的偏導函數(shù)記作即由定義可以看出:求時,只要把y看作常量而對x求求時,只要把x看做常量而對一求導數(shù)即可.導數(shù),偏導數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù)。例如三元函數(shù)在點處對x的偏導數(shù)定義為()()()Δxzy,x,fzy,Δx,xflimzy,x,f0Δxx-+=¢?即由定義可以看出:求時,只要把y看作常量而對x求求時,只要例4.1
求在點(1,2)處的偏導數(shù)解例4.2
求的偏導數(shù)解例4.1求在點(1,2)處的偏導數(shù)解例4.2求的例4.3
求的偏導數(shù)解等式兩端求導:解出例4.3求的偏導數(shù)解等式兩端求導:解出是一個整體記號,不能看作分子與分母之商
與一元函數(shù)不同,偏導數(shù)的記號說明2.4.2.高階導數(shù)與一元函數(shù)類似,二元函數(shù)的偏導函數(shù)仍然是x與y的二元函數(shù),如果這兩階偏導數(shù)。個函數(shù)的偏導數(shù)也存在,則稱它們是函數(shù)的二是一個整體記號,不能看作分子與分母之商與一元
四個二階導數(shù)按照對變量求導次序的不同,函數(shù)
有下列其中混合偏導數(shù)稱為四個二階導數(shù)按照對變量求導次的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù)例4.4
設解同樣可得三階、四階以及n階偏導數(shù)。二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù)例4.4設解同樣可得三階、2.4.3全微分形式的不變性可得因此:顯然例4.5
設,有一元復合函數(shù)微分2.4.3全微分形式的不變性可得因此:顯然例4.5定義2.6
如果函數(shù)的全增量可表示為可微分,而稱為函數(shù)的全微分,記作dz其中A、B不依賴于而僅與x、y有關(guān),則稱函數(shù)定義2.6如果函數(shù)的全增量可表示為可微分,而稱為函于是全微分公式又可以寫成與一元函數(shù)一樣,當x,y是自變量時,定理2.5(必要條件)如果函數(shù)
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