國開電大 高等數(shù)學基礎(chǔ) 形成性作業(yè)1-4答案

PAGEPAGE18高等數(shù)學基礎(chǔ)形考作業(yè)1：第1章函數(shù)第2章極限與連續(xù)（一）單項選擇題⒈下列各函數(shù)對中，（C）中的兩個函數(shù)相等．x2A. f(x)( x)2，g(x)x B. f(x) ，g(x)x2x21C. f(x)lnx3，g(x)3lnx D. f(x)x1，g(x)

x1f(x的定義域為(,f(xf(x的圖形關(guān)于（C）對稱．A.坐標原點 B.C. y軸 ⒊下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（B）．

x軸yxyx2) B. yxcosxaxaxC. y 2 D. yx)⒋下列函數(shù)中為基本初等函數(shù)是（C）．A.yx1 B.yx21, x02yx

y1,

x0⒌下列極限存計算不正確的是（D）．x2A.lim 1 B.limln(1x)0x2xx22 x0C.limsinx

0 D.limxsin10x x x x⒍當x0時，變量（C）是無窮小量．sinx 1x1

xxsin D.ln(x2)x⒎若函數(shù)

f(xx滿足（A），f(xx連續(xù)。0 0A.limf(x)f(xxx0

) B. f(x在點x0

的某個鄰域內(nèi)有定義C. limf(x)f(xxx 0

) D. limxx0

f(x)limxx0

f(x)（二）填空題x29fx29

x

的定義域是

3,．⒉已知函數(shù)f(xx2x，則f(x)．1⒊ )x 2x1

e2．1 11⒋若函數(shù)

f(x)x)xxk,x1, x

, x0，在x0處連續(xù)，則k e ．x0⒌函數(shù)yx, x

的間斷點是x0．limf(x)Axxxx0 （三）計算題

f(xAx

時的無窮小量。0⒈設(shè)函數(shù)

x, x0f(x)x, x0求：f(2),f(0),f(1)．f22f00fe2x1⒉求函數(shù)ylgx2x1

的定義域． 2x10 1解：ylg 有意義，要求 解得x 或x0x x0 2則定義域為2x|x或x1則定義域為2

x0DARODAROhE解：BC設(shè)梯形ABCD即為題中要求的梯形，設(shè)高為h，即OE=h，下底CD＝2R直角三角形AOE中，利用勾股定理得OA2OE2ROA2OE2R2h2R2h2 R2h2 h故SR2R2h2

2R2 R2h2 hRlimsin3xx0⒋求 sin2xx0

sin3x3x

sin3xlimsin3x

lim 3x lim 3x 3 133x02解：x0sin2x x0sin2x xx02

sin2x 2＝1 2 2limx1

x21sin(x

2x 2xlim

x21

lim(x1)(x1)lim

x1

112解：x1

sin(x1)

x1

sin(x1)

x1

sin(x1) 1x1⒍求limtan3x⒍求x0 x解：limtan3x解：

．limsin3x 1

limsin3x

1 311331x21x0 x 1x21lim

x0

3x cos3x 1⒎求x0lim解：x0

sinxsinx

．1x1x21(1x21)(1x21)(1x21)sinx(1x21)sin(1x21)sinxx0 x0⒏求x

x1x

limx0()x．

x1x21x2

sinxx

0 111x1

1 1 1 1 (1 )x [(1 )x x x x

e1解：lim( )xlim( 3)xlim 3 lim

e4xx3 x x

1x e3⒐求lim

x26x8．

1 (1 )x [(1 )3x x x3x4x2

5x4x26x8 x4x2

x

42 2解：lim lim

lim x4x25x4

x

x1

x4x1 41 3⒑設(shè)函數(shù)討論f(x)的連續(xù)性。

(x2)2, x1f(x)x, 1x1x1, x1x1,x1處討論連續(xù)性（1）limfxlimx1x1limfx1

x

x1

x1

110limfxlimfxfxx處不連續(xù)x1 x1（2）

limfxlimx2

1221x1limx

x

x1limx1x1f 11所以lim

fxlimfxffxx1處連續(xù)x1由（1）（2）得fx在除點x1外均連續(xù)高等數(shù)學基礎(chǔ)作業(yè)2答案：第3章導數(shù)與微分（一）單項選擇題f(0)0

lim

f(x)

lim

f(x)⒈設(shè) 且極

x0

存在，則x

x0 x

（C）．A. f(0) B. f(0)C. f(x) D.0cvxf(x在x0

可導，則h0

f(x0

2h)f(x)02h

（D）．A.2f(x) B. f(x)0 0C.2f(x) D.f(x)0 0f(1x)f(1)⒊設(shè)f(x)ex，則limx0 x1 1

（A）．A.e B.2e

2e D.4e⒋設(shè)f(x)x(x1)(x2) (x99)，則f(0)（D）．A.99 B.99 C.99! D.99!⒌下列結(jié)論中正確的是（C）．A.C.若

f(x)在點x有極限，則在點x可導．B.若f(x)在點x連續(xù)，則在點x可導．0 0 0 0f(x)在點x可導，則在點x有極限．D.若f(x)在點x有極限，則在點x連續(xù)．0 0 0 0（二）填空題

x2sin1

, x0⒈設(shè)函數(shù)

f(x)0,

xx0

，則f(0) 0 ．df(lnx) 2ln x 5⒉設(shè)f(ex)e2x5ex，則dx

。x x⒊曲線f(x)

1在2)處的切線斜率是k 。x12x1πf(x)sinx在2y1。πyx2xy2x2xlnx)yxlnx

y1x。（三）計算題⒈求下列函數(shù)的導數(shù)y：⑴y(x3)exxx3x3 xx3x3yx

exx

ex (x3)ex

x2ex2⑵ycotxx2lnx解：y解：x2lnxx2lnxcsc2xx2xlnx⑶y

x2lnx

y x2

lnxx

ln

2xlnxx解：⑷y

cosx2xx3

ln2x ln2xy

cosx2x

x

x2x

x3

x(sinx2xln2)3(cosx2x)⑸y

lnxx2sinx

x32

sinx(1

x42x)(lnxx2)cosxy

lnxx

sinx

lnxx

sinx x⑹yx4sinxlnx

sin2x

sin2x解：y4解：lnxsin4x3sinxx

cosxlnx⑺y

sinxx23x

y

sinxx2

3xsinxx2 3x3x2

3x(cosx2x)(sinxx2)3xln332x⑻yextanxlnx解：yex tanxex

ex

tanx

ex 1⒉求下列函數(shù)的導數(shù)y：⑴yex

cos2x x

1 1 1

ex

ex

x2 ex2 x22 x⑵ylncosxy 1 sinxsinxtanx解： cosx cos⑶y

x x xx x x 7 7 1

x88x8 ⑷ysin2xy2sin⑸ysinx2

2sinxcosx2sin2xycosx2解：

2x2xcosxycosex2⑹

解：ysinex2 ex2 2xex2sinex2解：⑺ysinnxcosnxyncosnxsinnnsinn1xcosxcosnxnsinnxsin(nx)y5sinx⑻y5sinxln5cosxln5cosx5sinx⑼yecosx⑼yecosxsinxsinxecosx解：⒊在下列方程中，yy(x)是由方程確定的函數(shù)，求y：⑴ycosxe2y解：ycosxysinx2e2yy y⑵ycosylnx

ysinxcosx2e2y解：ysiny.ylnxcosy.1解：x

y

cosysinylnx)⑶2xsinyx2⑶y2xcosy.y2siny2yxx2y

y(2xcosyx2)

2yx

2siny

y 2xy2ysiny解：y2 y2 y2

2xy2cosyx2⑷yxlnyyy1 y y解： y y1⑸lnxeyy2解：1eyy2yy y解：x

1x(2yey)⑹y21exsiny解：2yyexcosy.ysinx y⑺eyexy3

exsiny2yexcosy解：eyyex3y2y y

ex3y2ey⑻y5x2yy5xln5y2

ln2

y

5xln512yln2⒋求下列函數(shù)的微分dy：（⑴ycotxcscx

ydx）1解：ycsc2xcscxcotx dy( 1

cos

)dx⑵y

lnxsinx1sinxlnxcosx

cos2x sin2xsinxlnxcosx解：yx dy

x dx⑶ysin2x

sin2x sin2x解：y2sinxcosx dy2sinxcosxdx⑹ytanex解：ysec2exex dysec2ex

exdxex

sec2exdx2⒌求下列函數(shù)的二階導數(shù)：2y yxx

1x1

y

11x

1

x3⑴ 解： 2 2⑵y3x

2 22 4解：y3xln3 yln33xln3ln233x⑶ylnx解：y1x

y1x2⑷yxsinx解：ysinxxcosx ycosxcosxsinx2cosxxsinx解：（四）證明題設(shè)f(x)是可導的奇函數(shù)，試證f(x)是偶函數(shù)．f(x)

f(x)f(x)兩邊導數(shù)得：

f(x)(1)f(x)f(x)f(x)所以f(x)是偶函數(shù)。高等數(shù)學基礎(chǔ)形考作業(yè)3答案：第4章 導數(shù)的應用（一）單項選擇題f(x)

(a,b)

f()f(b)f(a)⒈若函數(shù)

滿足條件（D），則存在

，使得

ba ．A.在(a,b)內(nèi)連續(xù) B.在(a,b)內(nèi)可導C.在(a,b)內(nèi)連續(xù)且可導 D.在[a,b]內(nèi)連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導⒉函數(shù)

f(x)x24x1的單調(diào)增加區(qū)間是（D ）．A.(,2) B.(1,C.(2,) D.(2,)⒊函數(shù)yx24x5在區(qū)間(6,6)內(nèi)滿足（A ）．A.先單調(diào)下降再單調(diào)上升C.先單調(diào)上升再單調(diào)下降B.單調(diào)下降D.單調(diào)上升⒋函數(shù)f(x)滿足f(x)0的點，一定是f(x)的（C ）．A.間斷點 B.極值點C.駐點 D.拐點⒌設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)有連續(xù)的二階導數(shù)，x (a,b)，若f(x)滿足（C），則f(x)在x取到極小值．0 0A. f(x)0,f(x)0 B. f(x)0,f(x)00 0 0 0C. f(x)0,f(x)0 D. f(x)0,f(x)00 0 0 0f(x在(abf(x0,f(x)0f(x在此區(qū)間內(nèi)是（A）．A.單調(diào)減少且是凸的 B.單調(diào)減少且是凹的C.單調(diào)增加且是凸的 D.單調(diào)增加且是凹的（二）填空題⒈設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)可導，x (a,b)，且當xx時f(x)0，當xx時f(x)0，則x是f(x)的0 0 0 0極小值 點．⒉若函數(shù)

f(x)在點x可導，且x是f(x)的極值點，則f(x) 0 ．0 0 0yx2的單調(diào)減少區(qū)間是(,0．f(x)e的單調(diào)增加區(qū)間是(0,)⒌若函數(shù)

f(x在[abf(x0f(x在[abf(a．⒍函數(shù)

f(x)25x3x3的拐點是

0,2（三）計算題⒈求函數(shù)y(x1)(x5)2的單調(diào)區(qū)間和極值．解：令y(x1)2(x3(x5)(x解：令X1(1,5)5(5,)X1(1,5)5(5,)y+0—0+y上升極大值下降0上升32列表：極大值：極小值：

f(1)32f(5)0y上升2下降y2x20xx（0,1）1（1,3）y上升2下降y2x20xx（0,1）1（1,3）y+0—yx2 2x3 x12 23 6 2極值點：f12最大值f(3)6最小值f(1)2求曲線y2 2x上的點，使其到點A的距離最短．解：設(shè)是y2 2x上的點，d為p到A點的距離，則：(x2)2(x2)2y2222x

2xx1 2x2x2y2 2,22A2x2圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為L，問當?shù)装霃脚c高分別為多少時，圓柱體的體積最大解：設(shè)園柱體半徑為R，高為h，則體積V R2h h232h)L2 h2] 3h2]0 L h L33233R 2333

L時其體積最大。3一體積為V的圓柱體，問底半徑與高各為多少時表面積最小解：設(shè)園柱體半徑為R，高為h，則體積V RS表面積

2R22VR

2R2令S20

V R3R h3V233V233V23答：當R3V2362.5立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最?。拷猓涸O(shè)底長為x，高為h。則：62.5x2h h

62.5x2

250Sx250

4xhx2x令S2xx2

0 x3125x5答：當?shù)走B長為5米，高為2.5米時用料最省。（四）證明題x0時，證明不等式xx)．證：在區(qū)間上對函數(shù)fxlnx應用拉格朗日定理，有證：在區(qū)間xln11

11x,其中

1

xln(1x)

0時，證明不等式exx1．證：設(shè)f(x)ex(x1)f(x)ex10 x） x,f(x)單調(diào)上升f(0)0f(x)0,即ex(x高等數(shù)學基礎(chǔ)形考作業(yè)4答案：第5章 不定積分第6章 定積分及其應用（一）單項選擇題f(x)

1 f(x)⒈若 的一個原函數(shù)是 ，則x

（D）．A.lnx B.1x21 2C. D.x x3⒉下列等式成立的是（D）．Af(x)dxf(x) B.df(x)f(x)C.df(x)dxf(x)

df(x)dxf(x)dxf(x)cosx，則f(x)dx（B）．A.sinxc B.cosxcsinxc D.cosxcd⒋dx

x2f(x3)dx

（B）．f(x3) B. x2f(x3)1 1C. 3

f(x)

f(x3)3x1⒌若f(x)dxF(xc，則x1

f( x)dx

（B）．A. F( x)c B.2F( x)cxC. F(2 x)c x

1 F( x)c⒍下列無窮限積分收斂的是（D）．1 A.1

dx B.x

exdx1 dx1 x

dx11 x21（二）填空題⒈函數(shù)f(x)的不定積分是f(x)dx。⒉若函數(shù)F(x與G(x是同一函數(shù)的原函數(shù)，則F(x與G(x之間有關(guān)系式F(xG(xc(常數(shù)。⒊d

e

ex2。⒋(tanx)dxtanxc。⒌若f(x)dxcos3xcf(x)9cos(3x。⒍33

(sin

x1)dx32⒎若無窮積分

11 xp

收斂，則

p0。（三）計算題cos1 xdxcos1d(1)sin1c⒈x2 x x x⒈xxx⒉e dx2