復(fù)變函數(shù)教案第二章

(word完整版)復(fù)變函數(shù)教案第二章(word完整版)復(fù)變函數(shù)教案第二章PAGEPAGE13章節(jié)名稱：第二章解析函數(shù)學(xué)時安排：4學(xué)時教學(xué)要求熟悉復(fù)變量初等函數(shù)的定義和主要性質(zhì)教學(xué)內(nèi)容復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)與解析函數(shù)的概念以及可導(dǎo)與解析的判別方法;2義及其主要性質(zhì)教學(xué)重點初等函數(shù)的定義和主要性質(zhì)教學(xué)難點:函數(shù)解析的概念及判定方法教學(xué)手段：課堂講授教學(xué)過程：一、第二章解析函數(shù)§1、解析函數(shù)的概念1，復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分(1)導(dǎo)數(shù)的定義；設(shè)函數(shù)f(z)定義在區(qū)域D內(nèi),z為D中的一點，點z z不出D的范圍。如果極限0 0lim

f(z0

z)f(z)0z0 z存在，那么就說f(zz可導(dǎo)。這個極限值稱為f(zz的導(dǎo)數(shù)，記作0 0f'(z

)d

lim

f(z0

z)f(z)00 dz z

z0 z注意：1）定義中的z0zz0(即z0)的方向是任意的；2）如果f(zDf(zD例1，求f(z)z2的導(dǎo)數(shù)因為limz0

f(zz)f(z)z

limz0

(zz)2zz

lim(2zz)2zz0所以 f'(z)2z思考題f(z)x2yi是否可導(dǎo)？可導(dǎo)與連續(xù)（解答上述思考題可得這一結(jié)論）可導(dǎo)一定連續(xù)。由函數(shù)f(zz可導(dǎo)，則0f(z

z)f(z)f'(z0

)lim 0 0z0 z即對于任給的0，相應(yīng)有一個0,使得當(dāng)0時，有f(z0

z)f(z0z

f'(z0

) 令 (z)

f(z0

z)f(z)0z

f'(z)0那么 lim(z)0z0由此得

f(z z)f(z)f'(z)z(z)z0 0 0所以 limf(zz0 即函數(shù)f(zz連續(xù)。0求導(dǎo)法則

z)f(z)0復(fù)變函數(shù)中來，而且證法也是相同的，這里不再重復(fù)。（4)微分由上面的敘述可知，函數(shù)f(zz可導(dǎo)，則0f(z z)f(z)f'(z)z(z)z0 0 0f(z)z為函數(shù)f(zz的微分,記作df(z)z。如果函數(shù)f(zz的微0 0 0 0分存在,則稱函數(shù)f(zz可微.0注意：1）函數(shù)f(zzz可微等價;0 02）如果f(zDf(zD2，解析函數(shù)的概念:定義：如果函數(shù)f(zzz的鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，那么稱函數(shù)f(zz解析。如果0 0 0f(z在區(qū)域Df(zDf(zD（全純函數(shù)或正則函數(shù)。注意：1）如果函數(shù)f(zzz為f(z的奇點；0 02）點處可導(dǎo)的要求要高得多；3）函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析和在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)是等價的。應(yīng)用舉例：例2，研究函數(shù)f(z)z2，g(z)x2yi和h(z)z2的解析性。3，研究函數(shù)1的解析性。z注意：1）任何一個有理分析函數(shù)的點是它的奇點?！?、函數(shù)解析的充分必要條件

P(z)在不含分母為零的點的區(qū)域內(nèi)是解析函數(shù)2）使分母為零Q(z)1，柯西-黎曼方程：f(z)u(xyiv(xy滿足u

v，

vx y y x21f(z)u(xyiv(xyDf(zDzz(t)xiy可導(dǎo)的u(xyv(xy在點(xyu

v，uv。

x yy xu v u v注意: f'(z) i 。x iy y2f(z)u(xyiv(xyDu(xy與v(xyD

v，

v。x y y x4，應(yīng)用舉例例1判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析：1)z；2）f(z)ex(cosyisiny)；3）zRe(z)例2設(shè)函數(shù)f(z)x2axyby2i(cx2dxyy2)。問常數(shù)a,b,c,d取何值時，f(z)在復(fù)平面內(nèi)處處解析？§3、初等函數(shù)1，指數(shù)函數(shù)f(z)ex(cosyisiny)ez為指數(shù)函數(shù)。2)主要性質(zhì)：指數(shù)函數(shù)在復(fù)平面上處處解析；1當(dāng)zx時，上述定義與實數(shù)集上定義的指數(shù)函數(shù)一致3 ez ex，Arg(ez)y2k(k)；1e14e212z z ezze14e212

；(ez)

enz;

ze1eez2

ezz25ez2kiez，這里k2ki為周期的周期函數(shù)。2，對數(shù)函數(shù)定義:我們定義對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù),即若ze(z0,)則稱z的對數(shù)函數(shù),記為Lnz2）對數(shù)函數(shù)為多值函數(shù)：令uivzrei,于是euivrei因而eur,v故 uivlnrilnziArgzLnzlnziArgzlnzi(argz2kk稱lnzlnziargz(kLnz的主值。3）主要性質(zhì)：對數(shù)函數(shù)在復(fù)平面上除原點及負(fù)實半軸之外處處解析;zx0lnzlnx;zx0Lnzlnxi(2k,k；3eLnzz； Lnezz2ki，k;Ln(zz12

)Lnz1

Lnz2

; Ln(z1)Lnzz 12

Lnz24）應(yīng)用舉例：例求下列式子的值：1Ln(1),ln(1)2Lni,lni練習(xí)：1Ln(34i),ln(34i)2已知ez2z3，乘冪與冪函數(shù)1）定義:我們定義乘冪為ab為ebLnazeLnzz0，z的冪函數(shù)。此定義為實數(shù)域中等式在復(fù)域中的推廣.主要性質(zhì)：冪函數(shù)在復(fù)平面上除原點及負(fù)實半軸之外處處解析；當(dāng)zeLnz是單值函數(shù)；當(dāng)q

（即約分?jǐn)?shù)）時，z能取到；p個不同的值，即當(dāng)k,p1時所對應(yīng)的值。當(dāng)zeLnz4）應(yīng)用舉例：例求下列式子的值：1(1)22ii4，三角函數(shù)和反三角函數(shù)1)定義:設(shè)z為任一復(fù)變數(shù)，我們稱以下兩個函數(shù)sinz