由開環(huán)頻率特性估計閉環(huán)頻率特性

由開環(huán)頻率特性估計閉環(huán)頻率特性對于如圖4-42所示的系統(tǒng)，所謂開環(huán)頻率特性，是指將閉環(huán)回路的環(huán)打開，其開環(huán)頻率特性為G(jw)H(jw)。cG(ja)X(?y~*圖4-42典型閉環(huán)系統(tǒng)而該系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性為(4.20)X(jo) Gj)(4.20) o =X(jo) 1+G(jo)H(jo)i據(jù)此，可以畫出系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性圖。尤其是計算機的應(yīng)用日益普及，其冗繁的計算工作量可以很容易地由計算機完成。同時，已知開環(huán)幅頻特性，也可定性地估計閉環(huán)頻率特性設(shè)系統(tǒng)為單位反饋，則(4.21)X(jo) G(jo)(4.21) o =X(jo) 1+G(jo)i一般實用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性具有低通濾波的性質(zhì)，低頻時，G(jo)|>>1,則X(jX(jo) o X(jo)iG(jo)1+G(jo)高頻時，lG(jo)1<<1，則X(joX(jo) oX(jo)iG(jo)1+G(jo)系統(tǒng)開環(huán)及閉環(huán)幅頻特性對照如圖4-43所示。因此，對于一般單位反饋的最小相位系統(tǒng)，低頻輸入時輸出信號的幅值和相位均與輸入基本相等，這正是閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)所需要的工作頻段及結(jié)果；而高頻輸入時輸出信號的幅值和相位均與開環(huán)特性基本相同。

圖4-43系統(tǒng)開環(huán)及閉環(huán)幅頻特性對照另外，我們可以利用等M圓和等N圓由開環(huán)頻率特性求出閉環(huán)頻率特性。對于單位反饋系統(tǒng)，設(shè)前向通道傳遞函數(shù)為G(s),則其閉環(huán)傳遞函數(shù)為X(s) G(s)X(s)_1+G(s) (4.22)i在圖4-44所示的乃奎斯特圖上，向量OA表示G(j?)，其中①為A點頻率。向量AAOA的幅值為|G(j?A)，向量OA的相角為ZG(j?A)。由點P(-1，j0)到A點的向量PA可表示為［1十G(j?)］。向量OA與PA之比正好表示了閉環(huán)頻率特性，即AOA G(j?)X(j?)~PA-1+G(j?)-X() (4.2A oA在?=?處，閉環(huán)頻率特性的幅值就是向量OA與PA的幅值之比，相位角就是兩A向量的相角之差，即夾角申-e，如圖4-44所示。當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性確定后，根據(jù)圖4-44就可求出閉環(huán)頻率特性。圖4-44由開環(huán)頻率特性求閉環(huán)頻率特性

設(shè)閉環(huán)頻率特性的幅值為M設(shè)閉環(huán)頻率特性的幅值為M（W）,相位角為Q（w），閉環(huán)頻率響應(yīng)可表示為（4.24））類似于地圖上等高線的思路，我們可求出閉環(huán)頻率特性的等幅值軌跡和等相角軌跡在由乃奎斯特圖確定閉環(huán)頻率特性及系統(tǒng)校正時，這將帶來方便。（1）等幅值軌跡（M圓）設(shè)G（j&）=X+jY，式中X和Y均為實數(shù)，貝I」4.25)|X+jY4.25)1+X+jY|式（4.25）兩邊平方，可得M2XM2X2+Y2 /、—(1+X)2+Y24.26)如果M=1,由式（4.26）可求得X=-1/2，即為通過點（-1/2,0）且平行虛軸的直線。如果MH1,式（4.26）可化成(4.27)+Y2(4.27)如圖4-45所示。在復(fù)平面上，等M軌跡是一族圓，對于給定的M值，可計算出它的圓心坐標(biāo)和半徑。圖4-46表示的一族等M圓。由圖上可以看出，當(dāng)M>1時，隨著M的增大M圓的半徑減小最后收斂于點（-l,jO）。當(dāng)MV1時，隨著M的減小M圓的半徑亦減小，最后收斂于點（O,jO）。M=1時，其軌跡是過點（-1/2,j0）且平行于虛軸的直線。圖4-46等M圓族(2)等相角軌跡(N圓)/X(j①) /X+jYzXi(jo)相角為 TTxTjYoYY即0=arcta^-arctm-X 1+X設(shè)tan(p=N，貝I」N=tanarct -arctm—X 1+XYY壬1+X~~~Y1+?-X1+XYX2+X+Y2Y則X2+X+Y2- =0N(1)2(1]21(1]X+—+Y-=—+12丿2N丿4〔2N丿配方整理，可得24.28)由式（4.28）可看出，等相角軌跡是(11]i'1r1「2—二,j，半徑為］1 H122N)14:2N)個圓心為的圓。圖4-47表示的是一族等N圓。應(yīng)當(dāng)指出，對于給定的0的值的N圓，實際上并不是一個完整的圓，而只是一段圓弧。同時，由于0與Q±180。的正切值是相同的，N圓對應(yīng)的Q具有多值性，例如Q=-35。與Q=145°對應(yīng)的圓弧是相同的。圖4-47等N圓族（3）應(yīng)用乃奎斯特圖求閉環(huán)頻率特性應(yīng)用相同的比例尺，將等M圓和等N圓繪制在透明片上，然后再把它覆蓋在以相同比例尺繪制的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)乃奎斯特圖上，乃奎斯特圖與等M圓和等N圓的交點所對應(yīng)的幅值與相角由M圓和N圓的參數(shù)決定，對應(yīng)的頻率由開環(huán)乃奎斯特圖決定，這樣即可求出閉環(huán)頻率特性。圖4-48（a）和（b）分別表示一單位反饋系統(tǒng)G（jw）軌跡與M圓和N圓的相交情況。可以看出，在頻率①=3］處，G（jw）軌跡與M=1.1的圓相交，這意味著在該頻率處，閉環(huán)頻率響應(yīng)幅值為1.1。從（b）圖上可以看出其相角應(yīng)為-10。。在頻率3=3時，G（jw）與M=2的圓相切，這意味著該切點對應(yīng)的幅值就是最大幅值（諧振4峰值），其相角為-120。。找出G（jw）與M圓和N圓的交點，就可繪出閉環(huán)頻率特性曲線，

如圖4-48(c)所示。2G(2G(jtu)圖4-48 (a)疊加在M圓族上的G(jw)軌跡;疊加在N圓族上的G(jw)軌跡;閉環(huán)頻率響應(yīng)曲線(4)應(yīng)用Nichols圖線求閉環(huán)頻率特性仿照上述等M圓和等N圓的思路，在對數(shù)幅相特性圖上作出等M圓和等N圓，由它們軌跡構(gòu)成的曲線稱為尼柯爾斯圖線。圖4-49表示了相角在0°和-240°之間的圖線。尼柯爾斯圖線對稱于-180°軸線，每隔360°,M軌線和N軌線重復(fù)一次，且在每個180°的間隔上都是對稱的。在由開環(huán)頻率特性確定閉環(huán)頻率特性時，應(yīng)用相同的比例尺，將尼柯爾斯圖線繪

制在透明片上，然后再把它覆蓋在以相同比例尺繪制的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)對數(shù)幅相圖上，則開環(huán)頻率特性曲線G(je)與M軌線和N軌線的交點，就給出了每一頻率上閉環(huán)頻率特性的幅值M和相角卜若G(je)軌跡與M軌線相切，切點處頻率就是諧振頻率，諧振峰值由M軌線對應(yīng)的幅值確定。圖4-49尼柯爾斯圖線例如，一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為g"s(s+l)6.5s+1)為了應(yīng)用尼柯爾斯圖線求閉環(huán)頻率特性，可在對數(shù)幅相圖上畫G(je)軌跡與M軌線和N軌線，如圖4-50所示。閉環(huán)頻率特性曲線可由M軌線和N軌線與G(je)交點求出不同頻率時的幅值與相角，閉環(huán)頻率特性曲線如圖(b)所示。由于G(je)軌跡是與M=5dB的軌跡相切，所以閉環(huán)頻特性的諧振峰值為M=5dB，而諧振頻率?=0.8rad/s。此外Grr(je)與M=-3dB軌跡交點的頻率在1.2~1.4rad/s之間，采用插值計算可大致確定閉環(huán)截止

頻率為?=1.3rad/s。b圖4-50(a)重疊在尼柯爾斯圖線上的G(j力圖(b頻率為?=1.3rad/s。b圖4-50(a)重疊在尼柯爾斯圖線上的G(j力圖(b)閉環(huán)頻率響應(yīng)曲線Hp'o一-180- —'、—270°(5)非單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性對于非單位反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為XC)_ G(s)X(s)-1+G(s)H(s)i閉環(huán)頻率特性可寫為X(jQ)_ G(jrn