光波導-12平板波導電磁場分析1102課件

§1.2平板波導電磁場分析

一、波動方程(一)Maxwell方程—電場強度矢量；—電位移矢量；—磁場強度矢量；—磁感應(yīng)強度矢量。它們是時間、空間坐標的函數(shù)?！浇橹械膫鲗щ娏髅芏?；—自由電荷密度?！?.2平板波導電磁場分析物質(zhì)特性方程：其中，為媒質(zhì)的極化強度矢量；為磁化強度矢量；為媒質(zhì)的電導率(良好的介質(zhì)可以近似為0)；為真空中的介電常數(shù)為真空中的磁導率。

對于非磁性介質(zhì)，，從而物質(zhì)特性方程：其中，為媒質(zhì)的極化強度矢量；對于電極化強度線性介質(zhì)：

則設(shè)－相對介電常數(shù)

電極化強度線性介質(zhì)：則設(shè)（3）各向同性（2）無源、無損耗的良好介質(zhì)電流密度，電荷密度Maxwell方程考慮介質(zhì)是（1）非磁性的（3）各向同性（2）無源、無損耗的良好(二)亥姆霍茲方程－解的時間部分以簡諧振動的波動方程。

得到波動方程(二)亥姆霍茲方程－解的時間部分以簡諧振并可以得到分量方程再考慮Y方向無限制，可以得到分量關(guān)系：（Ey）（Hy）并可以得到分量方程再考慮Y方向無限制，可以得到分此分量關(guān)系，適用于：（1）介質(zhì)是非磁、無源、各向同性（2）解的時間部分為簡諧振動（3）Y方向無限制（4）介質(zhì)是均勻的，或非均勻（4）介質(zhì)是均勻的(平板波導)，或非均勻（漸變波導）此分量關(guān)系，適用于：（4）介質(zhì)是均勻的(平板波導)，或非均勻（三）平板波導波動方程平板波導：

（1）介質(zhì)是非磁、無源、各向同性（2）考慮解的時間部分為簡諧振動（3）Y方向無限制（4）介質(zhì)是均勻的

（三）平板波導波動方程可以得到（1）波動方程考慮到：解為時諧形式

可以得到考慮到：解為時諧形式波動方程可以寫為再利用：得到波動方程（下頁證明）波動方程可以寫為再利用：得到波動方程（下頁證明）真空中的光速折射率為n的介質(zhì)中的光速折射率與介電常數(shù)的關(guān)系的證明：﹟真空中的光速的證明：﹟（2）可以證明，對于平板波導僅存在橫電—TE模，只有Ey、Hx、Hz分量，只需求Ey

橫磁—TM模只有Hy、Ex、Ez分量，只需求Hy其余場分量可以由Ey或Hy推導得到。注意：Ey或Hy的下標y表示是場分量的方向。（2）可以證明，對于平板波導僅存在對TE模，考慮中的分量Ey滿足的方程(四)TE、TM模方程及場解形式分析1、方程直角坐標系下設(shè)對TE模，考慮Ey隨坐標的變化：Z方向反映在相位落后上－Z，。Y方向無變化。僅有振幅Ey0隨x變化。

而且，Ey隨坐標的變化：Z方向反映在相位落后上－Z代入波動方程約去ei(t-Z)，

代入波動方程約去ei(t-Z)，一般把振幅(場隨著x的分布)Ey0(x)寫出Ey(x)，又稱為不考慮時間和縱向的橫向場分布。

所以，TE模Ey滿足類似，TM模Hy滿足一般把振幅(場隨著x的分布)Ey0(x)2、場解形式分析（1）數(shù)理方程要求—●滿足數(shù)學方程：得到通解●滿足物理要求(邊界條件)：

A、有限(包括坐標時，場應(yīng)該有限)

B、分界面切向量連續(xù)(導數(shù))；垂直于分界面法線X方向的Y、Z方向2、場解形式分析●滿足物理要求(邊界條件)：垂直于分界面法線，Ey、Hy解為指數(shù)形式；，Ey、Hy解為正弦或余弦形式；

（2）方程解的形式分析是二階常系數(shù)齊次線性微分方程，解的形式取決于當當，Ey、Hy解為指數(shù)形式；（2）方程解的形式分析若>n1k0，顯然，>n1k0>n2k0

n3k0

，此時，在薄膜、襯底、覆蓋層，沿X方向都具有指數(shù)的形式，不滿足無窮遠處的邊界條件(波函數(shù)有限)，無意義。因而,>n1k0不可能存在，因此>n1k0為禁區(qū)。若>n1k0，顯然，>n1k0>(3)場解具體形式導模：

若n1k0>>n2k0

n3k0，此時，在薄膜層，，Ey、Hy為正弦或余弦形式；在襯底、覆蓋層，Ey、Hy解為負指數(shù)形式；(3)場解具體形式薄膜、襯底，，Ey、Hy為正弦或余弦指數(shù)的形式；覆蓋層，,

Ey、Hy解為負指數(shù)形式。襯底輻射模：若n1k0>n2k0>

n3k0，薄膜、襯底，輻射模：

若n1k0>n2k0

n3k0>

，此時薄膜、襯底、覆蓋層，為正弦或余弦指數(shù)的形式輻射模：二、平板波導中導模的場解

(一)TE模1、Ey場解二、平板波導中導模的場解(一)TE模波動方程

j=1，2，3代表薄膜、襯底、覆蓋層。坐標如圖所示。導模n1k0>>

n2k0

n3k0

j=3通解波動方程j=1，2，3代表薄膜、襯底、覆蓋層。坐標如圖j=1，通解

j=2，

通解j=1，j=2，通解邊界條件(1):x為了保證場解有限，令，所以，式中，q、p、h均為正實數(shù)邊界條件(1):x式中，q、p、h均為正實數(shù)邊界條件(2):x＝0處，切向量Ey連續(xù)：Ey3=Ey1

令B=(2F-A)i。

邊界條件(2):x＝0處，切向量Ey連續(xù)：Ey3=Ey邊界條件(3)x=-d處，切向量Ey連續(xù)：Ey1=Ey2,邊界條件(3)x=-d處，切向量Ey連續(xù)：歸納：平板波導TE導模場解

歸納：平板波導TE導模場解式中，-覆蓋層沿X方向衰減系數(shù)-襯底層沿X方向衰減系數(shù)-薄膜層沿X方向振蕩系數(shù)

A、B為待定常數(shù)，由波導傳輸?shù)墓鈭龅哪芰看_定。2、HZ(x)場解應(yīng)用各場分量的關(guān)系，得到

式中，其它場解也可得到:

其它場解也可得到:3、特征方程運用邊界條件(1)x＝0、x＝－d，切向量HZ(x)連續(xù)：A、B不能全為0，其系數(shù)行列式＝0，得到－平板波導TE模導模的特征方程化簡:

3、特征方程A、B不能全為0，其系數(shù)行列式特征方程＝橫向諧振條件、m在哪里？

隱含在h、p、q中。

m隱含在tg函數(shù)的周期性之中。特征方程＝橫向諧振條件、m在哪里？4、TE模場分布(1)薄膜內(nèi)振蕩、呈駐波形態(tài)。模階數(shù)m＝節(jié)點數(shù)。根據(jù)模場，可以求出極值點位置。

節(jié)點：場量=0的點。4、TE模場分布節(jié)點：場量=0的點。(2)消逝場－襯底、覆蓋層中指數(shù)衰減在處，衰減到x=0處、x=-d處的1/e。－消逝場可以定義波導說明，導模場被限制在薄膜中及其附近。有效厚度(2)消逝場－襯底、覆蓋層中指數(shù)衰減有效厚度(3)衰減與導模場的約束

相同，n2>n3,所以，p<q

?同一導模在襯底衰減慢，在覆蓋層衰減快。

?推廣：其它層與薄膜層折射率差[如(n1-n2)、(n1-n3)]越大，導模場在其它層(覆蓋、襯底)衰減得越快，電磁場在波導薄膜層中約束得越好。(3)衰減與導模場的約束

?高階導模比低階導模在襯底、覆蓋層衰減慢,約束差。因為導模階數(shù)m越高，入射角1越小，＝n1k0sin1越小，p、p越小。從波導的功能來，要求約束好。

?高階導模比低階導模在襯底、覆蓋層衰減慢,約(4)消逝場的衰減與截止的關(guān)系截止—幾何光學觀點：1C12波動光學觀點：p由實數(shù)變?yōu)樘摂?shù)。截止條件p20【因為p<q，所以考慮p】p、q0實數(shù)虛數(shù)導模輻射模(4)消逝場的衰減與截止的關(guān)系p、q0實數(shù)虛數(shù)導模輻射模(二)TM模分析方法同TE模。(二)TM模(三)導模攜帶的功率由電磁場理論，導模在單位寬度上攜帶的功率式中，為玻印廷矢量Z方向分量。對TE模，代入Ey，得到各層的功率

(三)導模攜帶的功率總功率由總功率P可以求出TE模場的振幅系數(shù)總功率由總功率P可以求出TE模場的振幅系數(shù)TM模的總功率、模場振幅系數(shù)求解方法類似。

TM模的總功率、模場振幅系數(shù)求解方法類似。三、平板波導中輻射模的場解

1、Ey場解設(shè)TE模場解為波動方程（1）襯底輻射模n3k0<<

n2k0j=3，覆蓋層波動方程三、平板波導中輻射模的場解1、Ey場解（1）襯底輻射模j=1，薄膜層波動方程j=2，襯底層波動方程

通解通解通解j=1，薄膜層波動方程j=2，襯底層波動方程通解式中

襯底輻射模場解在n3區(qū)：沿正X方向衰減在n1區(qū)：沿X振蕩在n2區(qū)：沿X振蕩[能量有效沿－X方向傳輸]

式中襯底輻射模場解在n3區(qū)：沿正X方向衰減（2）輻射模<

n3k0

n2k0

j=3，覆蓋層波動方程通解j=1，薄膜層波動方程通解（2）輻射模<n3k0n2k0通解j=j=2，襯底層波動方程

通解式中輻射模場解j=2，襯底層波動方程通解式中輻射模場解在n3區(qū)：沿正X方向振蕩[能量有效沿X方向傳輸]在n1區(qū)：沿X振蕩在n2區(qū)：沿X振蕩[能量有效沿－X方向傳輸]

在n3區(qū)：沿正X方向振蕩[能量有效沿X方向傳輸]四、波導損耗波導損耗分類：散射損耗、輻射損耗。損耗描述：

－損耗系數(shù)。1、散射損耗：(1)波導體內(nèi)缺陷，雜質(zhì)原子、氣泡、晶格缺陷－材料、波導技術(shù)可以將這些缺陷控制在相當輕微的程度，一般可略。四、波導損耗(2)表面粗糙形成的（瑞利）散射損耗。波導表面光滑，但是，光場在上下界面頻繁反射，表面輕微的粗糙，引起損耗。散射損耗系數(shù)：

12、13波導兩界面粗糙度的方差?？梢?，波長越長，粗糙散射損耗越??；模的階數(shù)越高，1越小，粗糙散射損耗越大。

(2)表面粗糙形成的（瑞利）散射損耗。波導表面光滑，但是2、輻射損耗－波導彎曲損耗波導彎曲時，光束的相速若能正比于波導彎曲的曲率半徑，則導模光場的相前不畸變，無損耗。但是，實際彎曲波導，離彎曲中心越遠處，相速達不到此要求。導模中部分光跟不上其它部分光的傳輸，而被分離、輻射出去，形成彎曲損耗。

2、輻射損耗－波導彎曲損耗☆模的正交歸一其中i*、j*為導模場或輻射模場。

第一章平板波導☆模的正交歸一其中i*、j*為導思考題：1、什么是波導的模式？平板波導模式有哪幾類？2、平板導模導模具有什么特征？3、分析平板波導導模場中，襯底、覆蓋層的場的指數(shù)衰減，與導模場對光能量的約束、導模場的存在有怎樣的關(guān)系？4、截止波長、截止厚度的意義？基模運轉(zhuǎn)的條件和意義？思考題：§1.2平板波導電磁場分析

一、波動方程(一)Maxwell方程—電場強度矢量；—電位移矢量；—磁場強度矢量；—磁感應(yīng)強度矢量。它們是時間、空間坐標的函數(shù)?！浇橹械膫鲗щ娏髅芏?；—自由電荷密度?！?.2平板波導電磁場分析物質(zhì)特性方程：其中，為媒質(zhì)的極化強度矢量；為磁化強度矢量；為媒質(zhì)的電導率(良好的介質(zhì)可以近似為0)；為真空中的介電常數(shù)為真空中的磁導率。

對于非磁性介質(zhì)，，從而物質(zhì)特性方程：其中，為媒質(zhì)的極化強度矢量；對于電極化強度線性介質(zhì)：

則設(shè)－相對介電常數(shù)

電極化強度線性介質(zhì)：則設(shè)（3）各向同性（2）無源、無損耗的良好介質(zhì)電流密度，電荷密度Maxwell方程考慮介質(zhì)是（1）非磁性的（3）各向同性（2）無源、無損耗的良好(二)亥姆霍茲方程－解的時間部分以簡諧振動的波動方程。

得到波動方程(二)亥姆霍茲方程－解的時間部分以簡諧振并可以得到分量方程再考慮Y方向無限制，可以得到分量關(guān)系：（Ey）（Hy）并可以得到分量方程再考慮Y方向無限制，可以得到分此分量關(guān)系，適用于：（1）介質(zhì)是非磁、無源、各向同性（2）解的時間部分為簡諧振動（3）Y方向無限制（4）介質(zhì)是均勻的，或非均勻（4）介質(zhì)是均勻的(平板波導)，或非均勻（漸變波導）此分量關(guān)系，適用于：（4）介質(zhì)是均勻的(平板波導)，或非均勻（三）平板波導波動方程平板波導：

（1）介質(zhì)是非磁、無源、各向同性（2）考慮解的時間部分為簡諧振動（3）Y方向無限制（4）介質(zhì)是均勻的

（三）平板波導波動方程可以得到（1）波動方程考慮到：解為時諧形式

可以得到考慮到：解為時諧形式波動方程可以寫為再利用：得到波動方程（下頁證明）波動方程可以寫為再利用：得到波動方程（下頁證明）真空中的光速折射率為n的介質(zhì)中的光速折射率與介電常數(shù)的關(guān)系的證明：﹟真空中的光速的證明：﹟（2）可以證明，對于平板波導僅存在橫電—TE模，只有Ey、Hx、Hz分量，只需求Ey

橫磁—TM模只有Hy、Ex、Ez分量，只需求Hy其余場分量可以由Ey或Hy推導得到。注意：Ey或Hy的下標y表示是場分量的方向。（2）可以證明，對于平板波導僅存在對TE模，考慮中的分量Ey滿足的方程(四)TE、TM模方程及場解形式分析1、方程直角坐標系下設(shè)對TE模，考慮Ey隨坐標的變化：Z方向反映在相位落后上－Z，。Y方向無變化。僅有振幅Ey0隨x變化。

而且，Ey隨坐標的變化：Z方向反映在相位落后上－Z代入波動方程約去ei(t-Z)，

代入波動方程約去ei(t-Z)，一般把振幅(場隨著x的分布)Ey0(x)寫出Ey(x)，又稱為不考慮時間和縱向的橫向場分布。

所以，TE模Ey滿足類似，TM模Hy滿足一般把振幅(場隨著x的分布)Ey0(x)2、場解形式分析（1）數(shù)理方程要求—●滿足數(shù)學方程：得到通解●滿足物理要求(邊界條件)：

A、有限(包括坐標時，場應(yīng)該有限)

B、分界面切向量連續(xù)(導數(shù))；垂直于分界面法線X方向的Y、Z方向2、場解形式分析●滿足物理要求(邊界條件)：垂直于分界面法線，Ey、Hy解為指數(shù)形式；，Ey、Hy解為正弦或余弦形式；

（2）方程解的形式分析是二階常系數(shù)齊次線性微分方程，解的形式取決于當當，Ey、Hy解為指數(shù)形式；（2）方程解的形式分析若>n1k0，顯然，>n1k0>n2k0

n3k0

，此時，在薄膜、襯底、覆蓋層，沿X方向都具有指數(shù)的形式，不滿足無窮遠處的邊界條件(波函數(shù)有限)，無意義。因而,>n1k0不可能存在，因此>n1k0為禁區(qū)。若>n1k0，顯然，>n1k0>(3)場解具體形式導模：

若n1k0>>n2k0

n3k0，此時，在薄膜層，，Ey、Hy為正弦或余弦形式；在襯底、覆蓋層，Ey、Hy解為負指數(shù)形式；(3)場解具體形式薄膜、襯底，，Ey、Hy為正弦或余弦指數(shù)的形式；覆蓋層，,

Ey、Hy解為負指數(shù)形式。襯底輻射模：若n1k0>n2k0>

n3k0，薄膜、襯底，輻射模：

若n1k0>n2k0

n3k0>

，此時薄膜、襯底、覆蓋層，為正弦或余弦指數(shù)的形式輻射模：二、平板波導中導模的場解

(一)TE模1、Ey場解二、平板波導中導模的場解(一)TE模波動方程

j=1，2，3代表薄膜、襯底、覆蓋層。坐標如圖所示。導模n1k0>>

n2k0

n3k0

j=3通解波動方程j=1，2，3代表薄膜、襯底、覆蓋層。坐標如圖j=1，通解

j=2，

通解j=1，j=2，通解邊界條件(1):x為了保證場解有限，令，所以，式中，q、p、h均為正實數(shù)邊界條件(1):x式中，q、p、h均為正實數(shù)邊界條件(2):x＝0處，切向量Ey連續(xù)：Ey3=Ey1

令B=(2F-A)i。

邊界條件(2):x＝0處，切向量Ey連續(xù)：Ey3=Ey邊界條件(3)x=-d處，切向量Ey連續(xù)：Ey1=Ey2,邊界條件(3)x=-d處，切向量Ey連續(xù)：歸納：平板波導TE導模場解

歸納：平板波導TE導模場解式中，-覆蓋層沿X方向衰減系數(shù)-襯底層沿X方向衰減系數(shù)-薄膜層沿X方向振蕩系數(shù)

A、B為待定常數(shù)，由波導傳輸?shù)墓鈭龅哪芰看_定。2、HZ(x)場解應(yīng)用各場分量的關(guān)系，得到

式中，其它場解也可得到:

其它場解也可得到:3、特征方程運用邊界條件(1)x＝0、x＝－d，切向量HZ(x)連續(xù)：A、B不能全為0，其系數(shù)行列式＝0，得到－平板波導TE模導模的特征方程化簡:

3、特征方程A、B不能全為0，其系數(shù)行列式特征方程＝橫向諧振條件、m在哪里？

隱含在h、p、q中。

m隱含在tg函數(shù)的周期性之中。特征方程＝橫向諧振條件、m在哪里？4、TE模場分布(1)薄膜內(nèi)振蕩、呈駐波形態(tài)。模階數(shù)m＝節(jié)點數(shù)。根據(jù)模場，可以求出極值點位置。

節(jié)點：場量=0的點。4、TE模場分布節(jié)點：場量=0的點。(2)消逝場－襯底、覆蓋層中指數(shù)衰減在處，衰減到x=0處、x=-d處的1/e。－消逝場可以定義波導說明，導模場被限制在薄膜中及其附近。有效厚度(2)消逝場－襯底、覆蓋層中指數(shù)衰減有效厚度(3)衰減與導模場的約束

相同，n2>n3,所以，p<q

?同一導模在襯底衰減慢，在覆蓋層衰減快。

?推廣：其它層與薄膜層折射率差[如(n1-n2)、(n1-n3)]越大，導模場在其它層(覆蓋、襯底)衰減得越快，電磁場在波導薄膜層中約束得越好。(3)衰減與導模場的約束

?高階導模比低階導模在襯底、覆蓋層衰減慢,約束差。因為導模階數(shù)m越高，入射角1越小，＝n1k0sin1越小，p、p越小。從波導的功能來，要求約束好。

?高階導模比低階導模在襯底、覆蓋層衰減慢,約(4)消逝場的衰減與截止的關(guān)系截止—幾何光學觀點：1C12波動光學觀點：p由實數(shù)變?yōu)樘摂?shù)。截止條件p20【因為p<q，所以考慮p】p、q0實數(shù)虛數(shù)導模輻射模(4)消逝場的衰減與截止的關(guān)系p、q0實數(shù)虛數(shù)導模輻射模(二)TM模分析方法同TE模。(二)TM模(三)導模攜帶的功率由電磁場理論，導模在單位寬度上攜帶的功率式中，為玻印廷矢量Z方向分量。對TE模，代入Ey，得到各層的功率

(三)導模攜帶的功率總功率由總功率P可以求出TE模場的振幅系數(shù)總功率由總功率P可以求出TE模場的振幅系數(shù)TM模的總功率、模場振幅系數(shù)求解方法類似。

TM模的總功率、模場振