因子分析的基本思想、基本步驟、數(shù)學(xué)模型及求解

一、因子分析1因子分析的基本思想1.1因子分析的基本出發(fā)點(diǎn)將原始指標(biāo)綜合成較少的指標(biāo)，這些指標(biāo)能夠反映原始指標(biāo)的絕大部分信息(方差)，這些綜合指標(biāo)之間沒(méi)有相關(guān)性。1.2因子變量的特點(diǎn)(1)這些綜合指標(biāo)稱為因子變量，是原變量的重造；(2)個(gè)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于原變量個(gè)數(shù)，但可反映原變量的絕大部分方差;(3)不相關(guān)性；(4)可命名解釋性。2因子分析的基本步驟(1)確認(rèn)待分析的原始變量是否適合作因子分析;(2)構(gòu)造因子變量；(3)利用旋轉(zhuǎn)方法使因子變量具有可解釋性；(4)計(jì)算每個(gè)樣本的因子變量得分。3因子分析的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型(Xi為標(biāo)準(zhǔn)化的原始變量；Fi為因子變量；k<p)X2a11Ga21X2a11Ga21f1a12f2a22f2a13f3...a1kfka23f3...a2kfkx3a31f1a32f2a33f3…a3kfk3XpXpap#ap2f2ap3f3apkfkp也可以矩陣的形式表示為:X=AF+￡F:因子變量;A:因子載荷陣;au：因子載荷；e：特殊因子。

4因子分析的相關(guān)概念(1)因子載荷在因子變量不相關(guān)的條件下，aj就是第i個(gè)原始變量與第j個(gè)因子變量的相關(guān)系數(shù)。句絕對(duì)值越大，則Xi與Fi的關(guān)系越強(qiáng).(2)變量的共同度(Communality)也稱公共方差。Xi的變量共同度為因子載荷矩陣A中第i行元素的平方和。khi2aij可見(jiàn):Xi的共同度反應(yīng)了全部因子變量對(duì)Xi總方差的解釋能力。j1(3)因子變量Fj的方差貢獻(xiàn)因子變量Fj的方差貢獻(xiàn)為因子載荷矩陣A中第j列各元素的平方和pSjaij可見(jiàn)：因子變量Fj的方差貢獻(xiàn)體現(xiàn)了同一因子Fj對(duì)原始所有變量i1總方差的解釋能力，Sj/p表示了第j個(gè)因子解釋原所有變量總方差的比例。5原有變量是否適合作因子分析計(jì)算原有變量的相關(guān)系數(shù)矩陣，一般小于0。3就不適合作因子分析。6確定因子變量--主成份分析主成份分析法的數(shù)學(xué)模型ylyl11x112x213x31pxp2323x3...2pxp33x3...3pxpTOC\o"1-5"\h\zy221x122x2y331x132x2ypp1x1p2x2p3x3...ppxp將原有的P個(gè)相關(guān)變量Xi作線性變換后轉(zhuǎn)成另一組不相關(guān)的變量Yi該方程組要求：i2iii23...ip1(i1,2,3...,p)系數(shù)Uij依照兩個(gè)原則來(lái)確定：1、yi與m(iwj,i,j=1,2,3,…初互不相關(guān)；2、y1是X1,X2,x3,…,xp的一切線性組合(系數(shù)滿足上述方程組)中方差最大的;y2是與y1不相關(guān)的X1,X2,x3,…，xp的一切線性組合中方差次大的；yp是與yi,y2,y3,???yp都不相關(guān)的xi,x2,x3,…,xp的一切線性組合中方差最小的；yi在總方差中所占比例最大，它綜合原有變量的能力最強(qiáng)，其余變量在總方差中所占比例依次遞減，即：其余變量綜合原有變量的能力依次減弱.主成份分析的基本步驟(1)將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化；(2)計(jì)算變量間簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)矩陣R;(3)求R|j勺特征值修軟登…喪》。及對(duì)應(yīng)的單位特征向量口，區(qū)心，(4)得至U：yi=Ulixl+U2ix2+…+upixp6.3確定因子變量一計(jì)算因子載荷aiiai2aipuiiiu2i,2...upi.pAa2ia22...a2PUi2-1iu22\2...up2-papiap2.app...uipi......U2P..2......upp\;paii&2aikuiiiu2i\2...uki\kAa2ia22.a2kUi2iu22■/2...uk2\kapiap2.apk...uipi......u2p2......ukp\k7確定因子變量個(gè)數(shù)確定k個(gè)因子變量(i)根據(jù)特征值入i確定：取特征值大于i的特征根；(2)根據(jù)條:計(jì)貝獻(xiàn)卒.般導(dǎo):計(jì)貝獻(xiàn)單應(yīng)在70%以上:p2aiSI/p1/ii1pa2(S2S1)/p(i2)/iikkp2

akSi/pi/iiiiiii(3)通過(guò)觀察碎石圖的方式確定因子變量的個(gè)數(shù)。ScreePlotComponentNumber8因子變量的命名解釋(1)發(fā)現(xiàn)：aj的絕對(duì)值可能在某一行的許多列上都有較大的取值，或aij的絕對(duì)值可能在某一列的許多行上都有較大的取值。(2)表明：某個(gè)原有變量Xi可能同時(shí)與幾個(gè)因子都有比較大的相關(guān)關(guān)系，也就是說(shuō)，某個(gè)原有變量Xi的信息需要由若干個(gè)因子變量來(lái)共同解釋；同時(shí)，雖然一個(gè)因子變量可能能夠解釋許多變量的信息，但它卻只能解釋某個(gè)變量的一少部分信息，不是任何一個(gè)變量的典型代表。(3)結(jié)論：因子變量的實(shí)際含義不清楚通過(guò)某種手段使：每個(gè)變量在盡可能少的因子上又比較高的載荷，即：在理想狀態(tài)下,讓某個(gè)變量在某個(gè)因子上的載荷趨于1,而在其他因子上的載荷趨于0。這樣:一個(gè)因子變量就能夠成為某個(gè)變量的典型代表，它的實(shí)際含義也就清楚了。9計(jì)算因子得分因子得分是因子變量構(gòu)造的最終體現(xiàn)?；舅枷?是將因子變量表示為原有變量的線性組合,即：通過(guò)因子得分函數(shù)計(jì)算因子得分。因子得分生看作各變量俏的權(quán)數(shù)總和，權(quán)數(shù)的大小表示了變量對(duì)因子的重要程度.Fjijlxlij2x2ij3x3i…jpxpi(j1,2,3,...,k)10因子分析的基本步驟(1)菜單選項(xiàng)：analyze—〉DataReduction-)Factor；(2)選擇參與因子分析的變量到Variables框；Discriptive：分析是否適合做因子分析；Extraction：選擇構(gòu)造因子變量的方法，默認(rèn)主成分分析法。Extract框：指定確定因子個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)；Rotation:擇因子載荷矩陣的旋轉(zhuǎn)方法。默認(rèn)是不進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。一般可以選擇Varimax選項(xiàng)采用方差極大法旋轉(zhuǎn)。ScoresSaveasvariables將因子得分存成一個(gè)名為F