2020新教材高中數(shù)學第九章解三角形911正弦定理課件新人教B版必修第四冊

9.1.1正弦定理9.1.1正弦定理2020新教材高中數(shù)學第九章解三角形911正弦定理課件新人教B版必修第四冊一、三角形的面積1.思考在△ABC中,已知兩邊及這兩邊的夾角,能求出這個三角形的面積嗎?提示:在△ABC中,角A,B,C對應的邊分別為a,b,c,邊a,b,c上的高分別記為ha,hb,hc,則ha=bsin

C=csin

B,hb=csin

A=asin

C,hc=asin

B=bsin

A.一、三角形的面積2.填空三角形面積公式的推廣

答案:60°或120°2.填空答案:60°或120°二、正弦定理1.思考(1)在直角三角形中,你能由銳角正弦值的定義探究出角與邊的等式關(guān)系嗎?二、正弦定理(2)在銳角△ABC中,以上關(guān)系式是否仍然成立?(2)在銳角△ABC中,以上關(guān)系式是否仍然成立?(3)在鈍角△ABC中,以上關(guān)系式是否仍然成立?提示:在鈍角△ABC中,設(shè)C為鈍角,如圖,過點B作BD⊥AC于點D,則BD=asin(π-C)=asin

C,BD=csin

A,故有asin

C=csin

A,(3)在鈍角△ABC中,以上關(guān)系式是否仍然成立?2020新教材高中數(shù)學第九章解三角形911正弦定理課件新人教B版必修第四冊2.填空(1)正弦定理的表示2.填空3.做一做(1)判斷正誤.①正弦定理只適用于銳角三角形.(

)②正弦定理不適用于鈍角三角形.(

)③在某一確定的三角形中,各邊的長與它的對角的正弦的比是定值.(

)④在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c.(

)解析:正弦定理適用于任意三角形,故①②均不正確;由正弦定理可知,三角形一旦確定,則各邊的長與其所對角的正弦的比就確定了,故③正確;由比例性質(zhì)和正弦定理可推知④正確.答案:①×

②×

③√

④√3.做一做答案:C答案:C(3)在△ABC中,A∶B∶C=4∶1∶1,則a∶b∶c=(

)答案:D(3)在△ABC中,A∶B∶C=4∶1∶1,則a∶b∶c=三、解三角形1.思考從正弦定理的表達形式上,你能說明正弦定理的基本作用嗎?提示:(1)正弦定理說明在同一三角形中,各邊的邊長與其對角的正弦成正比,且比例系數(shù)為同一正數(shù),即存在正數(shù)k使a=ksin

A,b=ksin

B,c=ksin

C;從而知正弦定理的基本作用:利用正弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題:①已知兩角和任意一邊,求其他兩邊和第三個角;②已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊的對角,從而求出其他的邊和角.三、解三角形從而知正弦定理的基本作用:利用正弦定理可以解決以2.填空習慣上,我們把三角形的3個角與3條邊都稱為三角形的元素.已知三角形的若干元素求其他元素一般稱為解三角形.2.填空3.做一做

答案:D3.做一做答案:D答案:45°答案:45°四、對三角形解的個數(shù)的判斷1.思考(1)在△ABC中,若A>B,一定有sinA>sinB嗎?反之,若sinA>sinB,一定有A>B嗎?提示:由A>B,得a>b,所以2Rsin

A>2Rsin

B,即sin

A>sin

B;由sin

A>sin

B,得2Rsin

A>2Rsin

B,即a>b.所以A>B.(2)如何判斷三角形解的個數(shù)?對于任意給定的a,b,A的值,能否確定一個三角形?提示:略四、對三角形解的個數(shù)的判斷2.填空已知三角形的兩角和任意一邊,求另兩邊和另一角,此時三角形被唯一確定.已知兩邊和其中一邊的對角,求其他的邊和角,此時可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況,三角形不能被唯一確定.現(xiàn)以已知a,b和A解三角形為例予以說明:2.填空2020新教材高中數(shù)學第九章解三角形911正弦定理課件新人教B版必修第四冊2020新教材高中數(shù)學第九章解三角形911正弦定理課件新人教B版必修第四冊3.做一做不解三角形,判斷下列三角形解的個數(shù).(1)a=5,b=4,A=120°;(2)a=7,b=14,A=150°;(3)a=9,b=10,A=60°.解:(1)∵A為鈍角且a>b,∴△ABC有一解.(2)∵A為鈍角且a<b,∴△ABC無解.(3)∵bsin

A<a<b,∴△ABC有兩解.3.做一做探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測正弦定理的簡單應用例1(1)在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,解這個三角形.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測正弦定理探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測反思感悟正弦定理的兩個應用(1)已知兩角與任意一邊解三角形的方法:如果已知三角形的任意兩個角與一邊解三角形時,由三角形內(nèi)角和定理可以計算出三角形的第三個角,由正弦定理可計算出三角形的另兩邊.(2)已知三角形兩邊和其中一邊的對角解三角形的方法:首先用正弦定理求出另一邊所對的角的正弦值,若這個角不是直角,則利用三角形中大邊對大角看能否判斷所求這個角是銳角,當已知的角為大邊所對的角時,則能判斷另一邊所對的角為銳角,當已知的角為小邊所對的角時,則不能判斷,此時就有兩組解,再分別求解即可;然后由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角;最后根據(jù)正弦定理求出第三條邊.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測反思感悟探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測變式訓練1(1)在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,則b等于(

)答案:CA.30° B.45°或135°C.60° D.135°答案:B探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測變式訓練探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測答案:15°或105°探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測答案:1探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測求三角形的面積

探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測求三角形探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測判定三角形的形狀例3在△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C,且sinA=2sinB·cosC.試判斷△ABC的形狀.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測判定三角探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測反思感悟判斷三角形的形狀的方法(1)判斷三角形的形狀,可以從考查三邊的關(guān)系入手,也可以從三個內(nèi)角的關(guān)系入手,從條件出發(fā),利用正弦定理進行代換、轉(zhuǎn)化,呈現(xiàn)出邊與邊的關(guān)系或求出角與角的關(guān)系或大小,從而作出準確判斷.(2)判斷三角形的形狀,主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形,要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測反思感悟探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測變式訓練3在△ABC中,若b=acosC,試判斷該三角形的形狀.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測變式訓練探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測判斷三角形解的個數(shù)例4已知下列各三角形中的兩邊及其一邊的對角,判斷三角形是否有解,有解的作出解答.(1)a=10,b=20,A=80°;探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測判斷三角探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測反思感悟已知三角形兩邊和其中一邊的對角時,判斷三角形解的個數(shù)已知三角形兩邊和其中一邊的對角時,利用正弦定理求出另一邊對角的正弦值后,需利用三角形中“大邊對大角”來判斷此角是銳角、直角還是鈍角,從而確定三角形有兩解還是只有一解.也可以用幾何法來判斷,即比較已知角的對邊與另一邊和該角正弦值乘積的大小來確定解的個數(shù).探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測反思感悟探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測變式訓練4(1)滿足a=4,b=3,A=45°的△ABC的個數(shù)為

.

解析:因為A=45°<90°,a=4>3=b,所以△ABC的個數(shù)為一個.答案:1(2)△ABC中,a=x,b=2,B=45°.若該三角形有兩解,則x的取值范圍是

.

探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測變式訓練探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測用正弦定理證明問題例5在任意△ABC中,求證:a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)=0.證明:由正弦定理,令a=ksin

A,b=ksin

B,c=ksin

C,得左邊=k(sin

Asin

B-sin

Asin

C+sin

Bsin

C-sin

Bsin

A+sin

Csin

A-sin

Csin

B)=0=右邊,所以等式成立.反思感悟邊與角的互化方法正弦定理的變形公式a=ksin

A,b=ksin

B,c=ksin

C(k>0)能夠使三角形邊與角的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測用正弦定探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測變式訓練5利用正弦定理證明定理:等腰三角形的兩個底角相等.證明:設(shè)等腰△ABC的兩邊AB=AC,所以sin

C=sin

B.由于0°<B+C<180°,所以B=C.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測變式訓練探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測正弦定理與三角恒等變換知識的綜合應用例6在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a=1,探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測正弦定理探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測判斷三角形解個數(shù)的多種方法典例在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=4,A=30°,b=x(x>0),判斷此三角形解的個數(shù).解:由于b是不確定的邊長,無法知道a與b的大小關(guān)系,即無法判斷B是銳角還是鈍角,這就需要對x的取值進行分類討論.所以B有兩種結(jié)果,此時△ABC有兩解.當x=8時,sin

B=1,則B=90°,此時△ABC有一解.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測判斷三角探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測綜上可知:當0<x≤4或x=8時,△ABC有一解;當4<x<8時,△ABC有兩解;當x>8時,△ABC無解.解法二:A=30°,是銳角,分三種情況:①當a=bsin

A或a≥b,即4=xsin

30°或4≥x,即x=8或0<x≤4時,三角形有一解.②當xsin

30°<4<x,即4<x<8時,三角形有兩解.③當4<xsin

30°,即x>8時,三角形無解.綜上可知,當0<x≤4或x=8時,△ABC有一解;當4<x<8時,△ABC有兩解;當x>8時,△ABC無解.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測綜上可知探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測1.在△ABC中,sinA=sinC,則△ABC一定是(

)A.直角三角形 B.等腰三角形C.銳角三角形 D.鈍角三角形答案:B2.在△ABC中,若A∶B∶C=1∶2∶3,則a∶b∶c=(

)A.1∶2∶3 B.3∶2∶1答案:C探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測1.在△探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測答案:75°4.已知△ABC外接圓半徑是2cm,∠A=60°,則BC邊長為

.

探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測答案:79.1.1正弦定理9.1.1正弦定理2020新教材高中數(shù)學第九章解三角形911正弦定理課件新人教B版必修第四冊一、三角形的面積1.思考在△ABC中,已知兩邊及這兩邊的夾角,能求出這個三角形的面積嗎?提示:在△ABC中,角A,B,C對應的邊分別為a,b,c,邊a,b,c上的高分別記為ha,hb,hc,則ha=bsin

C=csin

B,hb=csin

A=asin

C,hc=asin

B=bsin

A.一、三角形的面積2.填空三角形面積公式的推廣

答案:60°或120°2.填空答案:60°或120°二、正弦定理1.思考(1)在直角三角形中,你能由銳角正弦值的定義探究出角與邊的等式關(guān)系嗎?二、正弦定理(2)在銳角△ABC中,以上關(guān)系式是否仍然成立?(2)在銳角△ABC中,以上關(guān)系式是否仍然成立?(3)在鈍角△ABC中,以上關(guān)系式是否仍然成立?提示:在鈍角△ABC中,設(shè)C為鈍角,如圖,過點B作BD⊥AC于點D,則BD=asin(π-C)=asin

C,BD=csin

A,故有asin

C=csin

A,(3)在鈍角△ABC中,以上關(guān)系式是否仍然成立?2020新教材高中數(shù)學第九章解三角形911正弦定理課件新人教B版必修第四冊2.填空(1)正弦定理的表示2.填空3.做一做(1)判斷正誤.①正弦定理只適用于銳角三角形.(

)②正弦定理不適用于鈍角三角形.(

)③在某一確定的三角形中,各邊的長與它的對角的正弦的比是定值.(

)④在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c.(

)解析:正弦定理適用于任意三角形,故①②均不正確;由正弦定理可知,三角形一旦確定,則各邊的長與其所對角的正弦的比就確定了,故③正確;由比例性質(zhì)和正弦定理可推知④正確.答案:①×

②×

③√

④√3.做一做答案:C答案:C(3)在△ABC中,A∶B∶C=4∶1∶1,則a∶b∶c=(

)答案:D(3)在△ABC中,A∶B∶C=4∶1∶1,則a∶b∶c=三、解三角形1.思考從正弦定理的表達形式上,你能說明正弦定理的基本作用嗎?提示:(1)正弦定理說明在同一三角形中,各邊的邊長與其對角的正弦成正比,且比例系數(shù)為同一正數(shù),即存在正數(shù)k使a=ksin

A,b=ksin

B,c=ksin

C;從而知正弦定理的基本作用:利用正弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題:①已知兩角和任意一邊,求其他兩邊和第三個角;②已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊的對角,從而求出其他的邊和角.三、解三角形從而知正弦定理的基本作用:利用正弦定理可以解決以2.填空習慣上,我們把三角形的3個角與3條邊都稱為三角形的元素.已知三角形的若干元素求其他元素一般稱為解三角形.2.填空3.做一做

答案:D3.做一做答案:D答案:45°答案:45°四、對三角形解的個數(shù)的判斷1.思考(1)在△ABC中,若A>B,一定有sinA>sinB嗎?反之,若sinA>sinB,一定有A>B嗎?提示:由A>B,得a>b,所以2Rsin

A>2Rsin

B,即sin

A>sin

B;由sin

A>sin

B,得2Rsin

A>2Rsin

B,即a>b.所以A>B.(2)如何判斷三角形解的個數(shù)?對于任意給定的a,b,A的值,能否確定一個三角形?提示:略四、對三角形解的個數(shù)的判斷2.填空已知三角形的兩角和任意一邊,求另兩邊和另一角,此時三角形被唯一確定.已知兩邊和其中一邊的對角,求其他的邊和角,此時可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況,三角形不能被唯一確定.現(xiàn)以已知a,b和A解三角形為例予以說明:2.填空2020新教材高中數(shù)學第九章解三角形911正弦定理課件新人教B版必修第四冊2020新教材高中數(shù)學第九章解三角形911正弦定理課件新人教B版必修第四冊3.做一做不解三角形,判斷下列三角形解的個數(shù).(1)a=5,b=4,A=120°;(2)a=7,b=14,A=150°;(3)a=9,b=10,A=60°.解:(1)∵A為鈍角且a>b,∴△ABC有一解.(2)∵A為鈍角且a<b,∴△ABC無解.(3)∵bsin

A<a<b,∴△ABC有兩解.3.做一做探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測正弦定理的簡單應用例1(1)在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,解這個三角形.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測正弦定理探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測反思感悟正弦定理的兩個應用(1)已知兩角與任意一邊解三角形的方法:如果已知三角形的任意兩個角與一邊解三角形時,由三角形內(nèi)角和定理可以計算出三角形的第三個角,由正弦定理可計算出三角形的另兩邊.(2)已知三角形兩邊和其中一邊的對角解三角形的方法:首先用正弦定理求出另一邊所對的角的正弦值,若這個角不是直角,則利用三角形中大邊對大角看能否判斷所求這個角是銳角,當已知的角為大邊所對的角時,則能判斷另一邊所對的角為銳角,當已知的角為小邊所對的角時,則不能判斷,此時就有兩組解,再分別求解即可;然后由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角;最后根據(jù)正弦定理求出第三條邊.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測反思感悟探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測變式訓練1(1)在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,則b等于(

)答案:CA.30° B.45°或135°C.60° D.135°答案:B探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測變式訓練探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測答案:15°或105°探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測答案:1探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測求三角形的面積

探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測求三角形探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測判定三角形的形狀例3在△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C,且sinA=2sinB·cosC.試判斷△ABC的形狀.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測判定三角探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測反思感悟判斷三角形的形狀的方法(1)判斷三角形的形狀,可以從考查三邊的關(guān)系入手,也可以從三個內(nèi)角的關(guān)系入手,從條件出發(fā),利用正弦定理進行代換、轉(zhuǎn)化,呈現(xiàn)出邊與邊的關(guān)系或求出角與角的關(guān)系或大小,從而作出準確判斷.(2)判斷三角形的形狀,主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形,要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測反思感悟探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測變式訓練3在△ABC中,若b=acosC,試判斷該三角形的形狀.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測變式訓練探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測判斷三角形解的個數(shù)例4已知下列各三角形中的兩邊及其一邊的對角,判斷三角形是否有解,有解的作出解答.(1)a=10,b=20,A=80°;探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測判斷三角探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測反思感悟已知三角形兩邊和其中一邊的對角時,判斷三角形解的個數(shù)已知三角形兩邊和其中一邊的對角時,利用正弦定理求出另一邊對角的正弦值后,需利用三角形中“大邊對大角”來判斷此角是銳角、直角還是鈍角,從而確定三角形有兩解還是只有一解.也可以用幾何法來判斷,即比較已知角的對邊與另一邊和該角正弦值乘積的大小來確定解的個數(shù).探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測反思感悟探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測變式訓練4(1)滿足a=4,b=3,A=45°的△ABC的個數(shù)為

.

解析:因為A=45°<90°,a=4>3=b,所以△ABC的個數(shù)為一個.答案:1(2)△ABC中,a=x,b=2,B=45°.若該三角形有兩解,則x的取值范圍是

.

探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測變式訓練探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測用正弦定理證明問題例5在任意△ABC中,求證:a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)=0.證明:由正弦定理,令a=ksin

A,b=ksin

B,c=ksin

C,得左邊=k(sin

Asin

B-sin

Asin

C+sin

Bsin

C-sin

Bsin

A+sin

Csin

A-sin

Csin

B)=0=右邊,所以等式成立.反思感悟邊與角的互化方法正弦定理的變形公式a=ksin

A,b=ksin

B,c=ksin

C(k>0)能夠使三角形邊與角的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測用正弦定探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測變式訓練5利用正弦定理證明定理:等腰三角形的兩個底角相等.證明:設(shè)等腰△ABC的兩邊AB=AC,所以sin

C=sin

B.由于0°<B+C<180°,所以B=C.探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測變式訓練探究一探究二探究三探究四探究五探究六思維辨析當堂檢測正弦定理與三角恒等變換知識的綜合應用例6在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a