中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)20152016學(xué)年春季學(xué)期《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》期中考試試題

中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)2015~2016學(xué)年春天學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（C）課程考試一試題參照答案（A）題號(hào)一二三四五六七八總分得分一、填空題（每空3分，滿分15分）1．設(shè)4個(gè)獨(dú)立的元件1，2，3，4靠譜性分別為p1,p2,p3,p4，它們的聯(lián)接方式以以下列圖，則此系統(tǒng)的靠譜性為[1(1p1)(1p2)]p3p4。2.1已知隨機(jī)變量X~B(n,p),E(X)12,D(X)8，則有p.33．設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間[1,6]上遵照均勻散布,則P(0X3)2.54.設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)希望E(X)=,方差D(X)=2,則由切比雪夫不等式有P(X3)8.95.設(shè)X1,X2,X3互相獨(dú)立同散布，X1~N(1,4)，則13(Xi1)2遵照2(3)分4i1布.二、選擇題（每題3分，滿分15分）1.隨機(jī)事件ABABAB發(fā)生，意味著___(B)____.(A)A,B都發(fā)生；(B)A,B至多有一個(gè)發(fā)生；(C)A,B恰巧有一個(gè)發(fā)生；(D)A,B最罕有一個(gè)發(fā)生.1/6x,0x12．連續(xù)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)2x,1x2,則隨機(jī)變量X落在0,其余區(qū)間(0.4，1.2)內(nèi)的概率為_(kāi)__(B)___.(A)0.64;(B)0.6;(C)0.5;(D)0.42.3．已知X~N(1,12),Y~N(2,22)，且P{X11}P{Y21}，正確的選項(xiàng)是___(A)___.(A)12；(B)12；(C)12；(D)12.4．設(shè)X1,X2,,Xn來(lái)自正態(tài)整體N(,2)的樣本，此中已知，2未知，則下列不是統(tǒng)計(jì)量的是___(C)____.(A)min{X1,X2,,Xn}(B)X(C)nXi(D)XnX1i15．樣本X1,X2,,Xn來(lái)自整體X，EX,DX2，則__(A)__能夠作為2的無(wú)偏預(yù)計(jì)。當(dāng)已知時(shí)，統(tǒng)計(jì)量1n

n2Xi;i11n2(B)當(dāng)已知時(shí)，統(tǒng)計(jì)量Xi;n1i11n2(C)當(dāng)未知時(shí)，統(tǒng)計(jì)量;niXi11n2(D)當(dāng)未知時(shí)，統(tǒng)計(jì)量Xin1i1三．（10分）在18盒同類電子元件中有5盒是甲廠生產(chǎn)的，7盒是乙廠生產(chǎn)的，4盒是丙廠生產(chǎn)的，其余是丁廠生產(chǎn)的，該四廠的產(chǎn)品合格品率挨次為0.8，0.7，0.6，0.5，現(xiàn)隨意從某一盒中任取一個(gè)元件，經(jīng)測(cè)試發(fā)現(xiàn)是不合格品，試問(wèn)該盒產(chǎn)品屬于哪一個(gè)廠生產(chǎn)的可能性最大？解:Ai(i=1,2,3,4):“所取一盒產(chǎn)品屬于甲，乙，丙，丁廠生產(chǎn)”B：“所取一個(gè)元件為不合格品”2/6則PA15，PA27，PA34，PA4218181818PBA10.2，PBA20.3，PBA30.4，PBA40.5由全概率公式:PB457PAiPBAi=------------------------------5分180i1由貝葉斯公式:PAB10,PAB21,PAB16,PAB10157257357457故該盒產(chǎn)品由乙廠生產(chǎn)的可能性最大。------------------------------10分四.（12分）假定隨機(jī)變量X遵照指數(shù)散布，其密度函數(shù)為：2e2x,x0f(x)x00,（1）求Y1e2X的散布；（2）求E(Y),D(Y)。解：（1）因?yàn)閥1e2x在(0,+∞)上單一增函數(shù)，其反函數(shù)為：h(y)1ln(11，2y),0y1,而且h'(y)2(1y)則當(dāng)0y1時(shí)，有fY(y)fX[h(y)]|h(y)|fX(11ln(1y))22(1y)2(211ln(1y))2e12(1y)當(dāng)y0或y1時(shí)，fY(y)=0.所以Y1e2X在區(qū)間(0,1)上遵照均勻散布.（2）由（1）易知，E(Y)1,D(Y)1212。五．（12分）設(shè)（X，Y）的結(jié)合散布律為

------------------------------4分------------------------------8分------------------------------12分X0123Y000.050.080.1210.010.090.120.1520.020.110.130.12求：（1）ZXY的散布律；（2）Umax(X,Y)的散布律；（3）Vmin(X,Y)的散布律.3/6解(1)ZXY的可能取值為：0，1，2，3，4，5，且有P(Z=0)=P(X=0,Y=0)=0P(Z=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=0,Y=1)=0.06P(Z=2)=P(X=2,Y=0)+P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=0.19P(Z=3)=P(X=3,Y=0)+P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)=0.35P(Z=4)=P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=1)=0.28P(Z=5)=P(X=3,Y=2)=0.12XY的散布律以下：Z012345p00.060.190.350.280.12------------------------------4分同理，Umax(X,Y)的散布以下：U0123p00.150.460.39------------------------------8分同理，Vmin(X,Y)的散布分別以下：V012p0.280.470.25------------------------------12分六．（16分）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的結(jié)合概率密度為：Ae-(3x+4y),x0,y0,f(x,y)0,其余求：（1）常數(shù)A；（2）X,Y的邊沿概率密度；（3）P(0X1,0Y2).（4）判斷X與Y能否互相獨(dú)立。解：(1)由結(jié)合概率密度的性質(zhì)，可得f(x,y)dxdy1Ae(3x4y)dxdyA/1200解得A12------------------------------4分（2）對(duì)于X的邊沿散布：fX(x)f(x,y)dy3e3xx0------------------------------6=x0分0同理對(duì)于Y的邊沿散布：fY(y)4e4yy0------------------------------8分f(x,y)dx=y00（3）P(0X1,0124y)dyY2)=dxe(3x004/6=(1e3)(1e8)------------------------------12分（4）因?yàn)閒(x,y)fX(x)fY(y)(x,y)所以X與Y互相獨(dú)立。------------------------------16分七.（12分）（1）設(shè)隨機(jī)變量X~f(x)axa1,0x1,此中a(a0)未知，0,其余,X1,X2,,Xn是來(lái)自整體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求參數(shù)a的矩預(yù)計(jì).（2）設(shè)整體X擁有散布律X123k2(1－θ)2Pθ2θ(1－θ)此中(01)為未知參數(shù)。已知獲得了樣本值X11,X22,X31，試求的最大似然預(yù)計(jì)值。解：（1）E(X)1a------------------------------3分axadx，0a1令a1n，得a的矩預(yù)計(jì)aX------------------------------6分Xi.a1ni?1X1（2）求θ的最大似然預(yù)計(jì)值.3似然函數(shù)LθPXixi}PX1PX22}PX31}(){{1}{{i1θ22θ(1θ)θ2------------------------------9分2θ5(1θ)對(duì)數(shù)似然函數(shù)lnL()ln25lnln(1)求導(dǎo)dlnL(θ)510dθ61θ獲得獨(dú)一解，即最大似然預(yù)計(jì)值為?5------------------------------12分θ6。八.（8分）某廠生產(chǎn)某種部件，在正常生產(chǎn)的條件下，這類部件的周長(zhǎng)遵照正態(tài)散布，均值為0.13厘米。假如從某日生產(chǎn)的這類部件中任取9件丈量后得樣本均值x=0.146厘米，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s0.016厘米。問(wèn)該日生產(chǎn)的部件的均勻周長(zhǎng)是否與往日同樣？（已知：0.05,t0.025(9)2.262,t0.025(8)2.306,u0.0251.96）解：待查驗(yàn)的假定為H0:0.135/6選擇統(tǒng)計(jì)量TX，當(dāng)H0建立刻，TX0