北科高數(shù)上冊(cè)答案

第四章第一節(jié)：定積分的概念1：1f(x):1+X注:11-0r1—10f(x)dx=limf(x)=0r；：r141丨x1-r2：1f(x):x注:12-1r1一1f(x)dx=limf(x)=l0rYri二1+L-x3：baf(x)dx=O注：由均分可得:f(x)dx二limb—af(ai)r注：由均分可得:f(x)dx二lim再由定義可知：0Gimb—aJf(a?b—a”b—ai=由夾逼原理知：f(x)dx二0=a4(1)：rab-ar(r1r2」24(2)：i1rexdx=limi1rexdx=lim0r—-'ryi

-i

er二limr—rr111ev-erer-1=lim(e-1)r—上:=lim(e-1)J=e-1r1-e4(3)：2xdx專磴IG2xdx專磴IG)2b?r?2i

半徑的圓在第一象限的面積，即為：二a245(2):由f(x)=sin(x)(x?I-二，川幕D圖象可知：面積代數(shù)和為：0所以：TTsin(x)dx=05(3)：a+bb—a由f(x)=|xI圖象知：f(a)=f(b)=22所以:所以:所以:b|x1dx9(b_a)f(a)_(b-a)2_46:金屬絲的質(zhì)量為:kxdx二limk(0所以:b|x1dx9(b_a)f(a)_(b-a)2_46:金屬絲的質(zhì)量為:kxdx二limk(0ai)二lim卑衛(wèi)12Fnynyn22ka2所受到的壓強(qiáng)為：pxgxgx；面積兀為：bdx7：以水面上任意一點(diǎn)為原點(diǎn)，垂直向下為x軸方向建立直角坐標(biāo)系，在x處(0豈a)aa所以：F二0gxbdx二gb°xdx&當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)，函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則有0a_af(X)dX與°f(X)dX與X軸a圍成的圖形面積相等，符號(hào)相反，所以有：.f(x)dx二0-a(X)為偶函數(shù)時(shí)，函數(shù)關(guān)于0ay軸對(duì)稱，則有~f(x)dx與0f(x)dx與x軸圍成的圖形面積相等，符號(hào)相同，所以有:aaf(x)dx=2f(x)dx70習(xí)題4-2(A)比較下列積分大小習(xí)題4-2(A)112j0exdx和0edxb解：禾U用例2.1的結(jié)果，當(dāng)f(x)不等于0時(shí)，因?yàn)閒(x)?0,而f(x)dx是數(shù)值，它只有是零'-ab和不是零兩種可能，設(shè)若.f(x)dx=0，則由已證得例2.1結(jié)果，在［a,b］上必有f(x)=0,與f(x)ab不恒等于0矛盾，所以得出結(jié)論：若在［a,b］上,f(x)?0且f(x)不恒等于0，貝yf(x)dx>0.La122212o(ex-ex)dx在［0,1］上ex-ex?0且ex-ex不恒等于0，所以°(ex-ex)dx>0，所以112oexdx>oexdx。1213xdx和xdx}0亀111解:°x解:°xdx-pX’dx(x2-xsinxsinx在(0，2］上>一—xx)dx，因?yàn)樵冢?,1］上x2-x3?0sinxsinx在(0，2］上>一—xx111110X2dx-pX3dx(x2-x3)dx>0，所以ox2dx\ox3dx。\17rl^ix2dx和x3\17rl^ix2dx和x3dx解:2221x2dx-dx3dx=彳(x2-x3)dx，因?yàn)樵冢?,2］上x2-x3<0且x2-x3不恒等于0,所以22232232223jdx-1xdx=1(x-x)dx<0，所以1xdx<1xdx。?.2sinx2sinx,dx和22dx0x解:構(gòu)造函數(shù)f(x)=sinx-x,則f'(x)=cosx-1,在(0,上單調(diào)遞減，從而有f(x)=sinx-x<f(0)=0,所以sinx<x,而在(0，?］上sinx,x都是大于0的，所以sinx/x在(0，?］上小于1，所以..2..22sinx’2sinx’dx>0，有2dx>22dx0x"0x2..22/Sinxsinx，所以2("x(5),；ln(1x)dx和解：構(gòu)造函數(shù)解：構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln(1+x)-arctanx,在［0,1］上f'x)=解：構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln(1+x)-arctanx,解：構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln(1+x)-arctanx,在［0,1］上f'x)=x2(1x)(1x2)(1x)2arctanx>0,所以f(x)在［0,1］上是增函數(shù)f(x)>f(O)=O,有在［0,1］上是增函數(shù)f(x)>f(O)=O,有1(ln(1x^arCtanx)dx>0，于是01xi」n(1x)dx>1arctanx01xdx。估計(jì)下列各積分的值42訂(x1)dx解：只須求出f(x)在區(qū)間上的最大、最小值M與m,便可用估值定理估計(jì)。顯見x2+1在［1,4］242上單調(diào)增加，有m=2,M=17,即2?x+1?17,x€［1,4］,而b-a=3,所以2*3=6?十(x-1)dx?4217*3=51，即6?1(x21)dx?51.5兀_4(1sin2x)dx7TOC\o"1-5"\h\z、2JT5冗r—、TL解:記f(x)=1+sinx,令f'(x)=2sinxcosx=sin2x=0.得f(x)在區(qū)間［一，］上的駐點(diǎn)X1=,X2=二,442二二5二、22計(jì)算f()=1+1=2,f(二)=1+0=1,f()=1+1/2=3/2,f()=1+()=3/2,所以2442m=minf(x)=1,M=maxf(x)=2,兀5m=minf(x)=1,M=maxf(x)=2,兀5兀其中x［?〒,這里b-k,所以二?57：J(1sin2x)dx?2二.40x?」(3)j2edx22解：記f(x)=ex€［0,2］,因?yàn)閒(x)=(2x-1)ex:令f'x)=0,得到唯一駐點(diǎn)x=1/2,又f(1/2)=11e4,f(0)=1,f(2)=e2,所以m=minf(x)=e4,M=maxf(x)=e2,有因?yàn)閎-a=-2，所以-2e?0X2AJ.2edx?-2e4.設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)在任何有限區(qū)間上可積(1)如果(1)如果(1)如果(1)如果b-Iaf(x)dxg(x)dx，那么f(x)與g(x)在［a,b］上是否相等?"a7bb(2)如果在任意區(qū)間［a,b］上都有f(x)dxg(x)dx，那么f(x)是否等于g(x)?LaLa(3)如果(2)中的f(x)與g(x)都是連續(xù)函數(shù)，那么又有怎么樣的結(jié)論？解:(1)不一定。f(x)，g(x)恰巧在某一區(qū)間［a,b］積分值相等，但是不能說明f(x),g(x)是相等

的，例如f(x)=t.sinxdx=O,g(x)=4_.tanxdx=O,但是實(shí)際上sinx豐tanx.~4~4⑵不恒等，前提必須f(x),g(x)都是連續(xù)函數(shù)。例女口f(x)=sinx(O?x?二)，g(x)Jsinx0=《0ji<x:,x=2ji?而ITH二)，g(x)Jsinx0=《0ji<x:,x=2ji?而ITH0f(x)dx=0g(x)dx。(3)反證法：假設(shè)f(x)不恒等于g(x),設(shè)f(x)>0,bbf(x)dx二g(x)dx,所以atab^［f(x^g(x)>x，由例2.1結(jié)果f(x)三g(x)矛盾，所以f(x)三g(x).4.證明柯西不等式：若函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間上可積，則b2b2b2(af(x)g(x)dx)2沢af2(x)dx).(ag2(x)dx)證：令L(x)=f(x)+■g(x),則L2(x)=f2(x)+2-f(x)g(x)+-2g2(x)?0,從而有?L^(x)dx_0，即*a2b2bb2■g(>)dx()x(?xdx亠.1(f2)xdx?0.將上式右邊視為關(guān)于■的二次多項(xiàng)式。a'a'a22b2b2b2

因?yàn)锳x+Bx+C?0,可知B-4AC?0,從而有4(f(x)g(x)dx)-4f(x)dxg(x)dx,?:a-a-ab2b2b2從而有(f(x)g(x)dx)f(x)dxg(x)dx。LaLaLa5.設(shè)f(x)在區(qū)間［a,b］連續(xù)，證明fef("dx.fe-f0°dxA(b-a)2aa證：利用上題的結(jié)論，令f(x)=,ef(x),g(x)=^_f(x),它們都是連續(xù)函數(shù)，有(逼^^)2.(fee")dx)2蘭(f*『(刃*Jef(x)dx)2=(b-a)2。a■aa(B)證明閔可夫斯基不等式：若函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間［a,b］上b21b21b21可積，則(a(f(x)g(x))dx)2乞(af(x)dx)_(ag(x)dx尸。證明^t/W+sW］2必二打乜問+f/(力亦2力(魂(*虛可:廠加(工)dx+2［打2(x)dx^^g2(x)dx］~,乂『嚴(yán)(耳臨比［加(町如町加(工展加(x)卻M［：孑E町F‘所以(￡Laq十回咯屛(f尸⑴辦乍十(證(球&乍.設(shè)f(x)在區(qū)間［a,b］連續(xù)，且ff(x)dx=fxf(x)dx=o,證明：f(x)在(a,b)內(nèi)至少存在不同的兩個(gè)零點(diǎn)。TOC\o"1-5"\h\z?b證明：根據(jù)積分中值定理，在［a,b］上，存在1，滿足.f(x)dx二f(1)(^b)=o,得到af(1)=0，\是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)。假設(shè)；是唯一的一個(gè)零點(diǎn)。那么在(a,\)和(\，b)bb內(nèi)f(x)異號(hào)。假設(shè)(a,1)上f(x)>0,(1，b)上f(x)<0.由f(x)dxxf(x)dx=0和aaX?Ubf(1)=0可知0=f(x)(x-i)dx亠i：f(x)(x-i)dx豐0得出矛盾，所以至少在(a,b)?aLi上還有一個(gè)零點(diǎn)。習(xí)題4-3(A)單項(xiàng)選擇題(i)(i)(i)設(shè)(i)設(shè)f(X)口1-C0SX2.sintdt,g(x)=56XX，則當(dāng)xt0時(shí)f(x)是g(x)的56(A)低階無窮小(B)高階無窮小(C)等價(jià)無窮小(D)同階但非等價(jià)無窮小提示：洛必達(dá)法則TOC\o"1-5"\h\zX22設(shè)f(x)是連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，f(O)=O,f'0)工0,F(x)(x-t)f(t)dt。且當(dāng)Xt0時(shí),F'(x)與xk為同階無窮小，則k等于(C)(A)1(B)2(C)3(D)42—把xt0時(shí)的無窮小cost2dt,tantdt,sint3dt，使排在后面的0?0-0是前一個(gè)的高階無窮小，則正確次序是(B)(A):■,■,(B):,J(C)1,：,(D)-,，:設(shè)f(x)在上連續(xù),c為某常數(shù)，且對(duì)任意的x€(」：「：),有「f(t)dt=5x3+40,則f(x)=1_5xlc=2c試求函數(shù)y二\intdt當(dāng)X=0和X=-時(shí)的導(dǎo)數(shù)04齊齊(。Xsintdt)，sinx齊(。Xsintdt)齊(。Xsintdt)，sinxdydxdydx31…二sinX444.證明sinx2,-cosx2與--cos2x都是同一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)，你2能解釋為什么同一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)在形式上的這種差異嗎？同一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)在形式上的差異只是一個(gè)常數(shù)C。例如sinx2,-cosx2與-]cos2x都2是函數(shù)2sinxcosx的原函數(shù)。sinx2=1-cosx2,--cos2^-1(^2sin2x)=sin是函數(shù)2sinxcosx的原函數(shù)。5.用牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算下列積分12(1)/xdx⑵［dx1x3T(3)0sinxdx1(4)/dxa2(5)0(3x-x1)dx(6)：(x2l)dxqx<3a1(9)o廠嚴(yán)(10)4203x3xJ1x21.dxH(11)J04tan2xdx(12)工xx_01(13)設(shè)f(X)二2求1f(x)dxXx0J1(7)J(1"dx(8).Jx3諄cosx*inx)dx1\17e1dx=1nxxe=11⑶osinxdx-cosxji=-20(5)(6)(7)(8)(10)(11)(12)1xdx--2(」-xdxQxdx)=1f(3x2—x+1)dx=(x3—fx222113111(x嚴(yán)(3x—3x3x)=a02_￡11一84、、x(1\x)dx=4(、、xx)dx=(f12、2x)927112dx二arctanx31x2(9)0a2x2dx=1arctan—a3a曲“x2)GWarctanx)JIji1--14；tan2xdx4(sec2x-1)dx=(tanx-x)1cosx一22sinx)dx二03sin(§-x)dx二cos(§-x)0^201013+-x

-1310101212(13)1f(x)dxf(x)dxof(x)dxxdx亠ixdxx6.求下列各導(dǎo)數(shù)(1)0arCtantdtdxdb1dx3_⑵￡x^dt(3)￡x2一計(jì)dt(4)dcosxcos^t2)dtdx-sinx(5)-d［；ln(1+t6)dtdxx(6)x3—2(xt)(t)dt，其中(x)是連續(xù)函數(shù)。dxx解:(1)arctanx(2)3x22x1x4ln(1x3)TOC\o"1-5"\h\z22121ln(1x3)-cosCcosx)sinx-cos(「：sinx)cosx(5)ln(1x)-3^?2丘3333xdXxx32322dx2(xt)(t)dt(x2(t)dt2t(t)dt)二2(t)dt3x3(1X2)(x3)—2x2(1x)(x2)xdx^x*X"X指出下列運(yùn)算的錯(cuò)誤，錯(cuò)在何處dx(1)和和1t)dt和1t)dt和1t)dt=.1X3-cosx=02.22二-cosx=0°、1-cosxdx=°sinxdx=解：(1)忘記了X3對(duì)X的一步求導(dǎo)正確解：3x2,1X3計(jì)算過程失誤，先化簡(jiǎn)，再求導(dǎo)。正確解：3x2正確沒有談?wù)?0,2二)上sinx的正負(fù)性。正確解：4設(shè)k是正整數(shù)，試證明下列各題coskxdx=0coskxdx=0cos2kxdx=r：5coskxdx=0coscoskxdx=0cos2kxdx=r：5JIsinkxdx=0_Jl2(4)sinkxdx=「：5證明【通過討算左式達(dá)到證明」(1)(1)(1)dsin=sinkn~k~(1)dsin=sinkn~k~sinkrdjr=—fdcosk.r=一=°.Jk；|心、r：l□ri+cos2九丁」jfr..cos2kxdj：==十0=比設(shè)k及m為正整數(shù)，且k工m,試證明下列各題TtTtJTcoskxsinmxdx=0(2)sinkxsinmxdx=0(3)coskxcosmxdx=0555證明【只須計(jì)算各左式?從而得證」⑴左式“寺[[sin(Z+A)j~+sin(/—cosZ+AcosZ+AcosZ+Acosd去)工cosZ+Acosd去)工~T^k(2)左式[cos(女十/kr+cos(A—/)x]drsinsin(上+/)jr~k+lhsin(上+/)jr~k+lhsin(A-Z)jrT匚廠sin(上+/)jr~k+lhsin(A-Z)jrT匚廠(3)左式n-yj_[co禹(A十2)工一cos(iiZ)xjd^1*sin(代+』)工sin(k—l)jr*2LWk—i-TOC\o"1-5"\h\ztt2__10.求由參數(shù)方程x=j°sin2sdsy=J。cos^ids所確定的函數(shù)y=f(x)的一階導(dǎo)數(shù)。X2y11.求由方程(0tddtoJdt=O)'所確定的y=f(x)的一階和二階導(dǎo)數(shù)蟲=sint2,dy=2tcost，兩式相比得夠=2tcottsectdsdsdxf2_12.設(shè)f(x)=」Xx[0,1]，求毋(x)=J,f(t)dt在[0,2]上表達(dá)式，并xxw[1,2]0討論=(x)在[0,2]上的連續(xù)性。解【應(yīng)注意広￡口?2]E寸，應(yīng)將5>(.r)=計(jì)算.下題同J當(dāng)0^x<l時(shí)，0(才〉=t2dt=~tJo3當(dāng)l<x<2時(shí)，=I/<r)dr=嚴(yán)dr十rdz1OJ11*1—26分段表示再xe[oa),顯見在<0tDU(l,2)內(nèi)連續(xù)，剩下只須討論它在工=1處的連續(xù)性.因?yàn)閑(]—0)=lim從而4>(文)在北=1左連續(xù).同樣地.L”一丄)26\=寺一+=寺=@⑴*0(1+0)=Lim故?(了〉在才二1處也右連續(xù)，從而QCr)在』=1處及(0,2)內(nèi)處處?連續(xù)13.求下列極限x2costdt(『Jdt)2⑵啊0tedt(3)lim^0X2arctantdt(4)lim-0—XYJ+x2(5)lim-xY0「Jdt0X2edt解：(1)根據(jù)洛必達(dá)法則X2costdt0limX—0二limcosx2二1xx2Xt22etdtXt22gedt)li=limx_0(2)根據(jù)洛必達(dá)法則limxX—0X2t2ftedt0xex=lim=2x012x2(3)根據(jù)洛必達(dá)法則和等價(jià)無窮小limlimX_0limX_0sinxovlimX_0sinxovtantdt亠tanx7sintdt0cosxjtan(sinx)=lim..——2、xsecx、sin(tanx)二limX_0tan(sinx)sin(tanx)=1,(x—；0時(shí)tanx:sinx:x)(4)根據(jù)洛必達(dá)法則(4)根據(jù)洛必達(dá)法則X(4)根據(jù)洛必達(dá)法則Xarctantdtlim--x「1x2arctanx兀=limx.：：x一1x2(5)根據(jù)洛必達(dá)法則(5)根據(jù)洛必達(dá)法則Xt20edt(5)根據(jù)洛必達(dá)法則Xt20edtli-lim-2.xlimx[-212fedt

0X2e2x2e二lim1x'：ex=0f'x)<0,14.設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且F(x)1f(t)dt.證明：在(a,b)內(nèi)有F'x)<0.x_aaf'x)<0,證明【只須演算FQ),再設(shè)迭證之?】由題設(shè)'/(.r)(x—a)—[_J出(T—C工)<工一G—(工二?(j-—a)2TOC\o"1-5"\h\zf(T>一/(f)f)■■^-=-■—工—口x—aWo.(Z7(?)o—其中用到積分中值定理和拉格朗日微分中值定理。15.設(shè)函數(shù)f(x)在x=1的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f(1)=0,limif'(x)=1,計(jì)算1叫x1115.設(shè)函數(shù)f(x)在x=1的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f(1)=0,limif'(x)=1,計(jì)算1叫x11(ttf(u)du)dt~~(1-x)3根據(jù)洛必達(dá)法則:x1「ttf(u)du)dt~~(1-x)3=limx*1xx1f(u)du

3(1-x)2x1f(u)duxf(x)~~6(x—1)2f(x)xf'(x)6_2f(1)f'(1)_1-66(1)(2)nnim—lim(2n_‘n1n2n222n2)(1)(1)解:n原式=lim'f十(丄)2n11(2)解:n原式=limn；:n_心1■(L)2n1x12W1ln(x1)1ln202[a,b],使得TOC\o"1-5"\h\z設(shè)f(x)在[a,b]上可積，證明：至少存在€[a,b],使得tb[f(x)dx=Lf(x)dxxb證明：構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)dxf(x)dxLa\

F(a)f(x)dx,F(b)f(x)dx,F(a).F(b)=-("f(x)dx)^0，根據(jù)羅爾定"a"a"a理，存在€[a,b]，使得f(x)dx二"f(x)dx=a設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且f(x)>0.證明：(1)存在唯一的匕€(a,b),使得ff(x)dx=J；丄dx;、aUf(x)dxaxf(t)證明：構(gòu)造函數(shù)xb1F(x)f(x)dxdx'axf(x)(2)d(：f(t)dt-dxaxf(t)證明：構(gòu)造函數(shù)xb1F(x)f(x)dxdx'axf(x)(2)d(：f(t)dt-b1dt)_2,x[a,b]b1F(a)=—J■-abbbdx,F(b)=[f(x)dx,F(a).F(b)=—(Jf(x)dx)(Jdx)：：0、a:f(x)F'(x)=f(x)?_20,(2)得證。所以F(x)在［a,b］上連續(xù)遞增，只能有一個(gè)零點(diǎn)f(x)TOC\o"1-5"\h\z巴b1€(a，b)'使得af(x)dx「f(x)dX。習(xí)題4.4一、選擇題1、(A)2、(D)解:求fx的原函數(shù)，即對(duì)f(x)求不定積分f(x)dx二sinxdx二一cosxC，令c=1，即得D。3、(C)二、填空題1、cOsxC-sinx_2-sinx_2..cosx=2d(COsx).COSX解：原式=dcosx=-sinx.cosx2、xf'(x)-f(x)C解：原式=[dkf'(x)Lf'(x)]dx=xf'(x)-f(x)=C33、3、3、xx+C]2C得,丄]2C得,丄xx+C2解:解:當(dāng)x0時(shí)，xdx二xdx=*x2C當(dāng)x:::0時(shí)，xdx二-xdx二-解:2224、xsinxcosxC2解：由已知得f(x)dx=sinx?C,于是有,f(x)=(sinx2)'，則x2f(x)dx二xx2f(x)dx二x2d(sinx2)二x2sinx2-2sinx2dxx2sinx2cosx2C三、判斷題1、正確2、不正確3、正確4、不正確分析，右邊=dF⑴"=f(t)TOC\o"1-5"\h\zdxdx5、正確6、不正確四、求不定積分1111、解：2dx--d(一)CXxxf_3222、解：x.xdx二x2dx=—x5C53、解:1=x^dx=2,xC4、解:5、解:(1_Xx3x2)dx二1dx3xdx亠ixdx6、解:7、8、解:9、10、11、12、13、14、15、2x

=X-244x■—-3x3=C122/~1(x——)dx=i(x-2、、x)dx

pxx2(2x3x)dx=(4x9x26x)dx二,dx4-4x2原式=解:解:解:解:解:解:解:3x4x34x2ln232InxC9x+2ln326x+In62-4x2cost,dx=costdt3costdt=3t二arcsin3C22cost31x2dx(3131x2dx=X3arctanxCf—ll(.x1)(Ix3-1)dx={dx=(x2\x3■-x-1)dxx32二一—x35上x「xC31r_2Jx+x2)、xv2C我3x2".(3x21x23)dx=x3arctanxC?2tan2xdx=sin2'cossin2xdx二1cos2xcosx-sinxdx-x1(2-1)dx=tanx-xCcosx1-cos2xxdx=_22,r2cos2x-cos「xdx二x2sincosx-sinxxdx二(cosxsinx)dx二sinx-cosC16、17、1819、20、21、22、23、24、25、26、五、六、解:解:解:c°s2x2dx=([_12)dx二一cotx-tanxC解:cosxsinxsinxcosx解:x2xx90解:103dx「90dx=^0151515解:Ifx.xxdx=x2x4x8dx=15解:Ifx.xxdx=x2x4x8dx=x8dx8x8二C'151x1-x+x丿,dx=2arcsinxCJ-x2解:2cos2xiicosxsinxdx=12sinxcosxdx=1sin2xdx=xC解:22cosxcos2xdx二cosx1-2sinxdx二(cosx-2cosxsinx)dx解:解:iex_e」3d^=(e3x_e：x_3ex3e」)dx=1e3x_3ex-3e^C?33解:“r2secxsecx-tanxdx二secx-secxtanxdx=tanx-secxC-sinxC2sin2sin3x32sin3x3解:cos2-dx='2'」sinxC222/2sin3x3解:cos2-dx='2'」sinxC222/3-x4dx7J-4x7C解:十1,「1「r12「tanx丄小dx2dxsecxdxC1cos2x2cos2x22解:設(shè)任一點(diǎn)該曲線的切線斜率為k,則解:』1k=f'x，則有x1fx=f'xdxdx=InxC■x又曲線經(jīng)過（e2,3），即lne2+C=3，得C=1故該曲線方程為y=lnx，1解:l=3t2dx=t3C當(dāng)t=0時(shí)，l=0；得C=0故l二t3(1)將t=4s時(shí)，l=43=64

3(2)當(dāng)經(jīng)過的路程為512m時(shí)，512二t；解得t=8s七、利用換元積分法求下列不定積分11、1、解:1、解:2、解:xe2xdx=2x*2e2d(2x)42x2eC43、解:—dx=2x3112、解:xe2xdx=2x*2e2d(2x)42x2eC43、解:—dx=2x311J—x22x3nd2x3i；Jn2x3C4、解:1xndx二1xd(x1)=2n-1

x5、解:■3丄x21+Edx"dx2

-x1二dx2+1、1-3x2d3=arcsin-^+darcsinJ3x+C翻36、解:23x5dx=123x5^23x5d3x5-C33ln27、解:8-3xdx二-篤叫8-3x二328一乂2c解:11“」3dx9-5x=d(9-5x)=Lv9-5x'529-5x3C109、解:21222xcosxdxcosxdxsinxC''210、解:dx2二sin2(2x)4=gcec<2^V2x--cot2x2I11、解:dx11、解:dx1cosx12、解:dx1sinx、2dxsin2xcos2「2討二cos_+sinZ[<22丿dxcos1213、解:14、解:15、解:16、解:17、解:18解：19、解:20、解:21、解:22、解:23、解:24、解:25、解:TOC\o"1-5"\h\zdx21x24arctanC4x4dxdxdxxlnxInx1d(1-x2)=(1—xdxxlnxInx1d(1-x2)=(1—x2)2CdInx=lnInx+CInInx.dxxlnxInInx.dxxlnxlnlnxdInx=InInxdInInxInInx.dxxlnxlnlnxdInx=InInxdInInx=丄(1nInx)2CInx23cosx‘2dxsinx3cosx‘23cosx‘2dxsinx(_co翼-cosx)dx-sinx1sinxCsinx2cos4xdx=(1cOs2x)dx2cos2cos4xdx=(1cOs2x)dx21cos2x,cos2xdx441cos4x、，)dx1cos4x、，)dxsin2xcos2xdx二sin^dx二'4上空色dx丄-創(chuàng)也C88321二(cos2x48xsin2xxsin4x-C428323cscx小C3*dx「dx1sin2xsin2xcos2xdxcos2x2sin23cscx小C3*dx「dx1sin2xsin2xcos2xdxcos2x2sin2x4—12tanx1廠dtanx12tanx.3csc'xcotxdx二csc2xcscxcotxdx--csc2xdcscx=--ln(1「)C=丄arctan(w'2tanx)+C2d(ex)1ed(ex)1e2x=arctanexC26、解:dx.1x1一廠X一（廠126、解:dx.1x1一廠X一（廠1一x）「—Xdx=4—匕x_dC1x21Jx27、解:1~2r"x-ln(1.廠27、解:1~2r"x-ln(1.廠7)C.1-x2(1-x2)(1_x2),Q7dx=dx2解:解:2—x解:2—x=>^22a「xdx，令x=asint，則(a-x=acost,dx=acosx變量代換得，原式變量代換得，原式costdt二變量代換得，原式costdt二a21一cos2t2a21dttsin2tC222a.xxarcsina「xCa29、解:dxx2x2-9，令30、30、丹「x_解：.扣X二(1x=xsinx-2xcosx-2cosxdx=xsinx-2xcosx-2cosxdx

(1十)dC=.1X2———亠c1x21、解:arccosxdx=:arccosx2、解：Inxdx=x1nx-—dxx3、解：x2cosxdx=2?xsinx-用分部積分發(fā)解下列不定積分=xlnx—xC2xsinxdx1—x2■dx二xarccosxi；1-x2C2=xsinx2xcosx-2sinxC4、解:x24xarccotxdxarccotx22j+2x—dxx(11rv)dxTOC\o"1-5"\h\zx2(11rv)dxarccotx222x丄xarccotx21arctanxC222215、解：(Inx)dx=x(lnx)-2xInxdx=x(lnx)-2xInx2x—dxx2二x(lnx)二x(lnx)2Inx2xC222x36、解：xarctanxdxarctanx-2、x’3(1+x2)2x36、解：2x36、解：xarctanxdxarctanx-2、x’3(1+x2)x‘x3dxarctanx-ix2xx1-x31x22x3*x2ln1xarctanxCx667.22121xtanxdx二x(secx—1)dxx—xsecxdxxxtan‘27.22121xtanxdx二x(secx—1)dxx—xsecxdxxxtan‘2』2cos2x,dx4x+lncosx+C解:「.,,sin2x,xcos2xxsinxcosxdxdx=』』2412xcos2x-sin2xC89、解:x2~

cosxdx二xcec2xdx=xtanx-'tanxdx二xtanx-沁dxcosx=xtanx+lncosx+C10、解:IJxsin、xdx=2xsin、xd、x=-2xcos.x亠4.xcos、xd、、x=-2xcos、x4xsin、x10、解:--2xcos、x4xsinx4cosxC11、解:x2dx-(1+ex)丄■1ex■1e■xe-x12、解:arcsinx,=-2J1-xarcsinx+j]1x12、解:arcsinx,'(1—x=-2d-xarcsinx————dx'心+x--2、、1-xarcsinx4.VxC1313、解:13、解:arctan13、解:arctan、、xdx=xarctan、.x-dx=xarctan、x-21x.x=xarctan』x-15、解：2xarctanx丄］arctanx,2dx=arctanxdx廠dx1X21X214、解:=xarctanx-16、解:lntanxlntanxlntanx12dx—dxdtanxlntanxCsinxcosxtanxcosxtanx2arctanx17、解:earctanx3dxe1x22arctanxe1x2=xarctan』x-15、解：2xarctanx丄］arctanx,2dx=arctanxdx廠dx1X21X214、解:=xarctanx-16、解:lntanxlntanxlntanx12dx—dxdtanxlntanxCsinxcosxtanxcosxtanx2arctanx17、解:earctanx3dxe1x22arctanxe1x2arctanx■sdarctanxexearctanxex21x21x21x223dxarctanx于是有，2J―廠(1+x2yarctanxarctanxdx仝xe即,arctanxe1x21x231x22dx=arctanx1-xeJedx=『2仮6~%=27^6"一jeXdx=2(Vx-1)e2x2esinxdx=esinx+C—arctan22x2esinxdx=esinx2I2I2=xarctanxIn1xarctanxC2218解:ex18解:exsin乂dxZsin*2ecos<^xxesinx2x2cexs2e2scidix2exsin2xdx=exsin2x-exsin2xdxexsin2x-2excos2x得，exsin2xdx一5即,exsin2x-2excos2x即,19、解:Inx1x2x2,xlnxdx=5+x2(冷婦鬻2TW+QC+C20、解:xx(x+1)e-e1xxxexdx「1…：121、解:dxi1xxxx=Jx'eex+x(e)e<1、ex九、證明下列遞推公式(1)證明:Indx2cecx可求得,(2)證明:In整理得,dxsinnxcosx.nA

sinx!.n_2sinxn-2'exdx=xexex+Ccos2xdxcosxTJn-2.nsinxsinx1-sin2xdxcosxn-2In.nJ.

sinx1cosxnAn「1sinx.口n-1?nsinxIn_2，即，命題得證；=cosnxdx二cosn'sinx-n-2\\cosn'x1-cos2xdx=cosnJsinx-：；：n-1]Icosnxdx亠〔n-1]icosn‘xdxnIn=cosnAsinx-n-1InN，兩邊同除以n得,In、解不定積分x31解：.x_12、解：cosn4sinxn「1dxx5x4-8x3-xInd，即，命題得證。習(xí)題4.5x31-1x-1dx二dxx3-1x—1dxx321xx——dx=—+——+x+lnx—1+C'x—132丄x-1dx2exf—3x2x1dxx-13、解:2x32x3x—104、解:dx5、解:6、解:7、解:解:9、10、解:=一+一+x+8Inx-4Inx+1—3Inx-1|+C2x3dxdx=(x+5Ix—2)dxx5x-2+1nx-2+Cdx-x2x31一x11x2-x3=T^)dx11=一Inx+1—一In(x3-dx=Jx1x2x32x1dxx22x3-1Inx+1+2lnx+2自x+3+Cx212x1x-1dx=12x+1(x+1)_1dx」+-Inx2-1+C2xx21dx「Xxx2112dx=InxInxx—222x2x11

dx=4?4x2—1022x2x12dx1d2x2x1104'(2x2+2x+1f2—dx22xT1242x2x15arctan2x1C(x-1f(x+2)3x-129x-19x2dx3x-1911、解:15—3cosxdx.2x2x

sincos一J22dx=8sin2x2cos2x22tan2^1f2dx8tan2x22令tan二t，貝Ux=arctant,dx原式A8t212、解:1

廠dx

2sinx1dt；代入得二—arctan2t2xarctan(2tan)C2?2丄2sinxcosx2—dx3sinx2cosx1tan2xI23tanx2dxdtanx2_6arctan空2tanxC13、解:1dx=cosxdx;tanx1sinxcosxco空dxsinxcosxcosxsinxdxsinxcosxcosx-sinxsinxcosxdx=x+lnsinx+cosx十C即,cosx1y\dx=(x+lnsinx+cosx)+Csinxcosx214、解:2x.2x

cossin—--dx2x2xxx2sin2cos2sincos22221tan2x22tan2x22tan^22dx2arctan2tanx115、解:11sinxcosxdx=cos2「sin2x22dx2xcos一2+sin2i+2sinico^l+2x.2xcossin2222x.2xcossin22'fxcossin2dxxxcos22tan2x■x=dxtan?21

-d1tan仝21tanXI2丿16、解:17、解:—=In1+tan—2dx=52sinx-cosxx.2x

cossin22dx.2X,.xx2x2x2xsin4sincoscos5cos5sin-2221tan2x2dx—o—44tan6tan—22,1,xdtan——44tan6tan2221—3tan1(2)21v5dtan2—彳3tan—+112arctan2v5、5Ldx=cosx2COSxsin2仝dx=secxtan2xsecxdx4cosx二tanx沁C18解:?315sinxcosxdx二2x.2xcossin3°廠2dxsinxcosx2x.2xcossin一(.252sinxcosx2x.2xcossin?TdxsinxcosxTOC\o"1-5"\h\z”1tanx1-23~'4~—~3dxsinxcosxcosxsinxcosx++3lntanx+3lntanxtan4x321丄2+3lntanxtanxcotx2dx,65x=tdx=6tdt，于是原式=J2dxt2W63t-1132dx=2t3-3t26t-lnt1C,t1將6x=t代入得，dx,65x=tdx=6tdt，于是原式=J2dxt2W63t-1132dx=2t3-3t26t-lnt1C,t1將6x=t代入得，j廠3Ldx=2仮_3坂+6仮_ln(吸+1)+Cxx20、解：[—1dx，令皈=t，貝yt4=x,dx=4t3dt.x14x4t3dt原式2311=[_3]dx=o+t)d一1-14xC+21、解:1-x令1-t2-4tX二~2,dx二2t1t21原式二-4t2221-t1tdt=2—、1+tRt-21±dtC-ln1+1-xx122、解:dxg(x+1fC-ln1+1-xx122、解:dxg(x+1f(x_1423、解:解得,cosx~sinxdx，令cosx-sinx=acosx2sinxbcosx2sinx'cosx2sinx1.3a,b=55=2arctan3cosx2sinx'dx3cosx2sinx'dx5cosx2sinx則，原式=-1co^35cosx+2sinxx3lncosx+2sinx=——+5(B)二、求不定積分2cosx+3sinx1、解：cosx-2sinx87可得，a,b，代入得:33dx，令2cosx3sinx二acosx「2sinxbcosx「2sinx'原式=4空“沁dx7cosx—2sinxdx5cosx—2sinxL5cosx—2sinxTOC\o"1-5"\h\z7-—x+-lncosx—2sinx+C5廠_2、解:[——dx，令仮=t,貝U,x=t6,dx=6t叮上2、解:叮上76以536.x3￡x3lnLTc-'x原式原式：6t5dt=6M-t2'1—t原式：6t原式：6t5dt=6M-t2'1—tt1二dt=621-tt_1dt621-t-6t6t4t21dt3——dt八-6t6t4t21dt3——dt八尸JU-t1+t丿1-t1t3、解:..1Inxdxxlnx令JInx=t,則，x=￡-1,Inx=t2-1,dx=2tetJdt-t7t53t3t3ln75原式=Jtt2-1原式=Jtt2-1t2tedt[.2t24dtt2-1et4〃丨刖「c三、解：由于,F2(x)]'=f(x)F(x測(cè),x=2fxFxdx=2arctanx、xx1dx,令、一xt則有，x二t2,dx=2tdt,變量代換得:原式=2原式=2爭(zhēng)晉dt，解得:2Fx二2arctan21C即,F2x=2arctan2xC代入得:代入得:4代入得:4代入得:4C=0,故，F(xiàn)2x=2arctan2、xFx-.2arctan.x,TH冊(cè);習(xí)題4-6(A)3.計(jì)算下列積分解：JIJI；cos(x亍)d(x§)=sin(x⑵解：JT02sinxcosxdx=且1-Icosxdcosxcos05兀d521X|°=5⑶解：31o2(1_cos3x)dx=3兀cosxdx-—2=丄(3二-4)6⑷解:f1^^dxJ(73x)31址*11(73x)32L」(丄T)=^2(73x)6100200⑸解:；sin2xdx=J^C0S2X66廠dx=-(2dx」6n1n；cos2xd2x)「(Xi?62612jisin2xB)6⑹解:JT、8-2x2dx=2.8-2x2dx令x<s叫2刁4、2costcostdt<,j200=：(1cos2t)dt=4、2(；⑺解：1J1_X令x^sint12dx2tlO4^運(yùn)2二)2..2dt

t>J-t4sin丑1丑ji=1一一4(8)解:02x20d(x1)^(x1)21JT=arctan(x1)|役=arctan1-arctan(-1)二—(9)解:i0X1-x\—_x2dx—1x21土fdt令°1t°1sinr142(1°)解:10令t=x211212ji2妙d=°1sin21二2(1_sin〒)d丁10100x1dex1)dex-lnex|0—In(1ex)|；=1—In(1e)In2(11)(11)解:(11)解:x^a^x2dx令x^sint,?a2sin2ta2cos2tdt口2(11)解:x^a^x2dx令x^sint,?a2sin2ta2cos2tdt口202(sintcost)dt(12)解:JI02：sin22t『4y—cos4tdt04a二——x—82a41——x-841sin4t|016dxx21x2令x-tant—二T3—4tan2tsectsectdt-眾dt刁sintsintji3-242

cox3(13)2

cox331；\cosxsinxdx--02、cosxdcosx二(14)解:11dx二11Xx1dex=arctanex|°=arctane-—401-e2x(15)解:40xt「x>0x0ee132(tT)dx=f(2_〕)dx=4_2lnt|；=4-2ln31t1t(16)解:e23Inxdx=e22〔23lnxdInx二2lnxfInx3(17)解:2cosx1sin2xdx'「sin：=arctan(sinx)|o=4>1sinx4(18)解:0exsinxdx二02sinxdex二sinxexJI02兀xx[2edsinx二sinxe|0JI"2x.?-02edsinxTT二e2JT__n-；cosxdex=e2-cosxexIf27Tsinxdx2：exsinxdx二e21>02exsinxdx1二尹+1)(19)解:12t12tS3tedt=30tde1t=3(e-2°tedt)二3e-6ett|06o^dt=3(e-2)(20)解:e11nxdx二e〔Inxdx—X"「=1t..2/tetd^teteldt=-■■-11e(21)解:TT2cosxdxsinxcosx2sinxdx(利用書P302例6.5的結(jié)論)sinxsinx1-「02產(chǎn)蔦(22)解:farctanxdx—仝雪宜(23)解:JTJ04tdtant=ttantI04JT-04tantdtIn204231xcos2xdx—竺凹t=f(t+兀)cos2tdt0兀2=JJcostdt=0(奇函數(shù))jitdt兀2」COStdtJIJI二f兀costdt=2兀f_costdt=$J。(cos2t+1)d2t=(24)解:1x22dx令x旳nt>1x2tant0sect寸tant20sect2dt21“仙山三加-遇叭肓4JI4?利用函數(shù)的奇偶性計(jì)算下列積分［兀x6sinxdx=O⑴-二6.-IT-解：因?yàn)閤sinX在區(qū)間|__二，二上是奇函數(shù)，所以x6sinxdx=O5cos6xdx⑵2解：cos6x在區(qū)間［_二/2,二/21上是偶函數(shù)，所以5

5

=—兀

165

=—兀

16云cos6xdx才cos6xdx=2§315

=—兀

1612^(arcs^dx;⑶巳"-x222(arcsinx)2J1/2解：巳：1-x2(arcsinx)22(arcsinx)2J1/2解：巳：1-xdxJ(arcsinx)2TO1石2dx=2p2(arcsinx)d(arcsinx)=3(arCsinx)312324:輕氣dx解:解:解:5?4xsinx在［-5，5］上是奇函數(shù),x4x2解:5?4xsinx在［-5，5］上是奇函數(shù),x4x21所以U5.45xsinxi小

廠2dx=0

x1TOC\o"1-5"\h\zaTTaf(x)dx二0f(x)dxaTTaT證明：f(x)dxf(x)dxf(x)dxLaLa“T對(duì)于等式右端第二個(gè)積分，設(shè)x-T=t,則aTaatf(x)dx二0f(tT)dt二0f(t)dtaTTaT于是af(x)dx=af(x)dx0f(x)dx=0f(x)dx

66.設(shè)f為連續(xù)函數(shù)，證明：bb⑴af(x)dx二af(ab-x)dx6.設(shè)f為連續(xù)函數(shù)，證明：bb⑴af(x)dx二af(ab-x)dx證明:令x=a+b-t,dx=d(-t),當(dāng)6.設(shè)f為連續(xù)函數(shù)，證明：bb⑴af(x)dx二af(ab-x)dx證明:令x=a+b-t,dx=d(-t),當(dāng)x=a時(shí)t=b，當(dāng)x=b時(shí)t=a.疋：babLf(x)dx=Jbf(a+b-1)(-1)dt=faf(a+b-t)dtbbf(ab-t)dt=fab-xd)xa-a所以bbf(x)dxfab-xc)xa^a⑵0x3f(x1a2)dx=2oxf(x)dx證明：令2x汙是:atf(t)dt二-o2a20xf(x)dx2二Lf(cosx)dx=4『f(cosx)dx證明：令X=t?二，t=x-m,t?(-蔥，二),于是：Jh('cosx)dx=/f(cos(t+巧)dt=2(兀f(cost)dt0…0兀兀i兀兀、TOC\o"1-5"\h\z再令t=x,x=t—-,x(,)2222f0f(cost)d^2fHf(cos(x+-))dx~22H31=40f(sinx)dx=4o2f(cosx)dx但）7.設(shè)J（m,n）二。彳sinmxcosnxdx（m,n為整數(shù)）但）7.設(shè)J（m,n）二。彳sinmxcosnxdx（m,n為整數(shù)），證明J(m,n)匚1J(m,n-2)匸1J(m-2,n)m+nm+n證明：因?yàn)镴(m,n)2cosn4xdsinm1xm+1、01ndm12cosxsinx|2"2?m2n-2j2sinxcosxdxm10所以n—12sinmx(1-cos2x)cos2xdxm11-口J(m,n-2)-yJ(m,n)J(m,n)=J(m冃2)m+n8?求下列極限(1)1J(m,n):n+1TE@?m」m；；1sinxdcosx01.mJsinn1n[2sinm_2x(1—sin2x)cosnxdxm8?求下列極限(1)1J(m,n):n+1TE@?m」m；；1sinxdcosx01.mJsinn1n[2sinm_2x(1—sin2x)cosnxdxm—1JTmdJTn*巨丄m—1?m工n+2xcosx|22sinxcosxdxn+1n10m—1J(m-2,n)n1m—1J(m,n)J(m+nm「12,J(m,n)”n1xdxlim-n.；：，01.%解：利用積分中值定理，在10,1上,xn_0,￡dxx(〔0,1)1limn—''01xdx=lim-n世1+111xndx=lim00I.：1亠：1.n..,n4psinx,limdx—：：“nx在ln,n+p]連續(xù)，由積分中值定理:x解：f(x)二npsinxnXsin-|P,1-n,np當(dāng)n—時(shí),,sint<1nmn——p“99證明:9證明:F(t)=fjf(x)-f(a)dx-([f(b)-f(x)dx,則F(t)在l.a,b1上連續(xù)可導(dǎo)，由f(x)9證明:F(a)f(b)「f(x)dx：：0，F(xiàn)(b)f(x)-f(a)dx0"aLa于是在(a,b)內(nèi)存在一點(diǎn)'，使得F()=0

亡b即：Lf(x)-f(a)dx=JJf(b)—f(x)dx,上式兩端恰為兩部分的面積。10?證明下列積分等式110xm(1-x)ndx=0xn(1-x)亡b即：Lf(x)-f(a)dx=JJf(b)—f(x)dx,上式兩端恰為兩部分的面積。10?證明下列積分等式110xm(1-x)ndx=0xn(1-x)mdx證明：令1-x=t,則1°xm(1-x)ndx=-10xm(1—x)ndx=011(1-t)mtndt「°xn(1-x)mdx1J0xn(1-x)mdxmm1sinxcosxdx=-2JI2m

cosxdx(m為整數(shù))0sinmxcosxdx二o(sinxcosx)mdx二咤mdx2尊(sinbFdx令2x「-t,2JI_1__0(sin2力"dxm二2cosmtd22(ri)JIcosmtdtn02cosmtdt2?msin01xcos"xdx二戶.02cosmxdx(1)lim1n(n1)(n2)(2n)解：lm1n［丄弘+1)(n+2)…(2n)〔Him1ln(1—)ln(1-)-ln(1-)

n廠nILnnn=l」mn(1刁1=叫.」n(1x)dx12.⑵nim(=ln4-114n2_n2)解:lim(—2n4n2-212.⑵nim(=ln4-114n2_n2)解:lim(—2n4n2-211n-1-+十…+2___4n2-224n2-n2)二lim(n_『：：『24-In1x2dx4—x4一3.n1dx204一n.n1=—ln_4—x23(1)解：當(dāng)x=0時(shí)110f(u)du10f(u)du令X上1由于(x)二o10f(u)du1-0f(u)duf(x)所以當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)，由:當(dāng)x=0當(dāng)x=0時(shí)，由:limJ°x.f(x)xf(0)=A,f(0)=.f(x)x所以:1■(0^li^(x^li<0f(u)du=limx)01xf(x)-.0f(u)du=limx0f(x)xf(x)-f(x)2x所以'■(x)13.證明:14.證明:15.證明：1-f(u)duf(x)?o竺(x=0)(x=0)由于!叫'-(X)=廠(0)所以(x)連續(xù)由于f(x)在l.a,b1上有連續(xù)導(dǎo)數(shù),由積分中值定理bf(x)cos■xdx=f()cos，xdxa弩b所以：limf()cos-xdx二sin丸x<1,*asin-x=f()limZ扎f()limm=0mpHhf(xh)-f(x)dxf(xh)-f(x)hbf(x)dxadx2沖7%4cosx-sinx1x21x2cosx-sinxdx1x21x20sint-costJjidx4二241■(-t)224cosx-sinx1x2dx-4cost-sintlx4dt兀21(27it4cosx-sinx,4dx1x2it4cosx-sinx,4dx21(二—x)..cosx—sinx1x2cosx—sinx二，x71(x)2it7cosx「sinx,4dx-1x2it7cosx「sinx,小4dx丄0-x)2cosx-sinx所以22dx16.TOC\o"1-5"\h\z-x令x⑴證明：F(-x)=o(_x-2t)f(t)dt令u=_t》=o(_x.2u)f(-u)d(—u)由于f(x)是偶函數(shù)，xx所以o(_x2u)f(-u)d(-u)(x-2u)f(u)du二F(x)即F(x)是偶函數(shù)xx證明：由于F(x)=x0f(t)dt-20tf(t)dtxxF(x)=0f(t)dtxf(x)-2xf(x)=0f(t)dt-xf(x)又由于f(x)單調(diào)不減x所以of(t)dix(f)x即F(x)^O因此F(x)單調(diào)不減習(xí)題4-7(A)1?求下列各曲線圍成的平面的面積(1)所求的面積為：TOC\o"1-5"\h\z12(xx2-2)4241344x2I：x3I：-2xI：12162=12-38443所求的面積為:A二19-2x2-9x|0-|x3|1o325-3所求的面積為：2-2.axdx二—62-2.axdx二—6Aax*0所求的面積為:2一x2=x2,x-_1.」2—2x2)dx8-3(5)所求的面積為：10A=J1Inx101-j1(-1nx)dx110二-[xlnx|1110231心一尹兒10Inx11010-1xdlnx(xInx1-xdlnx)1099"81ln10-1010(6)所求的面積為：x(x-1)(x-2)=3(x-1)x=1,3,-1132332A(x-3x2x-3x3)dx亠i(3x-3-x3x4242=(—_x3_L+3x)b+(_L+x3+L_3x)|；4242二8-2x)dx(7)所求的面積為：224/21、21yx-x(x)24y=^cosv221■x(1sinv)y=x1-x2(x0,y0)A=4x1L0-x2dx=40.1-x2d(1-x2)一42(1_X2)223=4_3