初中數(shù)學(xué)幾何公式大全和九大幾何模型

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1過兩點有且只有一條直線

2兩點之間線段最短

3同角或等角的補角相等

4同角或等角的余角相等

5過一點有且只有一條直線和已知直線垂直

6直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短

7平行公理經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行

8如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行

9同位角相等，兩直線平行

10內(nèi)錯角相等，兩直線平行

11同旁內(nèi)角互補，兩直線平行

12兩直線平行，同位角相等

13兩直線平行，內(nèi)錯角相等

14兩直線平行，同旁內(nèi)角互補

15定理三角形兩邊的和大于第三邊

16推論三角形兩邊的差小于第三邊

17三角形內(nèi)角和定理三角形三個內(nèi)角的和等于180°

18推論1直角三角形的兩個銳角互余

19推論2三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和

20推論3三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角

21全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等

22邊角邊公理(SAS)有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等

23角邊角公理(ASA)有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

24推論(AAS)有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

25邊邊邊公理(SSS)有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

26斜邊、直角邊公理(HL)有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等

27定理1在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

28定理2到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上

29角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合

30等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的兩個底角相等(即等邊對等角）

31推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

32等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合

33推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°

34等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（等角對等邊）

35推論1三個角都相等的三角形是等邊三角形

36推論2有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

37在直角三角形中，如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

38直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

39定理線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

40逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上

41線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合

42定理1關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

43定理2如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線

44定理3兩個圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上

45逆定理如果兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱

46勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a^2+b^2=c^2

47勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系a^2+b^2=c^2，那么這個三角形是直角三角形

48定理四邊形的內(nèi)角和等于360°

49四邊形的外角和等于360°

50多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于（n-2）×180°

51推論任意多邊的外角和等于360°

52平行四邊形性質(zhì)定理1平行四邊形的對角相等

53平行四邊形性質(zhì)定理2平行四邊形的對邊相等

54推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

55平行四邊形性質(zhì)定理3平行四邊形的對角線互相平分

56平行四邊形判定定理1兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

57平行四邊形判定定理2兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

58平行四邊形判定定理3對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

59平行四邊形判定定理4一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形

60矩形性質(zhì)定理1矩形的四個角都是直角

61矩形性質(zhì)定理2矩形的對角線相等

62矩形判定定理1有三個角是直角的四邊形是矩形

63矩形判定定理2對角線相等的平行四邊形是矩形

64菱形性質(zhì)定理1菱形的四條邊都相等

65菱形性質(zhì)定理2菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角

66菱形面積=對角線乘積的一半，即S=（a×b）÷2

67菱形判定定理1四邊都相等的四邊形是菱形

68菱形判定定理2對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

69正方形性質(zhì)定理1正方形的四個角都是直角，四條邊都相等

70正方形性質(zhì)定理2正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角

71定理1關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等的

72定理2關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分

73逆定理如果兩個圖形的對應(yīng)點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一

點平分，那么這兩個圖形關(guān)于這一點對稱

74等腰梯形性質(zhì)定理等腰梯形在同一底上的兩個角相等

75等腰梯形的兩條對角線相等

76等腰梯形判定定理在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

77對角線相等的梯形是等腰梯形

78平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段

相等，那么在其他直線上截得的線段也相等

79推論1經(jīng)過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰

80推論2經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第

三邊

81三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它

的一半

82梯形中位線定理梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的

一半L=（a+b）÷2S=L×h

83(1)比例的基本性質(zhì)如果a:b=c:d,那么ad=bc

如果ad=bc,那么a:b=c:d

84(2)合比性質(zhì)如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d

85(3)等比性質(zhì)如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么

(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b

86平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)

線段成比例

87推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例

88定理如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊

89平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例

90定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似

91相似三角形判定定理1兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似（ASA）

92直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似

93判定定理2兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）

94判定定理3三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似（SSS）

95定理如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三

角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似

96性質(zhì)定理1相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平

分線的比都等于相似比

97性質(zhì)定理2相似三角形周長的比等于相似比

98性質(zhì)定理3相似三角形面積的比等于相似比的平方

99任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等

于它的余角的正弦值

100任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等

于它的余角的正切值

101圓是定點的距離等于定長的點的集合

102圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合

103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合

104同圓或等圓的半徑相等

105到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半

徑的圓

106和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是著條線段的垂直

平分線

107到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線

108到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距

離相等的一條直線

109定理不在同一直線上的三點確定一個圓。

110垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧

111推論1①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧

③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

112推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等

113圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形

114定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦

相等，所對的弦的弦心距相等

115推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩

弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應(yīng)的其余各組量都相等

116定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

117推論1同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等

118推論2半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所

對的弦是直徑

119推論3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形

120定理圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它

的內(nèi)對角

121①直線L和⊙O相交d＜r

②直線L和⊙O相切d=r

③直線L和⊙O相離d＞r

122切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

123切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑

124推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點

125推論2經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

126切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，

圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角

127圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等

128弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的圓周角

129推論如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等

130相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積

相等

131推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的

兩條線段的比例中項

132切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割

線與圓交點的兩條線段長的比例中項

133推論從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等

134如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上

135①兩圓外離d＞R+r②兩圓外切d=R+r

③兩圓相交R-r＜d＜R+r(R＞r)

④兩圓內(nèi)切d=R-r(R＞r)⑤兩圓內(nèi)含d＜R-r(R＞r)

136定理相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦

137定理把圓分成n(n≥3):

⑴依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形

⑵經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形

138定理任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓

139正n邊形的每個內(nèi)角都等于（n-2）×180°／n

140定理正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形

141正n邊形的面積Sn=pnrn／2p表示正n邊形的周長

142正三角形面積√3a／4a表示邊長

143如果在一個頂點周圍有k個正n邊形的角，由于這些角的和應(yīng)為

360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化為（n-2）(k-2)=4

144弧長計算公式：L=n兀R／180

145扇形面積公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2

146內(nèi)公切線長=d-(R-r)外公切線長=d-(R+r)

初中數(shù)學(xué)九大幾何模型手拉手模型旋轉(zhuǎn)型全等等邊三角形【條件】：△OAB和△OCD均為等邊三角形；【結(jié)論】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE平分∠AED等腰直角三角形【條件】：△OAB和△OCD均為等腰直角三角形；【結(jié)論】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE平分∠AED頂角相等的兩任意等腰三角形【條件】：△OAB和△OCD均為等腰三角形；且∠COD=∠AOB【結(jié)論】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=∠AOB；③OE平分∠AED模型二：手拉手模型旋轉(zhuǎn)型相似一般情況【條件】：CD∥AB，將△OCD旋轉(zhuǎn)至右圖的位置【結(jié)論】：①右圖中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；②延長AC交BD于點E，必有∠BEC=∠BOA特殊情況【條件】：CD∥AB，∠AOB=90°將△OCD旋轉(zhuǎn)至右圖的位置【結(jié)論】：①右圖中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；②延長AC交BD于點E，必有∠BEC=∠BOA；③tan∠OCD；④BD⊥AC；⑤連接AD、BC，必有；⑥模型三、對角互補模型全等型-90°【條件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC平分∠AOB【結(jié)論】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③證明提示：①作垂直，如圖2，證明△CDM≌△CEN②過點C作CF⊥OC，如圖3，證明△ODC≌△FEC※當(dāng)∠DCE的一邊交AO的延長線于D時（如圖4）：以上三個結(jié)論：①CD=CE；②OE-OD=OC；③全等型-120°【條件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC平分∠AOB【結(jié)論】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③證明提示：①可參考“全等型-90°”證法一；②如右下圖：在OB上取一點F，使OF=OC，證明△OCF為等邊三角形。全等型-任意角ɑ【條件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE；【結(jié)論】：①OC平分∠AOB；②OD+OE=2OC·cosɑ；③※當(dāng)∠DCE的一邊交AO的延長線于D時（如右下圖）：原結(jié)論變成：①；②；③?？蓞⒖忌鲜龅冖诜N方法進行證明。請思考初始條件的變化對模型的影響。對角互補模型總結(jié)：①常見初始條件：四邊形對角互補，注意兩點：四點共圓有直角三角形斜邊中線；②初始條件“角平分線”與“兩邊相等”的區(qū)別；③注意OC平分∠AOB時，∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB如何引導(dǎo)？模型四：角含半角模型90°角含半角模型90°1【條件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；【結(jié)論】：①EF=DF+BE；②△CEF的周長為正方形ABCD周長的一半；也可以這樣：【條件】：①正方形ABCD；②EF=DF+BE；【結(jié)論】：①∠EAF=45°；角含半角模型90°2【條件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；【結(jié)論】：①EF=DF-BE；角含半角模型90°3【條件】：①Rt△ABC；②∠DAE=45°；【結(jié)論】：（如圖1）若∠DAE旋轉(zhuǎn)到△ABC外部時，結(jié)論仍然成立（如圖2）角含半角模型90°變形【條件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；【結(jié)論】：△AHE為等腰直角三角形；證明：連接AC（方法不唯一）∵∠DAC=∠EAF=45°，∴∠DAH=∠CAE，又∵∠ACB=∠ADB=45°；∴△DAH∽△CAE，∴∴△AHE∽△ADC，∴△AHE為等腰直角三角形模型五：倍長中線類模型倍長中線類模型1【條件】：①矩形ABCD；②BD=BE；③DF=EF；【結(jié)論】：AF⊥CF模型提?。孩儆衅叫芯€AD∥BE；②平行線間線段有中點DF=EF；可以構(gòu)造“8”字全等△ADF≌△HEF。倍長中線類模型2【條件】：①平行四邊形ABCD；②BC=2AB；③AM=DM；④CE⊥AB；【結(jié)論】：∠EMD=3∠MEA輔助線：有平行AB∥CD，有中點AM=DM，延長EM，構(gòu)造△AME≌△DMF，連接CM構(gòu)造等腰△EMC，等腰△MCF。（通過構(gòu)造8字全等線段數(shù)量及位置關(guān)系，角的大小轉(zhuǎn)化）模型六：相似三角形360°旋轉(zhuǎn)模型（1）相似三角形（等腰直角）360°旋轉(zhuǎn)模型倍長中線法【條件】：①△ADE、△ABC均為等腰直角三角形；②EF=CF；【結(jié)論】：①DF=BF；②DF⊥BF輔助線：延長DF到點G，使FG=DF，連接CG、BG、BD，證明△BDG為等腰直角三角形；突破點：△ABD≌△CBG；難點：證明∠BAO=∠BCG（2）相似三角形（等腰直角）360°旋轉(zhuǎn)模型補全法【條件】：①△ADE、△ABC均為等腰直角三角形；②EF=CF；【結(jié)論】：①DF=BF；②DF⊥BF輔助線：構(gòu)造等腰直角△AEG、△AHC；輔助線思路：將DF與BF轉(zhuǎn)化到CG與EF。任意相似直角三角形360°旋轉(zhuǎn)模型補全法【條件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；【結(jié)論】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO輔助線：延長BA到G，使AG=AB，延長CD到點H使DH=CD，補全△OGB、△OCH構(gòu)造旋轉(zhuǎn)模型。轉(zhuǎn)化AE與DE到CG與BH，難點在轉(zhuǎn)化∠AED。任意相似直角三角形360°旋轉(zhuǎn)模型倍長法【條件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；【結(jié)論】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO輔助線：延長DE至M，使ME=DE，將結(jié)論的兩個條件轉(zhuǎn)化為證明△AMD∽△ABO，此為難點，將△AMD∽△ABC繼續(xù)轉(zhuǎn)化為證明△ABM∽△AOD，使用兩邊成比例且夾角相等，此處難點在證明∠ABM=∠AOD模型七：最短路程模型最短路程模型一（將軍飲馬類）總結(jié)：右四圖為常見的軸對稱類最短路程問題，最后都轉(zhuǎn)化到：“兩點之間，線段最短：解決；特點：①動點在直線上；②起點，終點固定最短路程模型二（點到直線類1）【條件】：①OC平分∠AOB；②M為OB上一定點；③P為OC上一動點；④Q為OB上一動點；【問題】：求MP+PQ最小時，P、Q的位置？輔助線：將作Q關(guān)于OC對稱點Q’，轉(zhuǎn)化PQ’=PQ，過點M作MH⊥OA，則MP+PQ=MP+PQ’MH(垂線段最短）最短路程模型二（點到直線類2）【條件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n）【問題】：n為何值時，最?。壳蠼夥椒ǎ孩賦軸上取C(2,0),使sin∠OAC=；②過B作BD⊥AC，交y軸于點E，即為所求；③tan∠EBO=tan∠OAC=，即E（0，1）最短路程模型三（旋轉(zhuǎn)類最值模型）【條件】：①線段OA=4，OB=2；②OB繞點O在平面內(nèi)360°旋轉(zhuǎn)；【問題】：AB的最大值，最小值分別為多少？【結(jié)論】：以點O為圓心，OB為半徑作圓，如圖所示，將問題轉(zhuǎn)化為“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”。最大值：OA+OB；最小