2020-2021深圳市外國語龍崗分校高中必修五數(shù)學上期中一模試卷(含答案)

2020-2021深圳市外國語龍崗分校高中必修五數(shù)學上期中一模試卷(含答案)一、選擇題已知等比數(shù)列

1a1，且aaa

a

k，則k的取值范n 1圍是（ ）

4 8 12 2

n n1A．1,2

B．1,

C．1,2

D．2,2 3

2

2 3

3 已知等比數(shù)列}的各項均為正數(shù)，且aaaa 18，則n 56 47loga3 1

loga3

loga3

loga3 10

（ ）A．10 B．12 C．1log5 D．2log53 3x3y3,x，y滿足約束條件

xy1,z=x+y的最大值為（） y0,A．0 B．1 C．2 D．3設(shè)n

}是首項為a1

，公差為-1的等差數(shù)列，Sn

為其前n項和，若SSS1 2 4

成等比數(shù)列，則a1

=（）1A．2 B．-2 C．

D．12已知AB兩地的距離為10km,BC兩地的距離為20km,現(xiàn)測得則A、C兩地的距離為（ ）6．設(shè)函數(shù)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，且對于任意正數(shù)有6．設(shè)函數(shù)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，且對于任意正數(shù)有，已知，若一個各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足

B．3

C．10 5km D．10 7 km18項（），其中是數(shù)列的前項和，則數(shù)列中第A．B．9C．1818項（），其中是數(shù)列的前項和，則數(shù)列中第A．B．9C．18D．36已知ABAC，AB ，ACt，若P點是VABC所在平面內(nèi)一點，且t

ABAPAB

AB4

vvPB·PC的最大值等于（）.ACA．13 B．15 C．19 D．AC2已知數(shù){an}的通項公式為an＝n(3)n則數(shù)列{an}中的最大項( )8964C．81

23125D．243在等比數(shù)列

中，a an 2 1

2，且2a2

為3a1

和a的等差中項，則a3

為( )A．9 B．27 C．54 D．811已知數(shù)列}

=2，

=1．若數(shù)列{ }為等差數(shù)列，則

=( )12

n 3 754

an45

945“中國剩余定理”又稱“孫子定理”1852.1874年，英國數(shù)學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將1至2019中能被3除余1且51n

，則此數(shù)列的項數(shù)為（）A．134 B．135 C．136 D．137設(shè)n

}是首項為a1

，公差為-的等差數(shù)列，S2n2

為其前n項和，若S1

SS成等2 4比數(shù)列，則a1

( )A．8 B．-8 C．1 D．-1二、填空題已知數(shù)列n

的前nSan 1

1，a2

2，且對于任意n1nN*，滿足Sn1

Sn1

2(Sn

1)S10

的值 若數(shù)列

通項公式是annn

2n1,1n3n, n3

，前n

Sn

，則limSn

.已知數(shù)列n

的前nSan 1

1Sn

an

1（為常數(shù)）．若數(shù)列n滿足abnn

n2

9n20，且bn1

b，則滿足條件的n的取值集合為 ． 某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元次，一年的總存儲用為4x萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值．如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向40海里的B處有一艘漁船遇險在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向即沿直線CB前往B處救援，則cos ．設(shè)等差數(shù)列an

的前n

．若an 3

5S1

，S5，

成等差數(shù)列，則數(shù)列a 的通項公式an

．已知數(shù)列

滿足a

33,a

a 2n,則an的最小值.n正項等比數(shù)列n

1滿足a4

na2

n18，a6

na 90，則2

前5項和.三、解答題在C的對邊分別為，2cosCcosBbcosAc0.（Ⅰ）求角C的大?。唬á颍┤鬭 2，求sin2BC的值.在BC的對邊分別為abc，已知bcosCccosB0.求cosC的值；若c 6，的面積為3 2，求ab的值；4v1 1

3cosx vy

yfx已知向量

, sin

與b

共線，設(shè)函數(shù) .2 2 2 求函數(shù)fx

已知銳角BCfA

3，邊33BC 7,sinB 21，求 已知數(shù)列n

的前n項和Sn

pn2qn pqRnN* ，且a1

3,S4

24.求數(shù)列n

的通項公式；設(shè)bn

2an，求數(shù)列bn

的前n項和T．n在中BC所對的邊分別為abc,且sin2Asin2Csin2BsinAsinC.B;設(shè)的平分線AD交BC于D,AD2 3,BD1,求的.等比數(shù)列n

a1

2,a7

4a．5(Ⅰ)求an

的通項公式；(Ⅱ)記S

為n

的前nSm

126m．【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除一、選擇題1．D解析：D【解析】設(shè)等比數(shù)列1

的公比為q，則q3 an aa1

1，解得q1，8 2∴a n∴aa

2n1

，1 1 1 ，n n1

2n1 2n 22n1∴數(shù)列

}是首項為1，公比為1的等比數(shù)列，n n1 2 41(11)∴aaa

aa

2 4n 21)2，12 23

nn1

11 3 4n 342 ∴k ．故k的取值范圍是[ ,)．選D．2 3 32．A解析：A【解析】【分析】利用對數(shù)運算合并，再利用等比數(shù)列an

的性質(zhì)求解。【詳解】因為logaloga logaLlog

=logaaaLa

5,3 1 3 2 3

3

3 123

3 110aa4 7

aa5

aa1

，由aa4

aa5

18得aa1

9，所以loga3 1

loga3

log3

aLlog3

a =log10

95=10，故選A?！军c睛】本題考查了對數(shù)運算及利用等比數(shù)列an

的性質(zhì)，利用等比數(shù)列的性質(zhì)：當mnpq,(m,n,p,qN)時，a a a a，m n p q特別地mn2k,(m,n,kN)時，a am n3．D解析：D【解析】

a2，套用性質(zhì)得解，運算較大。k如圖，作出不等式組表示的可行域，則目標函數(shù)zxyA(3,0)z取得最大值，故z 303，故選D．max點睛:本題主要考查線性規(guī)劃問題，首先由不等式組作出相應(yīng)的可行域，并明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線，其次確定目標函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標函數(shù)的最值取法或值域范圍．4．D解析：D【解析】【分析】S2

=SS1

用數(shù)列的首項a1

和公差d表示出來后就可解得a．，1【詳解】S

成等比數(shù)列，所以S

2=SS，即(2a

1)2

a(4a1.1 2 4故選D.【點睛】

2 1 4

1 1 1 2本題考查等差數(shù)列的前n項和，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，解題方法是基本量法．本題屬于基礎(chǔ)題．5．D解析：D【解析】【分析】直接利用余弦定理求出A，C兩地的距離即可．【詳解】A，B10km，B，C20km兩地的距離為：AC2＝AB2+CB2﹣2AB?BCcos∠ABC＝102+202﹣210201700． 2 2所以AC＝10 7故選D．【點睛】本題考查余弦定理的實際應(yīng)用，考查計算能力．6．C解析：C∵f（∵f（Sn）=f（an）+f（an+1）-1=f[an（an+1）]∵函數(shù)f（x）是定義域在（0，+∞）上的單{an}=an（an+1）①當n=1時，可得a1=1；當n≥2時，Sn-1=a1=an-1（an-1+1）②，①-②可得an= an（an+1）-an-1（an-1+1）∴（an+an-1）（an-an-1-1）=00，∴n-n-1-1=0即-n-=1{=1d==1+（n-）×1=n即an=n所以7．A解析：A【解析】A為坐標原點，建立平面直角坐標系，如圖所示，則B(1,0)C(0,t，t

4)

r 1

uuurAP0)4(0,1)(14)rrPBPC

（t4)，PC（，t4)，因114t161714t，因為12

rr1t1tt t t

PBPC13，當1，即t

1時取等號．t 2考點：1、平面向量數(shù)量積；2、基本不等式．8．A解析：A解法一a解法一an＋1 n－a＝(n＋1)n＋1－nn＝·n，n1 n n1 當n<2時，a －a>0，即n1 n n1 ＋ ＋n1 n n1 當n＝2時，a －a＝0，即n1 n n1 ＋ ＋n1 n n1 當n>2時，a －a<0，即n1 n n1 ＋ ＋{aaaa＝a＝2×{aaaa＝a＝2×n232 32＝.故選A.解法二＝＝，1 3 3 4 5令>1n<2；令＝1n＝2；令<1n>2.a>0令>1n<2；令＝1n＝2；令<1n>2.a>0，n{aaaa＝a＝2×n232 32＝.故選A.1 2 3 3 4 9．B解析：B【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列an

的公比為q，由2a2

為3a1

和a3

的等差中項，可得22a2

3a1

a，利用等比數(shù)列的通項公式代入化簡為q24q30，解得q，又3a a2 1

2，即a1

12q1，分析可得a1

、q的值，可得數(shù)列an

的通項公式，將n4代入計算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列a

的公比為q，n若2a2

為3a1

和a3

的等差中項，則有22a2

3a1

a，變形可得3

q3a1

aq2，即1q24q30，解得q1或3；又a a2 1

2，即a1

12，則q3a1

1，則a 3n1，則有a n 4故選：B．【點睛】

27；本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及通項公式，關(guān)鍵是掌握等比數(shù)列通項公式的形式，屬于基礎(chǔ)題．10．C解析：C【解析】【分析】由已知條件計算出等差數(shù)列的公差，然后再求出結(jié)果【詳解】依題意得：

a 2,a3

1，因為數(shù)列{1ana

}為等差數(shù)列，11 11

11

15 4所以 a

2 1

9 7 ，所以a ，故選C．d7 3 a

8 4 9 573 73 8 9 7【點睛】本題考查了求等差數(shù)列基本量，只需結(jié)合題意先求出公差，然后再求出結(jié)果，較為基礎(chǔ)11．B解析：B【解析】【分析】由題意得出an15n14，求出an15n142019，即可得出數(shù)列的項數(shù).【詳解】因為能被3除余1且被5除余1的數(shù)就是能被15整除余1的數(shù)，故an15n14.由an15n142019得n135，故此數(shù)列的項數(shù)為135，故答案為B.【點睛】本題主要考查閱讀能力及建模能力、轉(zhuǎn)化與化歸思想及等差數(shù)列的通項公式及數(shù)學的轉(zhuǎn)化與化歸思想.屬于中等題.12．D解析：D【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項公式，以及等比中項公式和前n項和公式，準確運算，即可求解.【詳解】由題意，可得等差數(shù)列{an

}的通項公式為an

a(n1)(2)a1

2(n1)，所以S1

a,S1

2a1

2,S4

4a1

12，SSS1 2 4

成等比數(shù)列，可得(2a1

2)2

a(4a1

12)，解得a1

1.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列通項公式，以及等比中項公式與求和公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的通項公式和等比中項公式，準確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題13．91【解析】【分析】由Sn+1+Sn﹣1＝2（Sn+1）可得Sn+1﹣Sn＝Sn﹣Sn﹣1+2可得an+1﹣an＝2利用等差數(shù)列的通項公式與求和公式即可得出【詳解】∵對于任意n＞1n∈N*滿足Sn+【解析】【分析】由S+S

＝2（S+1），可得

﹣S＝S

+2，可得

﹣a＝2．利用等差數(shù)列的通項n+1

n﹣1

n+1 n

n

n+1 n公式與求和公式即可得出．【詳解】∵對于任意n＞1，n∈N*，滿足S+S

＝2（S+1），n+1∴n≥2S﹣S＝S﹣S+2，

n﹣1 nn+1 n∴a﹣a＝2．

n n﹣1n+1 n∴數(shù)列{a}在n≥2時是等差數(shù)列，公差為2．n則S ＝1+9×298291．10 2故答案為91【點睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．【解析】【分析】利用無窮等比數(shù)列的求和公式即可得出結(jié)論【詳解】數(shù)列通項公式是前項和為當時數(shù)列是等比數(shù)列故答案為：【點睛】本題主要考查的是數(shù)列極限求出數(shù)列的和是關(guān)鍵考查等比數(shù)列前項和公式的應(yīng)用是基礎(chǔ)題55解析： .18【解析】【分析】利用無窮等比數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)論.【詳解】Q數(shù)列n

通項公式是an

2n1,1n3n, n3

，前n

項和為

Sn，n3時，數(shù)列n

是等比數(shù)列，111n327

3

n3 nS 12

3111 5531，n 1 18 183 18 231 3limSn

lim5531n55 .n n55故答案為： 18【點睛】

本題主要考查的是數(shù)列極限，求出數(shù)列的和是關(guān)鍵，考查等比數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.【解析】【分析】利用可求得；利用可證得數(shù)列為等比數(shù)列從而得到進而得到；利用可得到關(guān)于的不等式解不等式求得的取值范圍根據(jù)求得結(jié)果【詳解析：{5,6}【解析】【分析】利用a1

S可求得2；利用a1

S n

n1

可證得數(shù)列an

為等比數(shù)列，從而得到a =2n1，進而得到bn

；利用b -bn+1

<0可得到關(guān)于n的不等式，解不等式求得n的取值范圍，根據(jù)nN.【詳解】n1aS1 1S 2a 1n n

a1

1 112當n2且nN時，S 2a 1n1 n1\a =Sn n

-Sn-1

=2an

-

n-1

，即：an

2an1數(shù)列an

是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列\(zhòng)ann29n20

=2n-1Qabnn

n29n20 bn

2n1b b

n29n20 n29n20 n21n28 0n1 n

2n1 2nQ2n0 n2284n704n7又nN n5或6滿足條件的n的取值集合為{5,6}本題正確結(jié)果：{5,6}【點睛】本題考查數(shù)列知識的綜合應(yīng)用，涉及到利用aS的關(guān)系求解通項公式、等比數(shù)列通項n nbn而根據(jù)單調(diào)性可構(gòu)造出關(guān)于n.30點睛:在利用基本不等式求最值時要特別注意拆拼湊等技巧使其滿足基本不等式中正(件要求中字母為正數(shù))定(不等式的另一邊必須為定值)等(等號取得解析：30【解析】【詳解】900總費用為4x60064(x9004900

240x

900，即x30時x x x等號成立．故答案為30.點睛:)、“等”(等)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤．【解析】【分析】在中由余弦定理求得再由正弦定理求得最后利用兩角和21的余弦公式即可求解的值【詳解】在中海里海里由余弦定理可得所以海里由正弦定理可得因為可知為銳角所以所以【點睛】本題主要考查了解三角形實際21解析：14【解析】【分析】在中，由余弦定理，求得BC，再由正弦定理，求得sinACB,sinBAC利用兩角和的余弦公式，即可求解cos的值．【詳解】7在AB40AC20BAC120o，BC2AB2AC22ABACcos120o28007BC

海里,21由正弦定理可得sinACBABsinBAC ，21BC 72 7因為BAC120o，可知ACB為銳角，所以cosACB ，2 7721所以coscos(ACB30o)cosACBcos30osinACBsin30o ．2114【點睛】求結(jié)果．d∵且成等差數(shù)列∴解得∴解析：2n1【解析】設(shè)等差數(shù)列an

的公差為d，a 5SSS成等差數(shù)列，3 1 5 7a2d5 a1∴1

解得1

,∴

2n1a7a10a20d d2 n1 1 1an＝33+n2﹣nf（n）n＝56f（n）有最小值借此能得到的最小值【詳解】解：∵an+1﹣an＝2n∴an＝（an﹣an﹣1）+（a21解析：2【解析】【分析】

a 33 33＝33+n2﹣n，所以n n1，設(shè)f（n） n1，由此能導n n n nan＝56f（n）【詳解】

n的最小值．na a n n a a a a a a a 解：∵ ﹣＝2，∴當≥2時，＝（﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（﹣）+ a a n n a a a a a a a n+1 n n n n﹣1 n﹣1 n﹣2 2 1 12[1+2+…+（n﹣1）]+33＝n2﹣n+33n且對n＝1也適合，所以a＝n2﹣n+33．na從而n

33n1n nf（n）

33n1f′（n）

331＞0， n2 f（n）

3上是單調(diào)遞增，在33上是遞減的，因為N，所以當＝5或6時（）有最小值．a(chǎn) 53 a 63 21又因為

5 ，6 ，a所以n

5 5 6 6 2a 21的最小值為6n 6 221故答案為2【點睛】本題考查了利用遞推公式求數(shù)列的通項公式，考查了累加法．還考查函數(shù)的思想，構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性．20．93【解析】【分析】運用等比數(shù)列通項公式基本量的計算先求出首項和公比然后再運用等比數(shù)列前項和公式求出前項和【詳解】正項等比數(shù)列滿足即則有代入有又因為則故答案為【點睛】本題考查了求等比數(shù)列前項和等比數(shù)【解析】【分析】n公式求出前5【詳解】正項等比數(shù)列

滿足a an 4 2

18，a a6

90，即aq2a2 2

18,a

q4a

90 則有a2

q2118,a2

q21 q2190代入有q21=5,q24又因為q0，則q

6,a33S

1

2 1935 12故答案為93【點睛】本題考查了求等比數(shù)列前n項和等比數(shù)列通項公式的運用，需要熟記公式，并能靈活運用公式及等比數(shù)列的性質(zhì)等進行解題，本題較為基礎(chǔ).三、解答題21．（Ⅰ）C【解析】【分析】

（Ⅱ）724 102（I）利用正弦定理化簡已知條件，求得cosC的值，由此求得C.（II）根據(jù)余弦定理求得c，利用正弦定理求得sinB，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求得cosB求得sin2B,cos2B的值，再由兩角差的正弦公式求得sin2BC的值.【詳解】2解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得2

cosCAcosBsinBcosAsinC02∴ cosCsinCsinC0，∴cosC2

，∵0C，∴C22 42（Ⅱ）因為a

2C，由余弦定理得422 2210c2a2b22abcosC24210

2 10，∴c2 2c b由 sinB

，因為B為銳角，所以cosB52 5sinC sinB 5 552 552 54 352 5sin2B2

，cos2Bcos2Bsin2B2225 5 5 5222sin2BCsin2BcosCcos2BsinC

4 3 75

2 5 2 10 【點睛】本小題主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查二倍角公式以及兩角差的正弦公式，屬于中檔題.22．（1）1（2）33【解析】【分析】根據(jù)bcosCccosB0，由正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角得AsinBcosCsinCcosB0，再利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡得到sinA3cosC10求解.由知sinC

2 ，根據(jù)的面積為 ，得ab ，再由余弦定理23 293 4 423 29c2a2b22abcosCab22ab2abcosC求解.【詳解】因為bcosCccosB0，由正弦定理得：3sinAsinBcosCsinCcosB0所以3sinAcosCsinBcosCsinCcosB0，所以3sinAcosCsinBC0，所以sinA3cosC10因為sinA0，所以cosC1.3由知sinC

2 2，因為的面積為 ，3 2433 24所以S

ABC

1 32= absinC=22 4

，解得ab9，4因為c

，在ABC中，6由余弦定理得：c2a2b22abcosCab22ab2abcosC，所以9，6所以ab3.【點睛】3 3本題主要考查正弦定理、余弦定理及兩角和與差的三角函數(shù)應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題3 323．(1)T,當x2k

kZfx

2(2)S 【解析】【分析】【詳解】

6rr 1 1

max33

ABC 2（1）因為a與b

y( sinx cosx)02 2 2yfx2sinxfx的周期T 3 3x2k6（2）∵fA∴2sinA

，kZ，333333

2max33 33 3∴sinA32∵0A2∴A3BC AC由正弦定理得又sinB

sinA sinB21217∴AC

BCsinB

2，且sinC3 21sinA 143 21∴S ABC

AC BCsinC123 32123 324．（Ⅰ）an【解析】【分析】

2n1,；（Ⅱ）Tn

8(4n1).3（Ⅰ）由題意可得p1,q2.則S n22利用通項公式與前n項和的關(guān)系可得na 2n1,n （Ⅱ）由（1）可知b 22n1，結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式計算可得數(shù)列