中學數(shù)學化歸方法及應用

目錄TOC\o"1-5"\h\z中文摘要、關鍵詞 （ III）緒論 （ 1）\o"CurrentDocument"1、數(shù)學化歸方法概述 （1）對數(shù)學思想方法的理解與認識 （1）\o"CurrentDocument"化歸是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的重要策略和方法 （1）\o"CurrentDocument"化歸的一般模式 （2）\o"CurrentDocument"2、化歸的原則 （3）\o"CurrentDocument"新知識點向已知知識點的轉化 （3）\o"CurrentDocument"由難到易 （4）\o"CurrentDocument"由繁到簡 （5）\o"CurrentDocument"3、化歸的方法 （5）\o"CurrentDocument"整體分析化歸法 （5）\o"CurrentDocument"一般情況向特殊情況的轉化 （5）\o"CurrentDocument"分割法 （7）映射法 （9）\o"CurrentDocument"求變法 （10）極端化法 （ 11）\o"CurrentDocument"4化歸當中應該注意的問題 （14）熟悉化和模型化 （14）\o"CurrentDocument"簡單化和具體化 （14）\o"CurrentDocument"特殊化和一般化 （14）\o"CurrentDocument"5小結 （15）\o"CurrentDocument"夯實基礎知識 （15）\o"CurrentDocument"培養(yǎng)化歸意識 （16）\o"CurrentDocument"掌握化歸的一般方法 （16）\o"CurrentDocument"深入教材 （16）參考文獻 （ 17）英文摘要、關鍵詞 （IV）中學數(shù)學化歸方法及應用摘要化歸的思想方法是數(shù)學中最重要、最基本的思想方法之一，它著眼于揭示聯(lián)系實現(xiàn)轉化，在遷移轉化中達到問題的規(guī)范化，其覆蓋面之廣不僅使之成為一種基本的數(shù)學解題策略，更是我們在日常生活中的一種重要的思維方法。在化歸思想方法指導下，我們常常將不熟悉和難解決的問題轉化為熟知的易知的易解的或已經(jīng)解決的問題； 將抽象的問題轉化為具體的直觀的問題；將復雜的問題轉化為簡單的問題；將一般性的問題轉化為直觀的特殊的問題；將實際問題轉化為數(shù)學問題，使問題得以解決?；瘹w思想的教學在初中數(shù)學教材中體現(xiàn)得較為寬廣，數(shù)學中可以實現(xiàn)化歸的方法是很多的，本文從整體分析化歸法、分割法、映射法、求變法、極端化法方面進行了論述。作者首先對化歸的一般模式，化歸的方向進行了闡述，又論述了化歸的方法和原則及化歸思想的核心。通過典型例題對化歸方法進行了很好的說明，意在培養(yǎng)化歸意識，提高轉化能力，掌握化歸的方法。關鍵詞化歸思想，還原，化歸方法，數(shù)學思想中學數(shù)學化歸方法及其應用緒論通過分析當前初中數(shù)學教育對數(shù)學思想方法的要求，初步了解教師掌握數(shù)學思想方法及學生思維發(fā)展的現(xiàn)狀，我們認為，挖掘數(shù)學思想方法培養(yǎng)學生思維能力的課堂教學實踐是當前初中數(shù)學課堂教學的一個突破點。國外 ,從20世紀60年代起，荷蘭就開始了現(xiàn)實數(shù)學教育的過程。到90年代初，幾乎所有的荷蘭中小學都已經(jīng)在使用根據(jù)現(xiàn)實數(shù)學教育思想編寫的數(shù)學課本了。俄羅斯把使學生形成數(shù)學思想方法列為數(shù)學教育的三大基本任務之一。國內,自93年《九年義務教育全日制初級中學數(shù)學教學大綱》明確提出數(shù)學思想方法是數(shù)學基礎知識的重要組成部分以來，數(shù)學教學中如何挖掘課本中所蘊含的數(shù)學思想方法、如何有效地進行數(shù)學思想方法教學、如何培養(yǎng)和發(fā)展學生的數(shù)學思想已經(jīng)成為數(shù)學教育工作者普遍關注和潛心探索的一項重要課題。93年初孫朝仁老師就參與了江蘇省教育科學規(guī)劃課題“發(fā)展學生數(shù)學思想，提高學生數(shù)學素養(yǎng)”，歷時8年，明確了數(shù)學思想與數(shù)學方法以及它們之間的區(qū)別與聯(lián)系。探索出數(shù)學思想方法的分類以及在教材中的呈現(xiàn)方式、數(shù)學思想方法的基本特征及其目標設制、數(shù)學思想方法教學的原則和教學基本途徑、數(shù)學思想方法課堂教學模式除此之外，國內某些學校數(shù)學教學中進行數(shù)學思想方法的教學也有深入的研究，并且成果顯著。但在新的課程理念下，人們對數(shù)學思想方法的研究還不夠系統(tǒng)和完善，初中數(shù)學教學中，許多教師還處于無意無序地滲透一些數(shù)學思想方法，還沒有把數(shù)學思想方法教學列入數(shù)學教學目標中，對如何在教學中有意有序地進行滲透，新課程背景下數(shù)學思想方法與中學數(shù)學教學實踐的研究，目前仍缺乏全面深入的探討與實踐，所積累的研究成果甚少。1數(shù)學化歸方法概述對數(shù)學思想方法的理解與認識“數(shù)學思想”這一術語 ,還未形成精確的定義 ,比較一致的認識是 ,數(shù)學思想就是人們對數(shù)學知識和方法形成的規(guī)律性的理性認識,基本看法,是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系反映到人的意識之中,經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的后果 ,它是對數(shù)學事實與數(shù)學理論的本質認識。數(shù)學方法是指人們在數(shù)學學習,研究,以及利用數(shù)學解決實際問題的步驟、程序和格式，是實施有關教學思想的技術手段，由此可以看出數(shù)學方法具有過程性、層次性、可操作性特點?；瘹w是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的重要策略和方法數(shù)學問題的形式千變萬化，結構錯綜復雜，特別是一些難度較大的綜合題（如一些國內外競賽題），不僅題型新穎，知識覆蓋面大，而且技巧性強，個別問題的解法獨到別致，尋求正確有效的解題思路，意味著尋找一條擺脫困境，繞過障礙的途徑。因此，我們在解決數(shù)學問題時，思考的重點就是要把所需要解決的問題轉化為已能解決的問題，也就是說，在求解不易直接或正面找到解題途徑的問題時，我們往往轉化問題的形式，從側面或反面尋找突破口，直到最終把它化歸成一個或若干個熟知的或已能解決的問題，這就是數(shù)學思維中重要的特點和方法——化歸方法。匈牙利著名數(shù)學家 P.路莎指出：“對于數(shù)學家的思維過程來說是很典型的，他們往往不對問題進行正面的進攻，而是不斷地將它變形，直至把它轉化為已經(jīng)解決的問題。”P.路莎還用以下比喻，十分生動地說明了化歸的實質?！凹偃缭谀忝媲坝忻簹庠?、水龍頭、水壺和火柴，你想燒些開水，應當怎么去做？”正確的回答是：“在水壺中放上水，點燃煤氣，再把水壺放在煤氣灶上?！苯又飞痔岢隽说诙€問題：“如果其他的條件都沒有變化，只是水壺中已經(jīng)放了足夠的水，這時你又應當如何去做？”這時，人們往往會很有信心地回答說：“點燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上?！钡锹飞赋?，這一回答并不能使她感到滿意。因為，更好的回答應該是這樣的：“只有物理學家才會這樣去做；而數(shù)學家們則會倒去壺中的水，并聲稱我已經(jīng)把后一個問題化歸成先前的問題了。”“把水倒掉”。多么簡潔的回答！羅莎的比喻固然有點夸張，但卻道出了化歸的根本特征：在解決一個問題時人們的眼光并不落在問題的結論上，而是去尋覓、追溯一些熟知的結果，盡管向前走兩步，也許能達到目的，但我們也情愿退一步回到原來的問題上去.雖然這一方法并不是最省時、省工、省料，但這一回答卻道出了數(shù)學家思考問題與解決問題的一個特點一一與其他科學家相比，數(shù)學家特別善于使用化歸思想方法?；瘹w的一般模式問題 問題*化歸 解答還原 解答*把所要解決的問題經(jīng)過某些變化，使之歸結為另一個問題*,再通過問題*的求解，把解得的結果作用于原有問題，從而使原有問題得解，這種解決問題的思想，我們稱之為化歸?；瘹w法是一種分析問題解決問題的基本思想方法.在數(shù)學中通常的作法是：將一個非基本的問題通過分解、變形、代換?…，或平移、旅轉、伸縮?…等多種方式，將它化歸為一個熟悉的基本的問題，從而求出解答.如學完一元一次方程、因式分解等知識后，學習一元二次方程我們就是通過因式分解等方法，將它化歸為一元一次方程來解的.后來我們學到特殊的一元高次方程時，又是化歸為一元一次和一元二次方程來解的.對一元不等式也有類似的作法.又如在平面幾何中我們在學習了三角形的內角和、面積計算等有關定理后，對n邊形的內角和、面積的計算，也是通過分解、拼合為若干個三角形來加以解決的.再如在解析幾何中，當我們學完了最基本、最簡單的圓錐曲線知識以后，對一般圓錐曲線的研究，我們也是通過坐標軸平移或旋轉，化歸為基本的圓錐曲線 （在新坐標系中）來實現(xiàn)的.其它如幾何問題化歸為代數(shù)問題，立體幾何問題化歸為平面幾何問題，任意角的三角函數(shù)問題化歸為銳角三角函數(shù)問題來表示的例子就更多了. 所以,掌握化歸的思想方法對于數(shù)學學習有著重要的意義.總之，化歸的原則是以已知的、簡單的、具體的、特殊的、基本的知識為基礎，將未知的化為已知的，復雜的化為簡單的，抽象的化為具體的，一般的化為特殊的，非基本的化為基本的，從而得出正確的解答。例：證明：不存在整數(shù)a,b,c,滿足a2b28c6。思考與分析：由于題目給出的已知條件比較抽象，不便于使用，故我們可考慮命題的結論。如果將a2b28c6轉化為兩個數(shù)的平方和被8除余6,根據(jù)整數(shù)的性質，我們考慮整數(shù)關于模4的剩余類，可得十分巧妙的證法。證明：由于每個整數(shù)都具有下列形式之一：4 n,4n±1,4n+2,它們的平方數(shù)分別是2 2. 216 n,16n±8n+1,16n+16n+4,它們被8除的余數(shù)分別是0,1,4.而這三個余數(shù)的任意兩數(shù)（可以相同）的和都不等于6,所以對任意整數(shù)a,b,c,不存在a2b28c6。2化歸的原則在用化歸方法解決數(shù)學問題時，一個必要的條件是，化歸變形后的問題必須是能夠解決的（即化歸后所得到的問題應當是由未知到已知，由復雜到簡單，由難到易，由繁到簡）。新知識向已知知識點的轉化解一元二次方程時有以下四種基本解法：a、如果方程的一邊是關于X的完全平方式，另一邊是個非負的常數(shù)，則根據(jù)平方根的意義將形如xm2nn0的方程轉化為兩個一次方程： xmVn,進而得解%2mVn,此為開平方。b、如果將方程通過配方包等變形，一邊化為含未知數(shù)的完全平方式，另一邊為非負的常數(shù)，則其后的求解可由思路一完成，此為配方法。c、如果方程一邊為零，一邊能分解成兩個一次因式之積，就可以得到兩個因式分別為零的一次方程，它們的解都是原方程的解，此為因式分解法。d、如果以上三條思路受阻，便可把方程整理為一般形式，直接利用公式求解?？v觀以上四種方法，不難發(fā)現(xiàn)，方法一即所謂開平方法，它是依據(jù)平方根的意義將二次方程轉化為一次方程，即由xm2nn0轉化為xm品,完成了由“二次”向“一次”的轉化。方法二中的“配方”僅完成了方程的恒等變形，把問題轉移到“可開方”上來，并未完成“降次轉化”這一實質性工作，但已經(jīng)為“二次”向“一次”轉化創(chuàng)造了條件，因而習慣上稱之為“配方法”，配方法的實質就是通過轉化為開平方來解決的。方法三即因式分解法，其理論依據(jù)是“若干個因式之積為零時，則其中至少有一個因式為零”，據(jù)此，也順利地實現(xiàn)了由“二次”轉化為“一次”的目的。方法四即所謂公式法，對一般的一元二次方程，通過配方，轉化為開平方求得一般結論，即求根公式。公式法以強調結論，應用結果為前提，而省略了公式的探究過程，實際上已將解方程轉化成為代數(shù)式的求值問題，而公式的得到則是化歸思想的典型體現(xiàn)。從以上分析不難看到：將“一元二次”這個新知識點轉化為“一元一次”這個已知知識點之際，也就是順利求解一元二次方程之時。因此，應用化歸思想降次轉化為一元一次方程，是解一元二次方程各方法之“宗”。而對于高次方程，初中教材中的都是簡單的一元高次方程，這類方程根據(jù)具體方程的特殊性可以通過一些常規(guī)的數(shù)學方法把它們轉化為一元一次方程或一元二次方程， 即完成從新知識點到已知知識點的降次化歸過程，從而使此類方程問題得到解決。由難到易所謂由難到易就是把比較困難的問題轉化為比較容易， 易于解決的問題和程序的問題，從而使原問題得到解決。也就是說，化歸由難到易目標原則是指化歸應朝著目標容易的方向進行，即困難的待解決的問題應向較易解決的問題化歸。例：求證：f(n)n33n22n6(nZ)能被6整除。思考與分析：原式可變?yōu)閒nnn1n26上式表明，f(n)是三個連續(xù)整數(shù)之積與6之和。而“求證三個連續(xù)整數(shù)之積能被6整除”，是比較難的問題，如果對它的證明仍感困難，還可將它再轉化為容易的問題：“求證三個連續(xù)整數(shù)之積既能被2整除又能被3整除”，從而使原問題獲解。由繁到簡所謂由繁到簡就是把比較復雜的，高維的問題轉化為比較簡單的、低維的、易于確定解決問題方向和程序的問題，從而使問題得到解決，也就是說，化歸由繁到簡目標是指化歸應朝著目標簡單化的方向進行，即復雜的待解決的應向簡單的較易解決的問題化歸。這里的簡單不僅是指問題結構形式上的簡單，而且還指問題處理方式，方法上的簡單。而在用這種思維解題過程中，將元素統(tǒng)一和將條件與結論統(tǒng)一是關鍵，通過化歸，將原來比較繁的問題轉化為比較簡單的問題，使待解決的問題獲得解決。其實，回顧一下在中學數(shù)學中的教學，很多內容都是這樣解決的：如分式的加減運算要統(tǒng)一為同分母的分式加減運算，不同底的對數(shù)式運算常通過換底公式統(tǒng)一為同底數(shù)的對數(shù)來運算，多變元的問題通過消元變?yōu)橐粋€變元的問題， 三角誘導公式的重要作用就是實現(xiàn)三角式的和諧統(tǒng)一等。所以，化繁為簡對數(shù)學化歸有著十分重要的意義。例：求函數(shù)f(x)-3x26x13,x4x21的最大值。思考與分析：函數(shù)結構復雜，無法用常規(guī)方法解，設法將其簡單化。由根式我們聯(lián)想到距離，問題的關鍵是，能否將兩個根式內的被開方式化成平方和的形式。 通過拆湊，發(fā)現(xiàn)可以，即：f(x)..(x22)2(x3)2..(x21)2x2對其作適當?shù)慕忉?，問題就轉化為：求點P(x,x2)到點A3,2與點B0,1距離之差的最大值。進一步將其直觀具體化，由點A,B的位置知直線A電交拋物線yx2于第二象限的一點C,由三角形兩邊之差小于第三邊知，點暇于點C寸，f(x)才能取到最

大值，且最大值就是|AB|,故f(X)max|AB|回。3化歸的方法化歸思想的實質是實現(xiàn)結論向條件，未知向已知的轉化。它貫穿于整個教學及每一個問題的解決。所以，運用化歸思想解決問題，其一要有轉化(化歸)的意識，其二要掌握一些常用的轉化手段和方法，如整體分析化歸法、分割法，映射法，求變法，極端化法等。整體分析化歸法將一個式子視為一個整體，從而給問題帶來轉機，可獲得奇妙的整體效果效應，整體分析法的關鍵在于產(chǎn)生或尋找能給問題帶來轉機的整體，即換元法解決問題，顯得簡潔、明快，這就是整體代入法所產(chǎn)生的效應。例如：已知tan,tan是方程x2例如：已知tan,tan是方程x23x30的兩跟，?2/sin( )3sin()cos(3cos2()之值。由已知與韋達定理聯(lián)系得tantantantan聯(lián)系和角公式有:tan((tantan)/(1tantan)3/4觀察式子sin2(3sin()cos(、c2/ 、口?/ 、 /)3cos( )tbsin( )cos(二次齊次式,tantantantan聯(lián)系和角公式有:tan((tantan)/(1tantan)3/4觀察式子sin2(3sin()cos(、c2/ 、口?/ 、 /)3cos( )tbsin( )cos(二次齊次式,又由sin2()cos(1,上式可化為:sin2()3sin()cos()3cos2()/sin2( )cos2(=tan2()3tan(,2tan=-3次問題體現(xiàn)了整體分析化歸的思想，通過整體tan()3/4,使較為復雜是問題簡單化、明朗化，從而到達求解的目的。般情況向特殊情況的轉化

在解決數(shù)學問題中除了上述的化歸方向外，還有一類化歸方向是：先解決特殊條件或特殊情況下的問題，然后通過恰當?shù)幕瘹w方法把一般情況下的問題轉化為特殊情況下的問題來解決，這也是解決新問題獲得新知識的一種重要的化歸方向。例如九年級下冊教材中的圓周角定理的證明，就是先證明圓心在圓周角一條邊上的這種特殊情況，對于圓心在圓周角內部和外部的一般情況都是轉化成圓心在圓周角一條邊上的特殊情況來證明的。我們就以此為例來看看如何實現(xiàn)從一般情況向特奧情況時圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。ly^^0.）已知：在。就，弧BCO寸的圓周角是/BAC B1圓心角是/BOC（如圖3-1）,求證：BAC-BOC2圖3-1分析：圓周角/BACf圓心O勺位置關系有三種：（1）圓心0在/BAC勺一條邊AB（或AQ上（如圖3-2）;（2）圓心OS/BAC勺內部（如圖3-3）;（3）圓心0^/BAC勺外B圖3-3圖3-4圖3-2B圖3-3圖3-4圖3-2在第一種位置關系中，圓心角/B0蛤為AAOC勺外角，這時很容易得到結論；在第二、三兩種位置關系中，我們均可作出過點A勺直徑，將問題轉化為第一種情況，同樣可以證得結論。分割法在解決數(shù)學問題中，為了解決某些復雜的問題，往往采用分割法，把某些比較復雜的數(shù)學對象作為整體，按照可能和需要分解成若干更易于求解的部分，在求得各部分解

的基礎上，通過適當?shù)慕M合而使得原數(shù)學問題得以解決的解題方法。所謂分割法，就是把一個復雜的問題分割成若干個有邏輯聯(lián)系的、較簡單或較熟悉的問題，從而使原問題得以解決。當然，僅有“化整為零”的分解，化歸過程未必能完全實現(xiàn)，往往還要通過“積零為整”，將這些小問題的解重新組合起來，才能得到原問題的解，正是分解與組合的相輔相成和有機結合，引起待解決問題關系結構的重新搭配，使我們能在新的關系結構中去尋找化歸的途徑。在運用分割法實現(xiàn)化歸時，對于待處理的問題，有時把問題本身作為分解對象，此時是將整體分解為局部之和；有時把問題看成某一整體的一部分，此時是將局部分解為整體與另一部分的差；有時把問題的條件進行分解，求得滿足各部分條件的對象集合，此時問題的解是那些滿足各部分條件的對象集合的交。般地說，利用分割法求解問題的過程可以歸結如下:問題解答分離基本圖Mr問題解答分離基本圖Mr-幾何教材中的每一個定義、定理、公理、性質等都涉及（，也含）一個圖形，我們稱這樣的圖形為基本圖形，而任何一個復雜的幾何圖形都是由幾個或若干個基本圖形復合而成。這樣，我們在解證幾何題的時候，就要善于從復雜的圖形中分離出基本圖形，完成對問題的解決.幾何教材中的每一個定義、定理、公理、性質等都涉及（，也含）一個圖形，我們稱這樣的圖形為基本圖形，而任何一個復雜的幾何圖形都是由幾個或若干個基本圖形復合而成。這樣，我們在解證幾何題的時候，就要善于從復雜的圖形中分離出基本圖形，完成對問題的解決.這分析問題，解決問題的方法就是分離基本圖形法.例：如圖3-5所示,P是半徑為2的。Ort一點，OP=W,AB為過P點的弦,CA,C的OO勺切線，/AOB=2（為銳角）”設^點到AC,BC勺距離分別是a,b.求證（1）a,b是關于x的方程x2（4sin2）x2sin2 0的兩個根;（2）當（2）當=45時,P點恰好在線段OCt。圖3-5分析：設h點到AGBC勺距離為PE=a,PF巾，要證(1)a,b是方程x2(4sin2)x2sin2 0的兩個根，須證a+b=4sin2ab=2sin2,連接CQ由切線性質定理可知COLAB,垂足出，所以/AODWBOD=,而由OALCAS而由OALCAS射影定理的基本圖形(圖3-6)得/CAD=AOD=。在RtAPAE中(圖3-7)PE=a=APsin,同理，PF=b=PBsin,所以a+b=APsinab=APBPsin圖3-7在RtAPAE中(圖3-7)PE=a=APsin,同理，PF=b=PBsin,所以a+b=APsinab=APBPsin圖3-72圖3-6而為求弦AB,由垂徑定理的基本圖形（圖3-8）得AB=2AD=2OAsin=4sin,所以a+b=4sin2而為了求APBP,聯(lián)想到相交弦定理的基本圖形,過P作直徑交。0于H,G兩點（圖4),得APBP=PGPH=(2-V2)(2+&)=2,所以ab=2sin2圖3-8（2）圖3-8（2）當二45o時，方程為x2圖3-92x10，得兩根a=b=1圖3-10由角平分線的性質可知，點3-6）、解直角三角形（圖P在/ACB的平分線OC3-6）、解直角三角形（圖綜合以上分析，本題涉及到的基本圖形有：射影定理（圖3-7）、垂徑定理（圖3-8）、相交弦定理（圖3-9）、切線性質定理（圖3-10）等5個基本圖形。因此，這是一個綜合性強、難度較大的題目，但用分離基本圖形法進行化歸,就顯得容易多了。補集法若待求的對象集合A是某全集I的子集，而全集I和補集A為我們所熟悉或較簡單易求時，那么通過I與A的解題方法稱為補集法。補集法也是分割法中的一種特殊方法，從思維形式的角度看，它是一種逆向思維，它?？稍凇绊樝颉彼季S受阻時發(fā)揮作用。映射法（關系映射反演方法）在化歸策略中，有一種思維方法被稱為映射觀點，即通過映射將問題從未知領域向已知領域轉化，為了進一步說明映射觀點在化歸策略中的重要地位，根據(jù)映射觀點的不同表現(xiàn)形態(tài)闡述通過尋找恰當?shù)挠成鋪韺崿F(xiàn)化歸。利用坐標系（點集與數(shù)偶集合之間的一種映射）實現(xiàn)數(shù)形相互轉化是笛卡兒的劃時代創(chuàng)造。通過坐標系，可將幾何問題轉化為代數(shù)問題，也可將代數(shù)問題轉化幾何問題，即能發(fā)揮代數(shù)的優(yōu)勢，開創(chuàng)研究幾何的新方法，又可充分利用直觀，借助形象思維獲得出奇制勝的方法。這是映射觀點靈活應用的一種范例。為V3xya0,設該直線與單位圓x2y21交于兩點MN,則/XOM=,/XON=,直線73xya0與單位圓有兩個不同的交點（點（1,0）除外）的充要條300a 一 L 一件為J 1,且。3Xl+0+aW0,于是|a|<2且aw-J3,故aC（-2,-丁3）1U（-73,2）。設與該直線垂直且過原點的直線和單位圓父于點 P,因為（+-）=ZNOP=/XON/XOP=,屏以（一+）=或二那么~^+=或b——3 22 6 6 3 3上述通過尋找合適的映射實現(xiàn)化歸的策略被著名數(shù)學方法論專家徐利治先生科學抽象為關系映射反演原則，簡稱RMI原則（relationshipmappinginversion的縮寫），它表述如下：給定一個含有目標原象x的關系結構系統(tǒng)S,如果能找到一個可定影射 （能通過確定的數(shù)學萬法從映象關系結構系統(tǒng)S中將目標映象確定出來的影射），將S映入或映滿S,則可從S通過一定的數(shù)學方法把目標映象x=（x）確定出來，從而通過反演即逆

映射x確定出來.用框圖表示如下S（關系結構）映射x確定出來.用框圖表示如下S（關系結構）x（目標原象） 映象關系結構（定映）反演1 :r x（目標映象）其中“定映”就是要從映射關系結構中確定未定目標映象的屬性（數(shù)量、形式或某些性質），“反演”就是逆變換或逆映射。關系映射反演原則告訴我們這樣一個事實：如果在原象關系結構系統(tǒng)R中不易確定原象目標X,我們可以通過適當?shù)目啥ㄓ秤成?，將轉化為R,并在R中確定映象目標，再通過反演確定X。如可通過幕級數(shù)變換將離散的數(shù)列問題化歸為連續(xù)問題。著名的斐波那挈數(shù)列即可用此化歸方法解決。求變法求變法也是數(shù)學化歸中重要方法之一。求變法包括恒等變形法、參數(shù)變形法、多步化歸法、以及包含“反饋”的化歸。在中學數(shù)學解題中經(jīng)常會遇到這些方法。包等變形法在數(shù)學解題中，這是最常用的方法，特別是在求解方程或證明一些整除性問題時，利用包等變形法以實現(xiàn)由未知向已知的化歸，使我們較容易地求得問題的解。例：求證：f（n）n36n211n12（nN）能被6整除。思考與分析：把原式進行包等變形，得到f（n）n36n211n12=（n+力（n+2（n+3+6,從而，只需證明這三個連續(xù)自然數(shù)之積能被6整除即可！參數(shù)法借助參數(shù)進行影射、反演的方法稱為參數(shù)法。通過引入?yún)?shù)把原象關系結構映射為映象關系結構后，不僅數(shù)學對象有所增加，而且數(shù)學關系也會發(fā)生重新組合，由于參數(shù)

,使原問題處于一種“可變”的狀態(tài)中,可以自由選擇，這就增加了原問題的“自由度”,使原問題處于一種“可變”的狀態(tài)中,使我們能采用更為靈活的方法和手段來處理問題。例：已知橢圓9x216y2144,求這個橢圓上的點的橫坐標與縱坐標之和的最大值與最小值。思考與分析：設橢圓上的點的坐標為（x,y）,即求xy的最大值和最小值。由于在原象關系結構中求解，故引入?yún)?shù)b,令b=xy,使之映射為含b的映象關系結構。b的引入使“自由度”增加，處理方法變得靈活。只需將b=xy略加變化為yxb,即可視為一組斜率為-1的直線系方程，b是其縱截距，又由于直線系方程中的x,y必須是橢圓上的點的坐標，因此，求xy的最大值與最小值就映射為求過橢圓上的點作斜率為-1的直線的縱截距的最大值與最小值。又下圖可知，應是兩條切線11與12,其方程是其實該題若以橢圓的離心角為參數(shù)，則x4cos,y3sin,5,y(1)x,16(1)29x5,故b的最大值是其實該題若以橢圓的離心角為參數(shù)，則x4cos,y3sin,5,xy4co.s 3sin5sin(—)在含的影象關系結構中確定目標映象更為方便。4在含的影象關系結構中確定目標映象更為方便。極端化法極端化法也是數(shù)學化歸方法中的一種重要方法。數(shù)學中有許多“極端”情況，在解決有些數(shù)學問題時，我們常能以問題的“極端”情況的考察中獲得有益啟示，所謂極端化原則，就是運用極端化位置或狀態(tài)的特性引出一般位置或狀態(tài)下的性質，從而獲得解決問題的思路。我們先看一個古老的數(shù)學問題：“雞兔同籠不知數(shù)，三十六頭籠中露，看足卻有一百整，不知多少雞和兔？”不談它的方程解法，作為一個算術問題，它曾難倒了很多青少年。G.波利亞對這個問題提出了一個有趣的思路： “如果雞都縮起了一只腳，而兔圖圖3-12子都豎起了前腿，僅用兩只后腿著地，那又怎樣呢？”很顯然，那樣的話， “看足只剩五十整”了，而對于三十六個頭來說：50-36=14那多余的14只腳當然是14只兔子的了。G.波利亞提出的思考方法可謂巧矣，用這個方法去解題，去講授，一定可以使很多青少年從迷惑中解放出來，分析一下這個思維的過程“當原題不易思考時，我們可以轉而研究它的相對地容易解決的極端情況，（當然這個極端情況要有意義，比如在這個問題中，并沒有假定兔子也用一只腳著地）?！苯鉀Q了極端化情況之后，再通過“一定的數(shù)學手段”即可通向解決原題之路。極端化方法的模式可簡單地歸結為：極端化過程新的較易原題的解決一定的教學手段. 極端化過程新的較易原題的解決一定的教學手段. 新問題的解決需要指出的是：1）極端化情況是多種形式的，往往并不在原題中存在，而需要發(fā)揮數(shù)學想象力，把它構造出來。2）通過“一定的教學手段”求原題的解，可能是簡單的數(shù)學手段，也可能是較復雜的一系列的教學手段。1.我們通過幾個例題進一步探討極端化法，先看一個策論中的問題。例1：一張圓桌，兩個人輪流往上放大小相等的硬幣，只許平放，不許重疊，誰在桌上放下最后一枚硬幣，誰就是游戲的勝利者。是先放者取勝,有一種必勝的法則呢？如圖（3-12）還是后放者?有沒!b桌上放下最后一枚硬幣，誰就是游戲的勝利者。是先放者取勝,有一種必勝的法則呢？如圖（3-12）還是后放者?有沒!b如果請教一位數(shù)學家，他可能毫不猶豫地回答： “我當然選擇先放，因為我可以假設桌子很小，小到和硬幣一樣大，我把硬幣往桌上一放，我就贏了。 ”太妙了！極端化思想方法已使他對這個問題有了一個或許正確的初步答案。不過，具體解出這個問題還需要一些數(shù)學手段，我們再看這個數(shù)學家是怎么思考這個問題的。 “然后，我可以想象這張桌子又慢慢大了起來，我那枚硬幣就留在了桌子的中央。該別人放了，因為規(guī)則是交替放置。我再放時放在“對應”的哪一點呢？事實上應該是一一對應，在圓內這樣的對應點顯然是以最先放下的硬幣為中心的對稱點，按這樣的對應法則放下去，直到對手不能放為止?！边@位數(shù)學家用數(shù)學手段對應、一一對應、中心對稱完成了整個問題例2:某足球邀請賽有十六個城市參加，每市派出兩個隊，每兩隊之間至多比賽一場，并且同一城市的兩個隊之間不進行比賽。比賽若干天后統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)除A市甲隊外,其他各隊已比賽過的場次各不相同，問A市乙隊已賽過多少場？十六個城市，32個隊，實在無從下手，我們可考慮極端情況，即考察兩個城市之間的比賽。但為了更清楚地說明問題，我們選擇了三個城市共 6個隊來思考：A市 B 市 C 市甲隊乙隊 甲隊乙隊 甲隊乙隊圖3-13 圖3-14圖3-14由于同一城市的兩隊之間不比賽， 且兩隊之間只能賽一場，因此一個隊最多賽四場,又由于A市甲隊（這兒用甲1表示）要除外，且各隊比賽場次各不相同，那么這其他五隊的比賽場次必為0,1,2,3,4.我們用平面內六個點表示這六個隊，用連線表示兩隊之間比賽了，那么，按照剛才的分析，可得下面的示意圖：TOC\o"1-5"\h\z清楚地看到，a和f,e和b,c和d分別是同一城市的隊，因為它 ,f們之間沒有比賽，那么它們所賽的場次呢，分別為（4和0）,（3和1）,b e（2和2）,那么顯然A市甲隊賽了2場，因為其他5個隊賽過的場數(shù) c不同，當然A市乙隊也賽過了2場圖3-15已經(jīng)探索到上述解題方法之后，我們再看十六個城市 32個隊，簡述如下：一個隊最多只能比賽30場，除A市甲隊外，其他各隊比賽場次各不相同，故場次數(shù)為0,1,2,3,29,30.且場次數(shù)按同一城市的甲、乙隊必做如下搭配：(30,0),(29,1),……(16,14),(15,15).其中比賽場次都為15的必為A市的兩個隊，故A市乙隊已賽過15場。其實，我們已解決了這個問題的更一般情況，即有n個城市，2n個隊……。順便說一下，這道題脫胎于由美國數(shù)學家.勞爾森提出的著名的“有三對夫婦參加的晚會的握手問題”。極端化法在初等數(shù)學領域中應用的例子是層次不窮的，因為初等數(shù)學更有它豐富多彩的一面。其實，我們很多青少年在思考數(shù)學問題時(甚至其它領域的問題) ，經(jīng)常有意識或無意識地想象著：“如果兩條直線的夾角越來越小……?！薄比绻@個方程所有的根都是無理根……。如果橢圓的一個焦點移到了無限遠的位置……?！边@些都是極端化思想的萌芽。熟練運用極端化的化歸思想對數(shù)學解決具有很大的幫助。4化歸當中應該注意的問題我們在運用化歸的思想方法解決問題時還要注意一些問題，如：熟悉化和模型化、簡單化和具體化、特殊化和一般化等。4.1熟悉化和模型化熟悉化就是把我們感到陌生的問題通過變形化歸成比較熟悉的問題， 從而使我們能夠充分利用以有的知識和經(jīng)驗使問題得到解決。例：解方程x3(1J2)x220。思考與分析：這是一個以x為未知數(shù)的一元三次方程，顯然我們對三次方程的解法是比較陌生的，而對一次或二次方程的解法則比較熟悉。因此，我們自然希望能把它化歸為若干個一次或二次方程來處理。注意到原方程的特點，可以看出：若把 x看作“已知數(shù)”，而把22看作“未知數(shù)”，則原方程便可看作關于我的“二次方程”。我們就22解出原方程，也許能得到關于x的一次或二次方程，從而可能將原問題化歸為熟悉的問題而得到解決。將陌生問題化歸為熟悉問題或某個統(tǒng)一的模式，從而達到解決問題的目的，是一個極其重要的化歸原則。但是這一原則并沒有成法可依，完全依靠在平時解題時，把已經(jīng)解過的習題進行分類，歸納，并熟記一些重要題型的具體方法。這樣，經(jīng)過日積月累的長期實踐，我們就自然能夠掌握這一個原則。簡單化和具體化簡單化就是把比較復雜的問題轉化為比較簡單的問題， 把比較復雜的形式轉化為比較簡單的形式，以便使其中的數(shù)量觀系和空間形式更加明朗和具體，從而找到問題的突破口。所謂具體化就是將比較抽象的問題，轉化為比較具體或直觀的問題來解決，很多數(shù)學問題是各種信息的高度濃縮和抽象，如果我們繼續(xù)沿著“抽象化”的路子走下去，往往走入迷宮。如果我們改變方向，從新的角度、新的觀念出發(fā)，把問題中的各種概念以及概念之間的關系具體明確，亦即對原來的抽象問題進行具體轉化，往往會使問題輕而易舉地得到解決。特殊化和一般化相對于一般來說，特殊問題的解決是比較容易和簡單的。特殊化就是把數(shù)學問題中包含的數(shù)量、形狀、位置關系等加以簡單化、具體化、單一化、邊緣化。也就是說，當數(shù)學問題的一般性不十分明顯時，我們從特殊的數(shù)、形的數(shù)量關系和位置關系入手，由特殊性質推出一般性質，從中找到解題方法或構成解題起點。在解題過程中，對于一時難以入手的一般問題，一個使用最普遍而又較為簡單易行的化歸途徑，乃是把它向特殊的形式轉化，這就是特殊化法。由于特殊的事物與簡單的事物有著自然的聯(lián)系，所以這種方法有兩種類型：一是從簡單情形入手，作為解決一般問題的突破口；二是從特殊對象考察（包括著眼于極端情形） ，為求解一般問題奠定基礎?？傊?數(shù)學問題的特殊化,可以通過數(shù)目的減少 ,數(shù)值范圍的縮小,維數(shù)的降低 ,元數(shù)的減少,任意圖形轉化為特殊圖形等手段來實施 .而特殊元素的選擇 ,往往是中點、端點、定值、零值、垂直、平行、特殊的數(shù)和形等。與特殊化的途徑相反，在對一般形式問題比較熟悉的情況下，將特殊形式的問題轉化為一般形式的問題，這就是一般化法。這種方法是通過找出特殊問題的一般原理，把特殊問題從原有范圍擴展到包含該問題的更大范圍來進行考察，從而使得我們能夠在更一般、更廣闊的領域中使用更靈活的方法去尋求化歸的途徑。例如，在研究數(shù)的問題時，可以用一般化法把它化歸為式的問題來研究；在研究方程和不等式時，也可以用一般化法把它們置身于函數(shù)之中來處理。特殊化和一般化是兩種相輔相成的思維方法。解題中使用特殊化是為了探求一般性結論，使用一般化是為了通過一般性結論的成立說明其特殊情形成立或推廣命題。因此，當一般性的問題很難立刻找到解題方法時，不妨將其向特殊方向轉化，而當有些特殊的問題涉及過多無關宏旨的枝節(jié)，掩蓋著問題的本質時，往往轉化為一般的情形更容易解決。特殊化和一般化反映了人類的兩種認識過程，即由特殊到一般和由一般到特殊，這兩種過程循環(huán)往復，每一次循環(huán)都可使人類的認識提高一步。數(shù)學也是在這一循環(huán)往復中發(fā)展并豐富其內容的。如平面幾何先深入研究了三角形，再研究一般的多邊形，在研究中常返歸到三角形問題。又如解方程問題，從一元一次方程開始逐漸復雜化，而復雜的方程又常轉化為簡單的方程來解。5小結從上面的分析中，我們不難發(fā)現(xiàn)初中數(shù)學教材中有很多問題都是需要用化歸思想來解決的，化歸思想在初中數(shù)學的學習中有著舉足輕重的作用，是一種非常重要的數(shù)學思想。那么如何在日常教學中更好的滲透和落實化歸思想呢？夯實基礎知識擁有扎實的基礎知識、掌握完整的知識結構是實現(xiàn)化歸的基礎。教學實踐告訴我們，教學過程數(shù)學優(yōu)等生與差生區(qū)分的第一標準就是基礎知識及知識結構掌握的程度不同,中，夯實基礎、完善知識結構應做到：教學過程重視概念、公式、法則等基本數(shù)學模型的教學，為尋求化歸目標奠定基礎。從某種意義上說，中學數(shù)學教學實際上是數(shù)學模型的教學，建立數(shù)學模型是實現(xiàn)問題的規(guī)范化和程序化，運用模型的過程即是轉化與化歸的過程。養(yǎng)成整理、總結數(shù)學方法的習慣，為尋求化歸方法奠定基礎。差生之所以拿到基本題沒有思路，其根本原因是其知識結構殘缺不全。完善知識結構，為尋求化歸方向奠定基礎。在平時教學中幫助學生完善知識結構，例如做好單元小結，其中畫知識結構圖或列知識表是完善知識結構使知識系統(tǒng)化、板塊化的有效方法之一。通過表格或網(wǎng)絡圖，知識之間的相互聯(lián)系、依存關系一目了然，為問題的轉化提供了準確的方向。培養(yǎng)化歸意識數(shù)學是一個有機整體，它的各部分之間相互聯(lián)系、相互依存、相互滲透，使之構成了縱橫交錯的立體空間，我們在研究數(shù)學問題的過程中，常需要利用這些聯(lián)系對問題進行適當轉化，使之達到簡單化、熟悉化的目的。要實施轉化，首先須明確轉化的一股原理，掌握基本的化歸思想和方法，并通過典型的問題加以鞏固和練習。因此，在平時的教學中，我們不斷教會學生解題，通過仔細的觀察、分析，由問題的條件、圖形特征和求解目標的結構形式聯(lián)想到與其有關的定義、公式、定理、法則、性質、數(shù)學解題思想方法、規(guī)律以及熟知的相關問題解法，由此不斷轉化，建立條件和結論之間的橋梁，從而找到解題的思路和方法。掌握化歸的一般方法樹立了化歸意識后，接下來的工作是探求化歸的方法?；瘹w的實質是不斷變更問題,因此，可以從變形的成分這個方面去考慮，也可以從實現(xiàn)化歸的常用方法直接去考慮。在實際運用中，這兩個方面又是互相滲透、互相補充的。初中階段常用的化歸方法有恒等變換法，具體包括分解法、配方法、待定系數(shù)法等：其次是映射反演法，具體包括換元法、坐標法等。深入教材在數(shù)學教學中，要善于挖掘教材中蘊含的化歸思想方法，注意不斷總結化歸法解題的一般原理、提煉蘊含其中的思想方法，把化歸思想方法的教學融于各個環(huán)節(jié)之中，讓學生切實感受到化歸思想方法的存在形式及其發(fā)揮的作用。在概念形成、運用的過程中滲透化歸思想；在定理、公式的探究和發(fā)現(xiàn)過程中深化化歸思想方法；在問題解決過程中領悟化歸思想方法；在知識的歸納總結過程中概括化歸